2.1
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Encuentre soluciones generales y/o
particulares de Ecuaciones Diferenciales de
segundo orden
• Determine Estabilidad dinámica cuantitativa
y/o cualitativamente.
2.1 Ecuación Diferenciales de segundo
orden con coeficientes constantes.
2.2 Ecuaciones diferenciales de orden
superior
2.3 Análisis Cualitativo
2.1
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE
SEGUNDO
ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:
)
(
)
(
´
)
(
´´
p
x
y
q
x
y
g
x
y
+
+
=
Si
g
(
x
)
=
0
se llama Ecuación homogénea caso contrario; es decir, si
0
)
(
x
≠
g
se llama Ecuación no homogénea.
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es
de la forma:
ay
´´
+
by
´
+
cy
=
g
(
x
)
donde
a
, y
b
c
∈
IR
y
a
≠
0
2.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON
COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEA
Una ecuación diferencial de Segundo Orden con coeficientes constantes
homogénea es de la forma:
0
´
´´
+
by
+
cy
=
ay
La función "
", solución general de la ecuación diferencial anterior, es de la
forma
y
rx
ke
x
y
(
)
=
(¿Por qué?). Donde " " es una constante que da la generalidad
de la solución.
k
Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de
r
.
Bien, de la solución general tenemos:
rx rx
e
kr
y
kre
y
2=
′′
=
′
Reemplazando en
ay
´´
+
by
´
+
cy
=
0
tenemos:
[
]
0
0
2 2=
+
+
=
+
+
c
br
ar
ke
cke
bkre
e
akr
rx rx rx rxAhora bien,
porque si no tuviéramos las solución trivial y como
también
, entonces
0
≠
k
0
≠
rxe
ar
2+
br
+
c
=
0
. A esta expresión se la denomina
Ecuación Auxiliar y es útil para hallar
r
.
Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raices
se las puede determinar empleando la formula general
a
ac
b
b
r
r
2
4
,
2 2 1−
±
−
=
Aquí se presentan tres casos.
Caso I
Discriminante positivo
[
b
2− ac
4
>
0
]
. Entonces y
son raíces reales y
diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales
1
r
r
2x r x r
e
k
x
y
e
k
x
y
2 1 2 2 1 1)
(
)
(
=
=
La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones
fundamentales
x r x re
k
e
k
x
y
1 2 2 1)
(
=
+
Caso II
Discriminante cero
[
b
2− ac
4
=
0
]
. Entonces y
son raíces reales e
iguales.
1
r
r
2En este caso la solución General sería:
y
(
x
)
=
k
1e
rx+
k
2xe
rxCaso III
Discriminante negativo
[
b
2− ac
4
<
0
]
. Entonces
r
1=
λ
+
µ
i
y
son
raíces complejas conjugadas
i
r
2=
λ
−
µ
Reemplazando en
y
x
C
e
r1xC
e
r2xtenemos:
2 1)
(
=
+
[
ix ix]
x ix x ix x x i x ie
C
e
C
e
x
y
e
e
C
e
e
C
x
y
e
C
e
C
x
y
µ − µ λ µ − λ µ λ µ − λ µ + λ+
=
+
=
+
=
2 1 2 1 ) ( 2 ) ( 1)
(
)
(
)
(
Como
e
iµx=
cos
µ
x
+
i
sen
µ
x
y
e
−iµx=
cos
µ
x
−
i
sen
µ
x
Reemplazando tenemos:
[
]
[
C
C
x
C
i
C
i
x
]
e
x
y
x
i
x
C
x
i
x
C
e
x
y
x xµ
+
+
µ
+
=
µ
−
µ
+
µ
+
µ
=
λ λsen
)
(
cos
)
(
)
(
)
sen
(cos
)
sen
(cos
)
(
2 1 2 1 2 1Por lo tanto la solución sería
y
(
x
)
=
e
λx[
k
1sen(
µ
x
)
+
k
2cos(
µ
x
)
]
Ejemplo 1
Encuentre la solución general para
y
′′
−
4
y
′
−
12
y
=
0
SOLUCIÓN:
Hallando las raíces tenemos
2
6
0
)
2
)(
6
(
−
=
=
=
+
−
r
r
r
r
Por tanto: x x x x e k e k x y e k x y e k x y 2 2 6 1 2 2 2 6 1 1 ) ( ) ( ) ( − − + = = =Podemos comprobar que efectivamente esta es la función que satisface la ecuación diferencial dada.
