Ecuaciones Diferenciales 100 problemas resueltos

Cuando un alumno cursa una asignatura, en este caso, Ecuaciones Diferenciales, lo que se espera básicamente de él es, primero, que logre una comprensión adecuada de los conceptos centrales de la asignatura y segundo, que sea capaz de aplicar este conocimiento a la resolución de problemas.

Para alcanzar el primer objetivo se espera que un buen estudiante asista y participe regularmente en las clases llamadas de cátedra y consulte los muy buenos textos que tiene a disposición en la biblioteca. Sin embargo, muchas veces las técnicas que se usan en la resolución de los problemas mismos no son claras para el alumno y se le dificulta alcanzar el segundo objetivo, pues los textos generalmente ponen el énfasis en los conceptos y los problemas resueltos que contienen son más bien simples.

IÞ  Ecuaciones de primer orden ... "

Problemas resueltos ... 6

IIÞ  Aplicaciones de ecuaciones de primer orden ... 19

Problemas resueltos ... 1#

IIIÞ  Ecuaciones de orden superior ... 39

Problemas resueltos ... 48

IVÞ  Sistemas de ecuaciones ... 83

Problemas resueltos ... 87

VÞ  Transformada de Laplace ... 105

DE PRIMER ORDEN

Definición.

Una ecuación diferencial es cualquier relación en la que interviene una o más variables dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

Una ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial Ordinaria si en ella intervienen sólo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, decimos que la ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales.

El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden se representa mediante la identidad8 J ÐBß Cß C ß á ß Cw Ð8ÑÑ œ !Þ

Solución ( o integral) de una ecuación diferencial ordinaria.

Una función real C œ ÐBÑ: con al menos derivadas definida en un intervalo es una8 M solución explícita de la ecuación J ÐBß Cß C ß á ß Cw Ð8ÑÑ œ ! en si y sólo siM J ÐBß ÐBÑß: :wÐBÑß á ß:Ð8ÑÐBÑÑ œ !.

Una relación KÐBß CÑ œ ! es una solución implícita de la ecuación

J ÐBß Cß C ß á ß Cw Ð8ÑÑ œ ! en si y sólo si existe al menos una función M C œ ÐBÑ: que

satisface la relación y la ecuación diferencial en .K M

Por lo general una solución de una ecuación diferencial tiene una o más constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuación, es decir, es una familia -8

paramétrica de soluciones. Cuando damos un valor a las constantes obtenemos una

solución particular de la ecuación. Si toda solución de la ecuación se obtiene asignando valores a las constantes de la familia -paramétrica, decimos que ella es la 8 solución general de la ecuación. Una solución singular es una solución de la ecuación diferencial que no puede obtenerse asignándole valores a las constantes de la familia -paramétrica de8

Definición.

Un Problema de valor inicial (P.V.I.) es una ecuación diferencial para la cual se especifican los valores e la función y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado punto inicial. Un Problema de contorno o de frontera es una ecuación diferencial en la cual se dan valores por lo menos para dos puntos de la función o alguna de sus derivadas.

P.V.I. de primer orden. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema de Picard.

Si 0 ÐBß CÑ y 0 ÐBß CÑC son funciones de dos variables continuas sobre un rectángulo cerrado

V, entonces por cada punto ÐB ß C Ñ_{! !} del interior de pasa una y sólo una curva integral (oV

curva solución) de la ecuación C œ 0 ÐBß CÑÞw

Variables Separables.

Toda ecuación que se puede escribir de la forma 1ÐCÑ .C œ 2ÐBÑ .B se resuelve por integración directa.

Ecuaciones exactas.

Sean Q y R funciones de dos variables continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta Vdel plano \].

Toda ecuación de la forma Q ÐBß CÑ.B  R ÐBß CÑ.C œ ! es una ecuación exacta si y sólo si existe una función de dos variables tal que J J ÐBß CÑ œ Q ÐBß CÑB y J ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑC . Una ecuación es exacta si y sólo si Q ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑÞC B

La solución de la ecuación diferencial exacta está dada por J ÐBß CÑ œ G, donde

J ÐBß CÑ œ

'

Q ÐBß CÑ.B  1ÐCÑ œ

'

R ÐBß CÑ.C  2ÐBÑÞ

Factor Integrante.

Si una ecuación no es exacta, a veces es posible transformarla en exacta multiplicando por un factor adecuado, que llamamos Factor Integrante, .ÐBß CÑ. En tal caso, debe cumplirse:

Caso 1: Si es una función que sólo depende de , entonces el Factor Integrante es. B

/

'2ÐBÑ.B, donde 2ÐBÑ œ _R" ÐQ  R ÑC B .

Caso 2: Si es una función que sólo depende de , entonces el Factor Integrante es. C

/

'2ÐCÑ.C, donde 2ÐCÑ œ _Q" ÐR  Q ÑB C .

Caso 3: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es

/

'2ÐDÑ.D, donde 2ÐDÑ œ R Q_{Q R}B CÞ

Caso %: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es

/

'2ÐDÑ.D, donde 2ÐDÑ œ Q R_{Q R}C BÞ

Caso &: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B † Cß entonces el Factor Integrante es

/

'2ÐDÑ.D, donde

2ÐDÑ œ _{BQ CR}R QB C Þ

Ecuaciones lineales.

Una ecuación lineal de primer orden es de la forma C  T ÐBÑ C œ UÐBÑw , con y T U

funciones continuas en un intervalo abierto de . Su solución es:‘

CÐBÑ œ / T ÐBÑ.B' ÐG  UÐBÑ /' 'T ÐBÑ.B.BÑ

Ecuaciones de coeficientes homogéneos.

Una ecuación diferencial de la forma Q ÐBß CÑ .B  R ÐBß CÑ .C œ ! se dice (de coeficientes) homogénea(os) si existe un número real tal que ! Q Ð Bß CÑ œ! ! !8Q ÐBß CÑ y

R Ð Bß CÑ œ! ! !8R ÐBß CÑ_.

En este caso, se hace la sustitución C œ ?B, obteniéndose la ecuación de variables separables:

.B

B Q Ð"ß?Ñ?R Ð"ß?Ñ R Ð"ß?Ñ .?

œ

Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de la forma C  T ÐBÑC œ UÐBÑC ß 8 −w 8 _‘ y T y funcionesU

continuas en un intervalo abierto de , se conoce como ecuación de Bernoulli. La‘

sustitución D œ C"8 transforma la ecuación en una ecuación lineal y su solución es:

Ecuaciones de la forma C œ 0 Ð+B  ,C  -ÑÞw

Mediante la sustitución D œ +B  ,C  - la ecuación se transforma en una ecuación de variables separables y su solución es:

.B œ _{, 0 ÐDÑ+}.D Ecuaciones de la forma C œ 0w Š+ B, C-_{+ B, C-}" " "‹Þ

# # #

Caso 1: Si - œ - œ !" # la ecuación es de coeficientes homogéneos.

Caso 2: Si + , œ + ," # # ", se obtiene + B  , C œ 5Ð+ B  , CÑ# # " " por lo que la ecuación se transforma en una ecuación de la forma C œ 1Ð+ B  , CÑÞw

" "

Caso 3: Si + , Á + ," # # " se utiliza la sustitución ? œ B  2ß @ œ C  5, donde y se2 5

obtienen resolviendo el sistema:

+ 2  , 5  - œ ! + 2  , 5  - œ !

" " "

# # #

Mediante la sustitución dada se obtiene una ecuación de la forma _.?.@ œ 0Š_{+ ?, @}+ ?, @" " ‹ que # #

es una ecuación de coeficientes homogéneos.

Ecuación de Riccati.

Una ecuación de la forma C  T ÐBÑC  UÐBÑC  VÐBÑ œ !w # con T ß Uy funcionesV

continuas en un intervalo abierto de , se conoce como ecuación de Riccati. Si se conoce‘

una solución particular C ÐBÑ" de esta ecuación, la sustitución C œ C " "_D, transforma la ecuación original en la ecuación lineal:

D  ÐT ÐBÑ  #C UÐBÑÑD œ UÐBÑw

"

La sustitución C œ :Þw

Hay varias maneras en que esta sustitución puede ser útil. A veces, permite transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica a la cual es posible encontrar sus raíces. Esto generalmente lleva a resolver varias ecuaciones diferenciales más sencillas, todas ellas solución de la ecuación diferencial original.

Ecuación de Clairaut.

Una ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma C œ BC  0 ÐC Ñw w . Su solución general es C œ -B  0 Ð-Ñ. Haciendo la sustitución C œ :w , se obtiene la solución singular de la ecuación de Clairaut:

œC œ  :0 Ð:Ñ  0 Ð:Ñ_{B œ  0 Ð:Ñ}w w

Sustituciones usando diferenciales.

