Tema 5. Geometría de masas 1.

Tema 5. Geometría de masas 1.

Profesorado

Grupo A: María Tirado Miranda

Grupo B: Jorge Portí Durán

• 1. Introducción. Centro de masas y centroide.

• 2. Determinación de centroides por integración.

• 3. Centroide de figuras compuestas.

• 4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas

de Pappus-Guldin.

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Geometría de masas: parte de la Mecánica cuyo objetivo es el estudio del cálculo y propiedades del centro de masas, momentos de y productos de inercia.

Centro de masas de un sistema de partículas.

1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 n i i n i CM _{n i} i i i i m r m r m r R m r m m M m = = = + + ≡ = = + +

∑

∑

∑

… … 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 n CM i i i n CM i i i n CM i i i m x m x X m x m m M m y m y Y m y m m M m z m z Z m z m m M = = = + + = = + + + + = = + + + + = = + +

∑

∑

∑

… … … … … … M R_CM

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Ejemplo. Determine el centro de masas del sistema de partículas siguiente:

(

)

(

)

4 1 4 1 33.5, 12.5, 16 11.5 2.9130, 1.0870, 1.3913 m i i i CM i i m r R m = = − − = − − =

∑

= =

∑

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 3 3 4 4 2 kg 1,1, 2 m 1.5 kg 3, 7, 6 m 3 kg 2, 2, 3 m 5 kg 5, 2, 4 m m r m r m r m r = = − = = − = = − = = − − R_CM M

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Centro de gravedad de un sistema de partículas: centro del sistema deslizante de vectores paralelos que constituyen todos los pesos de las partículas. 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 n i i i i CG _n i i i m g r m g r m g r R m g m g m g = = + + ≡ = + +

∑

∑

… … Si la aceleración de la gravedad es

un vector vertical constante y

uniforme, entonces 1 1 1 1 1 1 n n i i i i i n i i CG _{n n i} i CM i i i i i i m g r m gr R m r R M m g m g = = = = = =

∑

=

∑

=

∑

=

∑

∑

Mg _R CG

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Centro de masas de cuerpo continuo. 1 1 1 1 n i i n i CM _{n i} i i i i m r R m r M m = = = ≡

∑

=

∑

∑

(

)

(

)

(

)

, , , , 1 , , V M CM M V V r x y z dv rdm R dm x y z dv r x y z dv M ρ ρ ρ ≡

∫

=

∫

=

∫

∫

∫

dm X Y Z r Centro de masas de cuerpo discreto 1 i i n i _V m dm dV r r ρ = ↔ = ↔ ↔

∑

_∫

Transformación

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Centro de masas de un cuerpo continuo.

(

)

(

)

(

)

, , 1 , , , , V M CM V M V r x y z dv rdm R r x y z dv M dm x y z dv ρ ρ ρ ≡

∫

=

∫

=

∫

∫

∫

dm X Y Z r

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

, , 1 , , , , , , 1 , , , , , , 1 , , , , V CM V V V CM V V V CM V V x x y z dv X x x y z dv M x y z dv y x y z dv Y y x y z dv M x y z dv z x y z dv Z z x y z dv M x y z dv ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = = = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Centroide de un cuerpo continuo.

1 V C V V rdV R rdv V dV ≡

∫

=

∫

∫

1 1 1 V C V V V C V V V C V V xdv X xdv V dv ydv Y ydv V dv zdv Z zdv V dv = = = = = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

dm X Y Z r

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

(

)

(

)

(

)

, , , , , , V CM V V V C V V r x y z dv x y z cte R x y z dv rdv rdv R dv dv ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = ⇒ = = = = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

CM C CM C _{CM C} CM C X X R R Y Y Z Z = ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ⇒ _⎨ = _⎬ ⎪ ₌ ⎪ ⎩ ⎭

Caso particular: cuerpos continuos homogéneos.

dm

X

Y Z

r

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Caso particular: cuerpos bidimensionales continuos (contenidos

en el plano Z=0).