Obtengamos la primera y la segunda derivada x x x x e k e k y e k e k y 2 2 6 1 2 2 6 1 4 36 2 6 − − + = ′′ − = ′ Luego, reemplazando
0 0 0 12 12 8 24 4 36 1 6 2 2 1 6 2 2 1 6 2 2 = = − − + − + − x x − x x − x x k e ke k e k e k e e k
Ejemplo 2
Encuentre la solución general para
2y′′−3y′+y=0,
y(0)=1 y′(0)=1SOLUCIÓN:
En este caso la ecuación auxiliar sería 2r2− r3 +1=0
Hallando las raíces tenemos
2 1 1 4 1 3 4 ) 1 )( 2 ( 4 9 3 2 1= = ± = − ± = r r r r
Por tanto, la solución general sería: y x kex k e2x
1
2 1
)
( = +
Como las condiciones iniciales están dadas debemos encontrar las constantes k1 y k2
Como y(0)=1 entonces 2 1 0 2 0 1 2 1 1 ) 0 ( ) ( 2 1 2 1 k k e k e k y e k e k x y x x + = + = + =
Obteniendo la primera derivada:
y x k ex k e2x 1 2 1 2 1 ) ( = + ′
Como y′(0)=1 entonces 2 1 0 2 0 1 2 1
2
1
1
2
1
)
0
(
2
1
)
(
2 1 2 1k
k
e
k
e
k
y
e
k
e
k
x
y
x x+
=
+
=
′
+
=
′
Resolviendo simultáneamente ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = 2 1 2 1 2 1 1 1 k k k k tenemos: k2 =0 y k1=1Por tanto, la solución particular es: y(x)=ex
Ejemplo 3
Encuentre la solución general para
y′′+4y′+4y=0SOLUCIÓN:
En este caso la ecuación auxiliar sería r2+ r4 +4=0
Hallando las raíces tenemos
2
2
0
)
2
)(
2
(
2 1=
−
∨
=
−
=
+
+
r
r
r
r
Por tanto, la solución general sería:y(x)=k1e−2x +k2xe−2x
Ejemplo 4
Encuentre la solución general para
y′′+6y′+13y=0;
y(0)=1; y′(0)=1SOLUCIÓN:
En este caso la ecuación auxiliar sería
Hallando las raíces tenemos:
i r i r i r r r r i r r r r 2 3 2 3 2 4 6 , 2 1 16 6 , 1 2 16 6 , 2 ) 13 )( 1 ( 4 36 6 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − − = ∨ + − = ± − = − ± − = = − − ± − = − ± − =
En este caso λ=−3 y
µ
=
2
, por tanto la solución general sería: y(x)=e−3x[
k1sen(2x)+k2cos(2x)]
Como y(0)=1 entonces[
]
[
]
2 1 ) 1 ( 2 ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 )) 0 ( 2 cos( 2 )) 0 ( 2 sen( 1 ) 0 ( 3 ) 0 ( k k k k k e y = + = + − =Comoy′(0)=1entonces
[
]
[
[
]
[
2 3 1 2 1 ) 0 cos( 2 ) 0 sen( 1 ) 0 ( 3 3 ) 0 sen( 2 2 ) 0 cos( 1 2 ) 0 ( 3 ) 0 ( ) 2 cos( 2 ) 2 sen( 1 3 3 ) 2 sen( 2 2 ) 2 cos( 1 2 3 ) ( k k k k e k k e y x k x k x e x k x k x e x y − = + − − − − = ′ + − − − − = ′]
]
Resolviendo simultáneamente 2 1 1 ) 1 ( 2 3 2 1 1 2 2 3 2 1 = = + = + k k k kPor tanto, la solución general sería y(x)=e−3x
[
2sen(2x)+cos(2x)]
Ejercicios propuestos 2.1
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. y′′+4y=0 ; y(0)=1, y´(0)=1 2. y′′−2y′+y=0 3. y′′+9y=0 4. y′′+4y′+4y=0; 1y(0)=1, y´(0)= 5. y′′ y− =0 6. y′′ y− ´=0; 1y(0)=1, y´(0)= 7. y′′ y+ =0; 1y(0)=1, y´(0)= 8. y′′ y+ ´=0 9. 2 0 2 1 ′′+ = y y 10. y′′−6y′+9y=0
2.1.1.1 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA
En el capítulo anterior se mencionó que la estabilidad dinámica de una
trayectoria
y
(t
)
se la determina con
lím
y
(
t
)
t→∞
.
