CAPITULO I
SUCESIONES
1.1 Sucesiones numéricas Definición
Si a todo número n de la serie natural de los números 1, 2, ..., n, ... se le pone en correspondencia, según una ley determinada, un número real xn, entonces el con- junto de los números reales {xn} se denomina suce- sión. Los números xn se llaman elementos o términos de la sucesión.
El conjunto de valores de una sucesión puede ser tanto finito como infinito. La sucesión cuyo conjunto de valores consta de un número recibe el nombre de esta- cionaria.
Una sucesión puede ser prefijada con ayuda de la fór- mula de la forma xn = f(n), n N, que expresa xn por medio de un número n. Esta fórmula es conocida como fórmula del término general de la sucesión.
Con el fin de prefijar una sucesión se hace también uso de fórmulas recurrentes, es decir, de aquellas que ex- presan el n-ésimo término de la sucesión con ayuda de los términos con los números menores. De esta forma se definen las progresiones aritmética y geométrica.
Ejemplo
Encuentre la fórmula del término general para la suce- sión
x1 = 1, x2 = 1, xn = xn-1 + xn-2, n N, n 3.
Solución
Hallemos tal sucesión de la forma {kn} que satisfaga la condición xn = xn-1 + xn-2, n N, n 3, aquí k 0 y, hablando en general, puede asimismo ser un número complejo. Después de poner xn = kn obtenemos la ecuación característica k2 = k + 1, de donde
1
1 5
k 2 , 2 1 5
k 2 . Cada una de las sucesiones
k1n y
k2n satisface la condición xn = xn-1 + xn-2. Para cualesquiera números a y b, la sucesión con término general xnak1nbk2n también satisface dicha condi- ción. Hallemos a y b de forma que x1 = ak1 + bk2 = 1 y2 2
2 1 2 1
x ak bk , obtenemos
2
1 1 2
1 1
( ) 5
a k
k k k
, 1
2 1 2
1 1
( ) 5
b k
k k k
.
Poniendo los valores de k1, k2, a y b en la fórmula
1n 2n
xnak bk , hallamos la fórmula del término gene- ral de la sucesión definida con las condiciones dadas.
1 1 5 1 1 5
2 2
5 5
n n
xn
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
, n N.
A esta sucesión se le denomina sucesión de Fibonacci.
Definición
La sucesión prefijada con la fórmula recurrente de la forma
xn = a1xn-1 + a2xn-2 + ... + amxn-m, n N, n m, donde a1, a2, ..., am y m son los números prefijados, m
N, recibe el nombre de sucesión recíproca del grado m.
Ejemplo
Encuentre la fórmula del término general para la suce- sión
x1 = a, x2 = b, 1 1 2
n n 4 n
x x x , n N, n 3.
Solución
Procediendo como en el caso anterior, llegaremos a la ecuación característica 42 - 4 + 1 = 0 que tiene una raíz de segundo orden de multiplicidad = ½. La suce- sión {2-n} satisface la condición
1 2
1
n n 4 n
x x x , n N, n 3.
Como es fácil de comprobar, {2-nn} es otra de semejan- tes sucesiones. Las sucesiones de la forma {2-n + 2-
nn} también satisfacen la indicada condición. Deter- minando y de la ecuación
1
1 1
2 2
x a, 2 1 1
4 2 4
x b, obtenemos = 4a - 4b y = 4b – 2a. Es decir, la fór- mula del término general de la sucesión prefijada con las condiciones iniciales del problema, tiene la
2 forma
xn = [2a - 2b + (2b – a)n]21-n, n N.
Ejemplo
Encuentre la fórmula del término general para la suce- sión
x1 = 0, x2 = 1, xn = xn-1 – xn-2, n N, n 3.
Solución
En este caso la ecuación característica 2 = - 1 tiene raíces complejas 3
i n
e
y 3
i n
e
. Busquemos la sucesión que satisfaga las condiciones de este proble-
ma, en la forma 3 3
i n i n
x e e
y de las condiciones x1 = 0, x2 = 1 hallamos que
1 /3
3 e i
i
, 1 /3
3 ei
i
. De aquí,
( 1)/3 ( 1)/3
1 ( )
3
i n i n
xn e e
i
2 ( 1) 3 3
Sen n
, n N.