₍

₎

(

)

(

)

, 1 , , , S M CM S M S r x y ds rdm R r x y ds M dm x y z ds σ σ σ =

∫

=

∫

=

∫

⇒

∫

∫

(

)

(

)

1 1 , , CM CM S S X x x y ds Y y x y ds M σ M σ =

∫

=

∫

1 S C S S rds R rds S ds =

∫

=

∫

∫

1 1 C C S S X xds Y yds S S =

∫

=

∫

Para cuerpos bidimensionales continuos y homogéneos: ,

CM C _{CM C CM C}

1. Introducción. Centro de masas y centroide.

Caso particular: cuerpos unidimensionales continuos.

( )

( )

( )

1 C M CM C M C r l dl rdm R r l dl M dm l dl λ λ λ =

∫

=

∫

=

∫

⇒

∫

∫

( )

( )

( )

1 1 1 CM CM C C CM C X x l dl Y y l dl M M Z z l dl M λ λ λ = = =

∫

∫

∫

1 L C C L rdl R rdl L dl =

∫

=

∫

∫

1 1 1 C C C C C C X xdl Y ydl Z zdl L L L =

∫

=

∫

=

∫

Para cuerpos unidimensionales continuos y homogéneos:

, , CM C _{CM C CM C CM C} R = R ⇒ X = X Y =Y Z = Z dm X Y Z r

2. Determinación de centroides por integración.

1) Cuerpos unidimensionales continuos.

1 1 1 1 L C _{C C C} C C C C L rdl R rdl X xdl Y ydl Z zdl L L L L dl =

∫

=

∫

⇒ =

∫

=

∫

=

∫

∫

Ya hemos visto que en este caso es necesario calcular cuatro integrales

Por tanto las integrales a calcular son: 1

L

I =

∫

dl es decir, la longitud de la curva 2

C

I =

∫

xdl ₃

C

I =

∫

ydl

Veamos algunos ejemplos sencillos.

4

C

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de una varilla homogénea de longitud L

[ ]

1 ₀ 0 L L C I =

∫

dl =

∫

dx = x = L 2 2 2 0 2 0 2 L L C x L I = xdl = xdx = ⎡ ⎤_{⎢ ⎥} = ⎣ ⎦

∫

∫

3 0 0 0 L C I =

∫

ydl =

∫

dx = 3 1 1 0 C C I Y ydl L I =

∫

= = 2 2 1 1 2 2 C C I L L X xdl L I L =

∫

= = =

X

Y

x dx

L

4 0 0 0 L C I =

∫

zdl =

∫

dx = 4 1 1 0 C C I Z zdl L I =

∫

= = dl = dx

X

Y

L l dl dx dy

2. Determinación de centroides por integración.

Sobre la elección de los ejes de referencia:

Centroide de una varilla que forma un ángulo θ con el eje X

[ ]

cos cos 2 1 ₀ 0 2 1 tan 1 tan cos L L C I dl dx x L L θ θ θ θ θ = = = + = = + =

∫

∫

cos cos 2 2 2 2 2 0 0 cos 1 tan 1 tan 2 2 L L C x L I xdl x dx θ θ _θ θ θ ⎡ ⎤ = = + = + _{⎢ ⎥} = ⎣ ⎦

∫

∫

3 1 1 sin 2 C I Y L I θ = = 2 1 1 cos 2 C I X L I θ = =

(

)

2 2 2 2 2 tan 1 tan dl = dx +dy = dx + θdx = + θdx cos cos 2 2 2 2 3 0 0 sin

tan 1 tan tan 1 tan

2 2 L L C x L I ydl x dx θ θ _θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = = + = + _{⎢ ⎥} = ⎣ ⎦

∫

∫

0 C Z =

Mismo resultado anterior: el cálculo del centroide no depende de elección de ejes elegir orientación de ejes más sencilla.

Centroide a L/2 de cada extremo

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un arco de circunferencia de ángulo 2θ y radio R

[ ]

1 2 C I dl Rd R R θ θ θ θ ϕ ϕ ₋ θ − =

∫

=

∫

= =

[

]

2 2 2 2 cos

cos sin 2 sin

C I xdl xRd R Rd R d R R θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ − − − − = = = = = = =

∫

∫

∫

∫

3 1 0 C I Y I = = 2 2 1 2 sin sin 2 C I R R X I R θ θ θ θ = = =

( )

( )

cos sin x = R ϕ y = R ϕ ⇒ dl = Rdϕ

[

]

3 2 2 sin

= sin cos 0 (simetría)

C I ydl yRd R Rd R d R θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − − = = = = = − =

∫

∫

∫

∫

Si 2θ π= ⇒ θ = 2π ⇒ =L 2Rπ

X

Y

R d l d 0 C Z =

2. Determinación de centroides por integración.

Representación paramétrica de la curva:

Cálculo en coordenadas paramétricas.