A veces es posible usar fórmulas diferenciales conocidas para encontrar una sustitución adecuada para resolver una ecuación diferencial. Algunas de estas fórmulas diferenciales son:

.ÐBCÑ œ .B.C .ÐBCÑ œ C .B  B .C

.Ð Ñ œB_C C .BB .C_C# .ÐB  C Ñ œ #B .B  #C .C# #

Ejercicios resueltos

"Þ  Resolver el P. V. I. C  BC œ +Ð"  B C Ñß CÐ"Ñ œ #+Þw # w

Ordenando la ecuación tenemos _C+.C œ _B+B.B # y usando fracciones parciales: .C

C+ B +B" +

œ Ð1



Ñ Þ

.B

Esta es una ecuación de variables separables, por lo que integrando obtenemos:

68ÐC  +Ñ œ 68 B  68Ð+B  "Ñ  68 G

Usando las propiedades del logaritmo: C  + œ G_+B"B

Þ

Reemplazando las condiciones iniciales, G œ +Ð+  "Ñ. Así, la solución del P.V.I. es CÐBÑ œ BÐ#+ +Ñ+_+B"# .

#Þ  Resolver la ecuación ÐB  #C  %Ñ  Ð#B  C  #ÑC œ !w . Reoordenando la ecuación tenemos: C œw #CB%_#BC# .

Intersectando las dos rectas involucradas B  #C  % œ ! , obtenemos

#B  C  # œ !› B œ !ß

C œ #, por lo que hacemos la sustitución ? œ B ß @ œ C  #, y obtenemos la

ecuación homogénea: .@_.? œ #@?_#?@ ,

Mediante la sustitución @ œ D?ß tenemos .?_? œ _{D "}#D# .Dß e integrando por fracciones parciales obtenemos:

.

" $

#68 D  "  68 D  " œ 68 ?  68 G¸ ¸ # ¸ ¸

Utilizando las propiedades de logaritmo, Ê D" D"

a b$ œ G?Þ

$Þ  Resolver el P.V.I. .C_.B œ C Ð68 C  68B  "Ñ_B ß CÐ"Ñ œ /Þ

Sea . C œ ? B Entonces, C œ ? B  ?Þw w

Reemplazando, ? B  ? œ ?Ð68 ?  "Ñw , es decir ? B œ ? 68 ?Þw

Se trata de una ecuación de variables separables, por lo que escribimos: .

.? .B

? 68 ?

œ

B

Integrando, 68Ð68 ?Ñ œ 68 B  68G Ê 68 ? œ G B Ê 68 C œ G B  68 BÞ

Como tenemos CÐ"Ñ œ /ß que G œ ". Así, la solución del P.V.I. es: C œ B / ÞB

Otra forma de resolver este problema es escribir la ecuación como:

C Ð68 Ð Ñ  "Ñ.B  B.C œ !C_B

y mostrar que se trata de una ecuación homogénea (pues Q y R son funciones homogéneas de grado 1). Entonces Q Ð"ß ?Ñ œ ?Ð68 ?  "Ñ y R Ð"ß ?Ñ œ  "Þ

De aquí obtenemos .B_B œ _{? 68 ?}.? como antes.

%Þ  Resolver el P.V.I.: BC œ  C w ÈBC  " ß CÐ!Ñ œ !. Hacemos la sustitución ? œ BC  ". Entonces ? œ C  BCw w.

Reemplazando en la ecuación, ?  C œ  C w È? , o equivalentemente, .?

?

È œ .B.

Luego, #È? œ B  G, es decir, #ÈBC  " œ B  G.

Reemplazando la condición inicial, G œ # y tenemos que la solución de la ecuación es:

.

&Þ  Usar la sustitución @ œÈC  =/8 B para resolver la ecuación:

C œw ÈC  =/8 B  -9= B

Analicemos primero el caso @ Á !.

@ œÈC  =/8 B Ê _.B.@ œ C -9=Bw _#@ Ê C œ #@w _.B.@  -9= B Þ

Reemplazando en la ecuación, #@.@_.B œ @. Como @ Á !ß obtenemos # .@ œ .B, de donde #@ œ B  G , es decir:

#ÈC  =/8 B œ B  G , o bien C œ ÐB  GÑ  =/8 B"_% #

Ahora, si @ œ !ß C œ  =/8 B también es solución de la ecuación pues

C œ  -9= Bw . Por lo tanto, C œ  =/8 Bcorresponde a una solución singular de la

ecuación. Note que por el Teorema de Picard hay una única solución que pasa por cualquier punto de ‘# a excepción de los puntos ÐBß CÑ para los cuales

C œ  =/8B.

'Þ  Resolver el P.V.I.: .B  Ð$/  #BÑ.C œ ! ßC CÐ  "Ñ œ !Þ

Como la ecuación no es lineal en la variable , pero sí en la variable , escribimos:C B

.B

.C  #B œ $/C

De aquí, T ÐCÑ œ #ß UÐCÑ œ $/C, y la solución es:

B œ /#CÐ $/ / .C  GÑ œ /

'

C #C #CÐ/  GÑ$C

Reemplazando la condición inicial obtenemos G œ  #, por lo que la solución del P.V.I. es : B œ /  #/C #C

Un segundo método es buscando un factor integrante: Como R QB_Q C œ _"#, tenemos que /# .C' œ /#C es un F.I. La ecuación / .B  / Ð$/  #BÑ.C œ !#C #C C es exacta.

J ÐBß CÑ œ

'

/ .B œ B/  1ÐCÑÞ#C #C

de donde 1 ÐCÑ œ  $/w $C. Luego 1ÐCÑ œ  /  GÞ$C

Por lo tanto, la solución general es B/  /#C $C œ G, que es equivalente a la anterior.

(Þ  Resolver la ecuación: _BÐB$Ñ$C# .B  #C Ð68_B$&B  $=/8 CÑ .C œ !

Q ÐBß CÑ œC _BÐB$Ñ'C y

R ÐBß CÑ œ #CÐB B$_&B

†

&ÐB$Ñ&B_ÐB$Ñ# Ñ œ _ÐB$Ñ#C

†

"&_&B œ _BÐB$Ñ'C Þ

Luego la ecuación es exacta y:

J ÐBß CÑ œ

'

_BÐB$Ñ$C# .B œ $C#

'

" "_{$ B}

Ð 

_B$"

Ñ

.B œ C 68# _B$B  1ÐCÑ

Como ,J œ RC

J ÐBß CÑ œ #C 68C _B$B  1 ÐCÑ œ #CÐ68w _B$&B  $=/8 CÑÞ

Luego, 1 ÐCÑ œ #C 68 &  'C =/8 Cw , de donde

1ÐCÑ œ C 68 &  ' C=/8 C .C Ê 1ÐCÑ œ C 68 &  'Ð  C -9= C  =/8 CÑ  G# ' #

Así, la solución general de la ecuación es:

C 68# _B$&B  'C -9= C  '=/8 C œ G

)Þ  Resolver la ecuación: Ð#C  $BÑ.B  #BC .C œ !# .

Q ÐBß CÑ œ #C  $B Ê Q ÐBß CÑ œ %C

R ÐBß CÑ œ #BC Ê R ÐBß CÑ œ #C Q Á R

#

C

B C B

 .

La ecuación no es exacta, por lo que buscamos un factor integrante: Q R

R #BC B

#C "

C B .B_B

J ÐBß CÑ œ #B C .C œ B C  2ÐBÑ' # # # J œ Q À

B y como

J ÐBß CÑ œ #BC  2 ÐBÑ œ #BC  $B ÞB # w # #

Luego, 2ÐBÑ œ B  GÞ$

Así, la solución de la ecuación es B C  B œ GÞ# # $

*Þ  Resolver ÐC  C -9= BCÑ.B  ÐB  B -9= BCÑ.C œ !

Caso 1: "  -9= BC Á !Þ Dividiendo por "  -9= BC, obtenemos la ecuación

C.B  B.C œ ! cuya solución es BC œ G Þ

Caso 2: "  -9= BC œ !ß BC œ Ð#5  "Ñ1, que está incluida en la solución anterior, por lo que la solución de la ecuación es BC œ G.

Un segundo método es mostrar que la ecuación es exacta:

Q ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑ œ "  -9= BC  BC =/8 BCC B

Entonces, J ÐBß CÑ œ ÐC  C-9= BCÑ.B œ BC  =/8 BC  1ÐCÑÞ'

Como , J œ R B  B -9= BC  1 ÐCÑ œ B  B -9= BCC w .

Esto significa que 1 ÐCÑ œ !w , es decir es constante y la solución general de la1

ecuación es BC  =/8 BC œ G.

Aparentemente, esta solución es distinta de la que obtuvimos con el primer método. Sin embargo, notemos que si BC œ G, entonces BC  =/8 BC œ G  =/8 G, es decir, constante. Por otro lado, la función 0 ÐDÑ œ D  =/8 D es estrictamente creciente, pues 0 ÐDÑ œ "  -9= D   !w y es igual a sólo en puntos aislados. Eso!

significa que es inyectiva, por lo que 0 0 ÐDÑ œ G implica que es constante. PorD

lo tanto, BC  =/8 BC œ G implica BC œ G!, por lo que ambas soluciones son equivalentes.