Definición
Sean dadas {xn}: x1, x2, ..., xn, ... e {yn} = y1, y2, ..., yn, ...
Se llama suma de estas sucesiones la sucesión {xn + yn}
= x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn, ..., diferencia, la sucesión {xn - yn} = x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn, ... , el producto, la sucesión {xnyn} = x1y1, x2y2, ..., xnyn, ... , y cociente, la
sucesión 1 2
1 2
, , ..., , ...
n n
n n
x x x x
y y y y
Al definir el cociente n
n
x y
se requiere que todos los elementos yn de la sucesión {yn} sean diferentes de cero. Sin embargo, si en la sucesión {yn} se anula so- lamente un número finito de elementos, entonces el cociente n
n
x y
puede ser definido a partir del número después del cual todos los elementos yn son diferentes de cero.
1.2 Tarea
1) ¿Cuáles de los números a, b son términos de la sucesión {xn} si:
a) a = 1215, b = 12555; xn = 32n-35, n N; c) a = 248, b = 2050; xn = 2 – n, n N;
b) a = 6, b = 8; xn n232nn, n N; d) a = 6, b = 11;
2 11
n 1 x n
n
, n N?
2) ¿Para qué términos xn de la sucesión {(-3)3-2n} se cumple la desigualdad xn 0.001? 3) Halle el término máximo de la sucesión:
a)
2
21 3n 14n 17
; b)
2 9
n n
; c) {2-n – 4-n3}.
4) Halle el término mínimo de la sucesión:
a) {(2n – 5)(2n – 11)};
b) 5 n n
; c)
log23n3log3n
.5) Indique la fórmula del término general de la sucesión cuyos primeros términos son los números:
a) {8, 14, 20, 26, 32, ...}; d) {5, 7, 11, 19, 35, ...}; g) {0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333, ...};
b) {1, 3, 1, 3, 1, ...}; e) {1, 2, 6, 24, 120, ...}; h) {-0.5, 1.5, -4.5, 13.5, -40.5, ...};
c) 1 1 3 1 5 , , , , , ...
2 2 8 4 32
; f) 3 4 5 6
2, , , , , ...
2 3 4 5
; i) 1 4 3 6
2, , , , , ...
2 3 4 5
.
6) Halle la fórmula del término general de la sucesión prefijada por procedimiento recurrente:
a) x1 = 0, 1 1 1
n n
x x
n
, n N; b) x1 = a, xn1(n1)(xn1), n N;
c) x1 = ½, 1 1
n 2
n
x x
, n N; d) x1 = a, xn+1 = cxn + d2n, c 2, n N;
e) x1 = ½, 1 2
n 3
n
x x
, n N; f) x1 = 0, x2 = 1, 2 3 1 2
n n
n
x x
x
, n N.
1.3 Sucesiones acotadas Definición
Una sucesión {xn} se denomina superiormente acotada si existe un número real M tal que todo elemento xn de la sucesión {xn} satisface la desigualdad xn M, donde el número M se denomina cota superior de la sucesión.
Una sucesión {xn} se denomina inferiormente acotada si existe un número real m tal que todo elemento xn de la sucesión {xn} satisface la desigualdad xn m, donde el número m se denomina cota inferior de la sucesión.
Definición
Una sucesión {xn} se denomina acotada si es acotada tanto superiormente como inferiormente, es decir, si existen números m y M tales que todo elemento xn de esta sucesión satisface las desigualdades m xn M.
Si la sucesión {xn} es acotada y M y m son sus cotas superior e inferior, entonces todos los elementos xn de esta sucesión satisfacen la desigualdad xn A, donde A es el máximo de dos números M y m . Recípro- camente, si todos los elementos de la sucesión {xn} satisfacen la desigualdad xn A, se cumplen tam- bién las desigualdades –A xn A y, por consiguiente, la sucesión {xn} está acotada. De este modo, la de- sigualdad xn A es otra forma de la condición de acotación de una sucesión. Precisemos el concepto de sucesión no acotada.
