XVII OLIMPIADA MATEMÁTICA. EXTREMADURA 2008.
FASE COMARCAL 1. NÚMEROS CUASI ORDENADOS
Tienes una tabla 5x5. En cada fila y en cada columna deben aparecer las cifras del 1 al 5 una sola vez. Hemos colocado algunas cifras, te toca a ti encontrar las demás. Para ayudarte están colocados en la tabla los símbolos “mayor que: >” y “menor que: <”.
Cada número colocado en la casilla que le corresponde: 0,5
5 1 3 2 4
4 2 5 1 3
1 3 4 5 2
2 4 1 3 5
3 5 2 4 1
2. LA ENCAMISÁ DE TORREJONCILLO”
“A las diez en punto de una noche de un día de diciembre, la puerta de la Iglesia Parroquial del pueblo de Torrejoncillo (Cáceres) se abre y de ella sale un estandarte celeste con la Imagen bordada de una Virgen.
En otro lugar de su Plaza Mayor, otro grupo de personas hacen sonar sus escopetas, lanzando salvas en su honor, cubriendo toda la plaza de humo y olor a pólvora. El estandarte recorre unos 20 metros y es entregado al mayordomo que monta un caballo engalanado para la ocasión, siendo vitoreado cuando lo recibe.
Todos van cubiertos por una sábana blanca, adornada con finísimas puntillas y en algunos casos por estrellas”. Esta fiesta, declarada de interés turístico nacional se denomina “La Encamisá”. Averigua en que día de diciembre se celebra, sabiendo que es la solución de la ecuación:
7 de diciembre
Quitar denominadores: 2 . Quitar paréntesis: 2. Trasponer términos semejantes: 2. Despejar incógnita: 2. Responder correctamente a la pregunta planteada: 2
3. CAMINO DE LA OLIMPIADA.
Para trasladar a los alumnos participantes, hasta la sede de la fase autonómica de la olimpiada matemática, se contrataron dos autobuses con 20 plazas cada uno. Los dos van completos, en uno sólo viajan chicos y en el otro sólo chicas.
En una parada algunos chicos se cambian de autobús y se suben en el de las chicas. El conductor al darse cuenta devolvió el nº de alumnos que sobraban en su autobús al otro, indistintamente chicos y chicas. De nuevo en los dos autobuses están las 20 plazas
ocupadas. ¿En qué autobús hay más alumnos del otro sexo?.
Razona la respuesta.
CASOS.
1. Se cambia un chico al de las chicas:
1.a. Se devuelve un niño. Solución: Mismo número. 0 1.b. Se devuelve una niña. Solución: Mismo número. 1 2. Se cambian dos chicos al de las chicas:
1.a. Se devuelven dos niños. Mismo número. 0
1.b. Se devuelve un niño y una niña. Mismo número. 1 1.c. Se devuelven dos niñas. Mismo número. 2
3. Se cambian tres chicos al de las chicas:
1.a. Se devuelven tres niños. Mismo número. 0
1.b. Se devuelven dos niños y una niña. Mismo número. 1 1.c. Se devuelve un niño y dos niñas. Mismo número. 2 1.d. Se devuelven tres niñas. Mismo número. 3
4. Se cambian cuatro chicos al de las chicas:
1.a. Se devuelven cuatro niños. Mismo número. 0
1.b. Se devuelven tres niños y una niña. Mismo número. 1 1.c. Se devuelven dos niños y dos niñas. Mismo número. 2 1.d. Se devuelve un niño y tres niñas. Mismo número. 3 1.e. Se devuelven cuatro niñas. Mismo número. 4
Parece lógico pensar que si seguimos estudiando los distintos casos siempre ocurrirá que el número de personas de distinto sexo en cada autobús será la misma.
Generalizando el resultado:
Llamemos A al autobús de los niños y B al autobús de las niñas.
Llamemos x al número de niños que se cambian al autobús B.
En el autobús A se quedan 20-x y en el B habrá 20+x.
Dice el problema que se devuelven al autobús A el mismo número de personas
es decir x, pero x=y+z donde y son niños devueltos y z son niñas devueltas. En este caso:
En A habrá 20-x+y+z y en el B 20+x-y-z. Es decir En A habrá z niñas y en B habrá x-y niños, pero x-y=z
Por tanto, sea cual sea el número de niños que se cambien, siempre habrá el mismo número de personas de distinto sexo en el autobús.
Solución correcta mediante estudio de casos particulares: 4 punto.
Solución correcta explicando el caso general: 10 puntos.
4. REGALO CON DESAFÍO.
Antonio Justo cedió a sus cuatro hijos un terreno con cuatro casas que se reproduce en la figura a continuación. En el testamento impuso ciertas condiciones: debían dividir el terreno en cuatro parcelas de igual forma y tamaño, cada parcela debía contener una de las casas, y las divisiones debían seguir el reticulado original del terreno. Marca, respetando las condiciones de Antonio Justo, como queda el reparto de la herencia.
Este apartado 5 puntos
Además de este terreno, poseía una finca cuadrada con árboles distribuidos irregularmente que decidió fuese propiedad de los cuatro, pero para poder regarlos por goteo tenían que dividir el campo en parcelas cuadradas en las que sólo haya un árbol. Ayúdales a resolver el problema.
Este apartado 5 puntos