Podemos ir analizando por casos.
Caso I,
rt rte
k
e
k
t
y
1 2 2 1)
(
=
+
Si las raíces son reales y diferentes, estas
tienen que ser negativas para que la trayectoria sea dinámicamente estable.
Caso II,
rt rtte
k
e
k
t
y
(
)
=
1+
2. Si las raíces son reales e iguales entonces
r
tiene que ser negativa (
r
<
0
) para que la trayectoria sea dinámicamente estable
Caso III
y
t
e
t[
k
ut
k
ut
sen
cos
)
(
=
1+
2]
λSi las raíces son complejas
conjugadas entonces la parte real
λ tiene que ser negativa (
) para que la
trayectoria sea dinámicamente estable.
0
<
λ
2.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
CON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientse constante y
término
g
(x
)
variable es de la forma:
a
y
′′
+
b
y
′
+
cy
=
g
(x
)
La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones,
una solución complementaria
y
Cy una solución particular
y
P.
3
2
1
3
2
1
PART SOL p COMPL SOL cx
y
x
y
x
y
(
)
=
(
)
+
(
)
La Solución complementaria
y
Csatisface la ecuación homogénea
ay
c″
+
by
c′
+
cy
c=
0
Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado
anteriormente.
La Solución particular
y
Psatisface la ecuación no homogénea
ay
p″
+
by
p′
+
cy
p=
g
(x
)
Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica de
senos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Método de los
coeficientes indeterminados.
En estos casos, de acuerdo a la forma de
, la solución particular
es deducible. Observe el siguiente cuadro.
)
(x
g
y
p(x
)
Si
g(x)=anxn +an−1xn−1+K+a1x+a0entonces
yp(x)=xs[
Anxn+An−1xn−1+K+A1x+A0]
Si
g(x)=aeαxentonces
s[ ]
x px
x
Ae
y
(
)
=
αSi
g(x)=a1senβx+a2cosβxentonces
y
p(
x
)
=
x
s[
A
sen
β
x
+
B
cos
β
x
]
Note que la solución particular aparece multiplicada por
sx
, esto es para el
caso de que existan soluciones particulares que no sean linealmente
independientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad se
puede utilizar
s
=
0
,
1
,
2
Ejemplo 1
Sea
y"+4y'+9y=x2+3xHallar la solución General
SOLUCIÓN:
La solución general es de la forma y(t)= yc +yP
Primero hallemos
y
c.La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y"c+4y'c+9yc =0.
