Control Estadístico de Procesos (SPC).

(1)

(SPC).

Sesión 4ª de 4

-JAIME RAMONET FERNÁNDEZ

Ingeniero Industrial Superior. PMP®_(PMI®_).

(2)

Actitud requerida para recibir

formación

...

y obtener

conocimiento

:

"Quien establece una diferencia entre educación y entretenimiento, no sabe nada ni de una cosa ni de la otra"

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Temario de la sesión:

●

Gráficos de Control avanzados:

●

Gráfico CUSUM

●

Gráfico EWMA

●

Intro. a Box-Jenkins y ASPC.

●

Curva característica y curva ARL.

●

Medidas de Capacidad del proceso:

●

Índice Cp

●

Índice Cpk

●

Interpretación

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Gráficos avanzados:

● Motivación:

– Los gráficos de Shewhart solo tienen en cuenta, para cada punto, los

valores relativos a la muestra actual y no al conjunto de datos recopilados hasta el momento (conjunto de muestras). Por otro lado, consideramos que cada observación o muestra es independiente de la anterior.

– La solución consiste en trabajar con gráficos con «memoria».

● Gráficos avanzados (con «memoria»):

– CUSUM: En el Gráfico CUSUM se representa la suma acumulada de las

desviaciones, con lo que se está recogiendo la información de todas las muestras anteriores.

– EWMA: En el gráfico EWMA se representan las medias móviles con pesos

exponenciales (lo que permite detectar desplazamientos muy lentos).

– Box-Jenkins y ASPC: Son métodos para muestras con dependencia entre

ellas. Nota: En general se trata de procesos continuos, en que la entrada se ve retroalimentada por una función de la salida.

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Gráfico CUSUM: Sumas Acumuladas

● Complemento a los gráficos de Shewhart (que en principio no

«persiguen» al valor nominal -VN- sino que se centran en detectar los desequilibrios del proceso creados por causas especiales -asignables-).

● «Persigue» centrar los resultados entorno a un valor objetivo «T». ● Detecta las desviaciones respecto a «T» (“target”) en una magnitud

superior a un valor determinado preestablecido por nosotros (“d” = desviación a detectar).

● El «T» puede ser: el valor nominal -VN- de un parámetro del propio

proceso o del resultado, la varianza de ídem, una proporción «p» de..., los valores de predicción de un modelo teórico, etc.

● Permite realizar el seguimiento y control de cambios moderados (entre

0,5 y 2 veces σ) del valor «T».

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Gráfico CUSUM:

● El gráfico representa el valor de la suma acumulada («C») hasta la

muestra actual («i») de la diferencia entre la media de cada muestra («ẍ_i») respecto al valor objetivo («T»).

● Formula: C

i = ∑ (ẍi – T);

● El valor de C

i va acumulando las diferencias.

● Si el proceso está bajo control, las desviaciones positivas se

compensaran con las negativas y el gráfico serán una serie de punto oscilando sobre y bajo el valor 0 (Ver transparencia siguiente).

● La determinación de la situación del proceso se puede hacer

mediante:

– Mediante cálculo numérico. – Mediante “mascara en V”.

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CUSUM – Bajo control: Datos ...

(8)

CUSUM - Bajo control: Gráfico ...

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CUSUM – Mismo caso, 100 muestras

(10)

CUSUM – Mismo caso,

otras 100 muestras !!!

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CUSUM (cont.)

● Si la media del proceso (evaluado mediante las medias muestrales «ẍ

i» )

no coincide con el valor objetivo «T», el gráfico se irá separando del valor 0, al irse acumulando la diferencia.

● El «dato» importante en un gráfico CUSUM no es la separación respecto a

0 (recordar el último gráfico) sino la «pendiente» de la línea de puntos: a mayor pendiente, mayor discrepancia entre la media del proceso y el

valor objetivo «T».

● Los límites de control de los gráficos CUSUM vienen dados por dos

pendientes (+ y -) que dependen de cuatro factores:

– La escala del gráfico.

– La variabilidad «σ» propia del proceso (teórica o de la población). – El cambio mínimo (del parámetro) que se quiere detectar (valor

umbral «K»).

