ω C) tan θ C) 1 se n θ cos θ tan θ B) sec θ D) sen θ E) 1 csc θ C) senx sen ω + cosω sen ω + + es igual a: csc x sec + D) 1 E) 0

Sesión 4

Unidad II Funciones trigonométricas

.

D. Identidades trigonométricas.

1.- La expresión

1

sin( )

x

es igual a:

A) Sec(x) B) Tan(x) C) Csc(x) D) Cot(x) E) Cos(x)

2.-

sin

2

( )

x

equivale a:

A) Cos2(x) B)

1

+

sin( )

x

C) 1−Cos2(x) D) Tan(x) E) Cot(x)

3.- La expresión

sin( )

cos( )

x

x

es igual a:

A) Tan(x) B) Cot(x) C) Sec(x) D) Csc(x) E) Cos2(x)

4.- El producto de

sec

( )

x

⋅

cos

( )

x

es igual a:

A) −1 B) Cot2(x) C) 1 D) Sec2(x) E) Csc2(x) 5.- La expresión 2

1 cos

tan

θ

θ

−

forma una identidad trigonométrica con:

A)

cos

θ

+

1

B)

sen

2

θ

cos

θ

C)

sen

2

θ

+

1

D)

sen cos

θ

θ

E)

cos

2

θ

6.- La expresión equivalente a

2sen

2

β

+

cos

2

β

es:

A)

sec

β

−

csc

β

B)

cos

2

β −

1

C)

sec

β

csc

β

D)

1

+

sen

2

β

E)

cos

β

+

sen

β

7.- La simplificación de

2

cscθ

2

1+tanθ

es igual a:

A) tan2θ B) 1 C) 2 D) sen2θ E) cot2θ

8.- La expresión

cos

cos

sen

ω

ω

ω

+

forma una identidad trigonométrica con:

A)

1 tan

+

ω

B)

sen

ω

tan

ω

C)

sen

2

ω

D)

cos

2

ω

E)

sen

2

ω

+

1

9.- La simplificación de

cos

csc

sec

senx

x

x

+

x

es igual a: A)

cos

csc sec

senx

x

x

x

⋅

⋅

B)

senx

cos

x

C)

senx

+

cos

x

D) 1 E) 0

10.- La expresión

(

1

+

sen

θ

)(

1

−

sen

θ

)

forma una identidad trigonométrica con:

A)

sec

θ

B)

1

₂

sec

θ

C)

2

sec

θ

tan

θ

D)

sen

2

θ

E)

tan

2

θ

11.- La identidad trigonométrica

se n

4

θ

−

cos

4

θ

es igual a:

A)

se n

2

θ

+

cos

2

θ

B)

tan

2

θ

C) 1 D)

se n

θ

+

cos

θ

E)

se n

2

θ

−

cos

2

θ

12.- La identidad trigonométrica

1

tan

cot

θ

θ

+

es igual a:

A)

tan

2

θ

B)

csc

2

θ

C)

sec

2

θ

D)

sen

θ

E) 1 13.- La expresión

(

sen x

+

cos

x

) (

2

+

sen x

−

cos

x

)

2 es igual a:

A) 0 B) 2 C) 1 D) -1 E) -2

14.- La expresión

sin

2

( )

β

⋅

tan

2

( )

β

es equivalente a:

A) tan β –sen β B) tan ² β + sen ² β C) (tan β - sen β)²

D) tan β – sen ² β E) tan² β –sen ² β 15.- Indica la igualdad que es falsa:

A) Sen(40°)=2 Sen(20°) Cos(20°) B) 1+ Tan2(30°) = Csc2(30°) C) Cot2(24o)+1=Csc2(24) D) Sen2(π) = 1 − Cos2(π) E) Cos(30°+40°)=Cos(30°)Cos(40°)−Sen(30°)Sen(40°)

16.- Aplicando algunas identidades trigonométricas, el valor de

( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

2 sin



_

33

°

+

cos

33

°



_

−

sin 14 cot 14

° °

+

cos 14

°

=

A)

5 3

B)

2

C)

3 3

2

D) 0 E) 1

E. Gráficas de funciones trigonométricas.

17.- La amplitud de una función

f x

( )

= ⋅

A

sin

(

Bx C

+

)

está dada por: A)

A

B

−

B)

B

C)

B

C

D)

A

E)

C

A

18.- La amplitud de

y

=

3cos 2

( )

x

, es: A)

1

2

B) 3 C) 1 D) 2 E)