Elemento de longitud:

( )

x , x x t dx dt t ∂ = ⇒ = ∂

( )

, y y y t dy dt t ∂ = ⇒ = ∂

( )

. z z z t dz dt t ∂ = ⇒ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z dl dx dy dz dt dt dt dt t t t t t t ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + = _{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Entonces, en el ejemplo anterior,

( )

( )

( )

( )

cos sin sin cos x R y R x y R R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = ⎫ ⎪ ⇒ ∂ _{= −} ∂ ₌ ⎬ ⎪ ∂ ∂ _⎭

(

( )

)

(

( )

)

2 2 2 2 sin cos x y dl d R R d Rd ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ = _{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} = ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + =

( )

( ) . ( ) x x t y y t a t b z z t = ⎫ ⎪ = _⎬ ≤ ≤ ⎪ = _⎭

Mismo resultado, obtenido sin más que aplicar fórmula anterior y sin necesidad de representar la curva.

2. Determinación de centroides por integración.

2) Cuerpos bidimensionales continuos.

1 1 1 1 S C _{C C C} S S S S S rds R rds X xds Y yds Z zds S S S S ds =

∫

=

∫

⇒ =

∫

=

∫

=

∫

∫

Ya hemos visto que en este caso es necesario calcular tres integrales

Por tanto las integrales a calcular son: 1

S

I =

∫

ds _{es decir, la longitud de la curva}

2

S

I =

∫

xds ₃

S

I =

∫

yds

Dada una superficie, hay más de una forma de dividirla en trozos

infinitesimales. Veamos algunas posibilidades para determinar el

centroide de un rectángulo.

4

S

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un rectángulo de base b y altura h

1 0 0 b b S I =

∫

ds =

∫

hdx = h dx

∫

= bh X Y _b h X Y dx b h X Y _b h dy 1 0 0 h h S I =

∫

ds =

∫

bdy = b dy

∫

= bh 2 2 0 0 1 2 b b S I =

∫

xds =

∫

xhdx = h xdx

∫

= b h 2 0 0 ??? h h S I =

∫

xds =

∫

xbdy = b xdy

∫

= 2 3 0 0 1 2 h h S

I =

∫

yds =

∫

ybdy =b ydy

∫

= bh

3 ???

S S S

I =

∫

yds =

∫

yhdx = h ydx

∫

=

3 1 1 2 C I Y h I = = 2 1 1 2 C I X b I = =

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un rectángulo de base b y altura h

[

1, 2

]

[

1, 2

]

A = a a B = b b

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

A B A B A B B A f x y dxdy f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy × × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ < ∞ ⇒ = _{⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

Teorema de Fubini:

Sean dos intervalos reales

Sea una función real de dos variables reales f x y

(

,

)

∈

Si la integral doble es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a las dos integrales iteradas:

Esto ocurre cuando la función está acotada y los intervalos son también acotados.

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un rectángulo de base b y altura h

( )

1 ₀ 0 0 b b h S S I =

∫

ds =

∫

dxdy =

∫ ∫

dy dx =

∫

hdx = bh X Y _b h X Y _b h dx dy

( )

1 ₀ 0 0 h h b S S I =

∫

ds =

∫

dxdy =

∫ ∫

dx dy =

∫

bdy = bh

( )

2 2 0 0 0 0 1 2 b b b h S S I =

∫

xds =

∫

xdxdy =

∫ ∫

x dy dx =

∫

xhdx = h xdx

∫

= b h

( )

2 2 2 3 ₀ 0 0 0 1 1 1 2 2 2 b b b h S S

I =

∫

yds =

∫

ydxdy =

∫ ∫

ydy dx =

∫

h dx = h

∫

dx = bh

2 2 1 1 1 2 2 C b h I X b I bh = = = 2 3 1 1 1 2 2 C bh I Y h I bh = = =

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un rectángulo: detalles de la doble itegración