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CUSUM: Construcción del gráfico

● Escala del gráfico: se recomienda que 1 unidad de la escala del eje

horizontal (eje X) sea = (2 · σ) de la distribución teórica del parámetro de la escala vertical (eje Y). Ejemplo:

– Si σ = 0,7 u. y en la escala horizontal colocamos las

observaciones cada 2 mm (unidad horizontal), entonces, en el eje vertical cada 2 mm representarán (2 * 0,7 ) = 1,4 u. (siendo u. la unidad de medida del parámetro representado en el gráfico).

Unidades “u”

Observaciones

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CUSUM – Desviación del parámetro

● Si no se conoce la desviación teórica o de la población de la

distribución del parámetro sobre el que se realiza el gráfico, esta deberá ser calculada con la formula adecuada. p.e.:

– σ_e = s / √‾(n – 1) ; Para variables continuas que se ajusten a

la Ley Normal.

– σ_e = sqrt( p * (1-p) / n) ; Para proporciones de parámetro que

se distribuya según la Ley Binomial.

– σ_e = sqrt( np * (1-p)) ; Para número de individuos con un

atributo «p» (Ley Binomial).

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CUSUM: Control del proceso

Método numérico

● Método:

– Se acumulan solo las desviaciones mas significativas y por

separado, las positivas en “C+” y las negativas en “C-”.

– Se considera que una desviación es significativa si es mayor que

un valor umbral «K» predeterminado, normalmente K = ½ de la desviación que se quiere detectar: K = ½ · (

µ

₀-

µ

₁); o bien, si

µ

1 =

µ

0 + δ · σ ; K = ½ δ ; (Nota:

µ

0 = T)

– Para cada muestra se calculan D+_i = ((x_i – T) – K); y D-_i = ((T

- x_i) – K);

– Si (D+_i > 0) se acumula a C+; Si (D-_i > 0) se acumula a C-; – Finalmente: C+_i = C+_i-1+ MAX(0; D+_i); y

C- = C- - MAX(0; D- );

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c-CUSUM: Límites de C+ y

CUSUM: Límites de C+ y

C-● C+ y C- nos proporcionan la acumulación de las desviaciones

significativas positivas y negativas respectivamente.

● Los límites de control para estos dos valores viene dado por un valor de decisión «H» que habitualmente suele ser H = h · σ . El valor de «h» es 4 o 5, según los autores.

● +/- H son los límites de control para C+ y C-.

● Cuando el proceso se muestra fuera de control, se deberán realizar

las acciones correctoras pertinentes y se reiniciaran los valores de C+ y C- a cero.

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CUSUM: ejemplo 1

(17)

CUSUM:

ejemplo 2

(18)

CUSUM: ejemplo 2

c+

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CUSUM: Control del proceso

Método gráfico (plantilla en “V”)

O P

ω

Parámetros de la plantilla: - Distancia O-P y ángulo ω

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CUSUM: Control del proceso

Método gráfico (plantilla en “V”)

● Algunos paquetes estadísticos implementan este método.

● Los parámetros son función de la escala del gráfico y normalmente

no se calculan a mano.

● Algunos autores desaconsejan el método gráfico.

● El método calculado es + exacto y permite realizar adaptaciones,

p.e. Asignación de valores iniciales a C+ y C- > 0 tras una acción correctora incierta.

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CUSUM vs. Gráficos de Shewhart

● CUSUM es + sensible a variaciones pequeñas en el proceso.

● Para variaciones grandes (K > 1,5 o 2) son similares o CUSUM un

poco peor.

● Las dos ventajas de CUSUM frente a los Gráficos de Control de

Shewhart son:

– Tiene “memoria” de las desviaciones anteriores

– Permite controlar variables u otros parámetros (proporciones,

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Gráficos EWMA (I)

(Medias móviles ponderadas exponencialmente)

● Para muestras tamaño 1 (observaciones individuales).

● Se representa un valor acumulado en el que tienen mas importancia

(peso) las observaciones + recientes.

● El factor de importancia (peso) de cada observación decae

exponencialmente con el tiempo.

● El valor de cada punto se define como:

– y_i = λ · x_i + (1 – λ) · y_i-1; Nota: ha que tomar y₀ = μ (media).

● El valor λ es discrecional (0 < λ <= 1). Normalmente entre 0,05 y 0,25.

