12 Ecuaciones diferenciales de segundo orden pdf

(1)

1 MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO

Profesorado de Física 2017

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN

Las ecuaciones de la forma :

(

E

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

c

(

x

)

, donde

a

:

I

→

R

,

b

:

I

→

R

y

c

:

I

→

R

son funciones continuas en un intervalo abierto

I

⊂

R

se llaman ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Las funciones

a

y

b

se llaman coeficientes de la ecuación

(

E

)

.

Si

c

es la función nula, la ecuación

(

E

)

se llama ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea.

Si

c

no es la función nula, la ecuación

(

E

)

se llama ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden son:

y

e

x

y

x

y

=

−

+

3

1 ´

)

2 (

´´

,

0

2 ´

2 ´´

)

1 (

+

x

2

y

−

xy

+

y

=

,

y

´´

−

2 y

´

+

4 y

=

0

,

y

´´

+

2 y

´

=

0

y

´´

+

xy

=

2 x

+

Lx

Ejercicio 1

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

y

´´

+

2 y

´

=

0

b)

y

´´

−

xy

´

=

0

Ejercicio 2

Se considera la ecuación diferencial homogénea

(

E

_H

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

0

donde las funciones

R

I

b

R

I

a

:

→

y

:

→

son continuas en un intervalo abierto

I

⊂

R

.

Demostrar que cualquier combinación lineal de soluciones de

(

E

_H

)

es solución de

(

E

_H

)

. (Es decir, demostrar que si las funciones

ϕ

₁

:

I

→

R

y

ϕ

₂

:

I

→

R

son soluciones de

(

E

_H

)

, entonces la función

λϕ

₁

+

µϕ

₂

:

I

→

R

es solución de

(

E

_H

)

, cualesquiera sean los números reales

λ

y

µ

).

TEOREMA (Existencia y unicidad de la solución)

Se considera la ecuación diferencial

(

E

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

c

(

x

)

, donde

a

:

I

→

R

,

b

:

I

→

R

y

R

I

c

:

→

I

⊂

R

.

Para cada

x

₀

∈

I

y cada elección de números reales

y

₀ y

z

₀ , existe una única función

ϕ

:

I

→

R

, solución de

)

(

E

_H , que cumple las condiciones iniciales

ϕ

(

x

₀

)

=

y

₀ y

ϕ

´(

x

₀

)

=

z

₀.

Estudiemos a continuación las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden.

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN

TEOREMA

(2)

2

El conjunto de las soluciones de la ecuación diferencial

(

E

_H

)

es un subespacio vectorial del espacio vectorial de todas las funciones reales de variable real. Dicho subespacio tiene dos soluciones linealmente independientes definidas en

I

.

Recordemos que si

y

₁

:

I

→

R

e

y

₂

:

I

→

R

son dos funciones tales que

{ }

y

₁

,

y

₂ es un conjunto linealmente, entonces la igualdad

α

y

₁

(

x

)

+

β

y

₂

(

x

)

=

0 ∀

x

∈

I

, implica que

α

=

β

=

0

.

DEFINICIÓN DE CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

Un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden es un conjunto cuyos elementos son dos soluciones linealmente independientes de dicha ecuación.

Por ejemplo, el conjunto

{

cos(

at

)

,

sen

(

at

)

}

,

a

∈

R

, es un conjunto fundamental de la ecuación diferencial

0 ´

´´

+

ay

=

y

TEOREMA

Se considera la ecuación diferencial

(

E

_H

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

0

donde

a

:

I

→

R

y

b

:

I

→

R

I

⊂

R

y

x

₀

∈

I

.

Si

y

₁

:

I

→

R

e

y

₂

:

I

→

R

son dos soluciones de

(

E

_H

)

tales que

{ }

y

₁

,

y

₂ es un conjunto linealmente independiente (es decir,

{ }

y

₁

,

y

₂ es un conjunto fundamental de soluciones de

(

E

_H

)

), entonces existe una única función

ϕ

:

I

→

R

, solución de

(

E

_H

)

, que es combinación lineal de

y

₁ e

y

₂ y que cumple las condiciones iniciales

ϕ

(

x

₀

)

=

y

₀ y

ϕ

´(

x

₀

)

=

z

₀ donde

y

₀

∈

R

y

z

₀

∈

R

.

DEFINICIÓN DE WRONSKIANO

Si

y

₁

:

I

→

R

e

y

₂

:

I

→

R

son dos funciones derivables en un intervalo abierto

I

⊂

R

, llamamos

Wronskiano de

{ }

y

₁

,

y

₂ a la función

(

)

´

(

)

´

)

´(

)

(

´

)

(

)

(

)

(

/

:

₁ ₂ ₂ ₁

2 1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

W

R

I

W

→

=

−

.

TEOREMA

Si

y

₁

:

I

→

R

e

y

₂

:

I

→

R

son soluciones de la ecuación diferencial

(

E

_H

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

0

, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

1)

{ }

y

₁

,

y

₂ es un conjunto fundamental de soluciones de

(

E

_H

)

. 2) El Wronskiano W de

{ }

y

₁

,

y

₂ cumple que:

W

(

x

)

≠

0 ,

∀

x

∈

I

. 3) Existe algún

x

₀

∈

I

tal que

W

(

x

₀

)

≠

0 TEOREMA

Dada la ecuación

(

E

_H

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

0

donde

a

:

I

→

R

,

b

:

I

→

R

son dos funciones continuas en un intervalo abierto

I

⊂

R

.

(3)

3

COROLARIO

Si

y

_:₁

:

I

→

R

e

y

_:₂

:

I

→

R

son dos soluciones de la ecuación diferencial

(

E

_H

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

0

y

{

y

1

,

y

2

}

es linealmente independiente, entonces

{

y

1

,

y

2

}

es una base del espacio vectorial de todas las soluciones de

)

(

E

_H .

El corolario, viene a decir que si

{

y

₁

,

y

₂

}

es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea

(

E

_H

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

0

, entonces la solución general de la ecuación

(

E

_H

)

es el conjunto de las funciones

y

:

I

→

R

tales que

y

(

x

)

=

k

₁

y

₁

(

x

)

+

k

₂

y

₂

(

x

)

donde

k

₁ y

k

₂ son constantes reales cualesquiera. Es decir, cada solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es combinación lineal de soluciones linealmente independientes de ella.

Ejercicio 3

Hallar todas las soluciones de la forma

x

(

t

)

=

t

a con

a

∈

R

,

a

>

0

y el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial

2 t

2

x

´´

+

3 tx

´

−

x

=

0

.

Ejercicio 4

a) Dada la ecuación diferencial

(

E

)

:

ty

´´

−

(

t

+

2 )

y

´

+

2 y

=

0

,

t

∈

(

0 ,

+∞

)

. 1) Hallar una solución polinómica de

(

E

)

.

2) Hallar una solución de

(

E

)

de la forma

y

(

t

)

=

e

at con

a

∈

R

. 3) Hallar la solución general de

(

E

)

.

b) Hallar la solución general de la ecuación diferencial

(

1 +

x

2

)

y

´´

−

2 xy

´

+

2 y

=

0

sabiendo que admite soluciones polinómicas

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO

ORDEN Y COEFICIENTES CONSTANTES.

Estudiaremos a continuación un caso particular de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, aquellas que tienen coeficientes constantes.

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea con coeficientes constantes es una ecuación de la forma:

:

)

(

E

_H

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

donde

a

y

b

son números reales conocidos. Este tipo de ecuaciones fue resuelta en 1743 por Leonhard Euler (Suiza: 1707 – 1783) y tiene diversas aplicaciones prácticas.

