Ecuaciones Diferenciales (Segunda Parte).pdf

Ecuaciones lineales de segundo orden

Considere la ecuación lineal general de segundo orden

( )

( )

( )

( )

A x y

′′

+

B x y

′

+

C x y

=

F x

donde las funciones coeficientes

A B C

, ,

y

F

son continuas en el intervalo

abierto

I

.

Suponemos, además que

A x

( )

≠

0

, en cada punto de

I

, así que podemos dividir cada término, en la ecuación diferencial dada, entre

A x

( )

y escribirla

en la forma

( )

( )

( )

y

′′

+

p x y

′

+

q x y

=

f x

.

Primero analizaremos la ecuación homogénea asociada

( )

( )

0

Teorema1. Principio de superposición

Sean

y

₁ y

y

₂ dos soluciones de la ecuación lineal homogénea

( )

( )

0

y

′′

+

p x y

′

+

q x y

=

, en el intervalo

I

. Si

c

₁ y

c

₂ son constantes, la combinación lineal

y

=

c y

_{1 1}

+

c y

_{2 2}

también es solución de la ecuación diferencial dada, en el intervalo

I

.

Ejemplo 1

Por inspección podemos ver que

1

cos

y

=

x

y

y

₂

=

sin

x

son dos soluciones de la ecuación

0

y

′′ + =

y

. El teorema anterior nos dice que

1

cos

2

sin

y

=

c

x c

+

x

Teorema 2. Existencia y unicidad

Suponga que las funciones

p

,

q

y

f

son continuas en el intervalo abierto

I

que contiene al punto

a

. Entonces, dados cualesquiera dos números

b

₀ y

1

b

, la ecuación

y

′′

+

p x y

( )

′

+

q x y

( )

=

f x

( )

tiene una solución única (es decir, una y sólo una) en el intervalo

I

que satisface las condiciones iniciales

y a

( )

=

b

₀,

y a

′

( )

=

b

₁. Ejemplo 2

Verifique que las funciones

1

( )

x

y x

=

e

y

y x

₂

( )

=

xe

x

son soluciones de la ecuación diferencial

2

0

y

′′

−

y

′

+ =

y

,

y luego determine una solución que satisfaga las condiciones iniciales

Definición: Independencia lineal de dos funciones

Dos funciones definidas en un intervalo abierto

I

se dice que son

linealmente independientes en

I

si se cumple que ninguna es un múltiplo

constante de la otra.

Ejemplo 3

Es claro que los siguientes pares de funciones son linealmente independientes en toda la recta real:

•

sin

x

y

cos

x

• x

e

y

e

−2x

• x

e

y

xe

x

•

x

+

1

y

x

2

•

x

y

x

Las funciones

f x

( )

=

sin 2

x

y

g x

( )

=

sin cos

x

x

son linealmente

Teorema 3. Wronskiano de soluciones

Suponga que

y

₁ y

y

₂ son dos soluciones de la ecuación lineal homogénea de segundo orden

( )

( )

0

y

′′

+

p x y

′

+

q x y

=

en el intervalo abierto

I

en el que

p

y

q

son continuas.

a) Si

y

₁ y

y

₂ son linealmente dependientes, entonces

W y y

( ,

_{1 2}

)

≡

0

en

I

. b) Si

y

₁ y

y

₂ son linealmente independientes, entonces

W y y

( ,

_{1 2}

)

≠

0

en

cada punto de

I

.

En donde el wronskiano de

y

₁ y

y

₂ (determinante de wronski), se define

como 1 2

1 2

1 2

( ,

)

y

y

W y y

y

y

≡

Teorema 4. Soluciones generales

Sean

y

₁ y

y

₂ dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea

( )

( )

0

y

′′

+

p x y

′

+

q x y

=

con

p

y

q

continuas en el intervalo abierto

I

. Si

Y

es cualquier solución de la ecuación homogénea en

I

, entonces existen números

c

₁ y

c

₂ tales que

1 1 2 2

( )

( )

( )

Y x

=

c y x

+

c y x

Ejemplo 4

Es claro que

2 1

( )

x

y x

=

e

y

y x

₂

( )

=

e

−2x

son soluciones independientes de

4

0

y

′′ −

y

=

.

También

3

( )

cosh 2

y x

=

x

y

y x

₄

( )

=

sinh 2

x

son soluciones de la ecuación homogénea dada. Esto no es una sorpresa ya que sabemos que

₁ 2 ₁ 2

2 2

cosh 2

x

=

e

x

+

e

− x y 1 2 1 2

2 2

Ecuaciones lineales de segundo orden

con coeficientes constantes

Estudiaremos la ecuación lineal homogénea de segundo orden

0

ay

′′

+

by

′

+

cy

=

.

