UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO
Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda Fís. Pedro Ramírez Manny
25 de octubre de 2010 Semestre 2011-1
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.
1. Determinar el valor medio de la función cuya gráfica es
en el intervalo 3,3 .
15 puntos
2. Dterminar si la siguiente integral converge o diverge.
0
ex x
e dx
15 puntos
2EE11-1 3. Calcular, si existe:
0
senhx x
lim x
15 puntos
4. Efectuar
a) 2
1
x angsen x dx
x b)
3 2
3 2 x x
x x dx c) ex 1 e2x dx
30 puntos
5. Calcular la longitud de la curva dada por x e tcos ,t y e sentt en donde t 0,ln 11
10 puntos
6. Calcular la derivada direccional de la función f x y z, , ex senhy lnz en el punto 0,0,1 y en la dirección del vector localizado en el primer octante que forma un ángulo de 45 tanto con el eje X como con el eje Y, y un ángulo
90 con el eje Z.
15 puntos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO INTEGRAL
Solución del Segundo Examen Extraordinario Semestre 2011 – 1
1. Determinar el valor medio de la función f x 9 x2 en el intervalo 3,3 .
3
2 3
2
9
3 3
3 9
2 2 9
6 6 12
3 4
3 4
b
a
f ( x )dx f c
b a
x dx f c
( )
( ) f c
f c
Re sultado f c
15puntos
2. Calcular, de ser posible , la siguiente integral
0
ex x
e dx
S2EE11-1
0 0
0
La integral impropia diverge
x x x
x x
x b
b
e x e x e x
b
x
e x u e
x
e b e
b b
I ( e )dx lim ( e )dx ( e )dx
u e
( e e )dx e du e C
du e dx
I lim e lim e e DIVERGE
Re spuesta
15 puntos
3. Calcular,
0
0
0 0
2
0 0
0 0
0
0
0
1
2
1
1
( lím y ) x
senhx senhx senhx
x
x x
x x
x x
ln senhx
x
senhx x
lím x y x ln y ln( x )
(ln y ) lím( senhx )(ln x ) lím
senh x lím(ln y ) lím
x cosh x
senhx cosh x lím(ln y ) lím
xsenhx cosh x
e e lím x
Re sultado lím x
15 puntos
S2EE11-1 4. Efectuar
2
2
2 2
2
2 2
2
2
)
1
( ) 1
1
1 1
1 ( ) 1 1 ( )
1
Re
1 ( )
x angsen x
a dx I
x
u angsen x du dx
x
dv x dx v x
x
I x angsen x x dx x angsen x x C
x
sultado
I x angsen x x C
S2EE11-1
2
2
2
2
2
2
2
) 1
1
cos 1
tan
1
cos
1 1
cos cos cos cos 2
2 2
2 cos
2 4 2 2
1 1
2 ( ) 2
Re 1 1
2 ( ) 2
x x
x x
x x
x
x x
x
b e e dx I
w e dw e dx
I w dw
sen w w w
w
dw d
I d d d
sen sen
I C C
e e
I angsen e C
sultado
e e
I angsen e C
S2EE11-1
1 3
2 2
2
1 2
1
3 2 1
) 1
2 2
2 1
2
2 1 2 1
( 2)( 1) 2 1
2
2 1
2 1 ( 1) ( 2) 1, 1
( 2)( 1) 2 1
2 1
I
x x x
c dx x dx I
x x x x
I xdx dx x dx
x x
x x A B
I dx dx dx
x x x x
x x
x A B
x A x B x A B
x x x x
dx dx
I x x
I xdx dx
2 2
2
2
2
2 1
ln( 2) ln( 1) ln 2
2 2
Re
ln 2
2
dx dx
x x
x x
I x x x C x x x C
sultado
I x x x x C
30 puntos
2 3 2
3 2
2 2
1
2 3
3 2 2 1 x
x x x x x
x x x
x x
x x
x
S2EE11-1 5. Calcular la longitud de la curva dada por x e tcos ,t y e sent t en
donde t 0, ln 11
ln11 ln11
0 0
2 2
cos cos
( cos ) (cos )
2 2
2 ( cos )2 2 (cos )2 2 2
2 2 2
b
a
dx dy
S dt
dt dt
dx e tsent e t t dy e t t e tsent
dt dt
dx e t sent t dy e t t sent
dt dt
dx dy e t sent t e t t sent e t
dt dt
t t
S e dt e d
ln 11 | 2
0
1 1 10 2
ln 11
2 ( 1) 2 1 2 1
11 11 11
Re
10 2 11
t e t
S e
sultado
S unidades de longitud
10 puntos
S2EE11-1
6. Calcular la derivada direccional de la función f x y z, , ex senhy lnz en el punto 0,0,1 y en la dirección del vector localizado en el primer octante que forma un ángulo de 45 tanto con el eje X como con el eje Y, y un ángulo 90 con el eje Z.
0 0 0
, 0
, 0
, 0
( , , )
, cosh ,1 (0, 0,1) 1,1,1
(cos , cos , cos ) (cos 45 , cos 45 , cos 90 )
1 1
, , 0
2 2
1 1 1 1 2
(1,1,1) , , 0 2
2 2 2 2 2
Re
2
x
u P
u P
u P
df f x y z u
ds
f e y f
z
u
u
df ds
sultado df
ds
15 puntos
