Métodos de solución de ED de primer orden

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Métodos de solución de ED de primer orden

2.3

Ecuaciones diferenciales lineales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales.

Unaecuación diferencial linealde primer orden es de la forma a0.x/

dy

dx Ca1.x/yDg.x/; donde a0.x/¤0:

Unaecuación diferencial lineal homogéneade primer orden es de la forma

a0.x/

dy

dx Ca1.x/yD0; donde a0.x/¤0 : Observación. En este casog.x/D0.

Ejemplo 2.3.1 Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales:

1. xy0 y Dx2. 2. y2x0_C2yxD3y. 3. .2yC1/ dxC.y2x y x/ dyD0. H Ahora tenemos: 1. a0.x/Dx,a1.x/D 1 &g.x/Dx2.

xes la variable independiente y la variable dependiente esy. 2. a0.y/Dy2,a1.y/D2y &g.y/D3y.

yes la variable independiente y la variable dependiente esx. 1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

3. Realizando algunas operaciones: .2yC1/ dxC.y2x y x/ dyD0 ) .2yC1/dx dy Cy 2 x y xD0 ) ).2yC1/dx dy Cy 2 x xDy ) .2yC1/dx dy C.y 2 1/xDy: Vemos quea0.y/D2yC1,a1.y/Dy2 1 &g.y/Dy.

yes la variable independiente y la variable dependiente esx.

Ejemplo 2.3.2 Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas:

1. xy0

y D0. 2. y2x0_C2yxD0.

3. .2xC5/y0_C.x2 _{5/y D0.}

H En estos casos tenemos:

1. a0.x/Dx,a1.x/D 1.

2. a0.y/Dy2,a1.y/D2y.

3. a0.x/D2xC5,a1.x/Dx2 5.

2.3.1

Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea

Para resolver la ecuación diferencial lineal homógenea de primer orden se presentan a continuación dos procedimientos.

Primer procedimiento. La ecuación diferenciala0.x/

dy

dx Ca1.x/yD0es separable. En efecto: a0.x/ dy dx Ca1.x/yD0 )a0.x/ dy dx D a1.x/y ) ) dy dx D a1.x/ a0.x/ y ) dy y D a1.x/ a0.x/ dx ) )dy y D p.x/ dxI dondep.x/D a1.x/ a0.x/ y donde a0.x/¤0 : Integrando se obtiene: Z _dy y D Z p.x/ dx ) lnyCC1D Z p.x/ dxCC2 ) ) lnyD Z p.x/ dxCC ) y De R p.x/ dxCC _{) y De} R p.x/ dx_eC ₎ )yDCe R p.x/ dx I dondeC es arbitrario.

Ejemplo 2.3.3 Resolver la ED: xdy

dx Cx

H Separando las variables: xdy dx Cx 3_{yD0 ) x}dy dx D x 3_{y )} dy y D x 2_{dx :} Integrando: Z _dy y D Z x2dx ) lnyCC1D x3 3 CC2 ) ) lnyD x 3 3 CC ) yDe x3 3 CC _{) yDe}C_e x3 3 ₎ )yDCe x33 _:

Esta última expresión es la solución general de la ED.

Segundo procedimiento. Lo primero que se hace esnormalizarla ecuación diferencial, es decir, dividimos

la ecuación diferencial entrea0.x/ ¤ 0para obtener el coeficiente del término con mayor derivada

igual a uno: a0.x/ dy dx Ca1.x/yD0 ) dy dx C a1.x/ a0.x/ yD0 ) dy dx Cp.x/yD0 ) )y0 CpyD0 : Como antes, denotamosp.x/D a1.x/

a0.x/

, con la restricióna0.x/¤0.

A continuación se hacen las siguientes consideraciones: a. Se define

.x/DeRp.x/ dx:

En este caso no usamos la constante de integración de la integral eRp.x/ dx para obtener una función.x/lo más sencilla posible.