1 S S I =

∫

ds =

∫

dxdy = X Y _b h

( )

0 0 b h d dy x =

∫

∫

0 b hdx =

∫

bh

( )

0 2 2 0 0 1 2 h b b S S I =

∫

xds =

∫

xdxdy =

∫

x

∫

dy dx =

∫

hxdx = b h

( )

2 3 ₀ 0 0 2 1 2 1 2 h b b S S ydy I =

∫

yds =

∫

ydxdy =

∫

∫

dx =

∫

h dx = bh 2 2 1 1 1 2 2 C b h I X b I bh = = = 2 3 1 1 1 2 2 C bh I Y h I bh = = =

2. Determinación de centroides por integración.

Sobre el orden en el que se calculan las integrales dobles.

( ) ( )

( )

1 ₀ 0 0 0 b S S h h b dy I =

∫

ds =

∫

dxdy =

∫

∫

dx =

∫

dy

∫

dx = hb

( ) ( )

0 0

( )

2 2 0 0 1 2 h b b S S h I =

∫

xds =

∫

xdxdy =

∫

x

∫

dy dx =

∫

dy

∫

xdx = h b

( ) ( )

0

( )

2 3 ₀ 0 0 1 2 b h h b S S

I =

∫

yds =

∫

ydxdy =

∫

∫

ydy dx =

∫

ydy

∫

dx = h b

• En los cálculos anteriores se ha realizado la integral doble primero integrando respecto de y, para después hacer la integral sobre x.

• No obstante, los límites de la primera integral son constantes (0 y h), de modo que la integral sobre y es una constante que puede sacarse de la integral en x.

• En definitiva, en este caso particular en el que los límites de integración son independientes, la integral doble se puede evaluar multiplicando dos integrales simples. Este hecho se basa en el teorema de Fubini.

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un rectángulo de base b y altura h

[

1, 2

]

[

1, 2

]

A= a a B = b b

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1 2 1 2 1 2 A B A B A B f x f y dxdy f x f y dxdy f x dx f y dy × × < ∞ ⇒ =

∫

∫

∫

∫

Teorema de Fubini: caso particular importante

Sean dos intervalos reales de límites a_i y b_i

independientes

Sea una función real factorizable de dos variables reales

(

,

)

1

( ) ( )

2

f x y = f x f y ∈

Si la integral doble es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual al producto de las dos integrales en cada variable:

Como en el ejemplo anterior, esta posibilidad de evaluar la integral doble multiplicando dos integrales simples ocurre cuando la función está

acotada y los intervalos son también acotados por límites

2. Determinación de centroides por integración.

Integral doble entre dos curvas.

Hasta ahora las integrales estaban planteadas en intervalos de números reales, y por tanto las variables de integración no estaban ligadas.

En este caso, si se sigue cumpliendo la convergencia en valor absoluto de la integral, la integral de superficie se calcula de una de las dos opciones siguientes:

El caso más general posible es en el que hay un par de expresiones que ligan las variables de integración de una de las dos formas siguientes:

( )

( )

1 2 y = g x y = g x

(

)

2

(

2_{( )}( )

(

)

)

1 1 , x g x , x g x f x y dxdy = f x y dy dx

∫

∫ ∫

( )

( )

1 2 x = h y x = h y

(

)

2

(

2_{( )}( )

(

)

)

1 1 , y h x , y h x f x y dxdy = f x y dx dy

∫

∫ ∫

Ahora las integrales dobles se realizan necesariamente en dos pasos, siguiendo el orden en el que se definen los límites de integración.

X Y _b h dx dy -h/b (x-b)

2. Determinación de centroides por integración.

Ejemplo: centroide de un triángulo rectángulo de base b y altura h.