Otro método de solución es usar el hecho que la diferencial de un producto es

.ÐBCÑ œ C .B  B .C, por lo que haciendo la sustitución ? œ BC, obtenemos

Ð"  -9= ?Ñ .? œ !, es decir, ?  =/8 ? œ G, que corresponde a la solución

"!Þ  Resolver la ecuación: CÐ'C  B  "Ñ.B  #B.C œ !#

La ecuación se puede escribir como C w B"C œ  C$ $, la que corresponde a

#B B

una ecuación de Bernoulli cuya solución es: , es decir,

C# œ /'B"_B .B G  ' B"B .B.B œ G  '/B

# B

Ò

'

/

Ó

" "

Ò

Ó

B C B/

'

Por lo tanto, la solución de la ecuación es C œ „É_G'/B/BB Þ

""Þ  Dada la ecuación diferencial CÐ"  #B / C Ñ.B  B.C œ ! ß B  !ß C  !$ #B # . Encontrar una función y una constante tal que sea un

+Ñ 2ÐBÑ , .ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC,

factor integranteÞ

Multiplicando la ecuación por el factor integrante tenemos que:

Q ÐBß CÑ œ Ð"  #B / C Ñ2ÐBÑC$ #B # ,"

Q ÐBß CÑ œ Ð,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B / C ÑC  %B / 2ÐBÑCC $ #B # , $ #B ,#

R ÐBß CÑ œ B2ÐBÑC,

R ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC  B2 ÐBÑCB , w ,

Calculamos la diferencia Q  RC B y la igualamos a para que la ecuación sea!

exacta:

Q  R œ C Ð,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B / C Ñ  %B / 2ÐBÑC  2ÐBÑ  B2 ÐBÑC B ,

Ò

$ #B # $ #B # w

Ó

œ C 2ÐBÑÐÐ,  "ÑÐ"  #B / C Ñ  %B / C  "Ñ  B2 ÐBÑ,

Ò

$ #B # $ #B # w

Ó

œ C 2ÐBÑÐ,  #Ð,  $ÑB / C Ñ  B2 ÐBÑ,

Ò

$ #B # w

Ó

Podemos elegir , œ  $ y entonces  $2ÐBÑ  B2 ÐBÑ œ !Þw

Para encontrar 2ÐBÑdebemos resolver la ecuación diferencial: .

2 ÐBÑ

2ÐBÑ B

$ w

œ 

Encontrar la solución general de la ecuación.

,Ñ

Multiplicando por el factor integrante que encontramos en la parte +Ñ obtenemos la ecuación:

(B C$ 2 #/ Ñ.B  B C .C œ !Þ#B 2 $

Entonces J ÐBß CÑ œ

'

B C .C œ  B C $ "  #  1ÐBÑÞ

#

2 2

Ahora, J œ QB , luego J ÐBß CÑ œ B CB $ 2 #/#B , es decir,

B C3 #  1 ÐBÑ œ B Cw $ 2 #/#B

De aquí, 1 ÐBÑ œ #/w #B y por lo tanto 1ÐBÑ œ /#B de donde la solución de la ecuación es:

 "_# B C2 #  /#B œ GÞ

Determinar la solución particular que verifica y el intervalo

-Ñ CÐ#Ñ œ $ /

#È# # máximo donde ella está definida.

Utilizando la condición inicial, tenemos que G œ /)_* %.

Luego la solución particular es  "_# B C2 #  /#Bœ /)_* %, lo que es equivalente a

CÐBÑ œ "

BÉ#/  /#B "' % *

Þ

Para encontrar el intervalo máximo donde está definida la solución, debemos considerarÀ

B Á ! • #/#B "'_* /  !%

Resolviendo la desigualdad, B  #  68 Þ"_# )_* Luego, el intervalo buscado es ‘#  68 ß  _"_# )_* .

"#Þ  Resolver la ecuación: C  Ð"  ÑC  ÐB  Ñ/ œ !w "_B "_B B y probar que hay dos soluciones particulares para la ecuación tales que una es la derivada de la otra. Como la ecuación es lineal :

CÐBÑ œ B/ G B

_Ò

'

ÐB  Ñ/" B/ .B

_Ó

B B

B

œ B/ G B

Ò

'

Ð"  _B"#Ñ.B ß

Ó

Así, la solución es CÐBÑ œ / ÐGB  B  "ÑÞB #

Consideremos dos soluciones particulares e . Es decir:C" C# y

C ÐBÑ œ / ÐEB  B  "Ñ_" B # C ÐBÑ œ / ÐFB  B  "ÑÞB #

2

Entonces C ÐBÑ œ / ÐEB  B  "Ñ  / ÐE  #BÑßw_" B # B y como C ÐBÑ œ C ÐBÑ_"w 2

tenemos que E œ !ß F œ  #.

Así, C ÐBÑ œ / Ð  B Ñ_" B 1 # e C ÐBÑ œ / Ð"  #B  B Ñ ÞB #

2

" Þ 3 Usar un factor integrante de la forma . œ /+B,C para resolver la ecuación:

Ð#B  #C  B  #BCÑ.B  Ð#B  %BC  #BÑ.C œ !Þ# #

Utilizando el factor integrante tenemos que À

Q ÐBß CÑ œ /C +B,CÐÐ#,B  #,C  ,B  #,BC  #  #BÑ#

R ÐBß CÑ œ /B +B,CÐ#+B  %+BC  #+B  %B  %C  #Ñ#

Como queremos que la ecuación resulte exacta, debemos tener que Q  R œ !C B :

 Ð,  #+ÑB  #Ð,  "  +ÑB  #Ð#  ,ÑC  #Ð#+  ,ÑBC œ !#

de donde + œ  " y , œ #. Luego : J ÐBß CÑ œ

'

/B#CÐ#B  %BC  #BÑ.C#

œ /B#CÐB  #BCÑ  0 ÐBÑ# Derivando,

.

J ÐBß CÑ œ /B B#CÐ#BC  B  #B  #CÑ  0 ÐBÑ œ R ÐBß CÑ# w

Asíß 0 ÐBÑ œ !w , de donde 0 ÐBÑ œ GÞ Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

" Þ 4 Demostrar que la ecuación C  T ÐBÑC œ UÐBÑC 68 Cw puede resolverse mediante el cambio de variable D œ 68 C.

Claramente, C  !Þ

Ahora,D œ 68 C Ê .D_.B œ "_{C .B}.C Ê _.B.C œ C.D_.BÞ

Reemplazando, C .D_.B  T ÐBÑ C œ UÐBÑ C D, de donde _.B.D  UÐBÑ D œ  T ÐBÑ

es lineal por lo que la solución de la ecuación es:

68 C œ

/

'UÐBÑ .BÐG  T ÐBÑ'

/

'UÐBÑ .B.BÑÞ

"&Þ  Aplicar el método del ejercicio anterior para resolver la ecuación:

BC œ #B C  C68 C ß B  !w #

Dividimos por en la ecuación y obtenemosB À

C  #BC œw "C 68 CÞ

B

Entonces, T ÐBÑ œ  #Bß UÐBÑ œ _B" , y la solución de la ecuación es: 68 C œ /' "B.BÐ #B /

'

' .BB" .B  GÑ

œ BÐ # B /

'

68 B.B  GÑ

œ BÐ#B  GÑ

"'Þ  Resolver el P.V.I.: C"Î# wC  C$Î# œ "ß CÐ!Ñ œ %

Como claramente C  !, pues C œ ! no es solución, dividimos por C"Î# y obtenemos la ecuación C  C œ Cw "Î#, que es una ecuación de Bernoulli con

8 œ  "Î#Þ

Entonces C$Î# œ

_/

 BÐ $

_/

B.B  GÑ œ

_/

 BÐ

_/

B GÑ œ G

_/

 B "

#

$ $ $ $ $

#

'

# # # #

"(Þ  Resolver la ecuación C  /w #B œ Ð"  # / ÑC  CB # sabiendo que tiene una solución particular C œ  / Þ" B

Esta es una ecuación del tipo Ricatti, y en este caso se usa la sustitución À

C œ  /  ÞB " D Como C œ  / w B D obtenemos la ecuación À

D w #

 / B D  /#Bœ Ð"  # / ÑÐ  / B B "  Ð  /  ÑB " #

D D D

w

#

Ñ

o, equivalentemente: D  D  " œ !ßw cuya solución es :

D œ / .B' ÒG 

'

/'.B.BÓ œ

/

BÐG  / ÑB

Luego CÐBÑ œ / G/ /B _G/BB #BÞ

")Þ  Resolver la ecuación: C  Ð%BC  "ÑC  %B ÐC Ñ œ !# w # w #

Como esta es una ecuación algebraica, ordenando tenemos:

C  %BC C  %B ÐC Ñ  C œ !ß# w # w # w

cuya solución es

.

