EJERCICIOS RESUELTOS
1) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12 Solución
Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero.
b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12 Solución
Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera.
c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador.
Solución
Es falso puesto que ambas componentes son falsas.
d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4 Solución
Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera.
2) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5
Solución
Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas.
b) 8 + 4 = 12 y 8 – 3 = 2
Solución
Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición falsa c) 8 + 4 = 12 o 7 – 2 = 3
Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera
d) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10 Solución
Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.
e) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2
Solución
Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F.
f) Sí 7 + 3 = 4, entonces 11 – 7 = 9 Solución
Es verdadera V, puesto que las proposiciones que intervienen en la implicación son falsas.
3) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta
~ (p Λ q) (~p V ~q)
Solución p q ~ (p ˄ q) ↔ (~p v ~q) V
V F F
V F V F
F V V V
V F F F
V V V V
F V V V
4) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición:
~{ ~[ p v (~q→p) ] v ~[ (p ↔~q)→(q Λ ~p) ]}
Solución
Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan:
~ ~{[ p v (~q → p) ] ˄ [ (p ↔~q) → (q ˄ ~p) ]} de donde se tiene
[p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]
El valor de verdad
5) Determinar la proposición [((~p) v q) Λ ~ q] ~ p es una tautología
Es una tautología
6) Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones:
a) ( p ˄ q ) ˄ ~ ( p v q ) b) ~[ p v ( ~ p v ~q )]
Solución
p q (p ˄ q) ˄ ~ (p v q) ~ [ p v ( ~ p v ~q)]
V V F F
V F V F
V F F F
F F F F
F F F V
V V V F
F F F F
V V F F
V V V V
F V V V
Contradicción
p q [p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]
V V F F
V F V F
V V F F
V V V F
V V V F
V F V F
F V V F
V F V V
F F V F
p q [(~p v q) ˄ ~ q ] → ~ p V
V F F
V F V F
V F V V
F F F V
F V F V
V V V V
F F V V
7) Demostrar que las proposiciones dadas es una tautología:
[(p v ~q) ˄ q] →p Solución
p q [(p v ~q) ˄ q] → p V
V F F
V F V F
V V F V
V F F F
V F V F
V V V V
V V F F Es una tautología
8) Verificar que la proposición dada es una contingencia:
[~p ˄(q v r)] [(p v r) ˄ q]
Solución
p q r [~p ˄ (q v r)] ↔ [(p v r) ˄ q]
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
F F F F V V V V
F F F F V V V F
V V V F V V V F
F F V V V F F V
V V V V V F V F
V V F F V F F F
V V F F V V F F Es una contingencia
9) Determinar si las proposiciones [p (r v ~q)] y [(q ~p) v (~r ~p)] son equivalentes.
Solución
p q r [p → (r v ~q)] [(q→~p) v (~r→~p)]
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V V V F F F F
V F V V V V V V
V F V V V F V V
F F V V V V V V
V F V V V V V V
V F V F V V V V
Idénticas
Por lo tanto son equivalentes es decir: [p→(r v ~q)] [(q→~p) v (~r→~p)]
10) Determinar si las proposiciones [(~p v q) v (~r ˄ ~p)] y ~q ~p son equivalentes
Solución
p q r [(~p v q) v (~r ˄ ~p)] ~q→~p V
V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V F F V V V V
V V F F V V V V
F F F F F V F V
V V F F V V V V Idénticas
Por lo tanto son equivalentes es decir: [(∼p v q) v(∼r Λ ∼p) ∼q → ∼p 11) Determinar los esquemas más simples de la proposición:
~ [~ (p Λ q) ~q] v p Solución
~ [~ (p Λ q) → ~q] v p
~ [~ (~ (p Λ q) v ~q)] v p por la condicional
~ [(p Λ q) v ~q] v p por la negación
~ [~q v (p Λ q)] v p por conmutativa en la conjunción
~ [~q v p] v p por absorción
(~p Λ q) v p por Morgan
p v q por absorción
~ [~ (p Λ q) → ~q] v p p v q
12) De la falsedad de la proposición: (p ~q) v (~r s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares.
a) (~p Λ~q) v ~q b) (~r v q) (~q v r) ^ s c) (p q) (p v q) ^ ~q
Solución
Determinaremos el valor de verdad de p, q, r, y s.