La sucesión {xn} se denomina no acotada si para cual- quier número A existe un elemento xn de esta sucesión que satisface la desigualdad xn A.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión
2
( 1) 10
1
n n
x n n
, n N.
es acotada.
Solución Ya que
( 1) nn10 ( 1)nn 10 n 10, n2 1 n, tenemos
2
| ( 1) 10 | 10 10
| | 1 11
1
n n
n n
x n n n
,
es decir, se verifica la acotación con A = 11.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión
n n
x n a
, n N, donde a > 1 es acotada.
Solución
Está claro que para todo n N
n 0 n a .
Como a – 1 > 0, de acuerdo con la desigualdad de Bernoulli, para todo n N, tendremos
an = (1 + a – 1)n n(a – 1), de donde
1
n 1 n a a
.
Así, para cualquier n son ciertas las desigualdades 0 1
n 1 n a a
, es decir, la sucesión es acotada.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión
xn = nCosn, n N, es no acotada.
Solución
Si n = 2k, Cos2k = 1 y x2k = 2k. Sea C un número positivo tomado al azar. Tomemos el número par 2k mayor que C, entonces x2k > C, es decir xn C se verifica y la sucesión dada es no acotada.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión
3 2
100
n 10 x n
n
, n N, es no acotada.
Solución
De la fórmula del término general, tenemos
4
3
3 3
2 2 2
100 100
1 1 10 10 1 1
n
n
n n
x n
n n n
.
Si n 6,
3
100 1 n 2 y
3
100 1 1 n 2, pero
2
0 1 10 1
n
, por lo que
3
2
100 1
1 2
10 1 2
1
n
n n
x n n
n
.
Para un número positivo arbitrario C tomemos n > 2C, entonces
n 2
x n C
y, por consiguiente, la sucesión dada es no acotada.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión xn2( 1) nn no está acota- da.
Solución
En virtud de la definición de la sucesión no acotada, hay que demostrar que para toda M > 0, existe n N, para el cual | xn | > M. Prefijemos un número M > 0 arbitrario y tomemos cualquier número par n que satis- faga la desigualdad n > log2M. Para tal n tenemos
log2
2n 2 M
xn M
lo que se trataba de demostrar.
Definición
Una sucesión {xn} se denomina infinita si para cual- quier número positivo A se puede indicar un número N tal que para n N todos los elementos xn de esta suce- sión satisfacen la desigualdad xn A.
Es evidente que toda sucesión infinita es no acotada puesto que para cualquier A > 0 se puede indicar un número N tal que para n N todos los elementos xn verifican la desigualdad xn A y, por consiguiente, para cualquier A > 0 existe al menos un elemento xn tal que xn A. Sin embargo, una sucesión no acotada puede no ser infinita.
Definición
Una sucesión {n} se denomina infinitesimal si para cualquier número positivo se puede indicar un núme
ro N tal que para n N todos los elementos n de esta sucesión satisfacen la desigualdad n .
Teorema
La suma de dos sucesiones infinitesimales es una suce- sión infinitesimal.
Demostración
Sean {n} y {n} sucesiones infinitesimales. Demos- tremos que la sucesión {n + n} es infinitesimal. Sean
número positivo arbitrario, N1 número, partiendo del cual n < /2 y N2 número, partiendo del cual n
< /2. Ya que el módulo de la suma de dos números no supera a la suma de sus módulos, entonces, denotando mediante N el máximo de los números N1 y N2 obte- nemos que, partiendo del número N, se cumple la de- sigualdad n + n < . Esto significa que la sucesión {n + n} es infinitesimal.
Teorema
La diferencia de dos sucesiones infinitesimales es una sucesión infinitesimal.
Podemos decir que, la suma algebraica de cualquier número finito de sucesiones infinitesimales es una sucesión infinitesimal.