C œ %BCwÈ"'B C "'B C %C# w_## # w# w œ #BC „ ÐC Ñw w "#

Para resolver la ecuación C œ #BC  ÐC Ñw w "_#consideremos la sustitución C œ :w . Entonces:

.C

.B .B .B

.: .:

œ #:  #B  :"_# "_# ß

de donde :  Ð#B  :"_# "_#Ñ.: œ !. .B

Como esta ecuación no es lineal en la variable , pero sí en la variable ,: B

escribimos:

: .B_.:  #B  :"_# "# œ !

de donde, .B_{.: :}# " , cuya solución es: # :

B œ /#68:

Ò

G  "_#

'

/ .: œ

Ó

" ÐG  "_$ : Ñ$

: :

#68:

$ #

È È

La ecuación C œ #BC  ÐC Ñw w "_# se resuelve en forma análoga (note que sólo cambia un signo). Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

Ú Ú

Û Û

Ü È Ü È

B œ G  B œ G 

C œ #:B  : C œ #:B  :

" "

: $ : $

: :

# #

$ $

Ð

È

Ñ

Ð

È

Ñ

Notemos que también podríamos haber resuelto la ecuación algebraica para C Àw , y entonces

%B ÐC Ñ  Ð"  %BCÑC  C œ !# w # w # À

Cw œ "%BCÈÐ"%BCÑ "'B C_)B# # # # œ "%BC_)BÈ#")BC

Hacemos la sustitución ? œ "  )BC, de donde ? œ )ÐC  BC ÑÞw w

Reemplazando y despejando, obtenemos la ecuación en variables separables:

#B?  $? œ  "w _#È?

Resolviendo:

.? .B

" # È?$? œ #B

Ê _$#

'

_{ÐÈ? "ÑÐ}È?.?_{È?… Ñ}" _#"

'

.B_B $

œ

Ê "_'

Ò

68ÐÈ?"Ñ Ð$ È?… Ñ œ"_$

Ó

"_#68 B  68 G!

Ê ÐÈ?"ÑÉ$ È?… œ GB"

$ Luego, las soluciones son:

ÐÈ)BC  "  "ÑÉ$ È)BC  "  " œ GB

$

ÐÈ)BC  "  "ÑÉ$ È)BC  "  " œ GB

$

Eliminando en las soluciones paramétricas obtenidas con el primer método se:

1*Þ  Dada la ecuación:

C  /w #B #C  Ð"  %B  #B ÑC œ "_B # /_B#BÐ"  B  #B  B Ñ# $

Encontrar la solución particular de la forma:

+Ñ

C ÐBÑ œ / ÐEB  FÑ" #B

,

C ÐBÑ œ / ÐEB  FÑ Ê C ÐBÑ œ #/ ÐEB  FÑ  / E" #B "w #B #B

Reemplazando en la ecuación y simplificando /#B tenemos:

#ÐEB  FÑ  E  ÐEB  FÑ  Ð"  %B  #B ÑÐEB  FÑ# "_B #

œ  Ð"  B  #B  B Ñ"_B # $

de donde

F  Ð#F  F ÑB  Ð#E  #EF  #FÑB  Ð#E  E ÑB œ "  B  #B  B# # # $ # $

Así , F œ " y E œ ", luego la solución particular es:

C ÐBÑ œ / ÐB  "ÑÞ" #B

Determinar la solución general de la ecuación.

,Ñ

Como se trata de una ecuación de Riccati, consideremos la sustitución

C œ / ÐB  "Ñ #B " D.

Entonces, C œ / Ð#B  $Ñ w #B D y reemplazando en la ecuación y simplificando, D

w # obtenemos la ecuación lineal:

.

D  Ðw "#B_B ÑD  /#B œ !

La solución de esta ecuación esÀ

D œ /' "#BB .B’G 

'

/#B/'"#BB .B.B“

.

D œ /#B_B ’G  B_#“

2!Þ  Mostrar que la ecuación diferencial #B CC  C œ %B% w % ' se reduce a una ecuación homogénea mediante la transformación C œ D ß8 para cierto 8ÞResuelva la ecuación.

Sea C œ D ß8 entonces C œ 8Dw 8" wD ß y reemplazando en la ecuación tenemos: #8B D% 28" wD  D%8œ %B'.

Para que esta ecuación sea homogénea se debe tener #8  " œ % y %8 œ 'ß de donde 8 œ Þ$_# Por lo tanto:

.D_.B œ %B D_{$B D}'% #'

Utilizando el cambio de variable D œ B?, obtenemos:

?  B? œw "_$

Ò

%Š ‹"_? #  ? ß%

Ó

es decirß

 .B_B œ _{? $? %}'$? .?# $

Separando en fracciones parciales e integrando nos quedaÀ

 68B œ " $? .?_&’_{? "}$#  $? .?_{? %}$# “ß

.

œ "_&’68Ð?  "Ñ  68 ?  %$ a $ b“ 68G

Luego, _BG_& œ ? "_{? %}$_$ , de donde ? œ$ %GB_{B G&} &.

Por lo tanto D œ B? œ BŠ%GB_{B G}& &‹ . " $

Reemplazando nuevamente, tenemos que la solución de la ecuación es:

CÐBÑ œ B$#Š%GB ‹

B G & &

ORDEN

Trayectorias ortogonales.

Sea la familia de curvas definida por la ecuación diferencial > J ÐBß Cß C Ñ œ !ßw para ÐBß CÑ

en una región abierta Hdel plano \]. La familia , ortogonal a está definida por la>w >

ecuación diferencial J ÐBß Cß  _C"wÑ œ !Þ Proporcionalidad directa.

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por \Ð>Ñ es (directamente) proporcional a la cantidad presente en un instante , entonces la ecuación>

diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como: .\

.> œ 5 \

donde es la constante de proporcionalidad. Si es positivo, entonces crece en el5 5 \

tiempo; si es negativo, está disminuyendo y si 5 \ 5 œ ! B, es constante.

Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es \Ð>Ñ œ \!

/

5 >, donde \ œ \Ð!ÑÞ!

Proporcionalidad inversa.

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por \Ð>Ñ es inversamente proporcional a la cantidad presente en un instante , entonces la ecuación>

diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como:

.\ 5

.> œ \ donde es la constante de proporcionalidad.5

Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es:

\ Ð>Ñ œ #5 >  \# # \ œ \Ð!ÑÞ

Proporcionalidad conjunta.

Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por \Ð>Ñ es conjuntamente proporcional a la cantidad presente en un instante y a cierta cantidad>

E  \Ð>Ñ, entonces la ecuación diferencial que modela este fenómeno se puede expresar

como:

.\

.> œ 5 \ÐE  \Ñ donde es la constante de proporcionalidad.5

Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución esÀ

donde _E\\ œ G

/

E5 >ß G œ _E\\! !

Análisis de compartimientos.

Un sistema de un compartimiento está constituido por una cierta cantidad \Ð>Ñ de material en el compartimiento, y dos funciones IÐ>Ñ y WÐ>Ñ que representan respectivamente el ritmo de entrada y el ritmo de salida de material al sistema.

Ò

IÐ>Ñ \Ð>Ñ

Ò

WÐ>Ñ

La ecuación que modela este fenómeno se puede expresar como: .\

.> œ I  W

El tipo de ecuación diferencial que resulta depende en general de las funciones y . EnI W

el caso de mezclas, por ejemplo, IÐ>Ñ corresponde a la cantidad total de sustancia que ingresa al sistema, así, si entra agua pura, IÐ>Ñ œ !. Por otro lado, el ritmo de salida WÐ>Ñ

es la cantidad de litros que sale del sistema por unidad de tiempo por la concentración de la sustancia en cada instante, vale decir dividido por el volumen total, \ \ Z Ð>Ñ.

Obsevación. Si la cantidad de litros que entra al sistema es igual a la cantidad que sale, el volumen es constante.

Si la cantidad de litros que entra al sistema es distinta a la cantidad que sale, el volumen total está variando y se expresa por Z Ð>Ñ œ Z  Ð+  ,Ñ >! , donde Z! representa el volumen inicial , representa la cantidad de litros que entra al sistema y , la cantidad de litros que+ ,

Ejercicios resueltos

"Þ  Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface la

condición: La porción de la tangente limitada por los ejes tiene como punto central al punto de tangencia.

En primer lugar buscamos la ecuación diferencial de la familia dada.

Sea ÐBß CÑ un punto cualquiera de una curva perteneciente a la familia. Entonces,

los puntos Ð#Bß !Ñ y Ð!ß #CÑ pertenecen a la recta tangente a la curva en el punto

ÐBß CÑÞ

La pendiente de esta recta es entonces 7 œ  Þ_BC

Como la pendiente de la recta tangente está dada por la derivada de la función en el punto, tenemos que la familia satisface la ecuación diferencialÀ

C œ w C B

En particular, si resolvemos esta ecuación, obtenemos la familia de hipérbolas

BC œ G, lo que corresponde a la familia de curvas que cumple la condición dada.

Para obtener las trayectorias ortogonales debemos resolver la ecuación C œw B_CÞ

Separando variables obtenemos la familia de hipérbolas:

C  B œ G# # .

#Þ  Hallar la ecuación diferencial de la familia de todos los círculos con centros en la recta B œ C, que son tangentes a ambos ejes.

La familia buscada tiene ecuación: ÐB  GÑ  ÐC  GÑ œ G Þ# # #

Derivando, obtenemos #ÐB  GÑ  #ÐC  GÑC œ !w , de dondeÀ

ÐB  GÑ œ  C ÐC  GÑw

Despejando, G œ BC C_"Cww

Þ

Luego,

ÐB  BC  B  CC Ñ  ÐC  CC  B  CC Ñ œ ÐB  CC Ñw w # w w # w # Por lo tanto, ÐB  CÑ C  ÐC  BÑ œ ÐB  CC Ñ# w# # w #

y la ecuación diferencial de la familia es:

ÐC  BÑ Ð"  C Ñ œ ÐB  C C Ñ Þ# w# w #

$ . Encontrar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de círculos tangentes al eje S] en el origen.