3

2

−

19.- La amplitud de

y

= −

4 sin

( )

x

, es:

A) 4 B) 1 C) 2 D) -4 E)

1

4

−

20.- La amplitud de

2 cos(3

)

4

y

=

x

−

π

, es: A) 2 B)

2

3

−

C) 3 D)

8

π

E)

12

π

21.- El periodo de una función de la forma

f x

( )

= ⋅

A

cos

(

Bx C

+

)

es:

A)

B

π

−

B)

2

π

B

C)

B

π

D)

2

B

π

E)

C

A

22.- El periodo de una función de la forma

f x

( )

= ⋅

A

tan

(

Bx C

+

)

es: A)

B

π

−

B)

2

π

B

C)

B

π

D)

2

B

π

E)

C

A

23.- El periodo de

3 tan

1

4

y

=



_

x



_





, es: A) 4π B) π C) 2π D)

4

π

E)

3

4

π

24.- El periodo de

y

=

3cos 2

( )

x

, es:

A) 4π B) π C) 3π D) 2π E)

2

π

25.- El periodo de

4 sin

1

2

y

= − ⋅



_

x



_





, es: A) 2π B) 4π C) 3π D)

4

π

E) π 26.- El periodo de

4 cos(

)

4

y

=

x

−

π

, es: A) 4π B) π C) 2π D)

2

π

E)

4

π

27.- El desfasamiento de una función

f x

( )

= ⋅

A

sin

(

Bx C

+

)

es:

A)

C

A

B)

C

C)

B

C

D)

B C

⋅

E)

C

B

28.- El desfasamiento de

y

= −

4 sin

(

x

−

1

)

, es:

A) 4 B) 1 C) 2 D) -4 E)

1

4

−

29.- El desfasamiento de

2 cos(3

)

4

y

=

x

−

π

, es: A) 2 B)

2

3

−

C) 3 D)

8

π

E)

12

π

30.- Si dada la función

f x

( )

= ⋅

A

cos

(

Bx C

+

)

, el cociente de

desfasamiento

C

B

es negativo significa que:

izquierda

C

B

unidades

B) La gráfica de la función

f x

( )

= ⋅

A

cos

( )

Bx

está desplazada hacia arriba

C

B

unidades

C) La gráfica de la función

f x

( )

= ⋅

A

cos

( )

Bx

está desplazada a la derecha

C

B

unidades

D) La gráfica de la función

f x

( )

= ⋅

A

cos

( )

Bx

está desplazada hacia abajo

C

B

unidades

E) La gráfica de la función

f x

( )

= ⋅

A

cos

( )

Bx

está desplazada sobre la recta identidad

C

B

unidades

31.- La gráfica

y

=

3cos

x

, es:

A) B) C)

D) E)

32.- La gráfica de la función

y

=

cos

( )

x

+

1

es:

A) B)

C) D) E)

33.- . La gráfica de la función

f x

( )

=

sen x

( ) 2

−

es:

A) B) C)

D) E)

34.- La gráfica de la función

f

(

x

)

=

−

cos

(

x

+

2

)

es:

D) E)

35.- El dibujo de gráfica de la función

f x

( )

= − −

4 2 cos

( )

x

es:

A) B) C)

D) E)

36.- La gráfica de

y

= −

4

senx

, es:

A) B) C)

D) E)

37.- El dibujo de gráfica de la función

f x

( )

= −

4 2 sin

( )

x

es:

A) B) C)

D) E)

38.- Teniendo el dibujo de gráfica, la función que representa es:

Periodo π A)

4 cos

2

x

y

= −

 

_{ }

 

B)

4 sin

2

x

y

= −

 

_{ }

 

C)

y

=

sin 4

( )

x

D)

y

= −

4 sin 2

( )

x

E)

y

=

cos

(

x

+

4

)

39.- El rango de la función y=

4

3

sin( )

x

es : A) −4 ≤ y ≤ 3 B) 0 < y <

4

3

C)

−

4

3

≤ y ≤

4

3

D) −3 ≤ y ≤ 4 E) −4 ≤ y ≤ 3 40.- El rango de la función y= arcosen(x) es :

A) (−π ; π) B) ( 0 ; π] C) [

−

π

2

;

π

2

]

D) [−2π ; 2π] E) [−π ; π]

41.- El rango de la función trigonométrica

y

=

cos

( )

x

−

4

, para “x” radian es: A) [−4 ; 6] B) [−5 ; −3 ] C) [−4 ; 4 ] D) [−1 ; 1 ] E) [−3 ; −4]