Llamamos ecuación característica de la ecuación

(

E

_H

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

a la ecuación:

_m

2

₊

_am

₊

_b

₌

0

Al polinomio

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

se lo llama polinomio característico de

(

E

_H

)

.

Nuestro objetivo a continuación, es hallar todas las funciones

y

:

R

→

R

que verifican una ecuación de la forma

)

(

E

_H :

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

con

a

y

b

son números reales conocidos..

Ejercicio 5

Resolver la ecuación diferencial homogénea

(

E

_H

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

con

a

y

b

números reales, en cada uno de los siguientes casos:

1)

a

=

b

=

0

2)

a

≠

0

y

b

=

0

(4)

4 TEOREMA

(Solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes)

Dada la ecuación

(

E

_H

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

donde

a

y

b

son reales conocidos.

La solución general de la ecuación

(

E

_H

)

depende de la naturaleza de las raíces de la ecuación característica.

CASO 1

Si

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

tiene dos raíces

m

₁ y

m

₂ reales y distintas, la solución general de la ecuación

(

E

_H

)

es:

y

:

R

→

R

tal que

y

(

x

)

=

c

₁

e

m1x

+

c

₂

e

m2x donde

c

₁ y

c

₂ son constantes reales arbitrarias.

CASO 2

Si

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

tiene una raíz real doble

m

₁, la solución general de la ecuación

(

E

_H

)

es:

y

:

R

→

R

tal que

y

(

x

)

=

(

c

₁

+

c

₂

x

)

e

m1x donde

c

₁ y

c

CASO 3

Si

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

tiene dos raíces complejas (no reales),

m

₁

=

α

+

β

i

y

m

₂

=

α

−

β

i

donde

β

α

y son números reales, entonces la solución general de la ecuación diferencial

(

E

_H

)

es:

R

y

:

→

tal que

y

(

x

)

=

c

₁

e

αx

cos

( )

β

x

+

c

₂

e

αx

sen

( )

β

x

donde

c

₁ y

c

Demostración

Según lo visto anteriormente, para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden basta con encontrar dos soluciones que sean linealmente independientes.

El método de Euler para buscar soluciones de la ecuación

(

E

_H

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

es buscar soluciones de la forma mx

e

x

y

(

)

=

donde

m

es una constante real o compleja que debemos hallar.

mx

e

x

y

(

)

=

es solución de

E

⇔

m

e

mx

+

ame

mx

+

be

mx

=

∀

x

∈

R

⇔

H

)

0 (

2 2

₊

₌

0 b

am

m

Observemos entonces, que la función

y

:

R

→

R

tal que

y

(

x

)

=

e

mx es solución de

(

E

_H

)

sí y sólo si

m

es raíz del polinomio característico

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

.

Como veremos a continuación, las soluciones de la ecuación

(

E

_H

)

dependerán de la naturaleza de las raíces del polinomio característico

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

CASO 1

Si

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

tiene dos raíces

m

₁ y

m

₂ reales y distintas, entonces las funciones

y

₁

:

R

→

R

e

R

y

_:₂

:

→

tales que

y

₁

(

x

)

=

e

m1x y

y

₂

(

x

)

=

e

m2x son soluciones de

(

E

_H

)

.

Dado que

{

y

₁

,

y

₂

}

es linealmente independiente (demostrarlo), usando el teorema anterior, concluimos que la solución general de la ecuación

(

E

_H

)

es:

y

:

R

→

R

tal que

y

(

x

)

=

c

₁

e

m1x

+

c

₂

e

m2x donde

c

₁ y

c

CASO 2

Si

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

tiene una raíz real doble

2

1

a

m

=

−

, entonces la función

y

₁

:

R

→

R

tal que x

m

e

x

y

₁

(

)

=

1 es solución de

(

E

_H

)

.