La familia de círculos tangentes al eje S] en el origen está dada por

ÐB  GÑ  C œ G# # #

es decir,

B  C œ #BGÞ# #

Derivando implícitamente y despejando , obtenemos la ecuación diferencialG

asociada:

C œw C B

#BC # #

Para encontrar la familia ortogonal debemos encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

.C #BC

.B œ B C# #

Escribiendo la ecuación de la forma: #BC .B  ÐC  B Ñ.C œ !# # , podemos observar que tiene un factor integrante que depende de Cß .ÐBß CÑ œ /'#C.C œ _C" Þ

#

Obtenemos la ecuación exacta: #B_C .B  Ð"  B_C##Ñ.C œ !Þ

de donde

J ÐBß CÑ œ B_C#  1ÐCÑß J œ C B_C##  1 ÐCÑÞw

Por lo tantoß 1 ÐCÑ œ " Ê 1ÐCÑ œ CÞw

Luego, la solución general es B_C#  C œ #Gß o bien, B  C œ #CGÞ# #

Así, la familia de trayectorias ortogonales es la familia de círculos tangentes al eje

%Þ  Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por los puntos Ð"ß "Ñ Ð  "ß "ÑÞy

Primero debemos formular el problema matemático que representa esta situación. Como .ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß "ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð  "ß "Ñ, tenemos que:

Ð2  "Ñ  Ð5  "Ñ œ Ð2  "Ñ  Ð5  "Ñ# # # #

de donde 2 œ !. Así, el centro de la circunferencia es Ð!ß GÑ y su radio,

G  #G  #Þ#

Luego, la familia de circunferencias es :

B  ÐC  GÑ œ G  #G  #ß# # #

y derivando implícitamente, obtenemos: #B  #ÐC  GÑC œ !Þw

Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial:

C œw #BÐC"Ñ C B #C## # .

Entonces, la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales es:

C œw C B #C# C  B  #C  # .B  Ð#B  #BCÑ.C œ !Þ# # #BÐC"Ñ

# #

ß

o bien a b

Notemos que .ÐBÑ œ /'B#.B œ "_# es factor integrante. B

Ahora multiplicando por se obtiene la ecuación exacta:.

ŠC #C ‹ #C

B B B B B

# #

#

#  "  #  # .B  Ð  Ñ.C œ !ß

J ÐBß CÑ œ

'

Ð _B# #C_B Ñ.C œ #C_B  C_B#  1ÐBÑ

J ÐBß CÑ œ B #C_B#  _BC#  1 ÐBÑ œw _BC#  "  #C_B#  _B##

# #

Luego, 1 ÐBÑ œ  " w _B## , de donde 1ÐBÑ œ  B  _B#

La solución de la ecuación es: #C_B  _B#



C_B#  B œ #G

que corresponde a la familia de circunferencias:

&Þ  Sea la familia de circunferencias que pasan por los puntos > Ð"ß !Ñ y Ð!ß "ÑÞ

Encontrar la ecuación diferencial que define .

+Ñ >

Sea Ð2ß 5Ñ el centro de una circunferencia cualquiera de la familia.

Entonces, .ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß !ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð!ß "Ñß de donde

Ð2  "Ñ  5 œ 2  Ð5  "Ñ# # # #

Despejando, obtenemos 2 œ 5, es decir el centro de la circunferencia está sobre la recta C œ B, digamos ÐGß GÑÞ

Así, la familia de circunferencias es

ÐB  GÑ  ÐC  GÑ œ # G  #G  "ß# # #

de donde derivando implícitamente, obtenemos

#B  #G  #ÐC  GÑC œ !Þw

Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial buscada:

B  #GB  C  #GC  #G  " œ ! Ê G œ# # _{#Ð"BCÑ}"B C# #

B  G  CC  GC œ ! Ê G œw w BCC_"Cww

Por lo tanto, _{#Ð"BCÑ}"B C# # œ BCC_"Cww , de donde C œw C B #BC#B"_{C B #BC#C"}## ## .

Hallar las trayectorias ortogonales de .

,Ñ >

La ecuación de las trayectorias ortogonales es:

 .B_.C œ C B #BC#B"_{C B #BC#C"}## ##

o bien, ÐC  B  #BC  #C  "Ñ .B# #

Como la ecuación no es exacta, calculamos:

Q R_{Q R}C B œ _{ÐBCÑÐBC"Ñ}#ÐBC"Ñ œ  _ÐBCÑ#

Luego, _ÐBCÑ" # es F.I.

Multiplicando por el factor integrante la ecuación se transforma en exacta, por lo tanto J ÐBß CÑ œ

'

Q .B À

J ÐBß CÑ œ

'

ÐC B #BC#C"Ñ# #_ÐBCÑ# .B

œ

'

Ð

ÐC"Ñ_ÐBCÑ##  _ÐBCÑC #  " .B

Ñ

#

œ  ÐC"Ñ_BC#  _BCC#  B  1ÐCÑ

Por otra parte, J ÐBß CÑ œ

'

R .C À J ÐBß CÑ œ

'

ÐC B #BC#B"Ñ# #_ÐBCÑ# .C

œ

'

Ð

 ÐB"Ñ_ÐBCÑ##  _ÐBCÑB #  " .C

Ñ

#

œ  ÐB"Ñ_BC#  _BCB#  C  2ÐBÑ

Igualando:

 ÐC"Ñ_BC#  _BCC#  B  1ÐCÑ œ  ÐB"Ñ_BC#  _BCB#  C  2ÐBÑ

ÐB"Ñ ÐC"Ñ

BC BC BCB BC

C

# # # #

    B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ

ÐBCÑÐBC#Ñ ÐBCÑÐBCÑ

BC  BC  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ

B  C  #  B  C  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ

B  C  #  1ÐCÑ œ 2ÐBÑ

Así, la solución de la ecuación es: ÐC"Ñ_BC#  _BCC#  B  C œ G

Resolviendo, obtenemos:

ÐC  "Ñ  C  B  C œ GÐB  CÑ# # # #

C  #C  "  B  GB  GC œ !# #

ÐC  G#_# Ñ  ÐB # G_#Ñ œ  " # ÐG#Ñ_% #  G_%#

Así, las trayectorias ortogonales de son las circunferencias:>

Ð

C  G#_#

Ñ

# B 

Ð

G_#

Ñ

# œ G_#

Ð

G  "

Ñ

'Þ Para hacer un buen diagnóstico oftalmológico, ayer a las 20:00 horas se le administró a Nicolás cierta droga que dilata la pupila. El médico explicó que la droga tiene una semivida de 6 horas y que Nicolás presentaría molestias visuales hasta que se hubiera eliminado el 80% del medicamento. Cuando Nicolás se levantó esta mañana a las 7, se quejó de tener aún la vista borrosa. ¿Era por efecto del medicamento? Justifique.

Sea HÐ>Ñ la cantidad de droga presente en un instante .>

Entonces, HÐ>Ñ œ H /! 5>, donde H! es la cantidad de droga administrada.

La semivida de una sustancia corresponde al tiempo que demora en desintegrarse la mitad de ella.

Luego, HÐ'Ñ œ H_#! œ H / , por lo que 5 œ  68 #, de donde HÐ>Ñ œ H _#" >Î'Þ

! '5 "_' !

Ð Ñ

El tiempo que demora en eliminarse el )!% del medicamento se puede expresar como:

HÐ>Ñ œ !ß # H œ H! !

Ð Ñ

"_# >Î' es decir,

> œ ' 68 &_{68 #} ¸ "%Þ

(Þ Suponga que la población T Ð>Ñ en un lago es atacada por una enfermedad al tiempo

> œ !, con el resultado que los peces cesan de reproducirse y el índice de

mortalidad (muerte por semana por pez) es de ahí en adelante proporcional a

È"ÎT. Si originalmente había 900 peces en el lago y 6 semanas después quedaban

441, ¿cuánto tiempo tardarán en morir todos los peces del lago? Claramente, T œ  5w " , de donde 2T"Î# œ  5>  GÞ

T

È

T

Como T Ð!Ñ œ *!!, tenemos que G œ '! y T Ð'Ñ œ %%" Ê %# œ  '5  '!ß de donde: 5 œ3

Luego, T Ð>Ñ œ "_#(60 $>Ñ Þ#

Igualando la función a !ß T Ð>Ñ œ ! Í > œ #!

Por lo tanto, en #! semanas ya no quedarán peces en el lago.

)Þ Un escalador de montañas sale de su campamento base a las 6:00 a.m. A medida que trepa, la fatiga y la falta de oxígeno se hacen sentir de modo que la rapidez con la cual aumenta su elevación es inversamente proporcional a la elevación. Al mediodía está a una altura de 19.000 pies, y a las 2:00 p.m. ha llegado a la cima de la montaña, que está a 20.000 pies. ¿Qué tan alto era su campamento base?