Teorema
Toda sucesión infinitesimal es acotada.
Demostración
Sean {n} una sucesión infinitesimal y un número positivo. Luego sea N un número, partiendo del cual
n < . Denotemos mediante A el máximo de N números siguientes , 1, 2, ..., N-1. Esto puede escribirse como A = máx{, 1, 2, ..., N-
1}. Obviamente, n A para cualquier número n, lo que significa el carácter acotado de la sucesión.
Teorema
El producto de una sucesión acotada por una sucesión infinitesimal es una sucesión infinitesimal.
Demostración
Sean {xn} sucesión acotada y {n} sucesión infinitesi- mal. Ya que la sucesión {xn} está acotada, entonces existe un número A > 0 tal que todo elemento xn satis- face la desigualdad xn A. Tomemos un número positivo arbitrario . Debido a que la sucesión {n} es infinitesimal, para el número positivo /A se puede indicar un número N tal que, siendo n N, se cumple la desigualdad n < /A. Entonces, para n N,
x A A
xn n n n . Por esto la sucesión
{xnn} es infinitesimal.
Podemos decir que el producto de cualquier número finito de sucesiones infinitesimales es una sucesión infinitesimal.
El cociente de dos sucesiones infinitesimales puede ser una sucesión de cualquier tipo e incluso no tener senti- do.
Teorema
Si todos los elementos de una sucesión infinitesimal {n} son iguales a un mismo número k, entonces k = 0.
Demostración
Supongamos que k 0. Hagamos = k/2, > 0.
Partiendo de un número N, correspondiente a ese , se cumple la desigualdad n < . Ya que n = k, =
k/2, la última desigualdad puede escribirse del mo- do siguiente: k < k/2, de donde 1 < 1/2. Dicha contradicción muestra que la suposición k 0 no pue- de tener sentido. Por lo tanto resulta que k = 0.
Teorema
Si {xn} es una sucesión infinita, entonces, partiendo de un número n, está definida la sucesión 1
xn
que es infinitesimal. Si todos los elementos de una sucesión infinitesimal {n} no son iguales a cero, entonces la sucesión 1
n
es infinita.
Demostración
Notemos, en primer lugar, que la sucesión infinita tiene solamente un número finito de elementos iguales a cero. En realidad, de la definición de la sucesión infini- ta se desprende que para un número positivo dado A se puede indicar un número N1 partiendo del cual se cum- ple la desigualdad xn > A. Esto significa que para n
N1 todos los elementos xn no son iguales a cero y por eso la sucesión
xn
1 tiene sentido si sus elementos se consideran partiendo del número N1. Ahora demostre- mos que
xn
1 es sucesión infinitesimal. Sea cual- quier número positivo. Para el número 1/ se puede indicar un número N N1 tal que para n N, los ele- mentos xn de la sucesión {xn} satisfacen la desigualdad
xn > 1/. Por eso a partir del número indicado N, se cumplirá la desigualdad
xn
1 < . De este modo, que-
da demostrado que la sucesión
xn
1 es infinitesimal.
La segunda parte del teorema se demuestra análoga- mente.
1.4 Tarea
1) Demuestre que las sucesiones son acotadas:
a)
2 2
2 1
2 n
n
; g)
3 6 3
2
2 2
3 2
n n n
n n
; m)
2 2
4 8
( 1)
n n
n
; s)
6
4 2
5 6
( 1)( 2)
n
n n
;
b)
2
1 1 n n
; h)
ln( 2 1) ln( 1) ln( 0,5)
n n
n
; n) ( 1)
3 1
n n
n
; t)
n 1 n1
;c) 2 1
3 2
n n
; i)
39nn339nn3
; o) 52 1 21 25
n n
n
; u)
3 2 ( 3)( 1)
n
n n
;
d)
2
2n
n
; j)
n
n4 n n4n ; p)
n2 1 n
; v)
3n3 1 n21
;
e) 3n
n
; k)
4 3
2
2 1
1
n n
n n
; q) 1
lnn
n n
;
w)
ln (2 n 1) ln2n
;f) ln 1
n n
n
; l)
2
3 5
4 1
n n
; r)
2 2 2
ln 10
ln 2
n n
. x)
1 1
n
n
;
6 2) Demuestre que las sucesiones son no acotadas:
a)
( 1) nn
; c)
n2n
; e) 32 1 n n
;
g)
5n4n
; i)
n ( 1)nn
;b) 1 n n
; d)
2
2n n
; f)
4
( 2)3
n n n
; h)
3 2
2 1
n n
n
;
j)
2
1 log ( 1)
n n
.