2 2 1 1 1 6 1 ₃ 2 C b h I X b I _bh = = = 2 3 1 1 1 6 1 ₃ 2 C bh I Y h I _bh = = = ( )

(

)

1 ₀ 0 2 0 0 1 2 2 b h x b b S S b b I ds dxdy dy dx h h x x b dx bx bh b b − − ⎛ ⎞ = = = _{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛_{− −} ⎞ _{= − − =} ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ _{⎣ ⎦}

∫

∫

∫ ∫

∫

( )

(

)

3 2 2 2 0 0 0 0 1 3 2 6 b b h b x b b S S h h x x I xds xdxdy xdy dx x b xdx b b h b b − − ⎛ ⎞ _{⎛ ⎞} ⎡ ⎤ = = = _{⎜ ⎟} = _⎜− − _⎟ = − _⎢ − _⎥ = ⎝ ⎠ _{⎣ ⎦} ⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

∫

( ) ( )

(

)

2 2 2 ₂ 3 ₀ 2 0 0 0 0 1 1 2 2 6 h x b b h b _b b x b b S S y h

I yds ydxdy ydy dx dx x b dx bh

b − − − − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = = = _{⎜ ⎟} = _{⎢ ⎥} = − = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

2. Determinación de centroides por integración.

Ejemplo: centroide de una pieza plana.

2 1 1 2 C I X a I = = 3 1 2 5 C I Y I b = =

( )

(

)

2 1 0 2 0 2 3 2 3 a mx kx S S a I ds dxdy dx mx d a m a k kx dx y = = = = − = −

∫

∫

∫

∫

∫

(

2

)

(

)

2 0 0 2 3 4 3 4 mx k a x a S S I =

∫

xds =

∫

xdxdy =

∫

∫

xdy dx =

∫

mx kx− xdx = a m − a k

(

2

)

2 3 0 0 5 2 3 2 2 1 6 10 2 mx a a S mx kx x S k y I yds ydxdy ydy dx ⎡_⎢ ⎤_⎥ dx a m − a k ⎣ = ⎦ =

∫

=

∫

=

∫

∫

∫

=

X

Y

_a b dx dy

mx

kx^2

2 2 b b ma m a b b ka k a ⎫ = _{⇒ = ⎪⎪} ⇒ ⎬ ⎪ = ⇒ = ⎪⎭

2. Determinación de centroides por integración.

Centroide de un sector circular de ángulo 2θ y radio R.

( )

( )

3 2 2 1 2 sin 2 3 _sin 3 C R I X R I R θ θ θ = = = Y_C = 0 2 1 0 R S S I ds d d d d R θ θ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ θ − =

∫

=

∫

=

∫

∫

=

( )

( )

( )

2 2 3 0 cos 2 cos sin 3 S S S R I xds x d d d d d d R θ θ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ θ − = = = = =

∫

∫

∫

∫

∫

( )

2

( )

3 0

sin sin 0 (simetría)

R S S S I yds y d d d d d d θ θ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ − =

∫

=

∫

=

∫

=

∫

∫

= X Y R d l d d

( )

( )

cos sin x = ρ ϕ y = ρ ϕ ds = dxdy = dρ ρ ϕd

3. Centroide de figuras compuestas.

Rc1 X Y Z 2 Rc2 1

Gracias a la linealidad de la integral, es

posible descomponer el cálculo del

centroide de una pieza compleja en partes simples.

Una vez realizado el cálculo del centroide para cada parte, se obtiene el centroide del cuerpo completo. 1 1 2 1 2 2 _{1 1 2 2} 1 2 1 2 1 2 1 2 V V _{C C} V V V C V V V V V xdv ydv xdv xdv ydv V V _{V X V X} X V V V V dv dv dv + + + = = = = + + +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

1 1 2 2 1 2 C C C V Y V Y Y V V + = + 1 1 2 2 1 2 C C C V Z V Z Z V V + = +

3. Centroide de figuras compuestas.

Ejemplo: determine el centroide de la pieza de la figura

X Y Z 2 1 16 c m 14 cm 3

(

)

1 8, 0, 0 cm ₁ 16 cm C R = L = RC2 =

(

0, 7, 0 cm

)

L₂ =14 cm 3 ₂ 28 2 0, , 8 cm 7 cm C R L π π π ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ 2 2 2 cm cm cm cm cm cm cm 1 8 0 0 16 128 0 0 2 0 7 0 14 0 98 0 3 0 8.9127 8.9127 0 196.00 196.00 51.991 2 1 128.0 1.9911 0 294.00 196.00 Ci Ci Ci i i Ci i Ci i Ci Cuerpo X Y Z L L X L Y L Z Total 5.6549cm i Ci i C L Y Y L =