Una solución natural de la ecuación diferencial tiene la forma x

z

=

e

λ , ya que

si reemplazamos

x

z

=

e

λ ,

z

′ =

λ

e

λx y

z

′′ =

λ

2

e

λx

en la ecuación diferencial, se obtiene

2

(

x

)

(

x

)

(

x

)

0

a

λ

e

λ

+

b

λ

e

λ

+

c e

λ

=

,

de donde

2

(

a

λ

+

b

λ

+

c e

)

λx

=

0

.

Resolviendo la ecuación característica

2

0

a

λ

+

b

λ

+ =

c

,

obtenemos dos soluciones, linealmente independientes

1

1

x

z

=

e

λ y 2

2

x

z

=

e

λ .

Teorema 5. Raíces reales distintas

Si las raíces

λ

₁ y

λ

₂ de la ecuación característica son reales y distintas, entonces

1 2

1 2

( )

x x

y x

=

c e

λ

+

c e

λ

es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea

0

ay

′′

+

by

′

+

cy

=

.

Ejemplo 5

Determine la solución general de

2

y

′′

−

7

y

′

+

3

y

=

0

.

Ejemplo 6

Determine la solución general de

2

0

Teorema 6. Raíces repetidas

Si la ecuación característica tiene raíces iguales (reales)

λ λ

₁

=

₂, entonces

1

1 2

( )

(

)

x

y x

=

c

+

c x e

λ

es la solución general de la ecuación

0

ay

′′

+

by

′

+

cy

=

.

Ejemplo 7

Resolver el problema con condiciones iniciales

2

0

Teorema 7. Raíces complejas

Si la ecuación característica tiene raíces complejas

α β

±

i

, con

β

≠

0

,

entonces

y x

( )

=

e

αx

( cos

c

₁

β

x

+

c

₂

sin

β

x

)

es la solución general de la ecuación

0

ay

′′

+

by

′

+

cy

=

.

Ejemplo 8

Determine una solución particular de

4

5

0

Ecuaciones lineales homogéneas de orden

n

con coeficientes constantes

La solución general de la ecuación lineal homogénea de orden

n

( ) ( 1)

1

...

2 1 0

0

n n

n n

a y

+

a

₋

y

−

+ +

a y

′′

+

a y

′

+

a y

=

,

donde

a a

₀

, , ,...,

₁

a

₂

a

_n son constantes reales con

a

_n

≠

0

, es una extensión

natural de la ecuación lineal homogénea de segundo orden. En este caso la ecuación característica tiene la forma

( ) ( 1) 2

1

...

2 1 0

0

n n

n n

Teorema 1. Raíces reales distintas

Si las raíces

λ λ

₁

, ,...,

₂

λ

_n de la ecuación característica son reales y distintas, entonces

1 2

1 2

( )

x x

...

nx

n

y x

=

c e

λ

+

c e

λ

+ +

c e

λ

Es la solución general de la ecuación diferencial dada.

Ejemplo 1

Resuelva el problema con condiciones iniciales

(3)

3

10

0

Teorema 2. Raíces repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz

λ

repetida de multiplicidad

k

, entonces la parte de la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea, correspondiente a

λ

es de la forma

2 1

1 2 3

(

c

+

c x

+

c x

+ +

...

c x

_k k−

)

e

λx Ejemplo 2

Encuentre una solución general de la ecuación diferencial de quinto orden

(5) (4) (3)

9

y

−

6

y

+

y

=

0

. Ejemplo 3

Determine la solución de 2 2

(

D

+

6

D

+

13)

y

=

0

.

Ejemplo 4

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial

(3)

10

0

Ecuación diferencial lineal de orden

n

no homogénea

Consideremos la ecuación lineal diferencial no homogénea de segundo orden

( )

( )

( )

y

′′

+

p x y

′

+

q x

=

f x

con ecuación homogénea asociada

( )

( )

0

y

′′

+

p x y

′

+

q x

=

.

El siguiente teorema, permite determinar la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea.

Teorema 1

Sea

y

_P, una solución particular de la ecuación no homogénea

( )

( )

( )

y

′′

+

p x y

′

+

q x

=

f x

en un intervalo abierto

I

en el cual las funciones

p

,

q

y

f

son continuas.

Sean

y

₁ y

y

₂, soluciones linealmente independientes de la ecuación

homogénea asociada

y

′′

+

p x y

( )

′

+

q x

( )

=

0

.