(p → ~q) v (~r→s) F falso por la disyunción
p → ~q F ~r→s F por implicación por implicación p es V y ~q es F ~r es V y s es F
por negación por negación P es V y q es V r es F y s es F
Por lo tanto: p es V, q es V, r es F, s es F
a) (~p ^ ~q) v ~q b) (~r v q) ←→ ( ~q v r) ^ s F F V V F F F F
F
el valor de verdad es F el valor de verdad es F V
F
F F
F
c) (p → q) → (p v q) ^ ~q V V V V
V V F
F el valor de verdad es F
13 El valor de verdad de:
~[(~p v q ) v (r q)] ^ [(~ p v q) (q ^ ~p)] es verdadera.
Hallar el valor de verdad de p, q, y r Solución
Por conjunción
Por negación por implicación
Por disyunción por disyunción por conjunción
Por disyunción por implicación por negación
∼ [(∼ p v q ) v (r → q)+ Λ *(∼ p v q ) →( q Λ ∼ p)] es
[( ∼p v q ) v (r → q)+ es V [(∼p v q ) →( q Λ ∼p)] es V
(∼p v q ) v (r → q) es F (∼p v q ) es F ( q Λ ∼p)]
P es V y q es F q es F y ∼p es
(∼p v q ) es F (r → q) es F
∼p es F y q es F r es V y q es F
p es V y q es F
Q es F y p es V F
p es V Por lo tanto el valor de verdad de q es F r es V
14) Se sabe que p Λ q y q t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes:
a) (~p v t) v ~ q b) ~ [p Λ (~q v ~p)]
c) [(p → q) Λ ~ (q Λ t)] ←→ [~p v (q Λ ~t)]
Solución
Determinaremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t
Por conjunción
Por conjunción por implicación
Por lo tanto p es F, q es V y t es F
a) ( ∼p v t ) v ∼ q b) ∼ [ p Λ (∼q v ∼p ) ]
V F F V V F F V
V F
V c) [(p → q)Λ∼(q Λ t)] ←→ [∼p v (qΛ∼t)]
V F V V
V V
( p Λ q ) Λ ( q → t) es F
( p Λ q ) es F ( q → t) es F
p es F y q es V q es V y t es F
F V V F V V V
V
15) Si la proposición (∼p Λ q) (∼s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones son verdaderas:
a) ∼ [ ( p → q) → r ] b) ∼ ( ~∼p Λ q) Λ [ (∼r v r ) Λ s ] c) [(p v ∼q) Λ p] v ∼q
Solución
Por implicación
Por conjunción por disyunción
Por negación por negación
Por lo tanto p es F, q es V S es V, r es F
a) ∼ [ ( p → q) → r ] b) ∼ (∼ p Λ q ) Λ [ (∼r v r ) Λ s ] F V F V V V F V
V V V F V
(∼pΛq ) → (∼s v r ) es F
(∼p Λ q ) es V (∼s v r ) es F
∼p es V y q es V ∼S es F y r es F
p es F y q es V q es V y t es F
V El valor de verdad es V El valor de verdad F
c) [ ( p v ∼q ) Λ p ] v ∼q
El valor de verdad es F
Por lo tanto únicamente es verdadera la a)
16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q)
Solución [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q)
[((p Λ q) vp) Λ ((pΛq) v ∼q)] v(∼pΛ∼q) Por distribución con respecto a Λ [p v (p Λ q) Λ (∼q v (p Λ q)] v (∼p Λ ∼q) Conmutativa
[p Λ ((∼q v p) Λ (∼q v q))] v (∼p Λ ∼q) Por absorción y distributiva [p Λ (∼q v p) Λ V] v (∼p Λ ∼q) Por identidad
[p Λ (∼q v p)] v (∼p Λ ∼q) Por identidad
[p Λ (p v ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Por conmutativa en v
p v (∼p Λ ∼q) Por absorción
P v ∼q Por absorción
V V F
F F F F
F F F