∑

= 2.4620cm i Ci i C L X X L =

∑

= 3.7699cm i Ci i C L Z Z L =

∑

=

3. Centroide de figuras compuestas.

2 1 X Y 3 4 50 mm 50 mm 30 mm 25 mm 25 mm 50 mm

Es posible calcular centroides de piezas a las que les falten trozos considerando la figura final como una sin agujero superpuesta a una superficie de área negativa.

Ejemplo: determine el centroide de la pieza de la figura.

En este ejemplo el cuerpo 1 es un rectángulo de 50 mm x 50 mm y el 4 es un círculo de área negativa. Distancias en mm, áreas en mm2_.

(

)

1 0,25 ₁ 5000 C R = S = 2 ₂ 1 1 50 50 50 1 50 3 , 2 3 C R = ⎛⎜ ⎞⎟ S = ⎝ + ⎠

(

_{) ( )}

(

_{) ( )}

3 ₃ 2·50sin 4 2·50sin 4 cos 4 50 cos 4 625 3 4 , 3 4 C R π π π π S π π π ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ = ⎝− ⎠

(

)

4 0 25, ₄ 225 C R = S = − π

3. Centroide de figuras compuestas.

2 1 X Y 3 4 50 mm 50 mm 30 mm 25 mm 25 mm 50 mm

Ejemplo: determine el centroide de la pieza de la figura.

2.7753mm i Ci i C S X X S =

∑

= − 44.0281mm i Ci i C S Y Y S =

∑

= 2 2 4 4 4 4 4 4 4 (mm ) (mm ) 1 0 125000 2 2.0833·10 8.333·10 3 .1667·10 13.985·10 4 0 1.767·10 33.051· 4 2.0836·10 10 Ci i Ci i Cuerpo X S Y S Total − − − 2 (mm) (mm) (mm ) 1 0 25 5000 2 16.6 66.6 1250 21.2207 71.2 3 4 0 207 1963.5 706.858 7506.64 25 C C Cuerpo X Y S Total − −

4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas

de Pappus-Guldin.

Fueron formulados por el geómetra griego Pappus de Alejandría y reformulados por el matemático suizo Guldin.

Se refieren a áreas y volúmenes de revolución generadas a partir de curvas planas.

Su utilidad está en:

- cálculo de superficies y volúmenes de cuerpos de revolución - determinación de centroides de cuerpos de revolución.

4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas

de Pappus-Guldin.

2 L C S = πY L L (Xc,Yc)

Primer teorema de Pappus- Guldin:

el área lateral que genera una curva plana al girar alrededor de un eje contenido en su plano y que no la corta es igual al producto de la longitud de la línea por la longitud de la circunferencia que describe su centroide en su giro alrededor de dicho eje.

4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas

de Pappus-Guldin.

2 _C

V = πY S Segundo teorema de Pappus- Guldin:

el volumen que genera una superficie plana al girar alrededor de un eje contenido en su plano y que no la corta es igual al producto del área de la superficie por la longitud de la circunferencia que describe su centroide en su giro alrededor de dicho eje.

R (Xc,Yc)

4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas

de Pappus-Guldin.

Ejemplo: área lateral y volumen de un cono de radio R y altura h.

1 2 2 2 2 2 2 2 L C R h R S = πY L = π + =πR R + h 2 ₂ 2 1 1 1 2 3 2 3 C V = πY S = π R hR = πR h L (Xc2,Yc2 R h L (Xc1,Yc1) R h 2 2 L = R −h

4. Centroide de cuerpos de revolución. Teoremas

de Pappus-Guldin.

3 4 3 V = πR R (Xc,Yc)

Ejemplo: centroide de un sector semicircular de radio R.

2 1 2 S = πR 3 2 4 1 2 2 3 2 4 3 C C C V πY S πR πY R Y R π π = ⇒ = ⇒ =

(

)

2 sin 2 4 3 2 3 C R R Y π π π = = Por integración: