Primer Examen Parcial

´

Algebra. 2002-2003. Ingenier´ıa Aeron´

autica.

Departamento de Matem´

atica Aplicada II.

Primer Examen Parcial. 31-1-2003.

Ejercicio 1.

(a) Sea Q:R3 _−→R _{la forma cuadr´atica definida mediante}

Q(x, y, z) =x2 + 3y2+ 2αz2₋2xy₋6yz+ 2xz (α _∈R_).

(a1) Reduce Q a suma de cuadrados (dando las relaciones entre las variables iniciales y las finales) y estudiala en funci´on de α.

(a2) Tomando α= 1, determina (si es posible) dos puntos (x, y, z)_∈R3 _{tales que}

Q(x, y, z) =₋4. (a1) Completando cuadrados tenemos,

Q(x, y, z) = [x2_{+ 2x(−y+z)] + 3y}2_{+ 2αz}2 _−6yz = [x+ (₋y+z)]2₋(₋y+z)2 _{+ 3y}2_{+ 2αz}2_−6yz = [x₋y+z]2₋y2_−z2_{+ 2yz+ 3y}2_{+ 2αz}2_−6yz = [x₋y+z]2+ 2y2_{+ (2α−1)z}2_−4yz = [x₋y+z]2+ 2(y₋z)2_−2z2_{+ (2α−1)z}2 = [x₋y+z]2+ 2(y₋z)2_{+ (2α−3)z}2 =x′2_{+ 2y}′2_{+ (2α−3)z}′2 _siendo    x′ _{= x−y+z,} y′ _{= y−z,} z′ _{= z.} Por tanto,

Si 2α₋3 > 0 (_⇔ α > 3₂) la forma cuadr´atica es definida positiva (los tres coefi-cientes son positivos);

Q(x, y, z)>0, _∀(x, y, z)₆= (0,0,0). Si 2α₋3 = 0 (_⇔ α = 3

2) la forma cuadr´atica es semi-definida positiva (hay dos coeficientes positivos y uno nulo);

Si 2α₋3 < 0 (_⇔ α < 3₂) la forma cuadr´atica es indefinida (hay dos coeficientes positivos y uno negativo);

∃(x1, y1, z1) tal que Q(x1, y1, z1)>0 y ∃(x2, y2, z2) tal que Q(x2, y2, z2)<0. (a2) Para α = 1 la forma cuadr´atica es indefinida, es decir, existen puntos para los que

toma valores negativos y otros para los que alcanza valores positivos. Para obtener puntos (x, y, z) para los que Q(x, y, z) =₋4 bastar´a obtener las coordenadas (x′_{, y}′_{, z}′₎

y puesto que tenemos la expresi´on en suma de cuadrados esto es inmediato. Por ejemplo, Q(x′ = 0, y′ = 0, z′ =_±2) =₋4.

Las coordenadas (x, y, z) las obtenemos de resolver los sistemas correspondientes

   x′ _{= x−y+z = 0} y′ = y₋z = 0 z′ _{= z =±2} =_⇒    x= 0 y=z =_±2 z =_±2 =_⇒ (x= 0, y = 2, z = 2), (x= 0, y =₋2, z =₋2). Ejercicio 1.

(b) Calcula la ecuaci´on reducida y (dando sus elementos caracter´ısticos) representa gr´afica-mente la cu´adrica de ecuaci´on

4x2 + 4y2₋z2₋16x₋8y+ 16 = 0.

¿De qu´e tipo de cu´adrica se trata? ¿Es una superficie de revoluci´on? Completando cuadrados tenemos

4x2_{+ 4y}2_−z2 _{−16x−8y+ 16 = 0}

⇔4(x₋2)2_{−16 + 4(y−1)}2_−4−z2_{+ 16 = 0}

⇐⇒(x₋2)2_{+ (y−1)}2₋ z2 4 = 1. Por tanto, la ecuaci´on representa a un

hiperboloide de una hoja

con centro (de simetr´ıa) en el punto (2,1,0) y eje la recta

x= 2 y= 1 .

La superficie dada es una superficie de revolu-ci´on puesto que al cortar con planos paralelos al plano OXY (perpendiculares al eje del hiper-boloide) z =k se obtienen circunferencias

(x₋2)2+ (y₋1)2 = 1 + k 2 4. X Y Z (2,1,0) x= 2 y= 1

Ejercicio 1. (c) Calcula An _siendo A=     2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2    

Siendo I la matriz identidad de orden 4, podemos expresar la matrizA mediante

A= 2I+     0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0    

y, puesto que la matriz 2I conmuta con cualquier otra matriz (4_×4), podemos aplicar la f´ormula del binomio de Newton a la potencia (2I+B)n siendo

B =     0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0     y obtenemos An _{= (2I+B)}n₌ = n 0 (2I)n_B0_{+· · ·+} n m (2I)n−m_Bm_{+· · ·+} n n (2I)n−n_Bn_.

Puesto queB2 _{= 0, tenemos que B}k _{= 0 para k = 2,3, ...y, por tanto, para n}

≥2 se verifica An = (2I+B)n = 2nI+n2n−1B+ 0 =     2n _{0 n2}n₋1 ₀ 0 2n _{0 n2}n₋1 0 0 2n ₀ 0 0 0 2n     .

Ejercicio 2. Considera la matriz A A=     −1 0 1 2 1 −2 2 2 5 0 1 ₋4 0 ₋3 3 −3 2 3 7 3     .

Sin hacer intercambios de filas, reduce A a forma escalonada por filas y de lo que obtengas deduce:

(a) La factorizaci´on A=LU.

(b) La dimensi´on y una base de Col (A). (c) La dimensi´on y una base de Nul (A).

Hacemos la reducci´on por filas almacenando en las posiciones por debajo de la diagonal los coeficientes utilizados para hacer los ceros,

A F2−2F1 F3+F1 -F4−3F1     -1 0 1 2 1 2 2 0 1 ₋2 −1 ₋4 1 ₋1 4 3 2 0 1 0     F3+ 2F2 F4−F2 -    -1 0 1 2 1 2 2 0 1 ₋2 −1 ₋2 1 1 0 3 1 0 0 2     .

(a) Por tanto:

A=LU siendo L=     1 0 0 0 2 1 0 0 −1 ₋2 1 0 3 1 0 1     , U =     -1 0 1 2 1 0 2 0 1 ₋2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2     .