3) Demuestre que las sucesiones son acotadas, para toda n N:
a)
1 n 1
n k
x n k
, n N; d)1(2 1)(2 1)(2 3)
n n
k
x k
k k k
; g)1
1 ( 1)
n n
k
x k k
, n N;b) 3
1 1
1 n i
n
i j
x j
n
, n N; e)1
1
( ( 1) )( )
n n
k
x a k d a kd
; h) 11
( 1)k
n n
k
x k
, n N;c)
1
1 1
!
n n
k
x
k , n N; f)1
1 (2 1)2
n n
k
x k k
, n N; i) 21
1
4 1
n n
k
x
k
, n N.4) Demuestre que si a1 = 1, an+1 = (n + 1)(a + 1), n N, la sucesión
1
1 1
n n
k k
x a
es acotada.
5) Demuestre que la sucesión es acotada
2 2 2 2
1 1 1
log 1 1 1
2 3
xn
n
, n N, n 2.
1.5 Sucesiones monótonas Definición
Una sucesión {xn} se denomina no decreciente si todo término de esta sucesión, partiendo del segundo, no es menor que el anterior, es decir, para todos los números n es válida la desigualdad xn xn+1. Una sucesión {xn} se denomina no creciente si todo término de esta suce- sión, partiendo del segundo, no es mayor que el ante- rior, es decir, para todos los números n es válida la desigualdad xn xn+1.
Las sucesiones no decrecientes y no crecientes se agrupan en la clase de sucesiones monótonas. Si todos los números n de los elementos de la sucesión monó- tona {xn} satisfacen la desigualdad xn < xn+1 (xn > xn+1), entonces la sucesión {xn} se denomina creciente y decreciente respectivamente. Las sucesiones crecientes y decrecientes se denominan también estrictamente monótonas.
Teorema
Si la sucesión monótona {xn} está acotada por ambos lados, ella converge.
Demostración
Ya que la sucesión {xn} está acotada, el conjunto de sus elementos tiene cotas exactas superior x e inferior x.
Demostremos que si {xn} es sucesión no decreciente su límite será dicha cota superior exacta x; si {xn} es suce- sión no creciente, su límite será mencionada cota infe- rior exacta x. Nos limitaremos al caso de la sucesión no decreciente, puesto que para la sucesión no creciente los razonamientos son análogos.
Ya que x es cota superior exacta del conjunto de los elementos de la sucesión {xn}, para cualquier > 0 se puede indicar un elemento xN tal que xN > x - y xN x. Poniendo en correspondencia dichas desigualdades, obtenemos las desigualdades 0 x - xN < . Ya que {xn} es sucesión no decreciente, para n N son válidas las desigualdades x xn x. De aquí se desprende que, para n N, se cumplen las desigualdades 0 x - xn x - xN. Anteriormente denotamos que x - xN < y por eso, para n N son válidas las desigualdades 0 x - xn < , de las cuales se desprende la desigualdad
xn - x < . De este modo, queda establecido que x es el límite de la sucesión {xn}.
La acotación de una sucesión monótona es la condi- ción necesaria y suficiente de su convergencia. Si una sucesión monótona está acotada, ella converge; si la sucesión monótona converge, entonces, ella está aco- tada. Una sucesión convergente puede no ser monóto- na.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión 5
!
n
xn
n , n N,
decrece estrictamente a partir de cierto número.