– Cuanto mayor sea λ, mayor perdida de importancia con el tiempo. Para λ = 1 solo cuenta la observación + reciente (ídem a un gráfico de

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Gráficos EWMA (II)

(Medias móviles ponderadas exponencialmente)

● Los límites de control (que son función de la observación) son:

– LCS = μ + 3 · σ · sqrt((λ · (1 – (1-λ)2i ) / (2-λ))

– LC = μ

– LCI = μ - 3 · σ · sqrt((λ · (1 – (1-λ)2i ) / (2-λ) ) ● De forma simplificada (aproximada) se puede aceptar:

– LCS = μ + 3 · σ · sqrt( λ/(2 – λ) ) – LC = μ

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Gráfico EWMA:

Ejemplo

Puntos del gráfico:

y₀ = μ ; y_i = λ · x_i + (1 – λ) · y_i-1; Límites de control: LCS = μ + 3 · σ · sqrt( λ / (2 – λ) ) LC = μ LCI = μ - 3 · σ · sqrt( λ / (2 – λ) )

(25)

Gráfico EWMA: Ejemplo

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Box-Jenkins y ASPC

● Justificación:

– Cuando las observaciones NO son independientes entre si, pueden existir

causas especiales (asignables) que pueden actuar continuamente a lo largo de un conjunto de observaciones, sin poder ser eliminadas de una forma operativa (procesos en continuo, por ejemplo).

– Existen dos estrategias:

● Gráficos Box-Jenkins: Son gráficos de control que se adaptan,

mediante transformación (corrección) de los datos obtenidos, en función de la dependencia entre observaciones (p.e. Series

temporales depndientes de la estacionalidad). Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Jenkins

● ASPC (Control estadístico adaptativo y automático): Se trata de

realizar un Control Estadístico del Proceso y una corrección o ajuste automático del mismo (retro-alimentación de control) cada vez que este se desplace de su valor nominal.

(27)

Box-Jenkins: Ejemplo

(28)

ASPC: Esquemas (ejemplos)...

Controlador

PROCESO Resultado

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Curva Característica de Operaciones

de un Gráfico de Control (“OC”)

● Mide la sensibilidad del Gráfico de

Control.

● Evalúa la probabilidad de que un punto

caiga dentro de los límites de control si se ha producido un cambio de

magnitud determinada en el proceso.

● Es función del tamaño de la muestra,

de la desviación tipo y de

α

(que determina los Límites de Control).

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Curva ARL (“

Average Run Length

”)

● Mide la rapidez de respuesta del Gráfico de Control frente a un

cambio en el proceso.

● Indica el número medio de muestras necesario para detectar un

cambio (“dar la alarma”) de una magnitud determinada en el proceso.

● Está relacionada con la curva OC: ARL (μ) = 1 / (1 – OC(μ)).

● Cuando el proceso se muestra fuera de control, deberemos analizar

como mínimo “n” muestras anteriores, siendo “n” el valor de la curva ARL.

● En un proceso bajo ARL = 1 /

α

; (Para Límites de Control a 3 · σ →

α

= 0,03 ARL = 1 / 0,03 = 33,3 muestras !!!. ¿Que pasaría si →

α

= 1?; pero...!!!)

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VN

LTI LTS

Medidas de Capacidad de los Procesos

● La capacidad de un proceso mide su

nivel de cumplimiento respecto a una especificación dada. Un proceso es capaz si su resultado (producto o el servicio) está dentro de los

límites de la especificación establecida.

● Una especificación viene dada por

un valor nominal (VN) y unas

tolerancias (positiva y/o negativa) que determinan los límites de

tolerancia de la especificación (LTS y LTI).

● Mide lo que el proceso es “capaz”

de hacer.

Hipótesis: Distribución Normal del parámetro y proceso bajo control.

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Índice de Capacidad Cp

● El índice de capacidad viene definido por la relación entre el rango de la

tolerancia y un múltiplo de la dispersión del proceso:

● Cp = ( LTS – LTI ) / k · σ; (siendo “σ” la desviación tipo del proceso)

● El valor de “k” depende del tipo de proceso. Para procesos muy estrictos o

básicos (p.e. para la medida de capacidad de máquinas), se toma K = 8. Para resultados finales (p.e. Medida de capacidad del proceso global) se toma k = 6.

● En sectores específicos pueden ser habituales otros valores de “k” (p.e. En

aeronáutica o en electrónica, K = 10 o K = 12).

● Si Cp >> 1 Proceso capaz. Deseable: Cp > 1,33→

● Si Cp justo por encima ó = 1 Proceso en el límite. Hay que intentar →

mejorarlo ;-(

● Si Cp < 1 proceso No capaz. Hay que mejorar el proceso (o cambiar las →

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Razón de capacidad del proceso Cpk

● El índice de capacidad Cp no informa de si en proceso está centrado

en el valor nominal (VN).

● Para tener en cuenta el centrado sobre el valor nominal, se define el

valor de Razón de Capacidad Cpk.

● Cpk = Min( (LTS – ) / Ẍ k · σ ; ( - LTI) / k · σ );Ẍ

● Como en el caso anterior, el valor “k” depende del tipo de proceso.

Para procesos muy estrictos o básicos (p.e. para la medida de

capacidad de máquinas), se toma K = 4. Para resultados finales (p.e. Medida de capacidad del proceso global) se toma k = 3.

● Nota: El valor de “k” en la fórmula de Cpk debería ser = ½ · k de la

formula del índice Cp.

(34)

Cp y Cpk: situaciones...

VN LTS LTI LTI VN LTS VN LTS LTI _LTI _VN _LTS VN LTS LTI

Cp > 1

Cpk > 1

Cp = 1

Cpk = 1

Cp < 1

Cpk < 1

Cp > 1

0 < Cpk < 1

Cp < 1

_{Cpk = 0}

Imaginar:

_{Cp < 1}

Cpk < 0

(35)

Medida de la Capacidad del proceso:

Procedimiento

●

Asegurar que el proceso esta «bajo control».

●

Tomar un mínimo de 50 (mejor 100) unidades consecutivas y

medir el parámetro.

●

Verificar que los datos se distribuyen según una Ley Normal –

Prueba o contraste de Normalidad (diversos métodos: p.e.

método gráfico

).

●

Obtener la desviación tipo del proceso σ. La media se tomará

igual al VN.

(36)

Ejemplo: cáculo de Cp y Cpk

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Otro ejemplo índices Cp y Cpk:

● La especificación de un parámetro de un proceso bajo control establece:

– VN = 10,80 mm.

– Tolerancia: +/- 0,20 mm. (LTS = 11,00 mm; LTI = 10,60 mm; Rt = 0,40 mm)

● Se seleccionan 100 muestras consecutivas, se obtienen los valores del

parámetro y se verifica la normalidad de la distribución de estos datos.

● Se calculan los datos estadísticos de las 100 observaciones:

– Media μ = 10,72 mm. Y desviación tipo σ = 0,05 mm.

● Cálculos de Cp y Cpk: – Cp = 0,40 / 6 * 0,05 = 1,33 ; ● Cpk-sup = (11,00 – 10,72 ) / 3 * 0,05 = 0,28 / 0,15 = 1,86 ● Cpk-inf = (10,72 – 10,60 ) / 3 * 0,05 = 0,12 / 0,15 = 0,80 – Cpk = min( 1,86 ; 0,80 ) = 0,80 In terpr etar.. .

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Resumen del Curso ;-)

(adaptado de la Norma ISO 7870-2:2013)

Gráficos de Control PROCESO AC: Eliminar causas asignables Evaluar Capacidad Bajo control No Si Cpk > 1 No Si Mejorar Proceso o cambiar especificación Intentar mejorar Cpk > 1,33

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Bibliografía:

● Norma ISO 7870-2:2013 - Control charts — Part 2: Shewhart

control charts.

● ISO 22514-7:2012 Statistical methods in process

management - Capability and performance -- Part 7: Capability of measurement processes.

● Norma ISO 11462-1:2001 - Guidelines for implementation of

statistical process control (SPC) - Part 1: Elements of SPC.

● Control y mejora de la calidad. A. Prat, X. Tort-Martorell, P. Grima

y L. Pozueta. Edicions UPC. Barcelona, 1998

● Shewhart W.A. Economic Control of Manufactured Product. D. Van

Norstrand, Co, New York, 1931.

● Grant E ., & L eavenworth R. Statistical Quality Control. McGraw-Hill

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