(b) Puesto que las posiciones pivote obtenidas en la forma escalonada (por filas) est´an en las columnas 1, 2, 3 y 5, las correspondientes columnas deAson linealmente independientes y generan todo el espacio columna deA(puesto que la columna 4 de la forma escalonada es combinaci´on lineal de las tres anteriores, lo mismo sucede para las correspondientes columnas de A). Por tanto, las columnas 1, 2, 3 y 5 de A forman una base de Col (A) y la dimensi´on de Col (A) es 4 (el rango deA es 4). Una base de Col (A) es

       v1 =     −1 −2 1 −3     , v2 =     0 2 −4 2     , v3 =     1 2 0 3     , v5 =     1 0 3 3            .

(c) La dimensi´on de Nul (A) =_{x_∈R5 _{:Ax= 0} es (el n´umero de variables libres):} dim [Nul (A)] =n₋dim [Col (A)] = 5₋4 = 1.

Resolviendo el sistema Ax= 0 (equivalentemente el sistema Ux= 0) obtenemos     -1 0 1 2 1 0 0 2 0 1 ₋2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0     F1−F3 F1− 1₂F4 -F2+F4     -1 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0     ⇒       x1 x2 x3 x4 x5       =       α −12α −α α 0       =αu _∀α_∈R_{, siendo u=}       1 −12 −1 1 0       .

Por tanto, Nul (A) = Gen _{u_},

{u_} es una base de Nul (A) y la dimensi´on de Nul (A) es 1.

Ejercicio 3.

(a) Da la interpretaci´on geom´etrica y expresa en forma compleja y en forma matricial el resultado de las siguientes transformaciones en el plano (en el orden dado)

•Giro de centro el origen y ´angulo ϕ= π

3.

•Simetr´ıa respecto al eje OY.

•Homotecia de centro el origen y raz´on ρ= 3.

•Traslaci´on de vector (2,₋1).

• Giro de centro el origen y ´anguloϕ = π

3: z_∈C_{−→z1 =e}π3iz ∈C.

π/3 z z1

• Simetr´ıa respecto al ejeOY: z1 ∈C−→z2 =−z1 ∈C.

z1 z2

z1

• Homotecia de centro el origen y raz´on ρ= 3: z2 ∈C−→z3 = 3z2 ∈C. z2 z3 • Traslaci´on de vector (2,₋1): z3 ∈C−→z4 =z3 + 2−i∈C. z3 z4 (2,₋1)

Por tanto, el resultado de las transformaciones dadas sobre un punto z es, en forma compleja,

z _∈C_{−→w=z4 = 3}h_−eπ3iz

i

+ 2₋i=₋3e−π3iz+ 2−i∈C.

Para obtener la expresi´on vectorial basta con obtener las partes real e imaginaria dew=u+iv en funci´on de las partes real e imaginaria de z =x+iy.

w=u+iv =₋3 cos(₋π 3) +isen(− π 3) (x₋iy) + 2₋i= =₋3h1_{2 −}i√₂3i(x₋iy) + 2₋i =₋3h1₂x₋√₂3y₋i√₂3x₋i1₂yi+ 2₋i.

Por lo tanto,        u=₋3h1 2x− √ 3 2 y i + 2 v =₋3h₋√3 2 x− 1 2y i −1 ⇒ u v = 3 2 −1 √3 √ 3 1 x y + 2 −1 .

Obteniendo paso a paso la expresi´on matricial tendr´ıamos

u v = 3 −1 0 0 1 " ₁ 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 # x y + 2 −1 . Ejercicio 3.

(b) Calcula la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar la recta d_≡

x= 0

y+z = 1 alrededor del eje OZ. Al girar un punto (0, y, z) del plano OY Z alrededor del eje OZ se obtienen los puntos de coordenadas (X, Y, Z) dados mediante    X = _|y_|senθ Y = _|y_|cosθ Z = z 0_≤θ _≤2π

siendo θ el ´angulo que forman los vectores (0, y,0) y (X, Y,0). O X Y Z θ (x= 0, y, z) (X, Y, Z)

Por tanto, X2_+Y2 _=y2 _{y si el punto (0, y, z) est´a en la recta dada obtenemos} =_⇒X2+Y2 =y2 = (1₋z)2 = (1₋Z)2.

La superficie de revoluci´on que se obtiene

es un cono circular recto con v´ertice en el punto (0,0,1) y eje OZ y tiene por ecuaci´onX2_+Y2 _{= (1−Z)}2

Ejercicio 3.

(c) Determina cual de los siguientes enunciados, referidos a una matriz real A m_×n, no es equivalente a los restantes y dacondiciones equivalentes a dicho enunciado

A El sistema homog´eneo Ax= 0 tiene soluci´on ´unica.

B Los vectores columna de la matriz A son linealmente independientes. C Para cada b_∈Rm_{, el sistema de ecuaciones Ax =b es compatible.}

D Para cadab _∈Rm_{, el sistema de ecuacionesAx=bes o bien un sistema compatible}

determinando o bien un sistema incompatible.

¿Qu´e relaci´on debe existir entre m y n para que el sistema homog´eneo Ax = 0 pueda tener soluci´on ´unica? (Justifica la respuesta)

Los enunciados A , B y D son todos equivalentes entre s´ı (si un sistema homog´eneo es compatible determinado, un sistema completo con la misma matriz de los coeficientes de las inc´ognitas puede ser o bien compatible determinado o bien incompatible) y equivalentes a que Nul (A) =_{0_} (y esto es lo mismo que decir que no hay variables libres o que rango(A) =n o que el n´umero de pivotes coincide con el n´umero de columnas). Desde el punto de vista de la transformaci´on lineal definida por la matriz A, x _∈ Rn _{−→ y = Ax ∈ R}m _{(si la}

matrizA es real), estos enunciados son equivalentes a decir que ´esta transformaci´on lineal es inyectiva (su n´ucleo es el subespacio nulo).

El enunciado C es equivalente a que todo vector de Rm _{se pueda expresar como}

combi-naci´on lineal de las columnas de A y, por tanto es equivalente a decir que Col (A) = Rm _o,

lo que es lo mismo, que el rango deA es m (o que el n´umero de pivotes coincide con el n´umero de filas). Desde el punto de vista de la transformaci´on lineal definida por la matriz A, x_∈ Rn_{−→ y=Ax ∈R}m _{(si la matriz A es real), el enunciado C es equivalente a decir}

que ´esta transformaci´on lineal es sobreyectiva (su espacio imagen es el totalRm_).