Sea 2Ð>Ñ la altura del escalador en un instante .>

Entonces, 2 Ð>Ñ † 2Ð>Ñ œ 5w , donde es constante.5

Resolviendo esta ecuación, 2 .2 œ 5 .>, de donde: , o bien,

2 Î# œ 5>  -# 2 œ #5>  GÞ#

Ahora bien, 2Ð'Ñ œ "*Þ!!! y 2Ð)Ñ œ #!Þ!!!Þ

Reemplazando:

"* † "! œ #5 † '  G# ' #! † "! œ #5 † )  G# '

Restando la primera ecuación de la segunda, eliminamos :G

, es decir,

"! Ð#!  "* Ñ œ %5' # # 5 œ "! † $*Î%Þ'

Así, en el instante > œ ! (a las 6:00 de la mañana): , de donde:

2 œ G œ "! Ð$'"  ""(Ñ œ "! † #%%# ' '

.

2 ¸ "! † "&ß '$

Por lo tanto, el campamento base se encontraba aproxima-damente a "&Þ'!! pies de altura.

*Þ Se está celebrando una fiesta en una habitación que contiene ")!! pies cúbicos de aire libre de monóxido de carbono. En el instante > œ ! varias personas empiezan a fumar. El humo, que contiene un seis por ciento de monóxido de carbono, se introduce en la habitación a razón de !ß "& pies cúbicos por minuto, y la mezcla, removida por ventilación, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monóxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de !ß !!!") ? (

68 !ß **( ¸  !ß !!$).

Sea GÐ>Ñ la cantidad de monóxido de carbono presente en la habitación en un

instante .>

El ritmo de entrada es !ß "& † !ß !' œ * † "! Þ$ El ritmo de salida es !ß"&†GÐ>Ñ_")!! œ & GÐ>Ñ_'†"!% Þ

Entonces, G Ð>Ñ œ * † "!w $ & GÐ>Ñ_'†"!%

.

Como esta es una ecuación lineal, la solución es:

GÐ>Ñ œ

/

''†"!& .>%Ð * † "!

'

$

/

''†"!&.>%.>  GÑ œ

/

'†"!& >%Ð* † "!$

'

/

'†"!& >%.>  GÑ œ &%†"!_&  G

/

'†"!%& >

Como GÐ!Ñ œ !ß GÐ>Ñ œ "!)Ð"  /'†"!%& > ÑÞ

GÐ>Ñ œ _")!!GÐ>Ñ œ _")!!"!) Ð"  /'†"!%& > ÑÞ

Luego, ") † "!& œ "!) Ð"  / Ñ, de donde ")!!

& > '†"!%

> œ  '†"!_& %68Ð"  ") †"!_")†'# $Ñ œ '†"!_& %68Ð"  !ß !!$Ñ œ $'

Por lo tanto, una persona prudente debería abandonar la fiesta a los $' minutos.

"!Þ  Según la Ley de Torricelli, la rapidez con que baja el agua en un tanque en forma de

cilindro vertical que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua en el tanque. Inicialmente, el agua tiene una profundidad de 9 pies y un tapón es retirado en el tiempo > œ ! (horas). Después de una hora la profundidad ha descendido a pies. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en salir del tanque?%

Sea 2Ð>Ñ la altura del agua en el tanque en el instante .>

Entonces, 2 œ  5w È2, de donde #È2 œ  5>  GÞ

Como 2Ð!Ñ œ *, tenemos que G œ ' y como 2Ð"Ñ œ % 5 œ #Þ,

Así, 2Ð>Ñ œ Ð'  #>Ñ œ #Ð$  >Ñ Þ"_# # # Finalmente, 2Ð>Ñ œ ! Í $  > œ ! Í > œ $Þ

Por lo tanto, el tanque demorará 3 horas en vaciarse.

""Þ Un tanque con capacidad para 400 galones está parcialmente lleno con 100 galones

de salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque, bien mezclado, sale de él a razón de 4 gal/min.

Calcule la cantidad de sal después de 30 minutos.

+Ñ

Sea BÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque en el instante .>

Entonces, B Ð>Ñ œ $ w _"!!#>%BÐ>Ñ Þ

BÐ>Ñ œ

/

'"!!#>%.> Ð $

'

/

'"!!#>%.> .>  GÑ œ _Ð&!>Ñ" _#Ð$ Ð&!  >Ñ .>  GÑ

'

# œ _Ð&!>Ñ" #ÐÐ&!  >Ñ  GÑ$

Como BÐ!Ñ œ "! œ &!  G † &!#, de donde G œ  %! † &!# Así, BÐ>Ñ œ &!  >  %!†#&!!_Ð&!>Ñ#Þ

Reemplazando para > œ $!, tenemos que a los $! minutos, la cantidad de sal es: libras)!  %!†#&!!_Ð)!Ñ# œ )!  "#&₎ œ )!  "&ß '#& œ '%ß $(&

Determinar después de cuántos minutos el tanque empezará a derramarse.

,Ñ

"!!  #> œ %!! Ê > œ "&!minutos.

Determinar la concentración de la sal en el instante en que el tanque comienza a

-Ñ

derramarse.

La concentración de la sal es la cantidad presente por galón de mezcla, por lo que dividimos la cantidad total por el contenido de mezcla en el tanque.

libras de sal.

BÐ"&!Ñ œ #!!  %!†#&!!_Ð#!!Ñ# œ #!!  #ß & œ "*(ß &

La concentración es entonces G œ "*(ß&_%!! œ !ß %*libras de sal por galón.

"#Þ La rapidez con que aumenta el número de supermercados que emplea cajas

computarizadas en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de supermercados que ya las emplean y a la cantidad que aún no lo hace. Si en el país hay 2001 supermercados, inicialmente uno sólo adopta el sistema y después de un mes lo hacen 3, calcule el número de supermercados que adoptará el sistema después de 10 meses. ¿En cuántos meses aproximadamente, todos los supermercados del país tendrán cajas computarizadas?

Sea WÐ>Ñ el número de supermercados que emplea cajas computarizadas en un

instante (en meses). La cantidad de supermercados que aún no adopta el sistema>

La ecuación se expresa como: W œ 5 WÐ#!!"  WÑw

" W

#!!"68Ð#!!"WÑ œ 5>  G

Para y > œ !ß _#!!"" 68Ð_#!!!" Ñ œ G para > œ "ß

" $ " " " #!!!

#!!"68Ð"**)Ñ œ 5  #!!"68Ð#!!!Ñ Ê 5 œ #!!"68Ð ''' Ñ Reemplazando tenemos:

" W > "!!! " "

#!!"68Ð#!!"WÑ œ #!!"68Ð $$$ Ñ  #!!"68Ð#!!!Ñ

Ê _#!!"WW œ _#!!!" Ð"!!!_$$$ Ñ> Ê WÐ"  _#!!!" Ð"!!!_$$$ Ñ Ñ œ> #!!" "!!!_#!!!Ð _$$$ Ñ>

Luego,

WÐ>Ñ œ #!!" "!!!_#!!!Ð _$$$ Ñ Ð> _{#!!!†$$$ "!!!}#!!!†$$$> Ñ œ _{#!!!†$$$ "!!!}#!!"†"!!!>

> > > >

En 10 meses, WÐ"!Ñ œ _{$$$ #!!!"!!!}#!!"†"!!!"! "! "! ¸ "*$'

WÐ>Ñ œ #!!! Ê #!!! œ Ð"!!!_$$$ Ñ Ð> _#!!!" Ñ Ê 68 % † "! œ > 68' "!!!_$$$

Por lo tanto, > œ _{$68"!68$$$}#68#'68"! ¸ "$ß )

En "% meses ya todos los supermercados tendrán cajas computarizadas.

"$Þ Suponga que una población dada puede dividirse en dos grupos: los que padecen

cierta infección y los que todavía no la padecen, pero que son susceptibles de adquirirla por contagio de los anteriores. Si e son las proporciones de poblaciónB C

infectada y no infectada, entonces B  C œ ". Suponga que el ritmo de propagación (.BÎ.>Ñ es conjuntamente proporcional a e .B C

Determine la proporción de personas infectadas en el tiempo en función del

+Ñ >

número inicial de infectados B ß! (y el tiempo ).>

.B B B

.> œ 5 BÐ"  BÑ Ê 68"B œ 5 >  G Ê! "B œ G/ Þ5> Ahora, _"BB , luego, = B

"B B

! !

! œ G BÐ>Ñ ! ! Þ

/ / 5>

Si la población es de 100 personas e inicialmente hay una persona contagiada, y

,Ñ

al día siguiente hay 10 personas, determine en cuánto tiempo estará infectada toda la población. ( Use 68 $ œ "ß " à 68 "" œ #ß %).

Como inicialmente hay una persona contagiada de 100 en total, B œ !ß !"Þ! Reemplazando, BÐ>Ñ=_{!ß**!ß!"/}!ß!"/5> 5> œ _**// 5>Þ

5>

Como BÐ"Ñ œ _**//5 5 œ _"!" , tenemos que 5 œ 68 ""Þ

Luego, BÐ>Ñ œ _**""""> >.

Notemos que toda la población estará infectada cuando BÐ>Ñ œ ", es decir,

"" œ **  ""> >_{, lo cual nos lleva a una contradicción, por lo que debemos buscar} otro camino.

