ENERGÍAS Y COMBUSTIBLES PARA EL FUTURO

MASTER:

ENERGÍAS Y COMBUSTIBLES PARA

EL FUTURO

CURSO:

SIMULACIÓN COMPUTACIONAL Y AUTOMATIZACIÓN DE SISTEMAS

PARTE 2ª: AUTOMATIZACIÓN DE SISTEMAS Profesores: JULIO BODEGA

Prof.: Julio Bodega Hora: 12:00 a 14:00

Aula: Sala Seminarios, Módulo 4. Temario:

1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL 1.1 Conceptos

1.2 Clasificación

1.3 Control en lazo ABIERTO y en lazo CERRADO 2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1 Concepto

2.2 Transformadas de algunas funciones relevantes

3 DESCRIPCIÓN ANALÍTICA DE LOS SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL

3.1 Diagrama estructural 3.2 Función de Transferencia 3.3 Diagrama de Bloques

4 EJEMPLOS DE MODELIZADO DE SISTEMAS 4.1 Sistema mecánico

4.2 Sistema eléctrico

5 ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL 5.1 Análisis en el dominio del tiempo

5.1.1 Respuesta a las señales normalizadas 5.1.1.1 Respuesta impulsional 5.1.1.2 Respuesta al escalón unitario 5.1.1.3 Respuesta a la rampa unitaria 5.1.2 Estabilidad de los sistemas

5.1.3 Sistemas de 1er _orden

5.1.4 Sistemas de 2º orden 5.1.5 Sistemas de orden superior

Acción Derivativa

Miércoles 17 de noviembre de 2010

Prof.: José Gorjón Hora: 12:00 a 14:00

Aula: Sala Seminarios, Módulo 4. Temario:

5.3 Análisis en el dominio de la frecuencia

5.3.1 Respuesta en frecuencia - Formas de representación. 5.3.2 Criterio de Nyquist - Gráficas de Nyquist.

5.3.3 Estabilidad - Márgenes de fase y ganancia. 5.3.4 Criterio de Bode - Gráficas de Bode. • Introducción a Matlab

Jueves 18 de noviembre de 2010

Prof.: José Gorjón Hora: 12:00 a 14:00

Aula: Sala Seminarios, Módulo 4. Temario:

6 SISTEMAS MUESTREADOS

6.1 Introducción: Sistemas en tiempo discreto y sistemas muestreados 6.2 Diagrama de bloques de un sistema de control digital.

6.3 Muestreo y reconstrucción

6.4 Problemática del muestreo. Aliasing 6.5 Teorema de muestreo (Shannon) 6.6 Transformada Z

6.7 Discretización de sistemas continuos. • Introducción a Simulink

Profesor acompañante: Julio Bodega Hora: 10:00 a 13:00.

Dirección: Laboratorio del Fotovoltaica del CIEMAT. Avd. Complutense 22, (28040) MADRID.

Punto de encuentro: Puerta del CIEMAT.

NOTA IMPORTANTE: El día 16 de noviembre, los alumnos que deseen realizar esta visita deben entregar a Julio Bodega una nota en la que hagan constar su nombre y D.N.I.

Prof.: José Gorjón y Julio Bodega Hora: 12:00 a 14:00

Aula: 203, Mód. 11. Temario:

• Nociones básicas del manejo del software MATLAB (SIMULINK).

• Análisis de sistemas de control en el dominio del tiempo y la frecuencia con MATLAB.

Jueves 25 de noviembre de 2010

Prof.: José Gorjón y Julio Bodega Hora: 12:00 a 14:00

Aula: CI-3 Temario:

• Nociones básicas del manejo del software MATLAB (SIMULINK).

• Análisis de sistemas de control en el dominio del tiempo y la frecuencia con MATLAB.

Viernes 26 de noviembre de 2010

Visita al IES VIRGEN DE LA PALOMA (Demostración de medidas V-I de un entrenador de placas fotovoltaicas desarrollado por profesores del IES).

Profesor acompañante: Julio Bodega y José Gorjón. Hora: 10:00 a 12:00.

Dirección: Francos Rodríguez 106, (28049) MADRID.

Andres Puente, E., Regulación Automática I, Ed. Sección de Publicaciones ETSIIM, (1993).

AUTOMATIZACIÓN

DE SISTEMAS

master universitario en energías y combustibles para el futuro

Julio Bodega José Gorjón

1.1 Conceptos 1.2 Clasificación

1.3 Control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado 2 La transformada de Laplace

2.1 Concepto

2.1 Transformadas de algunas funciones relevantes

3 Descripción analítica de los sistemas de regulación y control

3.1 Diagrama estructural

3.2 Función de Transferencia 3.3 Diagrama de bloques

4.1 Sistema mecánico 4.2 Sistema eléctrico

5 Análisis de los sistemas de regulación y control 5.1 Análisis en el dominio del tiempo

5.1.1 Respuesta a las señales normalizadas 5.1.2 Estabilidad de los sistemas

5.1.3 Sistemas de 1er _orden

5.1.4 Sistemas de 2º orden

5.1.5 Sistemas de orden superior

5.1.6 Análisis de la respuesta en régimen permanente: análisis del error

5.2 Acciones básicas de control

5.2.1 Acción proporcional 5.2.2 Acción integral

Se entiende por TEORÍA DE LA REGULACIÓN

AUTOMÁTICA (o TEORÍA DE CONTROL -en

países anglosajones-) aquella disciplina que

estudia el comportamiento dinámico de un

determinado sistema físico frente a órdenes de

mando o perturbaciones.

Se entiende por SISTEMA a una agrupación de

componentes (elementos físicos en nuestro

caso) que actuando de forma conjunta cumplen

un objetivo de control sobre una determinada

variable.