Si un sistema homog´eneoAx= 0 tiene soluci´on ´unica es porque el rango es igual al n´umero de columnas (el n´umero de pivotes coincide con el n´umero de columnas) y por tanto el n´umero de filas tiene que ser mayor o igual (puesto que en cada fila de A hay a lo sumo un pivote), es decir tiene que serm _≥n.

Ejercicio 4. Considera los subespacios vectoriales E y F deR4 _{definidos mediante} E = Gen        u1 =     1 2 −1 3     , u2 =     1 1 0 1     , u3 =     5 1 4 2            , F _≡        x1+x2+2x3+2x4 = 0, x1+x2−3x3−3x4 = 0, x1+x2+4x3+4x4 = 0, x1+x2+5x3+5x4 = 0. (a) Determina E_∩F y E +F en forma impl´ıcita y en forma param´etrica.

(b) Calcula una base de E, una base de F y una base de E+F.

(c) Calcula las coordenadas de w respecto de la base de E +F obtenida en b) y expresa w= [ 3, 2, ₋1, 4 ]T como suma w=u+v con u_∈E y v _∈F.

Puesto que tenemos que obtener E _∩F y E+F, conviene tener ambos subespacios en forma impl´ıcita y en forma param´etrica.

El subespacio vectorial E viene definido en forma param´etrica (el subespacio vectori-al E est´a formado por todas las combinaciones lineales de los vectores u1, u2 y u3). Obtengamos unas ecuaciones impl´ıcitas que le definan. Puesto que

E :=

x_∈R4 _{: existen α1, α2, α3, α4 tales que x=α1u1+α2u2+α3u3}

dicho subespacio est´a formado por los vectores x _∈R4 _{tales que el sistema [A|x] es un} sistema compatible donde A es la matriz cuyas columnas son los vectores u1, u2 y u3. Reduciendo el sistema a forma escalonada tenemos:

    1 1 5 x1 2 1 1 x2 −1 0 4 x3 3 1 2 x4     F2−2F1 F3+F1 -F4−3F3     1 1 5 x1 0 -1 ₋9 x2−2x1 0 1 9 x3 +x1 0 ₋2 ₋13 x4−3x1     F3+F2 F4+ 2F2 -    1 1 5 x1 0 -1 ₋9 x2−2x1 0 0 0 ₋x1+x2 +x3 0 0 5 x1−2x2+x4     .

Por tantoE =_{x_∈R4 _{:−x1 +x2+x3 = 0}y, teniendo en cuenta los pivotes que hemos}

obtenido, los vectores _{u1, u2, u3} son linealmente independientes (y forman una base de E) y dim (E) = 3.

El subespacio vectorial F viene definido en forma impl´ıcita (como conjunto-soluci´on de un sistema homog´eneo). Resolvamos el sistema homog´eneo que determina al sube-spacio para obtener unas ecuaciones param´etricas (y una base y la dimensi´on de dicho

subespacio). Expresamos el sistema en forma matricial y reducimos a forma escalonada:     1 1 2 2 0 1 1 ₋3 ₋3 0 1 1 4 4 0 1 1 5 5 0     F2−F1 F3−F1 -F4−F1     1 1 2 2 0 0 0 ₋5 ₋5 0 0 0 2 2 0 0 0 3 3 0     operaciones fila -    1 1 2 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     F1−2F2 -    1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     =_⇒     x1 x2 x3 x4     =α     −1 1 0 0     +β     0 0 −1 1     . Por tanto F = Gen        v1 =     −1 1 0 0     , v2 =     0 0 −1 1           

siendo _{v1, v2} una base de F y, por tanto, dim (F) = 2. Notemos adem´as que las ecuaciones asociadas a la forma escalonada obtenida son unas ecuaciones impl´ıcitas que definen F (y son el menor n´umero de ecuaciones impl´ıcitas que pueden definir F)

F _≡

x1+x2 = 0, x3+x4 = 0.

(a) Puesto que tenemos unas ecuaciones impl´ıcitas de E y de F, tenemos unas ecuaciones impl´ıcitasde E_∩F y, resolviendo el sistema, tendremos unas ecuaciones param´etricas,

E_∩F _≡    −x1+x2+x3 = 0 x1+x2 = 0 x3+x4 = 0 →   -1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0  →   -1 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 0  → →   -1 1 0 ₋1 0 0 2 0 ₋1 0 0 0 1 1 0  ⇒     x1 x2 x3 x4     =     −1 2α 1 2α −α α     =αw0 siendow0 =     −1 2 1 2 −1 1     .

Por tanto E_∩F = Gen _{w0}, una base de E∩F es {w0} y dim (E∩F) = 1.

Teniendo en cuenta las dimensiones deE, F y E_∩F, podemos obtener la dimensi´on de E+F,

dim (E+F) = dim (E) + dim (F)₋dim (E_∩F) = 3 + 2₋1 = 4

y, puesto que E+F _⊂ R4_{, tenemos que E+F =}R4 _{y, por ejemplo, la base can´onica}

a dicha base x1 = α1, x2 = α2, x3 = α3, x4 = α4 (α1, α2, α3, α4 arbitrarios). Dados 4 vectores linealmente independientes de R4_{, una combinaci´on lineal gen´erica de ´estos}

nos dar´a una descripci´on param´etrica de E+F. Puesto que todos los vectores de R4

est´an en E+F, no hace ninguna ecuaci´on impl´ıcita para caracterizar los vectores que est´an en E+F (o si se quiere la ecuaci´on 0x1+ 0x2+ 0x3+ 0x4 = 0).

(b) Antes hemos calculado una base de E y una base de F as´ı como una base de E +F (teniendo en cuenta qui´en es el subespacio E +F). Puesto que en el apartado (c) se pide expresar un vector de E+F como suma de un vector de E y uno de F, conviene tener una base de E +F formada por vectores de E y por vectores de F. Para esto consideremos una base de E y una base de F y del conjunto formado por todos esos vectores extraeremos una base de E+F,

    1 1 5 ₋1 1 2 1 1 1 0 −1 0 4 0 ₋1 3 1 2 0 1     F2 −2F1 F3+F1 -F4 −3F3     1 1 5 ₋1 0 0 -1 ₋9 3 0 0 1 9 ₋1 ₋1 0 ₋2 ₋13 3 1     F3+F2 F4+ 2F2 -    1 1 5 ₋1 0 0 -1 ₋9 3 0 0 0 0 2 ₋1 0 0 5 ₋3 1     F3 ↔F4 -    1 1 5 ₋1 0 0 -1 ₋9 3 0 0 0 5 ₋3 1 0 0 0 2 ₋1     .