F. Ecuaciones Trigonométricas.

42.- Los valores de “θ “ que satisfacen

cos

(

10

0

)

2

2

θ

+

=

son:

A) {35°, 125°} B) {55°, 325°} C) {35°, 305°} D) {45°, 135°} E) Vacío

43.- La solución para θ (0°< θ <180°) en la ecuación trigonométrica

(

)

(

)

sin

θ

+

40

°

= −

1 sin

θ

+

40

° , es:

A)

150

° B)

30

° C)

125

° D)

110

° E)

95

°

44.- La solución a la ecuación

sin

(

30

0

)

3

2

θ

−

= ±

, para θ ≤ 360° es: A) θ = 90° , 150° , 270° , 330° B) θ = 60° , 120° , 240° , 300° C) θ = 45° , 135° , 270° , 330° D) θ = 75° , 100° , 280° , 330° E) θ = 55° , 125° , 260° , 320°

45.- Al resolver la ecuación

sen

2

θ

+

sen

θ

− =

2

0

, para encontrar el valor de

x,

0

° ≤ ≤ °

θ

90

, se obtiene:

A) 10° B) 20° C) 40° D) 60° E) 90°

46.- La solución a

cos 40

(

−

θ

)

=

cos

θ

, para

0

° ≤ ≤ °

θ

90

se obtiene: A) 20° B) 30° C) 40° D) 60° E) 90°

47.- La solución en

θ

para la ecuación

2 cos

2

( )

θ

+ =

1 3cos

( )

θ

es: A)

{

30 ,120 ,180 , 300

0 0 0 0

}

B)

{

0 , 30 ,120 , 330

0 0 0 0

}

C)

{

0 , 60 ,120 , 270

0 0 0 0

}

D)

{

60 ,180 , 270

0 0 0

}

E)

{

0 , 60 , 300 , 360

0 0 0 0

}

48.- El conjunto solución de la ecuación

2sin

2

θ

−

cos( ) 1

θ

− =

0,

0

0

≤ ≤

θ

360

, es:

A)

{

30 ,120 , 270

0 0 0

}

B)

{

60 ,180 ,300

0 0 0

}

C)

{

60 ,120 , 250

0 0 0

}

D)

{

60 ,180 , 330

0 0 0

}

E)

{

30 ,180 , 330

0 0 0

}

49.- El conjunto solución de la ecuación

2cos

2

θ

−

sen

( ) 1

θ

− =

0,

0

0

≤ ≤

θ

360

, es:

A)

{

30 ,150 , 270

0 0 0

}

B)

{

60 ,150 , 300

0 0 0

}

C)

{

60 ,120 , 270

0 0 0

}

D)

{

60 ,120 , 270

0 0 0

}

E)

{

30 , 225 , 300

0 0 0

}

50.- Determina todas las soluciones de la ecuación

sen

( )

x

+ =

1

cos

( )

x

en el intervalo

[

0, 2π

]

son: A) 0 y

3

2

π

B) 0 C) 0,

π

,

3

2

π

y

2

π

D)

2

3

π

E)

π

y

2

π

51.- Las soluciones de la ecuación

cos

2

( )

x

= −

2 cos

( )

x

en el intervalo

[

0, 2π

]

son: A) –2 y 1 B)

2

π

C)

4

π

D) 0 y

2

π

E) 1

G. Ley de senos.

52.- El valor de “x” que satisface el triángulo siguiente: 5 15° 30° x A)

5

2

B) 1 C)

2

5

D)

1

5 2

E)

5 2

53.- La magnitud del lado a en el triángulo siguiente es:

C

B

A

a

40° 100°

c=20 u

A) 10.50 u B) 13.05 u C) 10.05 u D) 11.05 u E) 10.00 u

54.- Un árbol que está en una ladera tiene una inclinación de

12

con la horizontal. A una distancia de 45 mts, colina abajo desde el pie del árbol, el ángulo de elevación hasta su parte superior es de

39

.¿Cuánto mide el árbol?

A) 26.29 m B) 77 m C) 36.77 m D) 36.44 m E) 22.92 m

55.- Dado el triángulo siguiente, calcula el valor de x:

x

28

400 300

A) x=21u B) x=0.0147u C) x=21.78u D) x=21u E) x=31.68u

56.- La diagonal mayor de un paralelogramo ( ver figura) mide 35 cms. Y forma ángulos de

25

 y

32

 con los lados, determina los lados de la figura:

32o 35 cm b 25o a A) a = 31.72 cms. y b = 14.79 cms B) a = 22.11cms. y b = 17.63 cms. C) a = 21.70.cms. y b = 17.52 cms. D) a = 56.45 cms. y b = 69.16 cms. E) a = 18.57 cms. y b = 29.68 cms.