Se entiende por SISTEMA DE REGULACIÓN

aquel en el que la entrada (señal de referencia)

o la salida (señal controlada) son, o bien

constantes, o bien varían lentamente en el

tiempo, siendo su tarea fundamental mantener

la variable de salida en un valor deseado, a

pesar de las perturbaciones presentes.

Ejemplos:

• Control de temperatura de un quirófano.

• Control de velocidad de un aerogenerador.

• Control de presión en un gaseoducto.

Se entiende por SERVOSISTEMA aquel cuya

salida (generalmente, posición, velocidad o

aceleración) debe seguir con exactitud un valor

de consigna (entrada) que varía en el tiempo.

Ejemplos:

• Control de posición de un aerogenerador.

• Control de posición de un panel solar.

• Control de máquinas-herramientas.

• Control de robots.

• Control de aterrizaje de una aeronave.

• Control del seguimiento de un blanco.

r₁(t) r₃(t) r₂(t) r_n(t) … c₁(t) c₃(t) c₂(t) c_m(t) …

SISTEMA DE CONTROL

z₁(t) z₂(t) z₃(t) … z_k(t) x₁(t) x₂(t) x₃(t) … x_k(t) (variables de estado internas)

variables de entrada

variables de salida perturbaciones del sistema

excitación respuesta

ESTABILIDAD

PRECISIÓN

La estabilidad es una cualidad que han de poseer todos los sistemas de regulación y control. Representa la capacidad que tiene el sistema para mantener su salida dentro de unos determinados límites.

Cuando un sistema es inestable, la salida puede adquirir valores inadmisibles, llegando incluso a dañar al sistema.

La precisión del sistema es la cualidad que representa la exactitud del valor de la variable de salida en referencia al valor impuesto a la entrada.

En el diseño de los sistemas de regulación y control hay que mantener un compromiso entre estas dos características.

Sistemas de

Control

• Sistemas LINEALES – NO LINEALES

• Sistemas INVARIANTES – VARIABLES en el tiempo

• Sistemas CONTINUOS – DISCRETOS

• Sistemas MONOVARIABLES – MULTIVARIABLES

• Sistemas de parámetros CONCENTRADOS – DISTRIBUIDOS

• Sistemas DETERMINÍSTICOS – ESTOCÁSTICOS

por la relación entre sus variables de entrada y salida

por el comportamiento de sus variables en el tiempo

por la naturaleza de las variables en función del tiempo

por el número de variables del sistema

por sus características físicas

SISTEMAS LINEALES:

• En rigor, son una minoría de los sistemas de control. • Entre sus variables existe una relación lineal.

F(r

₁

(t), r

₂

(t), …, c

₁

(t)…)= 0

r

₁

(t)

c

₁

(t)

SISTEMAS LINEALES:

• Cumplen el principio de superposición.

Suponiendo que la respuesta de un sistema a dos entradas diferentes es:

r₁(t) _sistema c₁(t) r₂(t) _sistema c₂(t)

El sistema ES LINEAL si ante una señal r(t)=α·r₁(t)+β·r₂(t), su respuesta

es:

sistema

SISTEMAS NO LINEALES:

• Suponen la mayoría de los sistemas de control.

• En muchos casos se pueden linealizar mediante aproximaciones locales. • No existe relación de linealidad entre alguna de sus variables.

• No cumplen el principio de superposición.

r₁(t) c₁(t) F(r₁(t), c₁(t))= 0 r₁(t) c₁(t) sistemas no lineales

SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO:

• Se denominan también SISTEMAS DE CONTROL DE COEFICIENTES CONSTANTES.

• Sus parámetros no varían en el tiempo.

• La respuesta de estos sistemas es independiente del tiempo o momento en el que se aplique la entrada.

• Ejemplos:

- Sistemas en los que el parámetrose la constante k de un muelle.

- Sistemas de control electrónicos cuyos parámetros sean el coeficiente de autoinducción L de una bobina, la capacidad de un condensador C o la resistencia eléctrica R.

SISTEMAS VARIABLES EN EL TIEMPO:

• Alguno de sus parámetros varía en el tiempo.

• La respuesta de estos sistemas es dependiente del momento en el que se aplique la entrada.

• Ejemplos:

- Control de velocidad en un vehículo espacial en el que un parámetro sea la masa de combustible.

SISTEMAS CONTINUOS:

• Se denominan así, aquellos sistemas en los que todas sus variables pueden expresarse en función de un tiempo continuo t.

• Ejemplos:

- El control de temperatura de un tanque de agua. - El control de presión de una tubería de gas.

- El control de velocidad de un motor de corriente continua.

SISTEMAS DISCRETOS:

• Se denominan así aquellos sistemas en los que alguna o todas sus variables son conocidas en instantes discretos de tiempo.

• Ejemplos:

- Control de un marcapasos.

- Control por muestreo de procesos industriales, en los que las medidas de las variables que intervienen se realizan de forma discreta en el tiempo.

SISTEMAS MONOVARIABLES:

• Se denominan así, aquellos sistemas en los que sólo existe una señal de entrada y una señal de salida.

• Ejemplos:

- El control de temperatura de una habitación en la que la única señal de entrada es la consigna de la temperatura, y la única señal de salida es la temperatura deseada.

SISTEMAS MULTIVARIABLES:

• Se denominan así aquellos sistemas en los que existe más de una entrada o salida.

• Ejemplos:

- Control de una mezcladora de pinturas en la que con la proporción de diferentes colores (cada color corresponde a una entrada), se consigue un determinado color mezcla (única salida).

SISTEMAS DE PARÁMETROS CONCENTRADOS:

• En ellos no es necesario considerar la distribución espacial de sus parámetros.

• Pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. • Ejemplos:

- Sistemas en los que la masa puede considerarse concentrada en el centro de gravedad.