Teniendo esto en cuenta se obtiene que los cuatro primeros vectores-columna_{u1, u2, u3, v1} de la matriz considerada son linealmente independientes y el quinto v2 es combinaci´on lineal de los anteriores. Por tanto _{u1, u2, u3, v1} es una base del subespacio (E +F) generado por los 5 vectores columna de la matriz original.

(c) Las coordenadas del vector w= [ 3, 2, ₋1, 4 ]T respecto de la base _B=_{u1, u2, u3, v1} son los los coeficientes [α1, α2, α3, α4]T para los cuales se cumple la igualdad

w=α1u1+α2u2+α3u3+α4v1,

es decir, vendr´an dadas por la soluci´on del sistema de ecuaciones

    1 1 5 ₋1 2 1 1 1 −1 0 4 0 3 1 2 0         α1 α2 α3 α4     =w=     3 2 −1 4     ,

    1 1 5 ₋1 3 2 1 1 1 2 −1 0 4 0 ₋1 3 1 2 0 4     F2−2F1 F3+F1 -F4−3F1     1 1 5 ₋1 3 0 -1 ₋9 3 ₋4 0 1 9 ₋1 2 0 ₋2 ₋13 3 ₋5     F3 +F2 F4−2F2 -F1 +F2     1 0 ₋4 2 ₋1 0 -1 ₋9 3 ₋4 0 0 0 2 ₋2 0 0 5 ₋3 3     F3 ↔F4 -    1 0 ₋4 2 ₋1 0 -1 ₋9 3 ₋4 0 0 5 ₋3 3 0 0 0 2 ₋2     F1+F4 F2− 3₂F4 -F3+3₂F4     1 0 ₋4 0 1 0 -1 ₋9 0 ₋1 0 0 5 0 0 0 0 0 2 ₋2    ⇒     α1 α2 α3 α4     =     1 1 0 −1     .

Por tanto w=u1+u2−v1 y basta tomar

u=u1+u2 =     2 3 −1 4    ∈ E y v =₋v1 =     1 −1 0 0    ∈ F

´

Algebra. 2002-2003. Ingenier´ıa Aeron´

autica.

Departamento de Matem´

atica Aplicada II.

Segundo Examen Parcial. 14-06-2003.

Ejercicio 1. Consideremos la matriz A y el vector w dados por

A=     3 3 7 ₋6 1 0 0 0 0 ₋1 0 0 0 0 ₋1 0     , w=     2 −1 0 1     .

(a) [3 puntos] Estudia siA es diagonalizable.

(b) [3 puntos] Estudia siw es un autovector o un autovector generalizado de A(o ninguna de las dos cosas).

(c) [3 puntos] Calcula A50_w.

(d) [1 puntos]¿Es diagonalizableAT_{A mediante una matriz de paso ortogonal? Justifica la}

respuesta.

(a) Estudia si A es diagonalizable. En primer lugar, calculamos los autovalores de A obteniendo y resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica p(λ) = det (A₋λI) = 0,

p(λ) = det (A₋λI) = 3₋λ 3 7 ₋6 1 ₋λ 0 0 0 ₋1 ₋λ 0 0 0 ₋1 ₋λ =     desarrollando por los elementos de la primera columna     = = (3₋λ) −λ 0 0 −1 ₋λ 0 0 ₋1 ₋λ + (₋1)3 3 7 ₋6 −1 ₋λ 0 0 ₋1 ₋λ + 0₋0 = = (3₋λ) (₋λ)3₋(3λ2₋6₋7λ) =λ4₋3λ3₋3λ2+ 7λ+ 6 = 0.

Buscando soluciones entre los divisores de 6 (el t´ermino independiente de la ecuaci´on polin´omica obtenida):

±1,_±2,_±3,_±6, tenemos que

y por tanto, ya tenemos una soluci´on,λ1 =−1, de la ecuaci´on caracter´ıstica y dividiendo p(λ) porλ+ 1 tenemos que

1 ₋3 ₋3 7 6 −1 ₋1 4 ₋1 ₋6 1 ₋4 1 6 0 y por tanto, p(λ) = (λ+ 1) λ3₋4λ2+λ+ 6 .

El cociente obtenido, λ3 _−4λ2 _{+λ+ 6, tambi´en se anula para λ = −1 y volviendo a} dividir por λ+ 1 tenemos la ecuaci´on

p(λ) = (λ+ 1)2 λ2₋5λ+ 6

= 0 cuyas soluciones son

λ1 =−1(doble), λ2 = 2(simple), λ3 = 3(simple).

El que la matriz A sea o no diagonalizable depender´a exclusivamente de que la multi-plicidad geom´etrica de su ´unico autovalor m´ultipleλ1 =−1 coincida o no con su multi-plicidad algebraica. Estudiemos, por tanto, la multimulti-plicidad geom´etrica de λ1 =−1, es decir, la dimensi´on del espacio propio asociado Nul (A₋λ1I) = Nul (A+I).

(A+I)x= 0 _≡     4 3 7 ₋6 0 1 1 0 0 0 0 ₋1 1 0 0 0 0 ₋1 1 0     operaciones fila -    1 1 0 0 0 0 ₋1 1 0 0 0 0 ₋1 1 0 0 0 0 0 0     .

Puesto que tenemos 3 posiciones pivote, el rango de la matrizA+Ies 3 y la multiplicidad geom´etrica de λ1 ser´a

mg(λ1) = 4−3 = 1<ma(λ1) = 2. Por tanto la matriz A, NO es diagonalizable.

(b) Estudia si w es un autovector o un autovector generalizado de A (o ninguna de las dos cosas). Haciendolo en el orden en el que est´a enunciado:

Para comprobar si w es un autovector de A bastar´a comprobar si Aw es o no un m´ultiplo de w, Aw =     3 3 7 ₋6 1 0 0 0 0 ₋1 0 0 0 0 ₋1 0         2 −1 0 1     =     −3 2 1 0    6 =λ     2 −1 0 1     ∀ λ_∈C_.

Por tanto, w no es un autovector deA.

Comprobemos siwes o no un autovector generalizado deA. Si lo es, estar´a asociado al ´unico autovalor m´ultiple λ1 = −1. Tenemos que comprobar si se verifica la

igualdad (A+I)2w= 0. Puesto que ya hemos calculado Aw, (A+I)w=Aw+w=     −3 2 1 0     +     2 −1 0 1     =     −1 1 1 1     (A+I)2w= (A+I)     −1 1 1 1     =     0 0 0 0     .

Por tanto, w es un autovector generalizado de A.