Solución
Consideremos la razón
1
1 5 ! 5
( 1)!5 1
n n
n n
x n
x n n
.
Vemos que con n 5, 1 5 6 1
n n
x x
, y, por lo tanto, xn+1 < xn ya que xn > 0. Así, la sucesión dada decrece estrictamente a partir de n = 5.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión 1 1
n
xn
n
, n N, crece estrictamente.
Solución
Consideremos la razón
1 2 1
1
1 2
( 2) 2 1
( 1) ( 1) ( 1)
n n n n
n n
n
x n n n n n
x n n n n
1
2
1 1
1 ( 1)
n n
n n
.
De la desigualdad de Bernoulli tenemos para todo n N:
1
2 2
1 1
1 1
( 1) ( 1) 1
n n n
n n n
.
Por ello, para cualquier n N
1 1
1 1
n n
x n n
x n n
es decir, xn+1 > xn y, por consiguiente, la sucesión dada es estrictamente creciente.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión {xn}, donde x1a, xn1 6xn , n N, a) crece estrictamente si a = 0;
b) decrece estrictamente si a = 4.
Solución
Para n N tenemos
2
2 6 1
n n
x x , xn21 6 xn de donde
2 2
2 1 1
n n n n
x x x x (1)
Realicemos la demostración con ayuda del método de inducción matemática:
a) Si x1 = 0, x2 6x1.
Supongamos que la desigualdad xn+1 > xn es verdadera para n N. Entonces, de (1) se desprende que
2 2
2 1
n n
x x y como xn+2 > 0 y xn+1 > 0, es verdadera la desigualdad xn+2 > xn+1. De forma que xn+1 > xn para todo n N, es decir, la sucesión crece estrictamente.
b) En este caso, x1 = 4, x2 10x1. Como también más arriba, es fácil demostrar que para cualquier n N, de la desigualdad xn+1 < xn se desprende la desigualdad xn+2 < xn+1. Esto significa que xn+1 < xn para todo n N, es decir, en este caso, la sucesión decrece estrictamen- te.
1.6 Tarea
1) Demuestre la monotonía de la sucesión dada, a partir de cierto número:
a)
2n100n
; e)
3n3 1 n
; i)
n2 n n
; m)
n36n2
; q)
2n13n2
;b)
3 2 3
n n
; f)
1 1
6 5
6 5
n n
n n
; j)
1 1
4 3
4 3
n n
n n
; n)
2 24 1 n
n
; r)
2 3 32
n n
;
8 c) 1
2 1
n n
; g)
ln(n29 ) 2 lnn n
; k)2
100 16 n n
; o) 2
3 1 n
n
;
s) 1 n n
.
d) 100
!
n
n
;
h)
n 2 n1
;l)
2
1 7 n n
; p) 3 4
2 n n
;
2) Demuestre que la sucesión
1
1 !
( 1)!
n n
k
x k k
n
, n N, es creciente y acotada.3) Demuestre que la sucesión:
a) 1 1 2
n
n
crece; b)
1 1
1
n
n
decrece.
4) Demuestre que con toda x > 0, la sucesión:
a) 1 x n
n
crece; b) 1
x n m
n
, donde m N, m > x, decrece.
1.7 Sucesiones convergentes
La definición del límite de una sucesión es un funda- mento analítico preciso de esta idea.
Definición
Una sucesión {xn} se denomina convergente si existe un número a tal que la sucesión {xn – a} es infinitesi- mal. Además, el número a se denomina límite de la sucesión {xn}.
Definición
Una sucesión {xn} se denomina convergente si existe un número a tal que para cualquier número positivo se puede indicar un número N tal que, siendo n N, todos los elementos xn de esta sucesión satisfacen la desigualdad xna . Además, el número a se lla- ma límite de la sucesión {xn}.
Si la sucesión {xn} converge y el número a es su lími- te, entonces se representa simbólicamente como
lim n
x x a
. Definición
Una sucesión {xn} se denomina convergente si existe un número a tal que en cualquier -entorno del número a se encuentran todos los elementos de la sucesión {xn}, partiendo de un número.