Por el teorema Fundamental del Cálculo, al derivar obtenemos: d dx D d dx e R p.x/ dx De R p.x/ dx d dx Z p.x/ dx De R p.x/ dx p.x/Dp : es decir: 0Dp : b. Por otro lado

d dx.y/D dy dx Cy d dx D dy dx CypD dy dx Cpy : Igualdad que se escribe como:

.y/0

D.y0

Cpy/ : (2.1)

Para resolver la ecuación diferencialy0

CpyD0:

a. Se multiplica la ecuación diferencial por la función.x/DeRp.x/ dx_:

.y0

Cpy/D0 : b. Se aplica la igualdad anterior (2.1):

c. Integrando se obtiene: Z .y/0 dxD Z 0 dx ) yDC ) eRp.x/ dxyDC: d. Por último se despeja la variabley:

y D C

eRp.x/ dx ) yDCe

R

p.x/ dx_:

En este procedimiento la función.x/ se ha utilizado como factor para poder efectuar la inte-gración y resolver la ecuación diferencial. Por esta razón se dice que.x/es unfactor integrante de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2.3.4 Resolver la ED: xdy

dx Cx

3_{yD0, conx¤0.}

H Se normaliza la ED dividiendo entrex: dy dx Cx

2

yD0 : Vemos quep.x/Dx2.

Se calcula un factor integrante.x/: De R p.x/ dx ) De R x2_dx Dex 3 3 _:

Se multiplica porla ecuación diferencial y se aplica la igualdad.y/0_D.y0

Cpy/: ex 3 3 _y0_Cx2_yD0 ) ex 3 3 _y 0 D0 : Al integrar se obtiene: ex33 _{yDC ) yDCe} x3 3 _:

Observación. Es el mismo resultado que obtuvimos en el ejemplo2:3:3

2.3.2

Resolución de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden

a0.x/ dy dx Ca1.x/yDg.x/ ) dy dx C a1.x/ a0.x/ yD g.x/ a0.x/ ) ) dy dx Cp.x/y Df .x/ : Se considera quep.x/D a1.x/ a0.x/ & f .x/D g.x/ a0.x/ ; dondea0.x/¤0.

2. Se calcula un factor integrante.x/:

.x/De R

p.x/ dx

: 3. Se multiplica la ecuación diferencial por la función.x/:

.y0

4. Considerando que.y/0

D.y0

Cpy/[ver (2.1) en página (3/], se tiene: .y/0 Df : 5. Integrando: Z .y/0 dxD Z f dx ) yCC1D Z f dxCC2: 6. Despejando la variabley: yD 1 Z f dxCC :

Se ha obtenido así la expresión de la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea: y De R p.x/ dxZ e R p.x/ dx f .x/ dxCCe R p.x/ dx : Ejemplo 2.3.5 Resolver la ED y0 y D5.

H En este caso la ecuación diferencial está normalizada. Se tiene quep.x/D 1 &f .x/D5. Se calcula un factor integrante:

.x/De R p.x/ dx De R . 1/ dx De x:

Se multiplica la ecuación diferencial pory se aplica la igualdad conocida (2.1) de la página3: .y0

Cpy/Df ) .y/0

Df ) .e xy/0

De x5 : Integrando y despejando ayobtenemos:

Z

.e xy/0dxD

Z

e x5 dx )e xyCC1D 5e xCC2 ) e xyD 5e xCC )

)yD 5CCex: Esta última expresión es la solución general de la ED.

Ejemplo 2.3.6 Resolver la ED y0

xyD5x.

H Esta ecuación diferencial está normalizada. En este casop.x/D x &f .x/D5x. Se calcula un factor integrante:

.x/De R p.x/ dx De R . x/ dx De x22 _:

Se multiplica la ecuación diferencial pory se aplica la igualdad.y/0 _D.y0_Cpy/: .y/0 Df ) _e x2 2 y 0 De x 2 2 _{5x :}

Integrando y despejando lay, obtenemos:

Z e x22 y 0 dxD Z e x22 _{5xdx )e} x2 2 _yCC 1D 5e x2 2 _CC 2 ) e x2 2 _{yD 5e} x2 2 _{CC )} )yD 5CCex22 :

Esta última expresión es la solución general de la ED.

Ejemplo 2.3.7 Resolver la ED xy0

Cy D5x3; dondex > 0.

H Se normaliza la ED dividiendo entrex: y0 C 1 xyD5x 2_: En este casop.x/D 1 x;f .x/D5x 2_.

