2DA PRÁCTICA CALIFICADA

2DA PRÁCTICA CALIFICADA DINÁMICA (IC–244)

ALUMNOS : CARITAS BARRIENTOS, Ronald ROBLES ROCHA, Hamilton TORRES PÉREZ, Walter A.

TORO VELARDE, William

DOCENTE : Ing. CASTRO PÉREZ, Cristian

CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA PROBLEMA 2-1

Una esfera homogénea de radio “R” y peso “W” desliza sobre una superficie rugosa bajo la acción de una fuerza horizontal “P”. Como se indica en la figura.

Si el coeficiente de fricción entre la esfera y la superficie “u”. Determinar la altura “h” para que se verifique el movimiento.

Solución:

Haciendo torque en el centro de gravedad

( ) ………..I En C.I.R.

( ) ( ) ……….II Dividiendo I y II

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ….. (Respuesta)

PROBLEMA 2-3

El peso de una péndula de un péndulo simple es de 23 kg. Para una elongación angular de 45° la péndulo tiene una velocidad lineal de 2.45 m/s. ¿Cuál es la tensión de la cuerda en ese instante?.

También sabemos que:

Fc = m = m T – mg cos 45° == m

T – (23)(9.8) ^√ = (23) ^{( )}

Por lo tanto:

T = 31.6 kg…. (Respuesta)

PROBLEMA 2-4

Un tren está pasando por una curva de 1.6km de radio con una velocidad constante de 160km/h. determinar el ángulo de peralte adecuado para que el empuje lateral sobre el riel sea nulo

Solución:

⁄ ⁄ Como ∑

Condición de fuerza nula lateral:

∑ Donde:

Aceleración normal ⁄ Aceleración gravitacional

( ⁄ ) ( )

( )

( )

EJERCICIO 2-17

La fuerza: ⃗⃗ ( ̂ ̂ ̂ ) ( ) actúa sobre una partícula de masa “m”

en P(x,y,z) que se mueve en el espacio. a) Demostrar que ⃗⃗ es conservativa. b) Determinar la función potencial asociada a ⃗⃗ .

Solución:

a) ⃗⃗ es conservativo la rotación es nula, es decir:

⃗⃗ = 0 ⃗⃗ (

̂

̂

̂) ( ̂ ̂ ̂ )

⃗⃗

( ) ̂

( ) ̂

( )̂

( ) ̂

( ) ̂

( )̂

Derivando parcialmente la rotacional resulta “0”, para cada vector unitario:

⃗⃗ = 0; el campo es conservativo y se puede determinar una función potencial.

b) La forma potencial , satisface los siguientes ecuaciones:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Integrando ( )

( ) ∫ ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ∫ ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Problema 2.18

La fuerza ̅ ( ) actúa sobra una partícula P(x y) que se mueve en el plano xy.

a) demostrar que la fuerza f no es conservativa.

b) calcular el trabajo de F cuando se mueve a lo largo de las trayectorias ABC, ADC y AC.

Solución:

̅ ( ) ( )

̅ (Si el rotacional no es nulo) ( ) ( )

[

̂ ̂ ̂

]

( ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂) = 0

Como sale 0 entonces F es conservativa:

b) trayectoria ABC ̅ ̅ AB {

BC {

∫ ∫

Trayectoria ADC: AD {

{

∫ ∫

Trayectoria AC {

∫

∑ ( )

PROBLEMA 2-20

El viento de la hélice de un ventilador, tiene un diámetro de 50 cm. Y una velocidad relativa al mismo de 12m/s, suponiendo que la densidad del aire es de 1.3kg/ de entrada del aire, calcular la fuerza necesaria para inmovilizar el ventilador.

Consideremos:

= O 1.3kg/

DCL del chorro de aire

Por conservación de la cantidad de movimiento

∑F = ṁ( )

F = 1.3 x 12 x ∏ (12- 0) F = 37.5 N →

Entonces la fuerza necesaria para detener el ventilador es : F = 37.5 N ← … (Respuesta)

PROBLEMA 2-36

En el sistema mostrado, una cuerda inextensible pasa sobre dos poleas de masa despreciable. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la masa “m” y luego determinar la frecuencia natural W0.

Solución:

Por equilibrio tenemos:

( ) ( ) Y

( ) ( ) Además por la trayectoria:

Así concluimos en:

̈ ̈

̈

̈

√

√

( )

PROBLEMA 2.49

Encontrar la frecuencia natural en cicls/minuto del sistema que se indica. La viga esta empotrada en ambos extremos. La deformación en el centro de la luz es: PL³/192EI

L= 100cm; k1= 12kg/cm; k2 = 14kg/cm E= 2*10⁶kg/cm² M= 14.6kg; sección: b=2.5cm h=0.5cm.

Solución:

Además:

Donde E= 2*10⁶kg/cm²

I= 2.5*0.5³/12 I= 5/192cm⁴

Por mecánica de materiales sabemos que:

Y para X= 5cm  Y=1.46*10^-4cm

Entonces la ecuación diferencial queda:

̈ √

…(respuesta)

CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO PROBLEMA 4-1

El cilindro de radio r, rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R, este movimiento esta descrito por la rotación de los ángulos y . Si rueda sin deslizar, probar que: ̇ ^{( )} ̇

Solución:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ̇( ) ̇ Donde R y r son constantes:

̇ ̇ ̇

̇

( )

PROBLEMA 4-2

El cilindro de radio r, mostrado en la fig. rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. si los ángulos ϕ y θ describen el movimiento. Demostrar que se cumple:

Solución:

Por longitud de arco = ϕ( R + r) Ademas = θr donde =

θr = ϕ( R + r) Θ = ϕ

Por lo tanto =

PROBLEMA 4-7

Encontrar la altura “h” a la que debería aplicarse una fuerza horizontal “F” sobre una esfera maciza de radio r. para que este ruede sin deslizar sobre una superficie lisa.

Solución:

Por dinámica rotacional (torques)

∑

……….I

Por dinamica traslacional

∑

………..II Reemplazando II en I ( )

PROBLEMA 4-9

El tablón de 400 Newt. Descansa sobre los rodillos cilíndricos de radio r cada uno con un peso en 150 N. Determine la fuerza P, que acelera el tablón hacia arriba a 1.8m/s². Suponer que no hay deslizamiento ni en el tablón ni en el plano.

Solución:

D.C.L.

Del D.C.L. de la esfera y considerando la aceleración 1.8 m/s² Del D.C.L. de la barra:

Por tanto:

…….. (Respuesta)

EJERCICIO – 4.11

La barra doblada para 16.16kg/m y puede girar libremente de un plano vertical alrededor de un eje horizontal en A. Si la barra parte del reposo en la posición dada. Determine su velocidad angular cuando haya girado 90

Solución:

Por conservación energía:

Hallando:

√

( ) (

) ( ) Inercia del C.G de la barra :

( )( )( )( ) ( )( )(( )( ))

* ( )

( ) ( ) (( )

)+

Ordenando:

( ) * +

( )⁄

PROBLEMA 4-13

Un cilindro macizo A rueda sin resbalar a lo largo de una cuña B que a su vez esta sobre una superficie horizontal lisa. Si el cilindro y la cuña pesan cada una W kg. Determinar la aceleración de la cuña.

Solución:

D.C.L.

( )

√

√ D.C.L. de la cuña:

Luego del diagrama anterior:

√

Resolviendo el sistema:

√ ….. (Respuesta)

PROBLEMA 4-16

El disco y el tambor acoplados de radio de giro respecto al centro están bajo el efecto de una fuerza de 500 newton que siempre permanece horizontal. Suponiendo que rueda libremente determinar la aceleración y la fuerza de rozamiento requerida.

Solución:

Aplicando torque al centro de gravedad:

( ) ( ) ……….I Aplicando torque en el centro instantáneo de rotación:

( ( )) ( ( )) ( ) ……..II

( ) ⁄

( )

⁄

Reemplazando en I:

( ) ( ) ( )

PROBLEMA 4-17

El disco pesa 150 N; radio r = 0.6m rueda sin resbalar sobre la superficie horizontal, a la vez que gira alrededor del eje AG de longitud L = 0.9m. Encontrar la reacción normal en C, cuando el eje AB, al cual AG esta unido por una articulación, gira a razón de = 5 rd/s.

Solución:

Sabemos:

= r ; = 25 x 0.9 ; = 22.5 Además

Fc = m Fc = 344.4 Por sección de arco

0.9 x 5 = 0.6 x Entonces

= 7.5 rad/s

∑ = ∑ N x 0.3 = C x 0.3 ^√

2N = √ C………..(1)

∑ =

T – 150 sen 30° + N sen 30° - c sen 60° = 344.4………(2) Tambien

∑ = ∑

150 x 0.3 + T x 0.6 = 572.64 T = 879.4

Luego solucionando (1) y (2) N = 920 … (Respuesta)