SISTEMAS DE PARÁMETROS DISTRIBUIDOS:

• Se denominan así a los sistemas de control en los que es necesario considerar la distribución espacial de sus parámetros.

• Su comportamiento ha de ser descrito mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

• Ejemplos:

- Sistemas de control en los que existen anisotropías respecto de alguno de sus parámetros.

SISTEMAS DETERMINÍSTICOS:

• Un sistema se denomina determinístico si la respuesta a una determinada entrada es predecible y repetible.

• Para una única entrada r(t) sólo existe una salida c(t).

• Para el estudio de estos sistemas se dispone de modelos explícitos. • Ejemplo:

- Sistema de amplificación de ganancia constante. SISTEMAS ESTOCÁSTICOS:

• Un sistema se denomina estocástico cuando ni es predecible ni repetible.

• Para una única entrada r(t) pueden existir diferentes valores de salida c(t), cada uno de ellos con distinta probabilidad.

• El conocimiento de estos sistemas requiere estudios estadísticos. • Ejemplo:

CONTROL EN LAZO ABIERTO

• La salida NO tiene ningún efecto sobre la acción de control, ni se mide ni se retroalimenta.

SISTEMAS NO RETROALIMENTADOS

• Para cada valor de consigna corresponde una condición de operación fija.

• La precisión del sistema depende de la calibración.

• En presencia de perturbaciones el sistema no cumple su función asignada.

• Funcionan sobre una base de tiempos: lavavajillas, lavadora, control de semáforos, etc.

CONTROL EN LAZO ABIERTO

elementos de control PLANTA (proceso)

r(t)

c(t)

señal de consigna señal de salida

z(t)

perturbación (LAVADORA) lavado profundo Prog. A blancura máxima Entrada de agua turbia dosis de detergente, tiempos de lavado, etc.

• El sistema es MUY ESTABLE: en la ausencia de perturbaciones la blancura siempre es la misma.

• El sistema es POCO PRECISO: basta con que cambie la alcalinidad del agua para que la salida sea diferente a la deseada.

CONTROL EN LAZO CERRADO

• La salida SI tiene efecto sobre la acción de control, por lo tanto, se mide y se retroalimenta.

SISTEMAS RETROALIMENTADOS

• Para cada valor de consigna no corresponde una condición de operación fija sino que dependerá de las perturbaciones y del valor de la salida.

• En presencia de perturbaciones el sistema cumple su función asignada.

• Funcionan sobre la base de mantener la máxima precisión, es decir, el mínimo error. El sistema lee constantemente la señal de salida, la compara con la de entrada (consigna) y, dependiendo del valor de esta comparación, actúa para corregir las desviaciones.

CONTROL EN LAZO CERRADO

elementos de control PLANTA (proceso)

r(t)

c(t)

señal de consigna Perturb.

z(t)

_{señal de salida}

• El sistema puede hacerse INESTABLE: el sistema no llega a corregir en el tiempo las oscilaciones de la salida.

• El sistema es MUY PRECISO: una vez estabilizado el sistema, los elementos de control actúan sobre la planta, llevando la señal de error a 0.

e(t)

elementos de medida +

-b(t)

señal de error señal realimentada

e(t)=r(t)-b(t)

señal de error

b(t)~c(t)

señal realimentada

n(t)

n(t)

variable de control

CONTROL EN LAZO CERRADO

(CONTROL DE TEMPERATURA PARA UNA HABITACIÓN)

habitación calefactor entr. agua caliente Sal. agua fría válvula proporcional sonda térmica (termopar) selector de temperatura -+ comparador c(t) ºC r(t) b(t) P controlador e(t) PLANTA O PROCESO n(t)

El concepto de TRANSFORMACIÓN va ligado al de CORRESPONDENCIA, de forma que a un grupo de elementos de un conjunto D₁ se le hace corresponder otro grupo de elementos de otro conjunto D₂.

En nuestro caso, D₁ estará formado por funciones f(t) definidas en el dominio del tiempo (variable t), y D₂ estará formado por funciones F(s), definidas en el campo complejo (variable s). La variable t puede ser de tipo continuo o discreto.

f(t) F(s)

D_{1 D}

2

Entre las transformaciones de tipo continuo destacan las transformaciones de tipo integral:

∫

=

b a

dt

t

f

s

t

K

s

F

(

)

(

,

)

(

)

Dependiendo del núcleo se obtienen dos tipos de transfomaciones:

FOURIER:

K(t, s) = e-ts

,

_{s = jω}

LAPLACE

: K(t, s) = e-ts _{, s = σ+jω}

Así, la transformada de Laplace de una función continua f(t) queda:

∫

−

=

=

b a st

dt

t

f

e

t

f

s

F

(

)

λ

[

(

)]

(

)

Y la transformada inversa:

∫

+ − −

=

=

ω σ ω σ j j st

ds

s

F

e

s

F

t

f

(

)

λ

1

[

(

)]

(

)

A continuación se indican algunas de las funciones más utilizadas en el análisis de los sistemas de control y sus correspondientes transformadas de Laplace:

1/[(s+a)2_{+ ω}2_]

(1/ω)e-at_sen(ωt)

1/s 1

escalón unidad

e-Ts

δ(t-T) Impulso de Dirac retardado

1/(s+a)n [1/(n-1)!]tn-1_e-at 1/[(s+a)(s+b)] [1/(b-a)](e-at_-e-bt₎ ω/(s2+ ω2) sen(ωt) s/(s2_{+ ω}2₎ cos(ωt) 1/s2 t rampa unidad 1 δ(t) Impulso de Dirac 1/sn tn-1_/(n-1)! F(s) f(t) tipo de función

• Un conocimiento riguroso de los fenómenos físicos que se desarrollan en dicho sistema.

• La descripción exacta de sus componentes.