Se calcula un factor integrante:

.x/DeRp.x/ dx De R 1 x dx DelnxDx : Se multiplica la ED normalizada pory se aplica la igualdad.y/0

D.y0 Cpy/: .y/0 Df ) .xy/0D5x3: Integrando y despejandoy: Z .xy/0dxD Z 5x3dx )xyCC1D 5 4x 4 CC2 ) xyD 5 4x 4 CC ) )y D 5 4x 3 C C x : Esta última expresión es la solución general de la ED.

Ejemplo 2.3.8 Resolver la ED .100C2t /y0_{CyD7.100C2t /.}

H Se normaliza la ED dividiendo entre100C2t: y0C 1

100C2tyD7: En este casop.t /D 1

100C2t &f .t /D7. Se calcula un factor integrante:

.t /De R p.t / dt_DeR ₁₀₀1C2t dt De12ln.100C2t /_Deln.100C2t / 1 2 D.100C2t /12 _:

Se multiplica la ED normalizada pory se aplica la igualdad.y/0 _D.y0_Cpy/: .y/0

Df ) h.100C2t /12_y

i0

D7.100C2t /12_:

Integrando y despejandoy, obtenemos:

Z .100C2t /12_y 0 dtD7 Z .100C2t /12_{dt ) .100C2t /} 1 2_yCC 1D 7 2 .100C2t /32 3 2 CC2 ) ) .100C2t /12_{y D 7} 2 2 3 .100C2t /32 _{CC )} ) y D 7 3.100C2t /C C .100C2t /12 : Esta última expresión es la solución general de la ED.

Ejemplo 2.3.9 Resolver la ecuación diferencial x2y0

C3xyD senx

x .

H Se divide entrex2, para normalizar la ED: y0

C 3

xyD senx

x3 : (2.2)

Se calcula el factor integrante:

Z p.x/ dxD Z ₃ xdxD3lnx Dlnx 3 _{) .x/De}R p.x/ dx _Delnx3 Dx3: Se multiplica la ED (2.2) por.x/Dx3y se aplica la igualdad.y/0

D.y0 Cpy/: x3 y0 C 3 xy Dx3senx x3 ) Œx 3 y0 Dsenx: Integrando: Z Œx3y0 dxD Z

senx dx )x3yCC1D cosxCC2 ) x3yD cosxCC )

)y D C cosx

x3 :

La cual es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2.3.10 Resolver la ecuación diferencial .cosx/y0_{C.senx/yDx.sen2x/cosx.}

H Dividiendo entre cosx, para normalizar la ED: y0 C senx cosx yD x.sen2x/cosx cosx ) y 0 C senx cosx yDx.sen2x/: (2.3)

Calculando el factor integrante:

Z

p.x/ dxD

Z _senx

cosx dxD ln.cosx/Dln.cosx/

1

) ) .x/DeRp.x/ dxDeln.cosx/ 1 D.cosx/ 1 D 1

cosx: Multiplicando la ED (2.3) por.x/y aplicando la igualdad.y/0 _D.y0_Cpy/:

1 cosx h y0C senx cosx y i D 1 cosxxsen2x ) ₁ cosxy 0 D 2xsenxcosx cosx D2xsenx: De donde Z 1 cosxy 0 dx D Z 2xsenx dx: Integrando por partes la integral del lado derecho:

1

cosxyD 2xcosxC2senxCC: Por lo tanto la solución general es

yD 2xcos2xC2senxcosxCC cosx ) yD 2xcos2xCsen2xCC cosx:

Ejemplo 2.3.11 Resolver la siguiente ED lineal x0

C2yxDy.

H En este caso la ED está normalizada. El factor integrante es

Z p.y/ dyD Z 2y dyDy2 ) .y/De R p.y/ dy Dey2: Multiplicando la ED normalizada por.y/Dey2y aplicando la igualdad conocida:

ey2Œx0 C2yxDyey2 ) hey2xi 0 Dyey2: Integrando: ey2xD Z yey2dyD 1 2e y2 CC: Por lo tanto la solución general es

x D 1

2 CCe

y2 :

Ejemplo 2.3.12 Resolver la siguiente ecuación diferencial dy

dx D 1 ey _x.