(5)

5

Sabemos que

y

₂

´(

x

)

=

(

1 +

m

₁

x

)

e

m1x y

y

₂

´´(

x

)

=

(

2 m

₁

+

m

₁2

x

)

e

m1x. Sustituyendo estas derivadas en la ecuación

(

E

_H

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

llegamos a que:

0 )

)

(

2 (

0 )

1 (

)

2 (

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1

1

+

=

⇔

+

=

x m x m x m x m

e

x

b

am

m

a

m

bxe

e

x

m

a

e

x

m

Como

m

₁ es raíz del polinomio

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

, entonces

m

₁2

+

am

₁

+

b

=

0

y como además

2

1

a

m

=

−

tenemos que

2 m

₁

+

a

=

0

Queda de esta manera demostrado que

(

2 (

)

1

0

1 2 1

1

+

=

x m

e

x

b

am

m

a

m

∀

x

∈

R

y por lo tanto que la

función

y

₂ es efectivamente una solución de la ecuación

(

E

_H

)

.

Hemos encontrado de esta manera, dos soluciones de la ecuación diferencial

(

E

_H

)

que son

y

₁

:

R

→

R

tal que x

m

e

x

y

₁

(

)

=

1 y

y

₂

:

R

→

R

tal que

y

₂

(

x

)

=

xe

m1x .

Dado que el conjunto

{

y

₁

,

y

₂

}

(

E

_H

)

es:

y

:

R

→

R

tal que

y

(

x

)

=

(

c

₁

+

c

₂

x

)

e

m1x donde

c

₁ y

c

CASO 3

Por último, consideramos el caso que

P

(

m

)

=

m

2

+

am

+

b

tenga dos raíces complejas (no reales),

m

₁

=

α

+

β

i

y

m

₂

=

α

−

β

i

, donde

α

y

β

son números reales.

Sabemos que por definición de exponencial compleja:

e

(α+βi)x

=

e

αx

(cos(

β

x

)

+

isen

(

β

x

))

Es sencillo demostrar, y lo dejamos a cargo del lector, que las funciones

y

₁

:

R

→

R

tal que

y

₁

(

x

)

=

e

αx

cos(

β

x

)

y

₂

:

R

→

R

tal que

y

₂

(

x

)

=

e

αx

sen

(

β

x

)

son soluciones de la ecuación diferencial

(

E

_H

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

0

Dado que el conjunto

{

y

₁

,

y

₂

}

(

E

_H

)

es:

y

:

R

→

R

tal que

y

(

x

)

=

c

₁

e

αx

cos

( )

β

x

+

c

₂

e

αx

sen

( )

β

x

donde

1

c

y

c

Ejercicio 6

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1)

y

´´

−

3 y

´

+

2 y

=

0

2)

y

´´

−

4 y

=

0

3)

y

´´

−

4 y

´

=

0

4)

y

´´

+

y

´

=

y

5)

y

´´

+

2 y

´

+

y

=

0

6)

4 y

´´

+

4 y

´

+

y

=

0

7)

y

´´

−

2 y

´

+

3 y

=

0

8)

y

´´

−

2 y

´

+

5 y

=

0

Ejercicio 7

Resolver la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales







−

=

+

3 )

0 ´(

,

5 )

0 (

0 ´

2 ´´

y

Ejercicio 8

Una solución

u

de la ecuación diferencial

y

´´

−

4 y

´

+

4 y

=

0

corta en el punto

O

=

(

0 ,

0 )

a una solución

v

de la ecuación diferencial

y

´´

−

4 y

´

+

29 y

=

0

.

(6)

6

Ejercicio 9

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

a)







=

+

=

−

=

0 )

0 (

,

´

3 )

0 (

,

3 ´

y

x

y

x

y

x

b)







+

−

=

+

−

=

y

x

y

t

y

x

3

2 ´

4

3 ´

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO

ORDEN.

Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden son ecuaciones de la forma :

:

)

(

E

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

c

(

x

)

, donde

a

:

I

→

R

,

b

:

I

→

R

y

c

:

I

→

R

I

⊂

R

y

c

no es la función nula.