(c) Calcula A50w. Puesto que (A+I)2w= 0, se verifica que (A+I)kw = 0 para k _≥2 y, aplicando la f´ormula del binomio de Newton, tenemos

A50_{w = (A+I−I)}50_w= = (₋I)50₊ 50 1 (₋I)49_{(A+I) +} 50 2 (₋I)48_(A+I)2_{+· · ·} w =w₋50(A+I)w+ 0 +_{· · ·}+ 0 =     2 −1 0 1    − 50     −1 1 1 1     =     52 −51 −50 −49     .

(d) ¿Es diagonalizable AT_{A mediante una matriz de paso ortogonal? Justifica}

la respuesta. Por el Teorema espectral para matrices (reales) sim´etricas, una matriz (real) es sim´etrica si y s´olo si es diagonalizable ortogonalmente, es decir, si y s´olo si es diagonalizable con una matriz de paso ortogonal. Teniendo esto en cuenta, lo ´unico que tenemos que comprobar es si la matriz AT_{A es sim´etrica. Y lo es puesto que}

ATAT

=AT ATT

Ejercicio 2.

(a) [4 puntos]Consideremos una matrizArealm_×n, el subespacioS = Col (A) y un vector b_∈Rm_{. Demuestra que los sistemas de ecuaciones}

Ax = proyS(b) y ATAx=ATb

son compatibles y tienen los mismos conjuntos de soluciones. ¿Qu´e tiene que verificar la matriz A para que los sistemas anteriores tengan soluci´on ´unica?

(b) [4 puntos]Consideremos los vectores y el subespacio vectorial dados por

v1 =   −1 1 −3  , v2 =   2α α 3  , u=   α 0 −1  ; S ≡x1+x2+αx3 = 0. Determinaα sabiendo que proyS(v1) = proyS(v2) =u. (un dibujo puede ayudar) (c) [2 puntos] Sea A una matriz cuadrada de orden 25 cuyo rango es 21. ¿Qu´e sucede al

aplicar el m´etodo de Gram-Schmidt a los vectores columna deA? ¿Cu´antas veces? ¿Por qu´e?

(a) Teor´ıa (Soluciones en m´ınimos cuadrados y ecuaciones normales de Gauss).

(a.1) El sistemaAx= proyS(b)es compatible.Puesto que proyS(b)∈S = Col (A),

tenemos que proy_S(b) se puede expresar como combinaci´on lineal de las colum-nas de A, los pesos (coeficientes) de cada una de las posibles formas de expresar proyS(b) como combinaci´on lineal de las columnas de A dar´an lugar a un vector

soluci´on x deAx= proy_S(b). A=   A1 . . . Aj . . . An  =⇒x1A1+· · ·+xjAj +· · ·+xnAn =A      x1 x2 .. . xn      , Col (A) =_{Ax:x_∈Rn_}={y∈Rm _{:Ax=y es un SC}.}

(a.2) Toda soluci´on de Ax= proyS(b) es soluci´on de ATAx=ATb.

Si x _∈ Rn _{verifica Ax = proy}

S(b), entonces, multiplicando a la izquierda por AT

tenemos que AT_Ax=AT_proy

S(b). Por otra parte,

AT_b=AT _(b

−proy_S(b) + proy_S(b)) =AT_(b

−proy_S(b)) +AT_proy S(b)

y, puesto que

b₋proyS(b) = proyS⊥(b) ∈S⊥= [Col (A)]⊥= Nul (AT)

=_⇒AT _(b−proy

S(b)) = 0

obtenemos que AT_b=AT_proy

(a.3) Toda soluci´on de AT_{Ax =A}T_{b es soluci´on de Ax = proy}

S(b).Si un vector

x_∈Rn _{verifica A}T_Ax=AT_{b tenemos}

ATAx=ATb _⇔AT (b₋Ax) = 0_⇐⇒b₋Ax_∈Nul (AT) = Col (A)⊥. Por tanto, Ax_∈S = Col (A) b₋Ax_∈S⊥ =_⇒   Axes la proyecci´on ortogonal deb sobre S  ≡ Ax= proy_S(b).

Los apartados(a.2) y (a.3) nos dicen que los dos sistemas citados (que no son equi-valentes en el sentido de que se pueda pasar de uno a otro mediante operaciones elementales fila) tienen los mismos conjuntos de soluciones. Junto con el apartado (a.1) nos dicen que los sistemas considerados son siempre compatibles. Notemos que el sistema Ax = proyS(b) es un sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas

mientras el sistema AT_Ax=AT_{b es un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas.}

(a.4) ¿Qu´e tiene que verificar la matriz A para que los sistemas anteriores tengan soluci´on ´unica? Si tenemos un sistema de ecuaciones Ax = y que es compatible, puesto que

soluci´on general deAx=y = soluci´on particular de Ax=y + soluci´on general de Ax= 0

se verifica que Ax=y es un sistema compatible determinado _⇐⇒ lo es el sistema homog´eneo asociadoAx= 0. Por tanto, los sistemas considerados tendr´an soluci´on ´

unica si y s´olo si el sistema homog´eneo Ax= 0 tiene soluci´on ´unica. Esto es equi-valente a que los vectores columna de A sean linealmente independientes, o lo que tambi´en es equivalente, el rango de A es igual a n (n´umero de columnas=n´umero de pivotes).

(b) Se trata de determinar el valor de α conociendo dos condiciones sobre los vectores y el subespacio dados, que proyS(v1) = proyS(v2) y que est´as proyecciones son iguales al vectoru. La condici´on proyS(v1) = proyS(v2) es equivalente a decir que el vectorv1−v2 est´a enS⊥ _{con lo cual}

proy_S(v1) = proyS(v2)⇔v1−v2 =   −1₋2α 1₋α −6  ∈S⊥= Gen      1 1 α      ⇔ ⇔v1−v2 es m´ultiplo de   1 1 α  ⇔v1−v2 =   −1₋2α 1₋α −6  =c   1 1 α  

para alg´un c_∈R_{. Resolviendo el sistema de ecuaciones que se obtiene}

−1₋2α=c 1₋α =c −6 =cα    ⇒ · · · ⇒ α =₋2 c= 3 .

Hemos obtenido un ´unico valor posible de α utilizando s´olo una de las dos condiciones dadas, ahora hay que comprobar que efectivamente para dicho valor deαse verifican las

dos condiciones. Para obtener los vectores proyecci´on sobreS lo m´as c´omodo es trabajar con S⊥ que tiene dimensi´on 1.