• La subdivisión del sistema en bloques funcionales o subsistemas que faciliten su estudio.

• La modelización de cada uno de los mencionados bloques mediante expresiones matemáticas que describan su comportamiento dinámico.

(la salida de cada subsistema o bloque depende exclusivamente de la entrada al mismo, sin verse afectada de la acción de los bloque que le sigan)

El

DIAGRAMA ESTRUCTURAL de un sistema de regulación y

control consiste en una parcelación del sistema en subsistemas de

comportamiento autónomo.

ejemplo: GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA u_r ug u_g e u₁ +

-B₁: comp. B₂: regul. B₃: planta

B₄: realimentador + -u_g u_r u_g e K u1 R₁ L₁ i₁ K₁ B₁ B₂ B₃ B₄ selector de señal ampli. de potencia generador realimentador

dt

du

K

K

L

u

K

K

R

u

dt

du

K

L

K

u

R

u

u

K

dt

di

L

i

R

u

u

K

i

K

u

dt

di

L

i

R

u

u

u

K

e

K

u

g g r g g g r g r g g r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

)

1

(

1

)

(

)

(

)

(

⋅

+

⋅

⋅

+

=

⋅

+

⋅

=

−

+

⋅

=

−

⋅

=

+

⋅

=

−

=

⋅

=

Conocidas las relaciones de entrada-salida de cada uno de los bloques (ecuaciones diferenciales lineales) que conforman el diagrama estructural del sistema de regulación, pueden deducirse fácilmente otras relaciones ENTRADA-SALIDA para ellos en el dominio de Laplace, denominadas funciones de transferencia.

sistema

G(s)

dominio del tiempo

dominio del Laplace

r(t)

_c(t)

R(s)

C(s)

G(s) = £[c(t)]/

£[r(t)] = C(s)/R(s)

≡

Función de transferencia

Suponiendo un elemento de un sistema de control en el que sus variables de entrada-salida obedecen a la siguiente expresión:

)

(

...

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

1 1 1 0 1 1 1 0

b

r

t

dt

t

r

d

b

dt

t

r

d

b

t

c

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

a

_{m m} m m m n n n n n

+

+

+

=

+

+

+

₋ − − −

donde los coeficientes a_i y b_j son números reales, y n≥m (el sistema no puede responder a una señal de entrada antes de que ésta sea aplicada).

Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la expresión, queda:

[

( )

]

( ) ( ) ...

[

( )

]

... ) ( ) ( 1 1 1 0 1 1 1 0 b r t dt t r d b dt t r d b t c a dt t c d a dt t c d a _{m m} m m m n n n n n λ λ λ λ λ λ _+ +      +       = + +       +       − − − − ) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ₁ 1 _{0 1} 1 0s C s a s C s a C s b s R s b s R s b R s a n + n− + + _n = m + m− + + _m y, finalmente: n n n m m m

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

R

s

C

s

G

+

+

+

+

+

+

=

=

₋ −

...

...

)

(

)

(

)

(

₁ 1 0 1 1 0

Para que un sistema sea estable las raíces (polos) de su ecuación característica (D(s)=0), han de tener su parte real negativa.

El numerador de la función de transferencia (N(s)=b₀sm_+b

1sm-1+…+bn) no

afecta a la estabilidad absoluta del sistema pero si a la respuesta transitoria y al valor en régimen permanente que adquiere la señal de salida. imag real s i s s Z s∈ ⇒ = + ⋅ real imaginario estable inestable

De la función de transferencia:

El denominador a₀sn_+a

1sn-1+…+an ≡ D(s), se le conoce también como función característica ya que incluye a través de los valores de sus

coeficientes todas las características físicas de los elementos que conforman el sistema. n n n m m m

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

R

s

C

s

G

+

+

+

+

+

+

=

=

₋ −

...

...

)

(

)

(

)

(

₁ 1 0 1 1 0

A la expresión que resulta de igualar la función característica a cero, se le denomina ecuación característica del sistema:

a₀sn_+a

1sn-1+…+an=0

Sus raíces determinan la estabilidad absoluta del sistema así como la naturaleza de su respuesta transitoria para cualquier tipo de señal de entrada.

La función de transferencia permite conocer la respuesta temporal del sistema c(t) ante una determinada excitación r(t). Para ello hay que aplicar la transformada de Laplace inversa al producto C(s)=G(s)·R(s):

c(t)= £-1_{[C(s)] = £}-1_[G(s)·R(s)]

Como la transformada inversa de Laplace de ese producto puede ser complicada de calcular, es conveniente descomponer el producto en fracciones simples (desarrollo de Heaviside), de las cuales, su transformada inversa se calcula de forma más simple:

t p n t p t p n n n

e

A

e

A

e

A

t

c

p

s

A

p

s

A

p

s

A

s

R

s

G

t

c

1 2 1

...

)

(

...

)]

(

)

(

[

)

(

2 1 2 2 1 1 1 1 − − − − −

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=













+

+

+

+

+

+

=

⋅

=

λ

λ

Sea un sistema con condiciones iniciales nulas que se rige por la ecuación diferencial:

Ejemplo de aplicación:

d

2

_c(t)/dt

2

_{+ 7·dc(t)/dt + 12·c(t) = 6·dr(t)/dt + 12·r(t)}

Se desea calcular su función de transferencia y su respuesta frente a una señal de entrada del tipo

escalón unitario

.