TEOREMA

La función diferencia entre dos soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden, es una solución de la ecuación homogénea asociada.

TEOREMA

Sea la ecuación diferencial

(

E

)

:

y

´´

+

a

(

x

)

y

´

+

b

(

x

)

y

=

c

(

x

)

, donde

a

:

I

→

R

,

b

:

I

→

R

y

c

:

I

→

R

I

⊂

R

.

Si

{ }

y

₁

,

y

₂ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada a

(

E

)

e

y

_P es una solución particular de la ecuación

(

E

)

, entonces la solución general de

(

E

)

es de la forma:

y

(

x

)

=

c

₁

y

₁

(

x

)

+

c

₂

y

₂

(

x

)

+

y

_P

(

x

)

Ejercicio 10

Demostrar los dos teoremas anteriores.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO

ORDEN Y COEFICIENTES CONSTANTES.

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes es una ecuación de la forma:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

f

(

x

)

donde

a

y

b

son números reales conocidos y

f

:

R

→

R

es una función continua (conocida) y no nula.

El teorema 10 nos muestra una forma de encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes

y

´´

+

ay

´

+

by

=

f

(

x

)

.

Dado que la solución de la ecuación homogénea asociada ya sabemos cómo hallarla, debemos buscar una forma de encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea, para luego sumar ambas soluciones y obtener así la solución general de la ecuación no homogénea. Esta solución particular, puede en algún caso, ser sencilla de encontrar por simple inspección.

(7)

7

MÉTODO PARA HALLAR SOLUCIONES PARTICULARES DE UN ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Se considera la ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden:

(

E

_NH

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

f

(

x

)

, donde

a

y

b

f

:

R

→

R

Una solución particular

y

_p de la ecuación diferencial

(

E

_NH

)

se puede hallar según como se indica a continuación:

Caso 1

a) Si

b

≠

0

y

f

es una función polinómica de grado

n

, entonces

y

_p es una función polinómica de grado

n

. b) Si

b

=

0

,

a

≠

0

y

f

n

, entonces

y

_p es una función polinómica de grado

n

+

1

.

c) Si

a

=

b

=

0

y

f

n

, entonces

y

_p se obtiene integrando.

Caso 2

Si

_f

₍

_x

₎

₌

_P

₍

_x

₎

_e

mx_donde

_P

_{es una función polinómica de grado}

_n

_y

_m

_{es una constante real, efectuamos el} cambio de variable

y

(

x

)

=

u

(

x

)

e

mx , transformando así la ecuación

(

E

)

:

y

´´

+

ay

´

+

by

=

f

(

x

)

en la ecuación :

P

u

b

am

m

u

a

m

u

´´

+

(

2 +

)

´

+

(

2

+

)

=

, que resolvemos como en el caso 1)

En el caso particular que

P

(

x

)

=

c

∈

R

, buscamos soluciones particulares de la forma:

y

_p

(

x

)

=

he

mx

Caso 3

Si

f

(

x

)

=

P

(

x

)

cos

( )

kx

e

mx o

f

(

x

)

=

P

(

x

)

sen

( )

kx

e

mx , donde

m

y

k

son constantes reales y

P

n

, entonces la ecuación

(

E

)

tiene una solución particular de la forma:

[

(

)

cos(

)

(

)

(

)

]

)

(

x

e

t

x

kx

s

x

sen

kx

y

_p

=

mx

+

, donde

t

y

s

son funciones polinómicas.

En el caso particular que

m

=

0

, es decir, si

f

(

x

)

=

p

cos

( )

kx

o

f

(

x

)

=

qsen

( )

kx

con

p

,

q

y

k

constantes reales, una solución particular será de la forma:

y

_p

(

x

)

=

c

₁

cos(

kx

)

+

c

₂

sen

(

kx

)

con

c

₁ y

c

₂ constantes reales.

Observación

En el caso que el término no homogéneo

f

sea solución de la ecuación homogénea asociada, buscar una solución particular de la forma