S _≡x1 +x2−2x3 = 0 ⇔S⊥ = Gen      1 1 −2      ⇒proyS⊥(v1) = −₁₊₁₊₄1+1+6   1 1 −2   =_⇒proyS(v1) =v1−   1 1 −2  =   −2 0 −1  =u.

Por tanto proy_S(v1) =u y tambi´en proyS(v2) =u. Observaciones.

(1) Algunos alumnos han resuelto el ejercicio de la siguiente forma:

Puesto que la proyecci´on ortogonal de v1 sobre S es u, la proyecci´on ortogonal de v1 sobre el subespacio R = Gen {u} generado por u tambi´en es u y, por tanto, tenemos u= proyS(v1) = proyR(v1) = v1·u ||u_||2u= −α+ 3 α2_{+ 1} u⇒ −α+ 3 α2_{+ 1} = 1⇒α 2_+α −2 = 0. An´alogamente, para v2 tenemos

u= proy_S(v2) = proyR(v2) = v2·u ||u_||2u= 2α2₋₃ α2_{+ 1} u⇒ 2α2₋₃ α2_{+ 1} = 1⇒α 2 _{= 4.} El valor buscado de α(o posibles valores a priori) debe verificar las dos ecuaciones

α2_{+α−2 = 0} α2 = 4

.

Resolviendo obtenemos que el ´unico valor posible es α = ₋2. Sin embargo, el argumento anterior no es completo puesto que

proyS(v1) =u =⇒

⇐₆= proyR(v1) =u (R = Gen {u})

y habr´ıa que comprobar que efectivamente el valor de α verifica las condiciones deseadas (No se ha penalizado la no comprobaci´on de dichas condiciones a poste-riori).

(2) Si tenemos una base _{w1, w2, . . .} de un subespacio vectorial S y un vector v, el vector dado por la f´ormula

v_·w1 ||w1||2 w1+ v _·w2 ||w2||2 w2+· · ·

es el vector proyecci´on ortogonal dev sobre S cuando la base es una base ortogonal de S. Si la base de S dada no es ortogonal, la expresi´on anterior da lugar a un vector de S que no es la proyecci´on ortogonalde v sobre S.

(c) Sea A una matriz cuadrada de orden 25 cuyo rango es 21. ¿Qu´e sucede al aplicar el m´etodo de Gram-Schmidt a los vectores columna de A? ¿Cu´antas veces? ¿Por qu´e?

Puesto que el rango de A es 21, la dimensi´on del espacio Col (A) es 21 y por tanto, si consideramos los vectores columna deAen el orden en el que aparecen en la matriz, hay 25₋21 = 4 vectores que se pueden expresar como combinaci´on lineal de los anteriores (en el caso del primer vector columna, puede suceder que sea nulo). Al aplicar el m´etodo de Gram-Schmidt a los vectores columna deA, cada vez que lleguemos a un vector que es combinaci´on lineal de los anteriores, obtendremos el vector nulo puesto que un paso t´ıpico del m´etodo de Gram-Schmidt consiste en obtener la proyecci´on ortogonal del vectorvk+1 sobre el ortogonal del subespacio generado por los vectores anteriores,

vk′+1 =vk+1−proySk(vk+1) Sk = Gen {v1, . . . , vk}

con lo cual, si vk+1 es combinaci´on lineal de los anteriores tenemos que proySk(vk+1) =

vk+1 y por tanto vk′+1 = 0. Resumiendo, al aplicar el m´etodo de Gram-Schmidt a los vectores columna de la matriz A:

¿Qu´e sucede? Que en algunos pasos de dicho m´etodo se obtiene el vector nulo puesto que los vectores originales no son linealmente independientes.

¿Cu´antas veces? Cuatro. Cada vez que llegamos a un vector que es combinaci´on lineal de los anteriores.

Ejercicio 3.

(a) [2 puntos]SeaAuna matriz cuadrada diagonalizable cuyos ´unicos autovalores sonλ1 = 1 y λ2 = 0 (con sus correspondientes multiplicidades). Demuestra que

A2 =A.

(b) [4 puntos]Sean S1 y S2 los subespacios vectoriales de R4 definidos mediante S1 ≡x1+x2+x3+x4 = 0, S2 ≡x1+x2−x3−x4 = 0. Determina el vectorv _∈R4 _{sabiendo que sus proyecciones ortogonales sobreS}

1 yS2 son respectivamente u1 = proyS1(v) =     3 −5 5 −3     , u2 = proyS2(v) =     7 −1 7 −1     .

(c) [4 puntos] Siendo S1 y S2 los subespacios vectoriales dados en el apartado anterior, calcula la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre el subespacio S=S1∩S2.

(a) Puesto que A es diagonalizable, puede obtenerse una matriz P no-singular para la que se verifica que P−1_{AP = D es una matriz diagonal. La matriz P est´a formada, por} columnas, por autovectores deAque son linealmente independientes (que formar´an una base de Rn _{o deC}n_{). Los elementos diagonales de la matrizD son los autovalores de A}

(en el orden correspondiente a los autovectores dados enP). Puesto que los autovalores λ deAson cero o uno, en cualquier caso tenemos que λ2 _{=λ y por tanto D}2 _{=D. As´ı,} tenemos A=P DP−1 _=P          1 0 _{· · ·} 0 0 1 . .. 0 . .. 0 _{· · ·} 0          P−1 _=⇒ =_⇒A2 _{=P DP}−1_{P DP}−1 _{=P D}2_P−1 _{=P DP}−1 _=A.

(b) Es inmediato comprobar que u1 ∈S1 y que u2 ∈S2. Entonces tenemos,

u1 = proyS1(v)⇐⇒v−u1 ∈S ⊥ 1 = Gen            1 1 1 1            =_⇒v =u1+α     1 1 1 1    

para alg´un α_∈R_{. De forma an´aloga} u2 = proyS2(v)⇔v−u2 ∈S ⊥ 2 = Gen            1 1 −1 −1            ⇒v =u2+β     1 1 −1 −1    

para alg´un β_∈R_{. Por tanto,}

v =     3 −5 5 −3     +α     1 1 1 1     =     7 −1 7 −1     +β     1 1 −1 −1     .

Y basta con resolver el sistema de ecuaciones lineales en α y β que se obtiene: α₋β = 4 α₋β = 4 α+β = 2 α+β = 2        ⇒ · · · ⇒ α= 3, β =₋1.

Por tanto, existen dos n´umeros reales α y β tales que

v =     3 −5 5 −3     + 3     1 1 1 1     =     7 −1 7 −1    −     1 1 −1 −1     =     6 −2 8 0     .