SOLUCIÓN

Aplicando la transformada de Laplace a los dos términos de la ecuación que rige el sistema:

£[d2_c(t)/dt2 _{+ 7·dc(t)/dt + 12·c(t) ]= £[6·dr(t)/dt + 12·r(t)]}

£[d2_c(t)/dt2_{]+ 7·£[dc(t)/dt]+ 12·£[c(t)]= 6· £[dr(t)/dt] + 12· £[r(t)]}

s2_{C(s)+7sC(s)+12C(s) = 6sR(s)+12R(s)}

(s2_{+7s+12)C(s) = (6s+12)R(s)}

Separando la entrada de la salida en el campo de Laplace:

Por lo que la función de transferencia resulta:

G(s) = C(s)/R(s) = (6s+12)/(s2_+7s+12)

Por otra parte se sabe que el escalón unitario está descrito mediante: r(t) = 1

t 1

Que expresado en el campo de Laplace:

Con lo que la señal de salida queda:

C(s) = G(s)/R(s) = (6s+12)/[s(s2_+7s+12)]

Descomponiendo el denominador en productos:

y convertido en fracciones simples:

C(s) = (6s+12)/[s(s+3)(s+4)]

C(s) =(A₁/s)+(A₂/(s+3))+(A₃/(s+4))

Según el desarrollo de Heaviside:

A₁=[sC(s)]_s=0 = 1; A₂=[(s+3)C(s)]_s=-3= 2; A₃=[(s+4)C(s)]_s=-4= -3 quedando:

C(s) =(1/s)+(2/(s+3))-(3/(s+4))

y aplicando la transformada inversa de Laplace:

Cuya representación gráfica será: 20 15 10 5 0 1 0.75 0.5 0.25 0 x y x y c(t) t r(t)

BLOQUES EN SERIE G₁(s) G₂(s) G_n(s) C(s) R(s)

π

G_j(s) R(s) C(s) 1 n BLOQUES EN PARALELO G₁(s) G₂(s) G_n(s) … R(s) ₊ + + C(s)

Σ

G_j(s) R(s) C(s) 1 n

SISTEMAS EN BUCLE CERRADO G(s) H(s) R(s)+ + C(s) M(s)=G(S)/(1+G(s)H(s)) R(s) C(s) E(s) B(s)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

B

s

R

s

E

s

E

s

G

s

H

s

C

s

H

s

B

s

E

s

G

s

C

−

=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=

(1) (2) (3) Sustituyendo (2) en (3) y ahora (3) en (1), queda:

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

)

(

)

(

)[

(

)

(

s

H

s

G

s

G

s

R

s

C

s

M

s

C

s

H

s

R

s

G

s

C

+

=

=

−

=

M B ≡ amortiguador muelle ≡ K R(s) _1/M C(s) s2_+(B/M)s+K/M y(t) ≡ desplazamiento f(t) ≡ fuerza

M

K

s

M

B

s

M

K

Bs

Ms

s

F

s

Y

s

F

s

Y

K

Bs

Ms

s

F

s

KY

s

BsY

s

Y

Ms

t

f

t

y

K

dt

t

dy

B

dt

t

y

d

M

t

f

t

Ky

dt

t

dy

B

dt

t

y

d

M

+

+

=

+

+

=

=

+

+

⇒

=

+

+

=

+

+

⇒

=

+

+

2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

[

)]

(

[

]

)

(

[

]

)

(

[

)

(

)

(

)

(

)

(

λ

λ

λ

λ

u₁(t) ≡ entrada u₂(t) ≡ salida R L C i₁(t)

LC

s

L

R

s

LC

C

Ls

Rs

C

Cs

Ls

R

Cs

s

U

s

U

s

G

s

I

Cs

s

U

s

I

Cs

Ls

R

s

U

dt

t

i

C

t

u

dt

t

i

C

t

u

dt

t

i

C

dt

t

di

L

t

i

R

t

u

dt

t

i

C

dt

t

di

L

t

Ri

t

u

1

1

/

1

/

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

);

(

)

1

(

)

(

]

)

(

[

1

)]

(

[

)

(

1

)

(

]

)

(

[

1

]

)

(

[

)]

(

[

)]

(

[

)

(

1

)

(

)

(

)

(

2 2 1 2 2 1 2 2 1 1

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

=

+

+

=

=

⇒

=

+

+

=

⇒

+

+

=

∫

∫

∫

∫

λ

λ

λ

λ

λ

λ

R(s) _1/LC C(s) s2_{+(R/L)s+1/(LC)}

• Estudio de la estabilidad absoluta y relativa del sistema. • Estudio de la respuesta del sistema en régimen transitorio. • Estudio de la precisión del sistema en régimen permanente.

Las dos técnicas utilizadas en el análisis de los sistemas de regulación son:

• ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

• ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

El análisis en el dominio del tiempo se apoya en la solución de la ecuación diferencial del sistema para hallar las respuestas correspondientes al régimen transitorio y al régimen permanente. El método utiliza diferentes señales de excitación para conocer dichas respuestas.

El método de análisis en el dominio de la frecuencia utiliza como señal una función senoidal de frecuencia variable. El comportamiento del sistema queda determinado por su respuesta a esa señal en frecuencia y amplitud.

Se denomina así al análisis del comportamiento de los sistemas de regulación ante una determinada señal de excitación. Esto equivale a conocer la respuesta temporal del sistema.

Se denomina respuesta temporal a la evolución de la señal de salida en función del tiempo cuando al sistema se aplica una señal de entrada específica.

La respuesta temporal del sistema se puede conocer:

2º Si no se conoce de antemano la función de transferencia: se somete al sistema a una función de Dirac δ(t) (función impulso) con el fin de conocer su respuesta impulsional y por extensión su función de transferencia. Conocida la función de transferencia se puede calcular de forma inmediata la respuesta del sistema ante una señal cualquiera.

1º Si se conoce de antemano la función de transferencia que describe al sistema de control: se obtiene la respuesta en el campo de Laplace

C(s)=G(s)R(s), y después se halla la transformada inversa c(t)= £-1[C(s)].