Ahora bien, la población entera se habrá contagiado cuando BÐ>Ñ  _"!!** , es decir, "" **

**"" "!! >

> 

"" Ð> _"!!" Ñ  _"!!**# >  # 68 **_{68 ""} œ #Ð#ß##ß%Ñ_#ß% ¸ %

Por lo tanto, en 4 días se habrá contagiado toda la población.

"%Þ  Un profesor escribe los apuntes de su asignatura con una rapidez proporcional al

número de hojas escritas. Por otra parte uno de sus alumnos es capaz de leer estos apuntes con una rapidez constante. Al comenzar el curso (que es de carácter anual), el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va proporcionando a medida que las escribe. Si este alumno en particular, al final del tercer mes llevaba un atraso en la lectura de los apuntes de 20 páginas y al finalizar el sexto mes llevaba un atraso de 70 páginas.

Determine el número de páginas que entregó el profesor al finalizar el noveno

+Ñ

mes.

Sea LÐ>Ñ el número de hojas escritas por el profesor en el instante , entonces:>

. .LÐ>Ñ

.> œ 5LÐ>Ñ Ê LÐ>Ñ œ G/5>

10LÐ>Ñ œ /5>.

Por otra parte, si PÐ>Ñes el número de hojas leídas por el alumno, como la rapidez de lectura es constante, digamos , entonces:7

.PÐ>Ñ_.> œ 7 ÖPÐ>Ñ œ 7>  G"Þ Como PÐ!Ñ œ !ß entonces G œ !" . Así, PÐ>Ñ œ 7>. Además las relaciones À

LÐ$Ñ œ PÐ$Ñ  #! LÐ'Ñ œ PÐ'Ñ  (!

implican

10e$5 œ $7  #!

10e'5 œ '7  (!Þ

Resolviendo el sistema tenemos que 5 œ 68$_$ ß de donde: LÐ>Ñ œ10/68$$ >.

Luego la cantidad de páginas que entregó el profesor al noveno mes es

LÐ*Ñ œ #(!Þ

Si el curso duraba meses ¿Cuántas páginas le faltaron por leer al alumno?

,Ñ *

30œ $7  #! Ê 7 œ "!_$ Ê PÐ*Ñ œ $!ß por lo que le faltaron #%! páginas por

leer.

"&Þ  Considere los dos tanques de la figura. Inicialmente el tanque 1, contiene 200 litros de solución salina en la que se han disuelto 40 kilos de sal. El tanque 2, que tiene 400 litros de capacidad, contiene 100 litros de solución salina con concentración de sal de _#"₅ kilos por litro.

Tanque 2 Tanque 1

A

B

D C

Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo .

+Ñ >

Sea BÐ>Ñla cantidad de sal en el tanque 1 en el instante El ritmo de entrada al>Þ

tanque 1 es de _"!" † "!kilos de sal por minuto y el ritmo de salida es de 10 litros por minuto por BÐ>Ñ_#!!Þ

Luego , B Ð>Ñ œ " w BÐ>Ñ_#! , que corresponde a una ecuación es lineal, por lo tantoÀ BÐ>Ñ œ

/

' #!.>

Ò

G 

'

/

' .>#!.> Ê BÐ>Ñ œ

Ó

/

#!>

Ò

G  #!

/

#!>

Ó

Þ

Como BÐ!Ñ œ %!ß entonces G œ #!ß luego:

BÐ>Ñ œ #!

Ò

/

#!>  " Þ

Ó

Determinar el instante en que se llena el tanque 2.

,Ñ >"

El tanque 2 tiene capacidad para 400 litros. La llave B aporta 10 litros por minuto y la llave C, 2 litros por minuto. Por la llave D salen 6 litros por minuto, luego,

"!!  '> œ %!!, de donde> œ &!, es decir, el tanque 2 se llena a los 50 minutos. Determinar la cantidad de sal en el tanque 2 en un tiempo

-Ñ !  >  >".

Sea CÐ>Ñla cantidad de sal en el tanque en el instante La sal que entra en el# >Þ

tanque proviene toda del estanque 1. Entonces,

.

C Ð>Ñ œ "! †w #!Ð"/ Ñ  'CÐ>Ñ

#!! "!!'>  >_#!

CÐ>Ñ œ

/

' "!!'>' .>

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#!> ÑÐ"!!  '>Ñ.>

Ó

œ _"!!'>"

Ò

G  "!!>  $> #

_/

_#!> Ð%%!!  "#!>Ñ Þ

Ó

Como la concentración de sal en el instante inicial es _#"₅ kilos por litro tenemos À

"

# "!! CÐ!Ñ

5 œ Ö CÐ!Ñ œ % Ö G œ %)!!Þ

Así, CÐ>Ñ œ _"!!'>"

Ò

%)!!  "!!>  $> #

/

#!> Ð%%!!  "#!>Ñ Þ

Ó

Determinar la concentración de sal en cada tanque en el instante en el cual el

.Ñ

segundo tanque comienza a derramarse.

La concentración de sal en el tanque 1 es BÐ>Ñ_#!! œ _"!"

Ò

/

#!>  "

Ó

. Luego, a los 50 minutos la concentración es de _"!"

Ò

/

&#  " Þ

Ó

La concentración en el tanque 2 a los 50 minutos es:

CÐ&!Ñ

"!!'†&! Ð%!!Ñ "

œ # %)!!  &!!!  (&!!  / Ð%%!!  '!!!Ñ

& #

Ò



Ó

œ _"'!" Ð"($  "!%

/

&#ÑÞ

"'Þ Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una

temperatura constante de 5ºC. Mientras se encontraba realizando una autopsia de la víctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la víctima, robado. A las 9:00 A.M. el ayudante descubre su cadáver a una temperatura de 21ºC. A mediodía, su temperatura es de 13ºC. Suponiendo que el forense tenía en vida una temperatura normal de 37ºC, ¿a qué hora fue asesinado?

Fijemos > œ ! a las 9:00 horas.

Sean X Ð>Ñ la temperatura del cuerpo en un instante , y la temperatura ambiente.> E

Queremos encontrar tal que > X Ð>Ñ œ $(Þ

Sea ?X œ X  EÞPor la ley del enfriamiento de Newton,

. X

.>

? _{œ 5?X, de donde ?X œ G / Þ}5 >

Luego, X Ð>Ñ œ G/  E œ G/  &Þ5> 5>

Reemplazando en las condiciones iniciales: X Ð!Ñ œ #" œ G  &, de donde G œ "'Þ

Ahora, X Ð$Ñ œ "$ œ "'/$5 &, es decir  68# œ $5, de donde 5 œ  68#Þ"_$

Así, X Ð>Ñ œ "'/ 68 #>$  & œ "'Ð#Ñ>Î$ &.

Ahora, $( œ "'Ð#Ñ>Î$ & Ê # œ #>Î$ Ê > œ  $.

Por lo tanto, el forense fue asesinado tres horas antes que se encontrara el cuerpo, es decir, a las 6:00 de la mañana.

"(Þ  Una fábrica de papel está situada cerca de un río con un flujo constante de 1000

m /seg, el cual va a dar a la única entrada de un lago que tiene un volumen de3 10973. Suponga que en el tiempo > œ !, la fábrica de papel comienza a bombear contaminantes en el río a razón de " 7 Î=/13 , y que la entrada y salida de agua son constantes.

¿Cuál será la concentración de contaminantes en cualquier instante?

+Ñ

Tenemos que el volumen total es Z œ "!*, la velocidad de entrada y de salida es

"!!"7 Î=/1$ _{, la concentración de contaminantes que entra al lago es} 1 _{. Luego}

1001

la ecuación queda:

.BÐ>Ñ_.> œ "!!" † ₁₀₀₁1  BÐ>Ñ_"!* † "!!" o bien B w _"!B* † "!!" œ ". La solución de esta ecuación lineal es:

BÐ>Ñ œ

/

' "!!""!*.>’G 

'

/

'"!!""!*.>.>“

BÐ>Ñ œ

/

"!!""!*>’G  _"!!""!*

/

"!!""!* >“

G œ  _"!!""!*

Luego, BÐ>Ñ œ _"!!""!* Ð" 

/

"!!""!*>ÑÞ

Así, la concentración es BÐ>Ñ_Z œ _"!!"" Ð" 

/

"!!""!*>Ñ

Suponga que la fábrica de papel deja de contaminar el río después de una hora.

,Ñ

Halle una expresión para la concentración de contaminantes en el lago en cualquier tiempo .>

Después de 1 hora (3.600 segundos) el ritmo de entrada es y la ecuación queda:!

B œ w B , de donde:

"!'

BÐ>Ñ œ G

/

"!'>

Como BÐ$Þ'!!Ñ œ _"!!""!* Ð" 

/

"!!""!($'Ñ, tenemos que:

G œ _"!!""!* Ð" 

/

"!!""!($'Ñ

/

"!$'%Þ

Así, para >  $Þ'!!, la concentración es:

10

BÐ>Ñ / "!!"

 *

$Þ'!!>

"!' $'!$' "!(

œ Ð" 

/

Ñ

DE ORDEN SUPERIOR

Operador diferencial lineal.