Observaci´on.El vector v se puede obtener de otras muchas formas (no muy distintas), por ejemplo utilizando que

proyS⊥ 2(v) = proyS2⊥ u1+ proyS⊥ 1 (v) =...

(c) Matriz de la proyecci´on ortogonal sobre el subespacio S =S1∩S2 S =S1∩S2 ≡ x1+x2+x3+x4 = 0 x1 +x2−x3−x4 = 0 ⇔S = Nul 1 1 1 1 1 1 ₋1 ₋1 ⇐⇒ ⇐⇒S⊥_{= Col}     1 1 1 1 1 ₋1 1 ₋1     = Gen        w1 =     1 1 1 1     , w2 =     1 1 −1 −1            .

Puesto que _{w1, w2} es una base ortogonal deS⊥, tenemos que

w1 ||w1|| , w2 ||w2|| = 1 2w1, 1 2w2

es unabase ortonormaldeS⊥ _{y, por tanto, la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre} S⊥ es PS⊥ = 1₂     1 1 1 1 1 ₋1 1 ₋1     1 2     1 1 1 1 1 ₋1 1 ₋1     T = 1 4     1 1 1 1 1 ₋1 1 ₋1     1 1 1 1 1 1 ₋1 ₋1 = = 1₂     1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1     .

Teniendo en cuenta que

proyS(w) + proyS⊥(w) =w, ∀w∈R4,

para las correspondientes matrices de proyecci´on se verifica que PS+PS⊥ =I

y, por tanto, la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre S es

PS =I−PS⊥ =     1 2 − 1 2 0 0 −1 2 1 2 0 0 0 0 1_{2 −}1₂ 0 0 ₋1₂ 1₂     = 1 2     1 ₋1 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 ₋1 0 0 ₋1 1     . Observaciones:

(1) No conlleva ninguna dificultad adicional el calcular directamente la matriz PS sin

pasar por la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre S⊥_{, siempre y cuando no se}

aplique de manera incorrecta la f´ormula PS = UUT siendo U una matriz cuyos

vectores-columna...

(2) Puesto que se trataba de calcular la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre un subespacio vectorial de R4 _{(lo que quiere decir que al multiplicar un vector de R}4 por dicha matriz el resultado es el vector, de R4_{, que se obtiene como proyecci´on}

ortogonal del vector dado sobre el subespacio considerado), dicha matriz tiene que ser una matriz 4_×4.

´

Algebra. 2002-2003. Ingenier´ıa Aeron´

autica.

Departamento de Matem´

atica Aplicada II.

Examen Final de Junio (Segundo Parcial). 7-07-2003.

Ejercicio 1. Considera la matriz A dada por

A=   −5 1 0 −8 0 ₋1 4 0 0  .

(1.1) [4 puntos]Determina, si es posible, una base deR3 _{formada por autovectores y}

auto-vectores generalizados de A.

(1.2) [4 puntos] Calcula An _{para n= 1,2, . . ..}

(1.3) [2 puntos] Calcula los autovalores y autovectores de A+ 2I y determina los vectores b_∈R3 _{para los que el sistema de ecuaciones}

(A+ 2I)x=b es compatible.

(1.1) Determina, si es posible, una base de R3 _{formada por autovectores y}

au-tovectores generalizados de A.

•Calculemos los autovalores de A: Ecuaci´on caracter´ıstica p(λ) = det(A₋λI) = −5₋λ 1 0 −8 ₋λ ₋1 4 0 ₋λ =λ2_{(−5−λ)−4−8λ=} =₋λ3_−5λ2_{−8λ−4 = 0.}

Puesto que p(₋1) = 1₋5 + 8₋4 = 0, p(λ) es divisible porλ+ 1 y tenemos

−1 ₋5 ₋8 ₋4

−1 1 4 4

−1 ₋4 ₋4 0

y, por tanto, p(λ) = (λ+ 1) [₋λ2_{−4λ−4] =−(λ+ 1)(λ+ 2)}2_{. Los autovalores de A} son, por lo tanto,

λ1 =−1 (simple) λ2 =−2 (doble).

(A+I)x= 0 _≡   −4 1 0 0 −8 1 ₋1 0 4 0 1 0  −→   -4 1 0 0 0 -1 ₋1 0 0 1 1 0  −→ →   -4 0 ₋1 0 0 -1 ₋1 0 0 0 0 0  ⇒   x1 x2 x3  =x₃   −14 −1 1  ⇒ ⇒ Nul (A+I) = Gen      −14 −1 1      = Gen    v1 =   1 4 −4      . •Autovectores asociados a λ2 =−2: (A+ 2I)x= 0 _≡   −3 1 0 0 −8 2 ₋1 0 4 0 2 0  −→   4 0 2 0 0 2 3 0 0 1 3₂ 0  −→   2 0 1 0 0 2 3 0 0 0 0 0  ⇒ ⇒   x1 x2 x3  =x3   −1 2 −32 1  = 1₂x3   −1 −3 2  ⇒

⇒ Nul (A+ 2I) = Gen

   v2 =   −1 −3 2      . Puesto que mg(λ2) = dim (A−λ2I) = 1 <ma(λ2) = 2

la matrizA NO es diagonalizable, y no puede obtenerse una base deR3_formada exclusi-vamente por autovectores. Necesitamos recurrir al c´alculo de autovectores generalizados (asociados al ´unico autovalor m´ultiple).

•Autovectores generalizados asociados a λ2 =−2: Nul

h (A+ 2I)ki, (A+ 2I)2_{x= 0 ≡}   −3 1 0 −8 2 ₋1 4 0 2   2  x1 x2 x3  =   0 0 0  −→   1 ₋1 ₋1 0 4 ₋4 ₋4 0 −4 4 4 0  → →   1 ₋1 ₋1 0 0 0 0 0 0 0 0 0  ⇒   x1 x2 x3  =x2   1 1 0  +x3   1 0 1  ⇒

⇒Nul [(A+ 2I)2_{] = Gen}

     1 1 0  ,   1 0 1      .