57.- Un papalote en forma de rombo tiene ángulos internos menores de 60O y sus lados miden 70 cm. ¿Cuál es la medida de la diagonal mayor?

60O 70 cm 60O 70 cm A)

70

3

B) 140 C)

70 2

D)

70

2

E)

70 3

58.- Dado el triángulo siguiente, calcula el valor de x :

59.- Calcula la distancia entre los puntos A y B si el punto C está a 375 m de A y a 530 m de B y el ángulo BAC = 49º 30´

49 30 '

o 375 530

x

A

C

B

A) 509.56 B) 609.56 C) 375.26 D) 590.56 E) 690.2

60.- Si un topógrafo encontró que la distancia entre dos puntos A y B es de

075

.

513

metros. El Topógrafo se ayudo de un tercer punto C y la distancia BC es de

540

metros y el ángulo ACB mide

63°

10

'

. ¿A qué distancia están A y C?

A)

424

m B)

417.7

m C)

411

m D)

420.06

m E)

429.6

m 61.- Para determinar la distancia entre 2 puntos A y B que están en orillas

opuestas de un río, un topógrafo determina un segmento AC de 240 m. de longitud a lo largo de una orilla, y determina que las medidas del ángulo BAC y del ángulo ACB son 54º10’ y 63º20’, respectivamente. Calcula la distancia de A a B.

A) 262.16 m B) 238.29 m

C) 241.79 m D) 251.72 m E) 258.50 m

H. Ley de cosenos.

62.- Si un niño futbolista quiere tirar a la portería teniendo un ángulo horizontal de tiro de 60°

y estando a 4 mts. del poste más 4 60° 10 cercano y 10 mts. del poste más lejano,

entonces la portería mide exactamente en metros:

A)

2 19

B)

2 3

C)

2 29

D)

2 39

E)

5 3

2

63.- Dos aviones parten en línea recta, simultáneamente del aeropuerto de la ciudad de México, formando sus direcciones un ángulo de 60° entre sí. Después de 30 min. el primer avión se encuentra a 150 km. del aeropuerto y el segundo a 220 km. La distancia entre los aviones es: (Redondea a km.)

A) 207 B) 234 C) 260 D) 195 E) 172

64.- El valor del ángulo α en el triángulo escaleno siguiente es :

8 5

α 7

A) 45° B) 35° 23´ C) 38° 12´ D) 40° 25´ E) 67° 8´ 65.- Un terreno de forma triangular tiene un lado que mide 175 metros y otro lado

150 metros, el ángulo entre estos dos lados es de

73

, la longitud del tercer lado es:

A) 194.35 m B) 185.5 m C) 175.2 m D) 201 m E)175.1 m

66.- Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad y viajan por carreteras rectas que forman un ángulo de 84° entre sí. Las velocidades de los vehículos son 60 Km/h y 45 Km/h respectivamente. ¿A qué distancia aproximada se encuentran después de 20 min?

A) 1422.7 km. B) 23.7 km. C) 38.2 km. D) 71.1 km. E) 18.6 km.

67.- Desde un punto en tierra firme dos islas están a 3.25 kms y 4.65 kms de distancia. Si el ángulo de la visual entre las islas es de 109º.

¿Cuál es la distancia entre ellas?

A) 6.48 kms. B) 7.49 kms. C) 5.84 kms. D) 6.94 kms. E) 4.72 kms .

68.- ¿Cuánto valen los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 5, 8 y 11 metros ( ver figura)?

C) A= 100º, B = 30º, C= 50º D) A= 26º, B = 33º , C= 121º

E) A= 24º 37´, B = 41º48´ , C= 113º34´

69.- Calcular el valor del ángulo C en el triangulo

70.- ¿Cuánto mide el valor “a” del triángulo?