Sea G ÒMÓ8 el espacio vectorial de todas las funciones reales que admiten derivadas

continuas en al menos hasta el orden , M 8 GÒMÓ, el espacio vectorial de las funciones continuas en . Una transformación lineal M P À G ÒMÓ Ä GÒMÓ8 se dice que es un operador diferencial lineal de orden si puede expresarse de la forma:8

P œ + ÐBÑH  +8 8 8"ÐBÑH8" á  + ÐBÑH  + ÐBÑ" !

donde + ß +8 8"ß á ß + ß + ß" ! son funciones reales continuas en algún intervalo yM + ÐBÑ Á !8 para todo B − MÞ

Los operadores diferenciales lineales con coeficientes variables no se pueden multiplicar algebraicamente usando las propiedades usuales del álgebra de polinomios. En cambio, cuando tienen sólo coeficientes constantes se comportan como si fueran polinomios en .H

Por ejemplo,

,

ÐH  BÑÐH  BÑÐCÑ œ ÐH  BÑÐC  BCÑ œ C  C  B Cw ww #

y en cambio, ÐH  B ÑÐCÑ œ C  B C# # ww # .

Ecuación lineal de orden superior.

Una ecuación diferencial lineal de orden es una ecuación de la forma:8 PÐCÑ œ 0 ÐBÑ

donde es un operador diferencial lineal definido en algún intervalo real y unaP M 0

función real definida en MÞ

Si 0 ´ !en , decimos que la ecuación es homogénea.M

Teorema de existencia y unicidad.

Si es un operador diferencial lineal definido en un intervalo real . El P.V.I.P M PÐCÑ œ 0 ÐBÑ sujeto a las condiciones iniciales C ÐB Ñ œ C ß 3 œ !ß á ß 8  "Ð3Ñ ! 3 , tiene una

únicasolución CÐBÑ en el intervalo .M

Principios de superposición.

Ecuaciones homogéneas: Sean C ß á ß C" 5 soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ !. Entonces toda combinación lineal

C œ G C  á  G C ß" " 5 5 donde cada G ß 3 œ "ß á ß 5ß3 es una constante arbitraria, es también solución de la ecuación.

Ecuaciones no homogéneas: Sea C:3 una solución particular de la ecuación no homogénea

PÐCÑ œ 0 ÐBÑß 3 œ "ß á ß 53 . Entonces C œ C  á  C: :" :5 es una solución particular de la

ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0 ÐBÑ  á  0 ÐBÑÞ" 5

Wronskiano.

Sean C ß á ß C − G" 8 Ð8"ÑÒMÓ. Se define el Wronskiano de las funciones C ß á ß C" 8 como el determinante:

[ ÐC ß á ß C Ñ œ

C C â C

C C â C

ã ã ã

C C â C

" 8

" # 8

"w #w 8w

" #

Ð8"Ñ Ð8"Ñ Ð8"Ñ 8

â â

â â

â â

â â

â â

â â

â â

â â

Criterio para soluciones linealmente independientes.

Si C ß á ß C" 8 son soluciones de la ecuación homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ !ßentonces

el conjunto { C ß á ß C" 8} es 6Þ3Þsi y sólo si[ C ß á ß C( " 8)Á0.

Conviene notar que [ ÐC ß á ß C Ñ" 8 es o bien idénticamente igual a o nunca es cero en ! M

Solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n.

Si C ß á ß C" 8 son soluciones 6Þ3Þ de la ecuación de orden 8ß PÐCÑ œ ! en un intervalo ,M

entonces decimos que ÖC ß á ß C ×" 8 es un sistema fundamental de soluciones y la solución general de la ecuación en está dada por:M

CÐBÑ œ G C  á  G C ß" " 8 8

con G ß á ß G" 8 constantes reales arbitrarias.

Diremos que dos ecuaciones diferenciales son equivalentes si tienen el mismo sistema fundamental de soluciones.

Todo conjunto linealmente independiente ÖC ß á ß C ×" 8 es el sistema fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden definida por:8

â â

â â

â â

â â

â â

â â

â â

â â

â â

C C â C

C C â C

ã ã ã

C C â C

œ !

w Ð8Ñ

" "w " Ð8Ñ

8 8w 8Ð8Ñ

La solución general de la ecuación lineal no homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ 0 ÐBÑ está dada por:

CÐBÑ œ C ÐBÑ  C ÐBÑß2 :

donde C ÐBÑ2 es la solución general de la ecuación homogénea PÐCÑ œ ! e C ÐBÑ: es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Fórmula de Abel.

Conociendo una solución de una ecuación homogénea de segundo orden, la fórmula de Abel nos permite encontrar una segunda solución 6Þ3Þ

Sea C Á !" en un intervalo , una solución no trivial de la ecuación diferencial de segundoM

orden C  + ÐBÑ C  + ÐBÑ C œ !ww " w ! . Entonces la solución general de la ecuación está dada por:

CÐBÑ œ G C ÐBÑ  G C ÐBÑ" " # # ,

donde C ÐBÑ œ C ÐBÑ# "

'

/ _{C ÐBÑ} .B

 + ÐBÑ.B' _"

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. En tal caso, seP P

comporta como un polinomio real en la variable y por tanto puede escribirse comoH

producto de factores lineales y/o cuadráticos irreducibles en , digamos ‘ P œ P † P â" #

P ß 5 −5  y P3 irreducible en . Entonces toda solución de la ecuación lineal ‘ P ÐCÑ œ !3 ,

3 œ "ß á 5ß es también solución de PÐCÑ œ !.

Caso 1. Si P œ ÐH  Ñ3 ! , entonces P3tiene una solución: C ÐBÑ œ3 /!B

Caso 2.Si P œ H  +H  ,3 # es irreducible en con raíces complejas ‘ !" , entonces3 P3 tiene las dos soluciones 6Þ3Þ:

C ÐBÑ œ / -9= B C ÐBÑ œ / =/8 BÞ3 !B " , ‡3 !B "

Caso 3. Si P œ ÐH  Ñ ß :  "ß3 ! : entonces P3 tiene soluciones : 6Þ3Þ: C ÐBÑ œ3" / ß C ÐBÑ œ B/ ß á ß C ÐBÑ œ B!B 3# !B 3: :"/!B

Caso 4. Si P œ ÐH  +H  ,Ñ ß :  "ß H  +H  ,3 # : # irreducible en con raíces‘ complejas ! 3" , entonces P3 tiene #: soluciones 6Þ3Þ:

C ÐBÑ œ / -9= B3" !B " C ÐBÑ œ / =/8 B‡3" !B "

C ÐBÑ œ B/ -9= B3# !B " C ÐBÑ œ B/ =/8 B‡3# !B "

ã

ã

C ÐBÑ œ B3: :"/ -9= B!B " C ÐBÑ œ B‡3: :"/ =/8 B!B "

Solución particular de una ecuación no homogénea con coeficientes constantes. Método del Aniquilador.

Sea P‡ un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y una función definida0

en un intervalo . Si M P Ð0 ÐBÑÑ œ !‡ decimos que P‡es un _aniquilador de . Distinguimos0

los siguientes casos:

El operador diferencial H8 aniquila todo polinomio de grado menor o igual a 8  ". El operador diferencial ÐH  Ñ! 8 aniquila toda función de la forma :ÐBÑ

_/

!B, donde :ÐBÑ

El operador diferencial ÐH  +H  ,Ñ# 8, con H  +H  ,# irreducible en con raíces_‘ complejas ! 3" , aniquila toda función de la forma / Ð:ÐBÑ -9= B  ;ÐBÑ =/8 BÑ!B " " , con

: y polinomios de grado menor o igual a ; 8  ".

Algoritmo para encontrar una solución particular C ÐBÑ: .

Consideremos la ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0 ÐBÑ.

Paso 1: Encontrar la solución C ÐBÑ2 de la ecuación homogénea PÐCÑ œ ! y un aniquilador

P‡de la función .0

Paso 2: Aplicar el operador P‡ a la ecuación PÐCÑ œ 0 ÐBÑ y obtener la solución general

C ÐBч de la ecuación homogénea P PÐCÑ œ !‡ .

Paso 3: Eliminar de C‡ todos los términos que se repiten en la solución C . La combinación 2

lineal con los términos restantes es C ÐBÑ: , la solución particular de la ecuación original

PÐCÑ œ 0 ÐBÑ.

Paso 4: Calcular PÐC Ñ: e igualar a 0 ÐBÑ para despejar las constantes en C:. La solución general de la ecuación es entonces CÐBÑ œ C ÐBÑ  C ÐBÑ2 : .

Solución particular de una ecuación lineal no homogénea. Método de variación de parámetros.

Consideremos la ecuación diferencial lineal de orden :8

CÐ8Ñ + ÐBÑ CÐ8"Ñ á  + ÐBÑ C  + ÐBÑ C œ 0 ÐBÑw

8" " !

con +8"ß á ß + ß + ß 0" ! definidas en un intervalo . Si la solución de la ecuaciónM

homogénea asociada es:

C ÐBÑ œ G C ÐBÑ  á  G C ÐBÑ2 " " 8 8

entonces, una solución particular de la ecuación no homogénea está dada por:

C ÐBÑ œ: ."ÐBÑ C ÐBÑ  á " .8ÐBÑ C ÐBÑ8