La respuesta temporal consta de dos términos: uno correspondiente a la parte transitoria, y el otro a la permanente:

c(t) = £

-1

_{[C(s)] = c}

rt

(t) + c

rp

(t)

Respuesta temporal transitoria Respuesta temporal permanente

La respuesta transitoria ha de anularse cuando ha transcurrido un tiempo considerable desde la aplicación de la señal de excitación:

0

)

(

lim

=

∞ →

c

rt

t

t

La respuesta permanente es la que se obtiene del sistema después de haber transcurrido un largo período de tiempo desde la aplicación de la señal de excitación:

)

(

lim

)

(

t

c

t

c

t rp ∞ →

=

ESTABILIDAD PRECISIÓN

Se denomina respuesta impulsional a la respuesta (señal de salida) del sistema cuando en su entrada se introduce una señal impulso de Dirac.

G(s) r(t) t c(t) t R(s) C(s) ε 1/ε r(t) =δ(t) = 1/ε, 0 ≤ t ≤ ε 0, t > ε R(s) =£[r(t)]=£[δ(t)] = 1 C(s) = G(s)R(s) = G(s) £-1_{[C(s)] = £}-1_{[G(s)R(s)] = £}-1_[G(s)] c(t) = g(t) ≡ respuesta impulsional o función ponderatriz c(t)=g(t)*r(t)

La respuesta al impulso permite conocer la función de transferencia del sistema, y por lo tanto su respuesta frente a otras señales de entrada.

Se denomina respuesta al escalón unitario a la respuesta (señal de salida) del sistema cuando en su entrada se introduce una señal escalón unidad. G(s) r(t) t c(t) t R(s) _C(s) 0 1 r(t) = 1, t ≥ 0 0, t < 0 R(s) =£[r(t)]=£[1] = 1/s C(s) = G(s)R(s) = G(s)/s _£-1_{[C(s)] = £}-1_[G(s)/s] c(t) = £-1_[G(s)/s]

La respuesta al escalón unitario permite conocer el comportamiento del sistema frente a una señal que se mantiene constante en el tiempo.

Se denomina respuesta a la rampa unitaria a la respuesta (señal de salida) del sistema cuando en su entrada se introduce una rampa de pendiente la unidad. G(s) r(t) t c(t) t R(s) _C(s) 0 r(t) = t r(t) = t, t ≥ 0 0, t < 0 R(s) =£[r(t)]=£[t] = 1/s2 C(s) = G(s)R(s) = G(s)·1/s2 _{£-1[C(s)] = £-1[G(s)/s2]} c(t) = £-1_[G(s)/s2_]

La respuesta a la rampa unitaria permite conocer el comportamiento del sistema frente a una señal que varía de forma constante en el tiempo.

n n n m m m

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

R

s

C

s

G

+

+

+

+

+

+

=

=

₋ −

...

...

)

(

)

(

)

(

₁ 1 0 1 1 0

Ya se ha indicado que la función de transferencia de un sistema obedece a la expresión: Y en forma factorizada:

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 i n i i m i

p

s

z

s

K

s

R

s

C

+

Π

+

Π

=

= =

La estabilidad del sistema quedará determinada por la posición de los polos de su ecuación de transferencia en el plano complejo.

Según el valor de la parte real (σ) e imaginaria (jω) de cada uno de los polos se dan los siguientes casos:

• Un sistema será estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo negativo. jω σ -σ₁ -σ₂ C_tr(t) t

• Un sistema será inestable si existe algún polo situado en el semiplano complejo positivo, o si existen polos multiples en el eje imaginario o el origen. jω σ -σ₁ -σ₂ -jω₂ jω_{2 C} tr(t) t -jω₃ jω₃ modos transitorios

• Un sistema será limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los demás situados en el semiplano complejo negativo.

jω

σ

-σ₁

C_tr(t)

t

• Un sistema será marginalmente estable si existen parejas simples (no múltiples) de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos situados en el semiplano complejo negativo.

jω σ -jω₁ -jω₂ jω_{2 C} tr(t) t jω₁

Se denomina sistema de 1er _{orden al que es descrito mediante una}

ecuación diferencial de primer orden.

el orden del sistema será el de su ecuación característica D(s), o lo que es lo mismo, el mayor exponente de la variable compleja s en el denominador.

0

,

);

(

)

(

)

(

>

=

+

c

t

Kr

t

K

T

dt

t

dc

T

que representada en el campo de Laplace, resulta:

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

[

)]

(

[

]

)

(

[

c

t

Kr

t

TsC

s

C

s

KR

s

Ts

C

s

KR

s

dt

t

dc

T

+

λ

=

λ

⇒

+

=

⇒

+

=

λ

Ts

K

s

R

s

C

s

G

+

=

=

1

)

(

)

(

)

(

con función de transferencia:

La respuesta impulsional se obtiene hallando la transformada inversa de la función de transferencia: T t e T K Ts K s G t g t c − − = − + = = = ] 1 [ )] ( [ ) ( ) ( λ1 λ1

La respuesta al escalón unitario se obtiene hallando la transformada inversa del producto:

Respuesta al escalón unitario

) 1 ( )] 1 1 ( [ ] 1 ) 1 ( [ )] ( ) ( [ ) ( 1 1 1 T t e K Ts T s K s Ts K s R s G t c − − − = − − + − = ⋅ + = ⋅ = λ λ λ

La respuesta a la rampa unitaria se obtiene hallando la transformada inversa del producto de la función de transferencia por 1/s2:

Respuesta a una rampa unitaria

T t

KTe

T

t

K

s

Ts

K

s

R

s

G

t

c

− −

⋅

=

−

+

−

+

=

⋅

=

)

1

]

(

)

1

[(

)]

(

)

(

[

)

(

λ

1

λ

1 ₂

t r(t), c(t) respuesta impulso respuesta escalón 1 δ(t) t _{respuesta rampa}

Los sistemas de 2º orden son aquellos cuyas variables de entrada y salida están relacionadas por medio de una ecuación diferencial de 2º orden.