La definición de la sucesión convergente comprueba que la diferencia xn – a = n es sucesión infinitesimal.
Por consiguiente, todo elemento xn de una sucesión convergente cuyo límite es el número a puede represen- tarse en la forma xn = a + n, donde n es elemento de una sucesión infinitesimal.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión 1 n n
converge.
Solución
El límite de esta sucesión es igual a la unidad, ya que 1 1
1 1
n
n n
entonces para demostrar es suficiente cerciorarse de que la sucesión 1
1 n
es infinitesimal. Si n N, entonces
1 1
1 1
n N
y, por eso, según el número dado > 0, es suficiente escoger el número N partiendo de la condición
1 1 N
o bien 1 1 N
. Por ejemplo, se puede po- ner
1 1 1 si 1
1 si 1
N
.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión x1 = 0,3; x2 = 0,33; ...;
veces
0,333...3
n n
x ; ... converge y su límite es el número 1/3.
Solución
Como el número 1/3 es representable por la fracción decimal infinita 0.333... se desprenden de la regla de comparación de los números reales las desigualdades
veces veces
1 1
0,33...3 0,33...3
3 10n
n n
.
Valiéndose de estas desigualdades obtenemos que
1 1
3 10
n n
x .
Ya que siendo n N,
1 1
10n10N ,
entonces, al escoger por cualquier > 0 el número N, partiendo de la condición 1
10N obtenemos 1
n 3
x para n N.
Ejemplo
Demuestre que el número 1 es el límite de la sucesión
n 1 x n
n
, n = 1, 2, ...
Solución
Consideremos el módulo de la diferencia
1 1 1
1 1
n
x n
n n
.
Tomemos al azar el número > 0. La desigualdad
n 1
x se cumplirá si 1 1 n
, es decir, con 1 1
n
. En calidad de N tomemos cualquier número natural que satisfaga la condición 1
1 N
, es decir, 1
1 N
. Entonces, para todo n N se cumplen las desigualdades
1 1
1 1 1
xn
n N
.
Esto significa, precisamente, que 1 es el límite de la sucesión dada, es decir,
lim 1
1
n
n
n
.
Ejemplo
Demuestre que 1
lim 0
3
n n . Solución
Como 3n > n para todo n 1,
1 1 1
3 0 3
n
n n
.
Sea > 0, elijamos tal número natural N que 1 N . Entonces, para todo n N, tendremos
1 1 1
3 0
n
n N
.
Esto significa que
lim 1 0
3
n n . Teorema
Toda sucesión convergente tiene un solo límite.
Demostración
Sean a y b límites de una sucesión convergente {xn}.
Entonces, empleando la representación xn = a + n para los elementos xn de la sucesión convergente {xn}, obte- nemos xn = a + n, xn = b + n, donde n y n son ele- mentos de las sucesiones infinitesimales {n} y {n}.
Sustrayendo las relaciones escritas hallemos n - n = b – a. Ya que todos los elementos de la sucesión infinite- simal {n - n} tienen un mismo valor constante b – a, entonces b – a = 0, es decir, b = a.
Teorema
Toda sucesión convergente está acotada.
Demostración
Sean {xn} sucesión convergente y a, su límite. Enton- ces obtenemos xn = a + n donde n es elemento de una sucesión infinitesimal. Ya que la sucesión infinitesimal {n} está acotada existe un número A tal que para todos los números n es válida la desigualdad n A. Por eso, xn a + A para todos los números n, lo que significa el carácter acotado de la sucesión {xn}.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión 1, -1, 1, -1, ..., está acotada, pero no es convergente.
Solución
Si esta sucesión convergiera a un número a, entonces cada una de las sucesiones {xn - a} y {xn+1 - a} sería infinitesimal. Pero entonces, la sucesión {(xn – a) – (xn+1 – a)} = {xn – xn+1} sería infinitesimal, lo que es imposible, puesto que xnxn1 2 para cualquier número n.
10 Ejemplo
Demuestre que la sucesión
2 10 n
n
diverge.