La ecuación auxiliar es r2+ r4 +9=0. Hallando las raíces tenemos
( )
i r i r i r i r i r r r r r r r r r r 5 2 2 2 5 2 4 2 5 2 1 2 5 2 4 1 2 5 2 4 2 , 1 2 1 4 . 5 4 2 , 1 2 1 20 4 2 , 1 2 20 4 2 , 1 2 ) 9 ( 4 16 4 2 , 1 − − = ⇒ − − = + − = ⇒ + − = ± − = − ± − = − ± − = − ± − = − ± − =Por tanto yc(x)=e−2x
[
k1sen( 5x)+k2cos( 5x)]
Segundo, hallemos yP
Como g(x)=x2+3x (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la forma
C
Bx
Ax
x
y
p(
)
=
2+
+
(polinomio generalizado de grado 2). Luego debemosdeterminar los coeficientes
A
,B
y C.La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir,
x
x
y
y
y
p"
+
4
p'
+
9
p=
2+
3
Hallemos la primera y la segunda derivada para
y
p(
x
)
=
Ax
2+
Bx
+
C
A y b Ax y p p 2 " 2 ' = + = Reemplazando y agrupando
0
3
)
9
4
2
(
)
9
8
(
9
3
9
4
8
2
2 2 2 2+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
x
x
c
b
A
x
b
A
Ax
x
x
c
bx
Ax
b
Ax
A
Entonces
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
=
0
9
4
2
3
9
8
1
9
C
B
A
B
A
A
Resolviendo el sistema simultáneo tenemos: 9 1 = A ,
81
19
=
B
y729
94
−
=
c
Por, tanto729
94
81
19
9
1
)
(
x
=
x
2+
x
−
y
pFinalmente la solución general sería:
[
]
729
94
81
19
9
1
)
5
cos(
)
5
sen(
)
(
x
=
e
−2k
1x
+
k
2x
+
x
2+
x
−
y
xEjemplo 2
Sea
y
"
+
4
y
=
6
sen
3
x
Hallar la solución General
SOLUCIÓN:
Primero hallemos
y
c.La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y"c+4yc =0.
La ecuación auxiliar es r2+4=0. Hallando las raíces tenemos:
i r i r r r r 2 0 2 0 1 4 4 4 2 1 2 − = + = − ± = − ± = − = Por tanto
[
]
) 2 cos( ) 2 sen( ) ( ) 2 cos( ) 2 sen( ) ( 2 1 2 1 0 x k x k x y x k x k e x y c c + = + = Segundo, hallemos yPComo g(x)=6sen3x entonces la solución particular es de la forma
x
B
x
A
x
y
p(
)
=
sen
3
+
cos
3
. Luego debemos determinar los coeficientesA
yB
.La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir
x y
y"P+4 P =6sen3
Hallemos la primera y la segunda derivada x B x A y x B x A y p p 3 cos 9 3 sen 9 " 3 sen 3 3 cos 3 ' − − = − = Reemplazando y agrupando
Igualando coeficientes, tenemos:
(
A)
x(
B)
x x x x x x B x A x B x A x y yp p 3 cos 0 3 sen 6 3 cos 5 3 sen 5 3 cos 0 3 sen 6 ) 3 cos 3 sen ( 4 ) 3 cos 9 3 sen 9 ( 3 sen 6 4 " + = − + − + = + + − − = + ⎩ ⎨ ⎧ = − = − 0 5 6 5 B AResolviendo el sistema simultáneo tenemos: 5 6 − = A y B=0
Por, tanto
y
px
sen
3
x
0
cos
3
x
5
6
)
(
=
−
+
Finalmente la solución general sería:
y x k x k x sen3x 5 6 2 cos 2 sen ) ( = 1 + 2 −
Ejemplo 3
Hallar la solución para
y"+4y=x2+3ex; y(0)=0, y'(0)=2.
SOLUCIÓN:
Primero hallemos
y
c.La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y"c+4yc =0.
La ecuación auxiliar es r2+4=0. Hallando las raíces tenemos:
i r i r r r r 2 0 2 0 1 4 4 4 2 1 2 − = + = − ± = − ± = − = Por tanto
[
]
) 2 cos( ) 2 sen( ) ( ) 2 cos( ) 2 sen( ) ( 2 1 2 1 0 x k x k x y x k x k e x y c c + = + = Segundo, hallemos yPComo g(x)=x2+3ex (combinación lineal de polinomio con exponencial) entonces la
solución particular es de la forma x
p x Ax Bx C De
y ( )= 2+ + + . Luego debemos
determinar los coeficientes A , , C y B D .
