Unidad I. Teoría Básica de Probabilidad

Unidad I

Teoría Básica de Probabilidad

I.1 Conceptos matemáticos sobre la teoría de conjuntos

I.1.1 Definición

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto. Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc.

La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el

conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves “{}”.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo, el conjunto {a, b, c} también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo, el conjunto fromado por { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.

Determinación de un conjunto por extensión. Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.

Determinación de un conjunto por comprensión. Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.

Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Las aplicaciones de teoría de conjuntos es muy amplia, y baste con mencionar que se utiliza en cuestiones relacionadas con Probabilidad; incluso, sus conceptos están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas.

I.1.2 Conjunto universal

El conjunto universal o referencial, que normalmente se denota por las letras, S o U y en algunas otras referencias como Ω, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, sin embargo está demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell.

Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

S = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Veamos una forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde:

N = { 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}

Estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos. Para poder trabajar con los ejemplos anteriores se emplea la notación llamada de comprensión.

Por ejemplo, para denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60. Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 }

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

I.1.3 Conjunto nulo

Conjunto que no contiene elementos. Por ejemplo, el conjunto de “gente que puede levantar 2000 kilos por sí misma" es un conjunto vacío.

El complemento del conjunto universo es precisamente el conjunto vacío, es decir, aquel que está desprovisto de elementos. El conjunto vacío se denota por “{ } ” o “ϕ ”.

I.1.4 Subconjuntos

Un conjunto W es subconjunto de otro conjunto T, si todos los elementos de este conjunto W pertenecen al conjunto T.

Ejemplo I.1.4-1. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, b, c}. B es un subconjunto de A.

I.1.5 Conjunto complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. Se denota el complemento de A por A’.









Ejemplo I.1.5-1. Suponiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto y suponiendo que el conjunto T está formado por las letras a,b,c:

U: {a,b,c,….,y,z} T: {a,b,c}

Y queremos saber el complemento de T. Entonces el resultado sería: T´: {d,e,f,……..,x,y,z}

Ejemplo I.1.5-2. Considere que el conjunto universal H está compuesto por los alumnos de PyE1 y el conjunto B está formado por los alumnos Abraham, Felipe y Verónica. Encuentre B´.

Solución:

H = {x|x es un alumno del grupo PyE1} B = {Abraham, Felipe y Verónica} Por tanto:

B´ = {Yudit, Brenda, Jorge, Neida}

I.1.6 Unión de conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x|x A o x B} En forma gráfica existen 3 casos diferentes:

Cuando no tienen

elementos comunes Cuando tienen algunos elementos comunes

Cuando todos los elemen-tos de un conjunto

perte-necen al otro conjunto

Ejemplo I.1.6-1. Dados los conjuntos: A = { .0, .1, .2, .3, .4, .5 }; B = { .0, .2, .4 }; C = { .5, .6, .8 }. Efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C b) B U C c) A U B Tenemos:

A = { .0, .1, .2, .3, .4, .5 } y C = { .5, .6, .8 } A U C = { .0, .1, .2, .3, .4, . , .6, .8 }

Representación gráfica de los conjuntos

A y C Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

B = { .0, .2, .4 } y C = { .5, .6, .8 } B U C = { .0, .2, .4, .5, .6, .8 }

Representación gráfica de los conjuntos

B y C Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

A = { .0, .1, .2, .3, .4, .5 } y B = { .0, .2, .4 } A U B = { . , .1, . , .3, . , .5 }

Representación gráfica de los conjuntos A y B

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

I.1.7 Intersección de conjuntos

Se define la intersección de dos conjuntos A y B, al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A B = { x|x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienen

elementos comunes elementos comunes Cuando no tienen

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al

otro conjunto

Ejemplo I.1.7-1. Dados los conjuntos: A = { .0, .1, .2, .3, .4, .5 }, B = { .3, .5, .7 } y C = { .2, .4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A C b) B C c) A B Tenemos:

a)

A = { .0, .1, .2, .3, .4, .5 } y C = { .2, .4 } A C = { , }

Representación gráfica de los conjuntos A

b)

B = { .3, .5, .7 } y C = { .2, .4 } B C = { }

Representación gráfica de los

conjuntos B y C intersección de conjuntos B y C Representación gráfica de la c)

A = { .0, .1, .2, .3, .4, .5 } y B = { .3, .5, .7 } A B = { , }

Representación gráfica de los

conjuntos A y B intersección de los conjuntos A y B Representación gráfica de la

I.1.8 Cardinalidad de conjuntos

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto. Si el conjunto tiene un número infinito de elementos, entonces decimos que tiene cardinalidad infinita. La cardinalidad de un conjunto se suele representar con el símbolo #.