Solución
Demostremos que la sucesión dada es no acotada.
Tenemos 10
n 10
x n n
n . Sea C un número positi- vo arbitrario. Tomemos cierto número natural n0 > C + 10, entonces
0 0 10
xn n C. Esto significa que la sucesión dada es no acotada y, por lo tanto, diverge.
Ejemplo
Demuestre que la sucesión ( 1)n 1
n
diverge.
Solución
Hay que demostrar que ningún número es el límite de la sucesión dada. Marquemos en la recta numérica varios términos de la sucesión, por ejemplo:
1 0
x , 2 3
x 2, 3 2
x 3, 4 5
x 4, 5 4
x 5, 6 7 x 6,
12
13
x 12, 13 12 x 13.
Dichos números nos sugieren que la distancia entre dos términos vecinos de la sucesión es mayor que 1.
Demostremos que esto es en efecto así para cuales- quiera dos términos vecinos. De éstos, uno tiene núme- ro par n = 2k y
2
1 1 1
k 2
x k .
El término vecino tiene el número impar 2k + 1 o bien 2k – 1 y
2 1
1 1 0
2 1
x k
k
o bien
2 1
1 1 0
2 1
x k
k
.
De aquí sigue que xnxn1 1. Para el número arbi- trario a tomemos un entorno de longitud unitaria, es decir, el intervalo (a – ½; a + ½). Cualesquiera dos términos vecinos xn y xn+1 no pueden ambos hallarse en este entorno, ya que la distancia entre ellos es mayor que 1. Por lo menos uno de ellos yacerá fuera del en- torno. Así, para todo número a existe tal = ½ que para cualquier N natural podrá hallarse semejante n igual; bien a N, o bien a N + 1 tal que 1
n 2
x a . Esto significa que la sucesión dada diverge.
Teorema
La suma de sucesiones convergentes {xn} y {yn} es una sucesión convergente cuyo límite es igual a la suma de los límites de las sucesiones {xn} y {yn}.
Demostración
Sean a y b límites de las sucesiones {xn} y {yn}, respec- tivamente. Entonces, xn = a + n, yn = b + n, donde n y n son sucesiones infinitesimales. Por consiguiente, (xn + yn) – (a + b) = n + n. De este modo, la sucesión {(xn + yn) – (a + b)} es infinitesimal y, por eso, la suce- sión {xn + yn} converge y tiene el número a + b por su límite.
Teorema
La diferencia de sucesiones convergentes {xn} y {yn} es una sucesión convergente cuyo límite es igual a la diferencia de los límites de las sucesiones {xn} y {yn}.
Teorema
El producto de sucesiones convergentes {xn} y {yn} es sucesión convergente cuyo límite es igual al producto de los límites de las sucesiones {xn} y {yn}.
Demostración
Si a y b son los límites de las sucesiones {xn} y {yn}, respectivamente, entonces xn = a + n, yn = b + n y xn yn = a b + a n + b n + n n. Por consiguiente,
xn yn = a b = a n + b n + n n.
Es decir, la sucesión {a n + b n + n n} es infini- tesimal y por tanto la sucesión {xn yn – a b} es tam- bién infinitesimal, por eso la sucesión {xn yn} conver- ge y tiene el número a b por su límite.
Teorema
Si una sucesión {yn} converge y tiene límite b diferente de cero, entonces, partiendo de cierto número, es defi- nida la sucesión
yn
1 que es acotada.
Demostración
Sea = b/2. Como b 0, se tiene > 0. Sea N el número correspondiente a este , partiendo del cual se cumple la desigualdad yn - b < o bien yn - b <
b/2. De esta desigualdad se desprende que para n N se cumple la desigualdad yn > b/2. Por eso, cuando n N tenemos
b yn
2
1 . Por consiguiente,
partiendo de este número N, podemos considerar la sucesión
yn
1 que es acotada.
Teorema
El cociente de dos sucesiones convergentes {xn} y {yn} es una sucesión convergente cuyo límite es igual al