Tienen una gran importancia en el campo de la regulación automática debido a que multitud de sistemas físicos pueden describirse mediante este tipo de ecuación.

La ecuación diferencial que define el comportamiento de un sistema de 2º orden simple es:

)

(

)

(

)

(

2

)

(

2 2

t

Kr

t

c

dt

t

dc

aT

dt

t

c

d

T

+

+

=

)

(

)

(

)

1

2

(

T

2

s

2

+

aTs

+

C

s

=

KR

s

1

2

)

(

)

(

)

(

_{2 2}

+

+

=

=

aTs

s

T

K

s

R

s

C

s

G

que expresada en el campo de Laplace es:

Bajo un punto de vista práctico es interesante caracterizar los sistemas de 2º orden mediante ciertos parámetros que tengan una significación física, y es por ello por lo que la función de transferencia se expresará como:

2 2 2

2

)

(

)

(

)

(

n n n

s

s

K

s

R

s

C

s

G

ω

ξω

ω

+

+

=

=

donde:

K = ganancia del sistema

ω_n = frecuencia natural no amortiguada = 1/T (rad/s) ξ = coefieciente de amortiguamiento

y definiendo nuevos términos:

σ = ξ·ω_n = constante de amortiguamiento o factor de decrecimiento ω_d = ω_n (1-ξ2₎1/2 _{= frecuencia amortiguada (rad/s)}

)

sin(

1

)

(

2

e

t

t

c

n t

_ω

_d

ξ

ω

−σ

−

=

ecuación que escrita en otros términos queda:

) ) ( sin( ) ( ] 2 [ )] ( [ ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 t e K s s K s G t c t _{n n} n n n n n n n − ⋅ − = + + = = − − − ω ξω ξω ω ω ω ξω ω ξω λ λ c(t)/K ω_nt ξ = 0.1 ξ = 0.5 ξ = 0.8 0

)]

)

(

2

1

(

[

]

1

)

2

(

[

)]

(

)

(

[

)

(

₂ 1 _{2 2} 2 1 1 d n n n n n

s

s

s

K

s

s

s

K

s

R

s

G

t

c

ω

ξω

ξω

ω

ξω

ω

+

+

+

−

=

+

+

=

⋅

=

λ

−

λ

−

λ

−

ecuación que escrita en el campo real queda:

ξ

ϑ

ϑ

ω

ξ

ξ ω arccos )]; sin( 1 1 [ ) ( 2 + = − − = ⋅ − con t e K t c _d t n

Respuesta al escalón unitario (0 < ξ < 1: sistema subamortiguado)

c(t)/K ω_nt 1 ξ= 0 ξ= 0.3 ξ= 0.6 ξ= 0.8 ξ= 1 ξ= 2

CARACTERIZACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA r(t)=1

c(t)

t

1.05 0.95 0.9 0.1 0.5 t_r t_{p t} s t_d

ritmo de decre_cimiento

t_r≡ tiempo de subida t_p≡ tiempo de pico t_d≡ tiempo de retardo t_s≡ tiempo de establecimiento M ≡ sobreoscilación M régimen permanente régimen transitorio n s p n d p d r

t

M

e

t

t

ξω

ξ

π

ξ

ω

π

ω

π

ω

ϑ

π

ξ ξπ 2 1 2

1

;

100

(%)

;

1

;

=

2

⋅

≈

−

−

=

=

−

=

− −

)]

sin(

1

1

2

[

)

(

2

ω

ϑ

ξ

ω

ω

ξ

ξω

+

−

+

−

=

K

t

e

−

t

t

c

t _p n n n

]

1

2

[

)]

(

)

(

[

)

(

_{2 2 2} 2 1 1

s

s

s

K

s

R

s

G

t

c

n n n

ω

ξω

ω

+

+

=

⋅

=

λ

−

λ

− 2ζ/ω_n c(t)/K ω_nt

sn _a 0 a2 a4 a6 ……… sn-1 _a 1 a3 a5 a7 ……… sn-2 _b 1 b2 b3 b4 ……… sn-3 _c 1 c2 c3 c4 ……… sn-4 _d 1 d2 d3 d4 ……… … … s2 _u 1 u2 s v₁ v₂ s0 _w 1 w2 3 1 3 1 1 2 2 1 2 1 1 1 4 1 7 1 1 3 3 1 5 1 1 2 2 1 3 1 1 1 9 1 8 0 1 4 7 1 6 0 1 3 5 1 4 0 1 2 3 1 2 0 1 1 1 ; 1 1 ; 1 ; 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 c c b b c d c c b b c d b b a a b c b b a a b c b b a a b c a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b − = − = − = − = − = − = − = − = − =

cuyos coeficientes resultan de:

El criterio de estabilidad de Routh dice que el número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de la primera columna de la tabla.

Para que un sistema sea estable es condición necesaria y suficiente que todos los coeficientes de la primera columna tengan el mismo signo.

• Ejemplo: Determinar la ganancia (K) para que el sistema en lazo cerrado de la figura sea estable

K/[(s+1)(s+2)(s+5)]

La función de transferencia del sistema será:

R(s) C(s)

K

s

s

s

K

K

s

s

s

K

s

G

s

G

s

R

s

C

s

M

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

=

=

10

17

8

)

5

)(

2

)(

1

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

_{3 2}

La ecuación característica resulta:

0

10

17

8

2 3

=

+

+

+

+

s

s

K

s

La primera condición para que el sistema sea estable es que 10 + K > 0 → K > -10. Construyendo la tabla de Routh:

s3 _{1 17} s2 _{8 10+K} s1 _{[136-(10+K)]/8 0} S0 _10+K 136-(10+K) > 0 K < 126

-10 < K < 126

Una vez conseguida la estabilidad del sistema, el fin principal que se persigue con el estudio de la respuesta en régimen permanente es determinar su comportamiento tras haber transcurrido un largo período de tiempo después de la aplicación de una señal de excitación.