Tarea sesión 4

1.- La expresión

1

cos( )

x

es igual a:

A) Cos(x) B) Sec(x) C) Csc(x) D) Tan(x) E) Cot(x)

2.- La recíproca de Sec(x) es:

a) angsen(x) b) Cos(x) c) Tan(x) d) Cot(x) e) Csc(x)

3.- Dada Tan(x) + Cot(x) la expresión equivalente es:

A) 1 + Sen(x) B) Sec(x) – Csc(x) C) Cos2(x) – 1

D) Sec(x)Csc(x) E) Tan(x)Cos(x)

4.- La expresión recíproca de Tan(x) es:

A) Sen(x) B) Cos(x) C) Cot(x) D) Sec(x) E) Csc(x)

5.- La expresión

cot

θ

(

cot

θ

+

tan

θ

)

es igual a:

A)

sen

2

( )

θ

B)

sec

2

( )

θ

C)

csc

( )

θ

D)

csc

2

( )

θ

E)

sen

( )

θ

6.- La gráfica de la función

y

=

sen

( )

x

+

1

es:

A) B) C) D) E)

A) 68.5° B) 48.6°

C) 28.5° D) 38.5°

E) 42.02°

A) 7.5u B) 10.5 u

C) 8.5 u D) 9.5 u

E) 11 u

7.- La gráfica de la función

y

=

4

sen

4

x

es: A) B) C) D) E) 8.- La gráfica de

4 cos(

)

4

y

=

x

−

π

, es: A) B) C) D) E)

9.- La gráfica de la función

y

= −

2

sen

2

x

es:

A) B) C)

D) E)

10.- Los valores de

θ

,

0

0

≤ ≤

θ

360

0 que satisfacen

(

0

)

2 cos

θ

+

10

− =

1

0

son:

A)

{

50 ,110

0 0

}

B)

{

50 , 290

0 0

}

C)

{

70 , 310

0 0

}

D)

{

40 ,160

0 0

}

E)

{

60 , 300

0 0

}

11.- Resuelve

tan

( )

x

=

tan

(

π

−

2

x

)

, para

0

0

≤ ≤

x

90

0 se obtiene: A) 20O B) 30O C) 40O D) 60O E) 90O

12.- La solución en

θ

para la ecuación

2 sin

2

( )

θ

+

sin

( )

θ

=

1

es: A)

{

60 ,150 , 300

0 0 0

}

B)

{

30 ,120 , 330

0 0 0

}

C)

{

60 ,120 , 270

0 0 0

}

D)

{

30 ,150 , 270

0 0 0

}

E)

{

30 , 90 , 225

0 0 0

}

13.- Los valores de

θ

,

0

0

≤ ≤

θ

360

0 que satisfacen

(

0

)

2 sin

θ −

10

− =

1

0

son:

A)

{

50 ,150

0 0

}

B)

{

20 ,140

0 0

}

C)

{

35 ,125

0 0

}

14.- Los lados

a

y

b

del siguiente triángulo son

A)

a

=3.23,

b

=3.55 B)

a

=2.43,

b

=4.35

C)

a

=2.21,

b

=3.59 D)

a

=1.22,

b

=2.75 E)

a

=4.25,

b

=3.23 15.- Calcula el valor de

x

en el triángulo siguiente

0

40

30

0

28

x

A) 20.7 B) 19.78 C) 22.78 D) 21 E) 21.78

16.- El ángulo en una esquina de un terreno triangular es de 73 40'° y los lados que se cortan en esa esquina tienen 175 y 150 pies de longitud. ¿ Cuál es la longitud del tercer lado?

A) 38361 pies B) 196 pies C) 15089 pies D)123 pies E)248 pie

17.- Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad, y viajan por carreteras rectas que forman un ángulo de 80° entre sí. Las velocidades de los vehículos son 60 mi/h y 45 mi/h, respectivamente. ¿A qué distancia aproximadamente se encuentran 20 minutos después?

A) 118.81 millas B) 11.80 millas

C) 228.21 millas D) 139.19 millas E) 22.82 millas

18.- Un topógrafo encontró que la distancia entre dos puntos A y B es de

350

metros, ayudándose de un tercer punto C. Si el ángulo ABC mide

'

58

24°

y las distancias AC y BC son

180

y

420

metros respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

A)

54°

'8

B)

55 11'

°

C)

20°

35

'

D)

53°

37

'

E)

55°

'9

Tarea sesión 4 1.- A B C D E 2.- A B C D E 3.- A B C D E 4.- A B C D E 5.- A B C D E 6.- A B C D E 7.- A B C D E 8.- A B C D E 9.- A B C D E 10.- A B C D E 11.- A B C D E 12.- A B C D E 13.- A B C D E 14.- A B C D E 15.- A B C D E 16.- A B C D E 17.- A B C D E 18.- A B C D E

Aciertos:___________ de _________

Calificación:_______________