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir
x p
p y x e
Hallemos la primera y la segunda derivada x p x p De A y De B Ax y + = + + = 2 " 2 ' Reemplazando y agrupando x x x x x e x x De C A Bx Ax e x De C Bx Ax De A 3 0 0 5 ) 4 2 ( 4 4 3 4 4 4 4 2 2 2 2 2 + + + = + + + + + = + + + + +
Igualando coeficientes, tenemos:
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = = 3 5 0 4 2 0 4 1 4 D C A B A
Resolviendo el sistema simultáneo tenemos:
5 3 8 1 0 4 1 = − = = = D C B A Por, tanto x p x x e y 5 3 8 1 4 1 ) ( = 2− +
Finalmente la solución general sería:
y x k x k x x ex 5 3 8 1 4 1 2 cos 2 sen ) ( = 1 + 2 + 2− + Con y(0)=0 tenemos 40 19 2=− k Con y'(0)=2 tenemos 10 7 1= k Finalmente y x x x x ex 5 3 8 1 4 1 2 cos 40 19 2 sen 10 7 ) ( = − + 2− +
Note que no es dinámicamente estable. ¿Por qué?
Ejercicios propuestos 2.2
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden
1.
y′′−y′−2y=−2x3−3x2+8x+12.
y′′−6y′+9y=x2+ex3.
y′′+y′+y=2cos2x−3sen2x4.
y′′+y=2x6.
y′′+4y′+5y=e−x −sen2x7.
y′′−2y′−35y=13senx−e3x+18.
( )
( )
5 1 0 20 7 0 ; 2 sen cos 2 = − =− ′ = − ′ − ′′ y y x x y y y9.
y′′+y′−12y=ex+e2x−1; y( )
0 =1 y′( )
0 =310.
y′′−y=senx−e2x; y( )
0 =1 y′( )
0 =−111.
y′′−7y′+10y=x2−4+ex; y( )
0 =3 y′( )
0 =−32.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de
coeficientes constantes, podemos pensar en procedimientos análogos.
Ejemplo
Hallar la solución para
y
IV+
6
y
′′′
+
14
y
"
+
16
y
'
+
8
y
=
24
SOLUCIÓN:
Primero, encontramos la solución complementaria que satisface la ecuación homogénea . c
y
0 8 ' 16 " 14 6 ′′′ + + + = + c c c c IV c y y y y yLa ecuación auxiliar sería r4+6r3+14r2+16r+8=0. Encontramos las raíces por división sintética
i r i r r r r r r r r r r r r − − = + − = − ± − = − ± − = = + + − = − − − − = + + + − = − − − − − 1 1 2 4 2 , 2 ) 2 ( 4 4 2 , 0 2 2 2 0 2 2 1 4 4 2 0 2 4 6 4 1 0 4 6 4 2 0 4 6 4 1 8 12 8 2 0 2 8 16 14 6 1 4 3 4 3 4 3 2 2 2 3 1 Por tanto yc(x)=k1e−2x+k2xe−2x+e−x
[
k3sen+k4cosx]
Entonces 0 0 0 " 0 ' = = ′′′ = = IV p p p p y y y y Reemplazando y calculando 3 24 8 ) 0 ( 16 ) 0 ( 14 ) 0 ( 6 0 24 8 ' 16 " 14 6 = = + + + + = + + + ′′′ + A A y y y y yIVp p p p p
Por tanto ( ) 2
[
3sen 4cos]
32 2 1 + + + + = − − − x k x k e xe k e k x y x x x
Observe que es dinámicamente estable, es decir que y(t) converge al nivel de equilibrioy=3
Ejercicios propuestos 2.3
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.
y```+7y``+15y`+9y=02.