El análisis en régimen permanente es de gran interés puesto que facilita mucha información sobre la capacidad del sistema a la hora de seguir las señales de mando o consigna que le son dadas, esto es, información sobre su precisión.

error

La precisión de un sistema de regulación automático se expresa normalmente en términos de error de la respuesta del mismo en régimen permanente, para unas señales de entrada específicas.

Se denomina como error del sistema (e(t)) la diferencia entre el valor deseado para su salida y su valor real.

G(s) R(s) C(s) G(s) R(s) C(s) H(s) E(s) ε(s) B(s)

realimentación unitaria realimentación no unitaria

e(t) = r(t) – c(t) E(s) = R(s) – C(s)

ε(t) = r(t) – b(t)

ε

(s) = R(s) – B(s) = R(s) – H(s)C(s)

En los sistemas con realimentación unitaria la señal que actúa sobre la planta o proceso es la señal de error.

En los sistema con realimentación no unitaria la señal que actúa sobre la planta es la señal de error actuante ε(t), es decir, la diferencia entre la señal de entrada y la señal realimentada.

Con fines de simplificación de cálculos se analizará el error en sistemas con realimentación unitaria, si bien, en los sistemas con realimentación no unitaria el análisis tampoco resulta excesivamente complejo, transformando el sistema con realimentación NO unitaria a uno unitario:

G(s) R(s) C(s) H(s) ε(s) B(s) realimentación no unitaria G*(s) R(s) E(s) C(s)

)]

(

)

1

)

(

[(

1

)

(

)

(

*

s

G

s

H

s

G

s

G

−

+

=

error

Matemáticamente, se define el error en régimen permanente como:

)

(

lim

)

(

t

e

t

e

_rp

=

_t→∞

)

(

1

1

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

s

G

s

G

s

G

s

R

s

C

s

C

s

R

s

E

+

=

+

−

=

−

=

−

=

Aplicando el Teorema del valor inicial:

)

(

1

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

_{0 0}

s

G

s

sR

s

sE

t

e

e

_{rp t s s}

+

=

=

=

_{→∞ → →}

Por lo tanto, el error en régimen permanente depende de la función de transferencia de la planta en bucle abierto y de la señal de entrada del sistema

Suponiendo un sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria y función de transferencia en lazo abierto G(s):

Las tres señales normalizadas utilizadas para el análisis de error son:

escalón unitario: r(t) = 1 rampa unitaria: r(t) = t parábola: r(t) = (1/2)t2

La entrada escalón también se denomina escalón de posición y se utiliza para saber como se comporta el sistema en régimen permanente ante una señal constante en el tiempo.

error

El tratamiento del análisis del error frente a las tres señales es idéntico, por lo que únicamente se analizará la entrada de tipo escalón unitario.

El análisis del error de un sistema frente a una entrada de tipo escalón se denomina análisis del error de posición y se utiliza para saber como se comporta el sistema en régimen permanente ante una señal constante en el tiempo.

Suponiendo un sistema cuya función de transferencia en bucle abierto (forma factorizada) sea:

)

1

)...(

1

)(

1

(

)

1

)...(

1

)(

1

(

)

(

1 2

+

+

+

+

+

+

=

s

T

s

T

s

T

s

s

T

s

T

s

T

K

s

G

q b a r m En esta expresión:

K = ganancia del sistema

T_{1, 2,..a, b, …}= coeficientes polinómicos

r = índice definitorio del tipo de sistema

El término sr _{indica que la función G(s) tiene un polo de multiplicidad r en el} origen (integraciones del sistema).

De forma general, cuanto mayor sea el tipo del sistema, mayor será su precisión. Sin embargo peor será su estabilidad en el régimen transitorio.

Definiendo como constante de error de posición al índice K_P:

)

(

lim

₀

G

s

K

_p

=

_s→

El error en régimen permanente frente al escalón unitario puede escribirse como: p s s s s rp

K

s

G

s

G

s

s

s

G

s

sR

s

sE

e

+

=

+

=

+

=

+

=

=

→ → → →

1

1

)

(

lim

1

1

)

(

1

1

lim

)

(

1

)

(

lim

)

(

lim

0 0 0 0 error Error de posición

Considerando un sistema de tipo 0:

con lo cual K_p = K (ganancia del sistema en bucle abierto).

K s K e s rp + = + = → 1 1 lim 1 1 0 0

Es sabido que en los sistemas de regulación automática, el valor real que toma la variable de salida del proceso o planta a controlar es comparado con el valor de consigna o referencia (valor deseado), dando lugar a la denominada señal de error. Esta señal de error es llevada al REGULADOR, cuya salida o SEÑAL DE CONTROL (n(t)) actúa sobre el proceso en el sentido de que el error del sistema tienda a reducirse a cero o a un valor muy pequeño. regulador F(s) PLANTA H(s)

r(t)

c(t)

señal de consigna perturbación

z(t)

_{señal de salida}

e(t)

sensor H(s) +

-b(t)

señal de error señal realimentada

n(t)

) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( s G s F s H s G s F s M + =

Existen tres acciones básicas de control del regulador F(s):

En el control proporcional, el regulador entrega a su salida una señal proporcional a su señal de entrada. Por lo tanto:

Regulador proporcional

e(t)

n(t)=K

p

e(t)

F(s) = K_p

E(s)

N(s)=K

_p

E(s)

En el campo de Laplace: t n(t) e(t)

1

K

_p

K

_p

= cte. proporcional

Acción PROPRORCIONAL 2