H Considerando ayen función dex, esta ecuación diferencial ordinaria no es lineal; pero si consideramos axen función dey, se tiene que

.ey x/dy dx D1 )e y xD dx dy ) )x0 CxDey: (2.4)

Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal. Un factor integrante es

Z

p.y/ dyD

Z

dyDy ) .y/Dey:

Entonces multiplicando la ED lineal (2.4) por.y/, aplicando la igualdad conocida e integrando: eyŒx0 CxDeyey )Œeyx0 De2y ) Z Œeyx0 dyD Z e2ydy ) )eyxCC1D 1 2e 2y_CC 2 ) eyxD 1 2e 2y_CC: La solución general de la ED es xD 1 2e y_CCe y_:

Ejemplo 2.3.13 Resolver el siguiente PVI y0 _{2xy Dx}3_e x2

; con la condicióny.0/D1.

H Se tiene: y0 2xyDx3e x2: (2.5) Un factor integrante es Z p.x/ dxD 2 Z x dxD x2 ) .x/DeRp.x/ dxDe x2:

Multiplicando (2.5) por.x/, aplicando la igualdad conocida e integrando, se obtiene: e x2Œy0

2xyDx3e x2e x2 )Œe x2y0

Dx3e 2x2 ) ) Z Œe x2y0 dxD Z x2e 2x2x dx: Integrando por partes la integral del lado derecho:

Z x2e 2x2x dx D 1 4x 2_e 2x2 C 1 2 Z e 2x2x dx: Entonces: e x2yCC1D 1 4x 2 e 2x2C 1 2 1 4 e 2x2CC2 ) y D 1 4e 2x2 x2C1 2 ex2 CC ex2: Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es

y D 1 4 x2C 1 2 e x2CC ex2: Considerando la condición inicialy.0/D1:

1D 1 4 02C 1 2 e 0CC ) 1D 1 8CC ) C D1C 1 8 D 9 8: Por lo tanto, la solución del PVI es

yD 1 4 x2C1 2 e x2C9 8e x2 :

Ejercicios 2.3.1 Ecuaciones diferenciales lineales.Soluciones en la página 10

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales. 1. y0_{C100y D0.} 2. x0 10xD0. 3. 2z0 xzD0. 4. xy0 10yD0. 5. .500 t /s0_C4sD0. 6. .100C3t /A0 CAD10.

7. y0_{C.cotx/yD2cscx; cony} 2

D1. 8. .2xC5/dy

dx C10yD10.2xC5/; cony.0/D0. 9. .x2_C1/dy dx C3xyD6x. 10. xy0 C.2x 3/y D4x4. 11. xy0_D2yCx2_. 12. y0_{cosxCysenx 1D0.} 13. x2y0_{C2xyDx 1.} 14. .y 1/x0 x Dy.y 1/2. 15. xexy0 C.xC1/exyD1. 16. y2dxC.3xy 4y3/dyD0.

17. .x2C1/ dyD.x3 2xyCx/ dx; cony.1/D1. 18. .y2C1/dxD.1Cxy/dy; conx.1/D0. 19. y0_{cosxCysenx cos}3_{xD0; cony.0/D 1.}

20. Ly0_{CRyDEsenwx; cony.0/D0, dondeL,} R,E &wson constantes positivas.

Ejercicios 2.3.1 Ecuaciones diferenciales lineales.Página 9 1. yDC e 100x. 2. xDC e10y. 3. zDC e14 x 2 . 4. yDC x10. 5. sDC.500 t /4. 6. AD10CC.100C3t / 13. 7. yD2xcscxC.1 /cscx. 8. yD5 6.2xC5/ 57 6.2xC5/ 5_. 9. yD2CC.x2C1/ 32. 10. yD2x3CC x3e 2x. 11. yDx2lnxCC x2. 12. yDsenxCCcosx. 13. yD 1 2 1 1 x 2 CC x 2. 14. xD 1 2.y 1/y 2_{CC.y 1/.} 15. yDe xCC x 1e x. 16. xD 4 5y 2_CCy 3_. 17. yD 1 4.x 2_C1/C 1 x2_C1. 18. xDy r y2C1 2 .

19. yDcosxsenx cosx.

20. yD E!L !2L2CR2 » R !Lsen!x cos!xCe Rx L – .