Ejemplo I.1.8-1. Considere que se tiene el siguiente conjunto: W = { $, %, &, /, ª }. Obtenga su cardinalidad.

Solución: El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5. Por tanto: # = 5.

I.2 Espacio muestral y variable aleatoria

Espacio muestral o muestra (S) o (U), es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto muestral o muestra.

Ejemplo I.2-1. Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:

S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } Ejemplo I.2-2. Lanzamiento de monedas:

a) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara (c) y sello (s):

S = { c , s }

b) Dos monedas, el espacio muestral tiene 4 elementos: S = { ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) } c) Tres monedas, tiene 8 elementos:

S = {( c , c , c ), ( c , c , s ), ( c , s , c ), ( c , s , s ), ( s , c , c ), ( s , c , s ), ( s , s , c ), ( s , s , s )} d) n monedas, tiene 2 n _elementos.

Para introducir el concepto de variable aleatoria, veamos primero algunos ejemplos. Al arrojar dos dados, sabemos que la suma X de los puntos que caen hacia arriba debe ser un número entero entre 2 y 12, pero no podemos predecir qué valor de X aparecerá en el siguiente ensayo, por lo que decimos que X depende del azar, por lo tanto es una variable aleatoria que toma valores entre 2 y 12.

El tiempo de vida de un foco que se extrae aleatoriamente de un lote de focos depende también del azar, este constituye otro ejemplo de una variable aleatoria que varía entre el tiempo 0 y un valor indeterminado, ya que no sabemos exactamente cuánto tiempo va durar.

El número de varones de una familia con 5 hijos también es una variable aleatoria que varía de 0 a 5, ya que en una familia de cinco hijos puede que no haya ningún varón, uno, dos, tres, cuatro o cinco varones.

Si las observaciones no se dan en términos numéricos, podemos asignarles números y reducir las observaciones cualitativas al caso cuantitativo; así tenemos que la función que asigna valores numéricos a cada uno de los elementos del espacio muestra con una probabilidad definida, se denomina "variable aleatoria".

Por ejemplo, si se lanza una moneda 3 veces, el número de águilas X es una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2, ó 3; es decir puede que ninguna vez, una sola, dos o tres veces salga águila como resultado; la probabilidad de que X = 2 (dos águilas) es 3/8 ya que el espacio muestra

S = { aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss } Y de estos ocho resultados hay tres en los cuales hay dos águilas.

I.3 Definición clásica de probabilidad

Cuando un experimento aleatorio se repite un gran número de veces, los posibles resultados tienden a presentarse un número muy parecido de veces, lo cual indica que la frecuencia de aparición de cada resultado tiende a estabilizarse.

El concepto o idea que generalmente se tiene del término probabilidad es adquirido de forma intuitiva, siendo suficiente para manejarlo en la vida corriente. Nos interesa ahora la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio.

A esta medida la llamaremos probabilidad del suceso A y la representaremos por p(A). La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

• Al suceso imposible le corresponde el valor 0.

• Al suceso seguro de ocurrir le corresponde el valor 1.

• El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1.

El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde distintos puntos de vista:

• El punto de vista objetivo. • Definición clásica o a priori.

• Definición frecuentista o a posteriori. • El punto de vista subjetivo.

La definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso.

La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Por ende esta definición es de uso limitado puesto que, como ya se dijo, descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones:

1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.

2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.

Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces

Ejemplo I.3-1: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas versión americana de las cuales 26 son negras (13 espadas; 13 son tréboles); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que la carta sea un as es:

porque el evento de “extraer un as" consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea negra es:

y la probabilidad de que sea un diamante es:

.

Ejemplo I.3-2. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par? Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y hay tres pares, luego,

Ejemplo I.3-3: ¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres hijos, hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?

Solución: Usando “a" para niña y “o" para niño, el espacio muestra es: S = {aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo}; n(S) = 8 El evento A en que haya dos niñas y un niño es:

A = {aao, aoa, oaa}; n(A) = 3

Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(S).

I.4 Probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia de eventos

La probabilidad de ocurrencia, es la posibilidad de que ocurra un evento. Usualmente es muy ocupada, por ejemplo al tirar una moneda al aire y pensar si será cara o cruz, estamos usando la probabilidad de ocurrencia. Pero como se mide y para qué sirve.

En el juego de naipes, es muy usada, aunque tú no te des cuenta, por ejemplo: Al querer saber la posibilidad de sacar una carta de color rojo ó una de color negro.

Y es medida de la siguiente manera:

PO= A/T Donde po es la probabilidad de que ocurra un evento. A es el numero de resultados en los que ocurre un evento. T es el total de resultados.

Por ejemplo la probabilidad de ocurrencia de sacar una carta roja es la siguiente A = 26, es el numero de resultados que son cartas rojas.

T = 52, son las cartas de la baraja.

Por lo que la probabilidad seria 26/52 = 0.5*100 = 50% de probabilidad de obtenerla. Con esto observamos que para un determinado evento se puede determinar la probabilidad de ocurrencia de un resultado. De igual manera se puede calcular la no ocurrencia de un determinado resultado, y se calcula de la siguiente manera:

I.5 Probabilidad de la unión de eventos

Si A y B son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra la unión de los dos está dada por:

P(AUB) = P(A) + P(B)

Si A y B no son eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de ocurrencia de A unión B está dada por la fórmula siguiente:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

I.6 Probabilidad condicional

Sean U espacio muestral, A evento de U y B otro evento de U, tal que P ( B ) > 0 , entonces la probabilidad de que ocurra el suceso A , si ya ha ocurrido el suceso B , en otras palabras, la probabilidad condicionada de A dado B ( P ( A | B ) ) se define de la siguiente forma:

Esta definición puede comprenderse al considerar el caso especial en que todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables. Si existe un total de n resultados, entonces:

P(B) = (número de resultados en B)/n Por otra parte,

P(A∩B) = (número de resultados en A∩B)/n En consecuencia,

P(A∩B)/P(B) = (número de resultados en A∩B)/(número de resultados en B)

Por consiguiente, P(A|B) puede interpretarse como la frecuencia relativa del evento a con respecto al número de ensayos que producen un resultado en el evento B.

Ejemplo I.6-1. Los resultados obtenidos de 266 muestras de aire se clasifican de acuerdo con la presencia de 2 moléculas raras. Sean A: el evento formado por todas las muestras en las que se encuentra presente la molécula rara 1, y B: el evento formado por todas las muestras de aire donde está presente la molécula 2. Al utilizar los resultados que aparecen en la tabla I.6-1, se tiene que:

Tabla I.6-1 Moléculas de las muestras de aire

Molécula 1 presente

No Si

No 212 24 Molécula 2 presente Si 18 12

P(molécula 2 presente|molécula 1 presente) = P(B|A)

= P(A∩B)/P(A)

= [12/266] / [36/266]

I.7 Eventos independientes

En algunos casos, la probabilidad condicional de P(A|B) puede ser igual a P(B). En esta

situación especial, el conocimiento de que el resultado del experimento está en A no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que el resultado se encuentre en el evento B.

Ejemplo I.7-1. Supóngase que la producción diaria de 850 partes eléctricas contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente.

Supóngase que se escogen del lote dos partes al azar, pero la primera se devuelve al lote antes de tomar la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado que la primera lo es?

Sean B: el evento en que la segunda parte es defectuosa, y A: el evento en que la primera parte es defectuosa. Con esto, la probabilidad pedida puede expresarse como P(B|A). Dado que la primera parte se devuelve antes de tomar la segunda, el lote aún contiene 850 partes de las cuales 50 son defectuosas. Por consiguiente, la probabilidad de B no depende de lo que haya pasado con la primera parte. Esto es:

Ejemplo I.7-2. La tabla de abajo muestra los resultados obtenidos al analizar 84 muestras de aire con la finalidad de detectar 2 moléculas raras.

Tabla I.7-1 Moléculas de las muestras de aire

Molécula 1 presente

No Si

No 32 24

Molécula 2 presente Si 16 12 Total = 84 muestras de aire

Sean A: el evento donde todas las muestras de aire contienen la molécula 1, y B: el evento donde todas las muestras contienen la molécula 2. Entonces, P(B) = 28/84 = 1/3. Así mismo,

P(B|A) = P(B∩A)/P(A) = (12/84)/(36/84) = 1/3

En este ejemplo, el conocimiento de que la molécula 1 está presente en la muestra no cambia la probabilidad de que la molécula 2 esté presente. El evento B contiene la misma proporción del total de muestras que de muestras en el evento A.

Por otra parte, P(A|B) = P(A) = 3/7 y P(A∩B) = P(A) P(B) = 1/7 De todo esto se llega a la siguiente definición:

Se dice que 2 eventos son independientes si, y solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.

 P(A|B) = P(A)

 P(B|A) = P(B)