Si

Y

es una solución cualquiera de la de la ecuación no homogénea sobre

I

, entonces existen números

c

₁ y

c

₂ tales que

Y x

( )

=

c y x

_{1 1}

( )

+

c y x

_{2 2}

( )

+

y

_P

( )

x

Ejemplo 1

Es evidente que

y

_P

=

3

x

es una solución particular de la ecuación

y

′′ +

4

y

=

12

x

,

y que

y

_H

( )

x

=

c

₁

cos 2

x

+

c

₂

sin 2

x

,

Es la solución general de la ecuación diferencial homogénea. Encuentre una solución que satisfaga las condiciones iniciales

y

(0)

=

5

,

y

′

(0)

=

7

.

A continuación estudiaremos un método que permite hallar una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea

Método de coeficientes indeterminados

Este método se puede emplear siempre que todas las derivadas de

f x

( )

tengan la misma forma que

f x

( )

.

Caso 1: Si

f x

( )

es de la forma

P x

_m

( )

= +

b

₀

b x

₁

+ +

...

b x

_m m , la solución

particular es

x A

s

(

₀

+

A x

₁

+ +

...

A x

_m m

)

Ejemplo 2

Encuentre la solución particular de

y

′′

+

3

y

′

+

4

y

=

3

x

+

2

.

Ejemplo 3

Determine una solución particular de 3

4

3

Caso 2: Si

f x

( )

es de la forma

a

cos

kx b

+

sin

kx

, la solución particular es

( cos

sin

)

s

x A

kx

+

B

kx

Ejemplo 4

Determine una solución particular de

3

y

′′

+ −

y

′

2

y

=

2 cos

x

.

Ejemplo 5

Determine una solución particular de

2 2

Caso 3: Si

f x

( )

es de la forma

e

rx

( cos

a

kx b

+

sin

kx

)

, la solución particular es

( cos

sin

)

s rx

x e

A

kx

+

B

kx

Ejemplo 6

Determine una solución particular de

3

6

13

x

sin

y

′′

+

y

′

+

y

=

e

−

x

.

Ejemplo 7

Determine una solución particular de

3

6

13

x

cos 2

Caso 4: Si

f x

( )

es de la forma

P x e

_m

( )

rx, la solución particular es

0 1

(

...

)

s m rx

m

x A

+

A x

+ +

A x

e

Ejemplo 8

Determine una solución particular de

3

2

x

y

′′ − =

y

e

.

Ejemplo 9

Determine una solución particular de

2

2

x

y

′′ − =

y

e

.

Ejemplo 10

Determine una solución particular de

3 2 2

9

x

Caso 5: Si

f x

( )

es de la forma

P x a

_m

( )( cos

kx b

+

sin

kx

)

, la solución particular

es

x

s

_⎣

⎡

(

A

₀

+

A x

₁

+ +

...

A x

_m m

) cos

kx

+

(

B

₀

+

B x

₁

+ +

...

B x

_m m

) sin

kx

⎤

_⎦

Ejemplo 11

Determine una solución particular de

3

9

sin

y

+

y

′

=

x

x

.

Ejemplo 12

Determine una solución particular de

3

9

sin 3

Si la función

f x

( )

=

α

( )

x

+

β

( )

x

, podemos usar la linealidad de la ecuación

diferencial y determinar dos soluciones particulares, una para

α

( )

x

y otra

para

β

( )

x

. Esta idea se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 13

Determine una solución particular de 3 2 2

9

sin

x

y

+

y

′

=

x

x

+

x e

.

Ejemplo 14

Determine una solución particular de 3 2

Variación de parámetros

Este método es útil para determinar una solución particular de la ecuación diferencial lineal

y

′′

+

p

(

x

)

y

′

+

q

(

x

)

y

=

f

(

x

)

, a partir de la solución general de

la parte homogénea

y

_H

(

x

)

=

c

₁

y

₁

(

x

)

+

c

₂

y

₂

(

x

)

. En este método se supone

que la solución particular debe ser de la forma

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

c

₁

x

y

₁

x

c

₂

x

y

₂

x

y

_P

=

+

.

Teorema. Variación de parámetros

Si

y

_H

(

x

)

=

c

₁

y

₁

(

x

)

+

c

₂

y

₂

(

x

)

es la solución de la parte homogénea de la

ecuación no homogénea

y

′′

+

p

(

x

)

y

′

+

q

(

x

)

y

=

f

(

x

)

, entonces una solución

particular está dada por

dx

x

W

x

f

x

y

x

y

dx

x

W

x

f

x

y

x

y

x

y

_P

=

−

∫

+

∫

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

₁ 2 ₂ 1

en la que

W

(

x

)

=

W

(

y

₁

,

y

₂

)

, es el wronskiano de las dos soluciones

independientes

y

₁ y

y

₂ de la ecuación homogénea asociada.

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Determine una solución particular de la ecuación

y

′′ −

4

y

=

xe

x

Ejemplo 13

Determine una solución particular de la ecuación

2

sin

y

′′ + =

y

x

Ejemplo 14

La ecuación lineal de Euler

La ecuación diferencial lineal

1 1

1 1

...

1

( )

n n

n n

n n

n n

d y

d

y

dy

x

a x

a

x

a y

f x

dx

dx

dx

− −

− −

+

+ +

+

=

,

(1)

en que la derivada de orden

r

está multiplicada por

x

r y por una constante,

se llama ecuación lineal de Euler. La sustitución t

x

=

e

reduce la ecuación a

otra lineal con coeficientes constantes, en que

t

es la variable

independiente. Si t

x

=

e

se deduce que

dx

x

dt

=

. Así pues,

dy

dy dt

dx

=

dt dx

, y

dy

dy

x

dx

=

dt

.

También

2

2

d

dy

d y

x

x

dx

dx

dt

⎛

_{⎞ =}

⎜

⎟

y, en consecuencia,

2 2

2

2 2

1

d y

d y

dy

d

d

x

y

dx

dt

dt

dt dt

⎛

⎞

=

−

=

_⎜

−

_⎟

⎝

⎠

. Análogamente 3 3

3

1

2

d y

d

d

d

x

y

dx

dt dt

dt

⎛

⎞⎛

⎞

=

_⎜

−

_⎟⎜

−

_⎟

⎝

⎠⎝

⎠

,

y

1

2 ...

1

n n

n

d y

d

d

d

d

x

n

y

dx

dt dt

dt

dt

⎛

⎞⎛

⎞ ⎛

⎞

=

_⎜

−

_⎟⎜

−

_{⎟ ⎜}

− +

_⎟

⎝

⎠⎝

⎠ ⎝

⎠

.

Sustituyendo en (1) esta expresión para r r r

d y

x

dx

, la ecuación se transforma

en

₁ 1 ₁

1

...

( )

n n

t

n n

n n

d y

d

y

dy

b

b

b y

f e

dt

dt

dt

−

− −

+

+ +

+

=

,

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación

2 2

2 2

1

6

6

d y

dy

x

x

y

dx

+

dx

+

=

x

.

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación

2 2 4

2

2

2

12

d y

dy

x

x

y

x

dx

−

dx

+

=

.

Ejemplo 3

Resuelva la ecuación

3 2 3

3

27

Aplicaciones de las ecuaciones lineales de orden n

Vibraciones mecánicas

La ecuación diferencial que determina el movimiento de la masa m, sujeta a un

resorte con constante del resorte k y a un amortiguador con constante de

amortiguamiento c, es:

( )

mx′′+cx′+kx = F t , (1)

Ejemplo 1

Suponga que

m

=

1

,

k

=

9

,

F

₀

=

80

y

ω

=

5

, de modo que la ecuación

diferencial es

x

′′ +

9

x

=

80 cos 5

t

.

Determine

x t

( )

si

x

(0)

=

x

′

(0)

=

0

.

Solución:

x t

( )

=

5(cos 3

t

−

cos 5 )

t

.

Ejemplo 2

Suponga que

m

=

0.1

,

F

₀

=

50

,

ω

₀

=

55

y

ω

=

45

, de modo que la ecuación

diferencial es 2

0.1

x

′′ +

0.1 55

+

x

=

50 cos 45

t

.

Determine

x t

( )

si

x

(0)

=

x

′

(0)

=

0

.

Solución: 1

(

)

2

( )

cos(45 ) cos(55 )

Ejemplo 3

Suponga que

m

=

5 Kg

,

k

=

500 N/m

( ₀

k

10 rad/seg

m

ω

=

=

),

F

₀

=

50 N

, y

9.9 rad/seg

ω

=

,de modo que la ecuación diferencial es

5

x

′′ +

500

x

=

5 cos10

t

.

Determine

x t

( )

si

x

(0)

=

x

′

(0)

=

0

.