y```−2y``−y`+2y=43.
y```+6y``+10y`+8y=82.3 ANÁLISIS CUALITATIVO
Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficentes
constantes, podemos utilizar el siguiente análisis si se trata de determinar la
estabilidad
2.3.1 Teorema de Routh
Sea la ecuación polinómica de grado
n
1
0
3 3 2 2 1 1 0+
+
+
+
+
−+
=
− − − n n n n n na
r
a
r
a
r
a
r
a
r
a
K
La parte real de todas las raíces son negativas si y
sólo sí los " " primeros determinantes de la siguiente
n
sucesión:
a
1;
2 0 3 1a
a
a
a
;
3 1 4 2 0 5 3 10
a
a
a
a
a
a
a
a
;
4 2 0 5 3 1 6 4 2 0 7 5 3 10
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
;...
Son todos positivos
Ya usted ha tenido la oportunidad de observar que para que una trayectoria
, solución de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y
término constante, sea dinámicamente estable se requiere que las raíces de la
ecuación auxiliar o la parte real (en el caso de las raíces complejas) sean todas
negativas. Entonces para determinar lo anterior basta con emplear el Teorema de
Routh.
)
(t
y
Ejemplo 1
Determine cualitativamente la estabilidad dinámica para
yIV +6y′′′+14y"+16y'+8y=0
SOLUCIÓN:
Empleando el Teorema de Routh. La ecuación auxiliar es r4+6r3+14r2+16r+8=0
En este caso n=4 y además
8 16 14 6 1 4 3 2 1 0 = = = = = a a a a a
Los cuatros determinantes serían:
a1 =6; 84 16 68 14 1 16 6 2 0 3 1 = = − = a a a a ; 800 16 6 0 8 14 1 0 16 6 0 1 3 4 2 0 5 3 1 = = a a a a a a a a 6400 8 14 1 0 0 16 6 0 0 8 14 1 0 0 16 6 =
Como todos los determinantes son positivos entonces todas las raíces son negativas; por tanto la solución es dinámicamente estable
Ejemplo 2
Determine cualitativamente la estabilidad dinámica para
y′′′−10y"+27y'−18y=3
SOLUCIÓN:
Empleando el Teorema de Routh. La ecuación auxiliar es r3−10r2+27r−18=0
En este caso n=3 y además
18 27 10 1 3 2 1 0 − = = − = = a a a a
Los cuatros determinantes serían:
a1 =−10 ; 252 27 1 18 10 2 0 3 1 = − − =− a a a a ;
5184 18 10 0 0 27 1 0 18 10 0 1 3 4 2 0 5 3 1 = − − − − = a a a a a a a a
Como los determinantes no todos son positivos entonces no todas las raíces son negativas; por tanto la solución es NO dinámicamente estable.
Ejercicios propuestos 2.4
Determine si las soluciones de las ecuaciones diferenciales son trayectorias
temporales convergentes o no. Emplee el teorema de Routh
1. y```−10y``+27y`−18y=3 2. y```+11y``+34y`+24y=5 3. y```+4y``+5y`−2y=−2
Misceláneos
1. Hallar la serie de Taylor alrededor de la x0=0 de la función f(x)=xcosx
2. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales e indique si la solución complementaria converge o no.
a) y´´+4y´+4y=
(
x+1)
e−2x+10xb) y´´´+3y´´−y´−3y=4x+2+3senx
c) y"+y´+y=t+e2t
d) y"+6y´+9y=2e−3x+x+1 ; y(0)=−1,y´(0)=1
3. Un estudio de explotación de un recurso natural, utiliza la ecuación diferencial: 3 1 1 2 2 2 2 = β − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β − β − − a x dt dx a dt dx a) Probar que x1(t)=eat y 2()= 1−β at e t
x donde a≠0, β≠1 son soluciones de la
ecuación homogénea.
b) Si a=−5 y β=−9 encuentre la solución general e indique si la solución converge a largo