Solución:

( )

1000

(

cos 9.9

(

)

cos(10 )

)

199

Ejemplo con Maple

En este ejemplo investigaremos las vibraciones forzadas de un sistema masa – resorte – amortiguador con la ecuación

( )

mx

′′

+

cx

′

+

kx

=

F t

. (1)

Para simplificar la notación, hacemos 2

m

=

p

,

c

=

2

p

y

k

=

p q

2 2

+

1

, en donde

p

>

0

y

q

>

0

: Entonces la solución homogénea de la ecuación (1) es

/

1 2

( )

t p

(

cos

sin

)

H

x

t

=

e

−

C

qt

+

C

qt

.

Tomaremos

p

=

5

,

q

=

3

y así investigamos las soluciones transitorias y

periódicas estacionarias correspondientes a

> restart;

> de2:=25*diff(x(t),t,t)+10*diff(x(t),t)+226*x(t)=900*exp(-t/5)*cos(3*t);

> dsolve({de2,x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));

> x:=simplify(combine(rhs(%),trig));

> C:=6*t*exp(-t/5);

> plot({x,C,-C},t=0..8*Pi); Observe que la gráfica de

la solución oscila entre las curvas envolventes

/ 5

6

t

Sistemas de primer orden

Como punto de partida observe que la ecuación diferencial de segundo orden

y

′′

+

p

y

′

+

qy

=

f

(

x

)

puede transformarse en un sistema de ecuaciones,

introduciendo las variables dependientes

u

₁

=

y

,

u

₂

=

y

′

. Entonces la ecuación diferencial dada se transforma en el sistema de primer orden

⎩

⎨

⎧

′

=

′

′′

=

′

y

u

y

u

1 2

⇒

⎩

⎨

⎧

=

′

+

−

−

=

′

2 1 1 2

2

(

)

u

u

x

f

qu

pu

u

Ejemplo 1

La ecuación de tercer orden x(3) +3x′′+2x−5x =sin2t , usando las

sustituciones u₁ = x, u₂ = x′, u₃ = x′′, se transforma en el sistema de primer

orden ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ′ = ′ − − = ′ 2 1 3 2 1 2

3 3 2

u u u u u u u Ejemplo 2 El sistema ⎩ ⎨ ⎧ + − = ′′ + − = ′′ t y x y y x x 3 sin 40 2 2 2 6 2

El método de eliminación

Ejemplo 3

Resolver el sistema de dos dimensiones

⎩

⎨

⎧

=

′

−

=

′

x

y

y

x

2 1

2

.

con valores iniciales

x

(

0

)

=

2

,

y

(

0

)

=

0

.

Ejemplo 4

Encuentre la solución general del sistema

⎩

⎨

⎧

+

=

′

=

′

y

x

y

y

x

2

. Ejemplo 5

Determine la solución particular del sistema

⎩

⎨

⎧

−

=

′

−

=

′

y

x

y

y

x

x

7

6

3

4

Operadores lineales

El uso del operador diferencial

dt

d

D

=

, es muy útil para resolver sistemas de

ecuaciones, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6

Encuentre la solución general del sistema

⎩ ⎨ ⎧ = ′ + − = ′ y y y x x 2 3 . Solución:

El sistema se transforma en

⎩ ⎨ ⎧ = + − = y Dy y x Dx 2 3 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − + 0 ) 2 ( 0 3 ) 1 ( y D y x D

La solución, no trivial, del sistema se obtiene de

0 2 0 3 1 = − − + x D D

, o de 0

2 0 3 1 = − − + y D D . Entonces 0 ) 2 )( 1

De donde se obtiene la solución general

t t

e

c

e

c

t

x

(

)

=

₁ −

+

₂ 2

.

Reemplazando

t t

e

c

e

c

t

x

(

)

=

₁ −

+

₂ 2

y

x

′

(

t

)

=

−

c

₁

e

−t

+

2

c

₂

e

2t

en

x

′

=

−

x

+

3

y

,

obtenemos

−

c

₁

e

−t

+

2

c

₂

e

2t

=

−

(

c

₁

e

−t

+

c

₂

e

2t

)

+

3

y

. Despejamos la variable

y

,

t

e

c

t

Ejemplo 7

Encuentre la solución general del sistema

⎩ ⎨ ⎧ − = ′′ + − = ′′ y x y t x x 8 4 sin 4 . Solución:

El sistema se transforma en

⎩ ⎨ ⎧ = + + − = + 0 ) 8 ( 4 sin ) 4 ( 2 2 y D x t x D .

De aquí se obtiene

8 0 0 sin 8 4 0 4 2 2 2 + = + − + D t y D D

, (es mejor que determinar x).

Así, se tiene

) )(sin 8 ( ) 8 )( 4

(D2 + D2 + y = D2 + t .

Entonces

t y

D

D 4)( 8) 7sin

( 2 + 2 + =