⋆ Para obtener una base deR3 _{formada por autovectores y autovectores generalizados}

deA basta tener una base de Nul (A+I) y una base de Nul [(A+ 2I)2_{]. Puesto que} Nul [(A+ 2I)]_⊂Nul

podemos tomar como base de Nul [(A+ 2I)2_{] una que este formada por un autovector} y un autovector generalizado, por ejemplo

   v2 =   −1 −3 2  , w=   1 1 0      . ⋆Por tanto, {v1, v2, w}

es una base de R3 _{formada por autovectores y autovectores generalizados deA.}

(1.2) Calcula An _{para n = 1,2, . . ..}

Para obtener la matrizAn _{bastar´a obtener el resultado del productoA}n_{P siendo P una}

matriz no-singular, y de ah´ı despejar An _{multiplicando por P}−1 _{a la derecha.} Equiva-lentemente, basta obtener el producto de An _{por cada uno de los vectores de una base}

deR3 _{(para los que seac´omodo calcular A}n_{v) y a partir de esos resultados despejarA}n_.

Una base de R3 _{apropiada para este problema ser´ıa una base formada por autovectores}

(si la hubiera, que en nuestro caso no la hay, puesto queA no es diagonalizable) puesto que para un autovector v de A asociado a un autovalor λ se verifica que An_{v = λ}n_v.

Ya que no podemos tener una base de R3 _{formada exclusivamente por autovectores,}

recurrimos a los autovectores generalizados. En el apartado anterior hemos obtenido una base deR3

{v1, v2, w}

formada por autovectores y autovectores generalizados. Para los autovectores tenemos: An_v

1 =λn1v1 = (−1)nv1 Anv2 =λn2v2 = (−2)nv2

y puesto que para el autovector generalizadow se verifica (A+ 2I)2_{w= 0, aplicando la} f´ormula del binomio de Newton tenemos

An_{w = (A+ 2I} −2I)n_w= = (₋2I)n₊ n 1 (₋2I)n₋1_{(A+ 2I) +· · ·} w= = (₋2)n_w+n( −2)n₋1_{(A+ 2I)w+} n 2 (₋2)n₋2_{(A+ 2I)}2_{w+· · ·=} = (₋2)n_w+n( −2)n₋1_{(A+ 2I)w+ 0 +· · ·=} = (₋2)n_w+n(−2)n−1_{(A+ 2I)w=} = (₋2)n   1 1 0  +n(−2)n−1   −2 −6 4  = (−2)n   1 +n 1 + 3n −2n  .

Expresando las anteriores igualdades vectoriales en forma matricial tenemos An   v₁ v₂ w   =   (₋1)n −(₋2)n _{(1 +n)(} −2)n (₋1)n_{4 −3(−2)}n _{(1 + 3n)(−2)}n (₋1)n+1_{4 2(−2)}n _−2n(−2)n  = = (₋1)n   1 ₋2n _{(1 +n)2}n 4 ₋3 2n _{(1 + 3n)2}n −4 2n+1 _−n2n+1   y despejando An An _{= (} −1)n   1 ₋2n _{(1 +n)2}n 4 ₋3 2n _{(1 + 3n)2}n −4 2n+1 _−n2n+1     v1 v2 w   −1 = = (₋1)n   1 ₋2n _{(1 +n)2}n 4 ₋3 2n _{(1 + 3n)2}n −4 2n+1 _−n2n+1  1₂   2 ₋2 ₋2 4 ₋4 ₋3 4 ₋2 ₋1  = = (−₂1)n   2 +n2n+2 _{−2−(n−1)2}n+1 _{−2−(n−2)2}n 8 + (3n₋2)2n+2 _{−8−(3n−5)2}n+1 _{−8−(3n−8)2}n −8₋(n₋1)2n+3 _{8 + (n−2)2}n+2 _{8 + (n−3)2}n+1  .

Observaci´on. De las expresiones consideradas podemos obtener una factorizaci´on de An_: An_v 1 = λn1v1 An_v 2 = λn2v2 An_{w = λ}n 2w+nλ n₋1 2 (A+ 2I)w = λn 2w+nλn2−12v2 =_⇒An   v1 v2 w  =   v1 v2 w     λn 1 0 0 0 λn 2 2nλn2−1 0 0 λn 2   ⇒An₌   v1 v2 w     λn 1 0 0 0 λn 2 2nλ n₋1 2 0 0 λn 2     v1 v2 w   −1 .

(1.3) Calcula los autovalores y autovectores de A+ 2I y determina los vectores b_∈R3 _{para los que el sistema de ecuaciones (A+ 2I)x=b es compatible.}

Un vectoru_∈R3_{, u6= 0 es un autovector deA+ 2I asociado a un cierto autovalorµsi,}

y s´olo si, se verifica que (A+ 2I)u=µu. Equivalentemente, Au= (µ₋2)u. Es decir, un vector u_∈ R3_{, u6= 0 es un autovector de A+ 2I asociado a un cierto autovalor µ si, y}

s´olo si, λ=µ₋2 es un autovalor deAy u es un autovector deA asociado aλ=µ₋2. Por tanto:

λ1 =−1 autovalor de A ⇔ µ1 =λ1+ 2 = 1 autovalor de A+ 2I λ2 =−2 autovalor de A ⇔ µ2 =λ2+ 2 = 0 autovalor de A+ 2I En lo que se refiere a los autovectores correspondientes tenemos:

λ1 =−1, µ1 = 1

⇒ Nul (A₋λ1I) = Nul (A+ 2I−µ1I) = Nul (A+I) = Gen{v1}, λ2 =−2,

µ2 = 0

⇒ Nul (A₋λ2I) = Nul (A+ 2I−µ2I) = Nul (A+ 2I) = Gen {v2}. Por ´ultimo, el conjunto

b_∈R3 _{: (A+ 2I)x=b es un sistema compatible}

no es otra cosa que el espacio columna deA+ 2I. Con las operaciones que hemos hecho a la hora de calcular los autovectores de A asociados a λ2 = −2, se obtiene que dicho espacio columna coincide con el subespacio generado por las dos primeras columnas de A+ 2I, es decir Gen      −3 −8 4  ,   1 2 0      .

Este subespacio vectorial lo podr´ıamos pasar a forma impl´ıcita, sin m´as que imponer la condici´on de compatibilidad del sistema

  −3 1 0 b1 −8 2 ₋1 b2 4 0 2 b3   y se obtiene la ecuaci´on 4b1−2b2−b3 = 0.

Ejercicio 2.

(2.1) [3 puntos]Enuncia las propiedades m´as importante de los autovalores y autovectores de una matriz sim´etrica real y elTeorema espectral(para matrices reales sim´etricas). (2.2) [5 puntos] Determina una matriz real sim´etrica A sabiendo que sus autovalores son

λ1 =−1 (simple) y λ2 = 0 (doble) y que los vectores

v1 =   1 2 −1  , v2 =   2 −1 0  

son autovectores deA asociados respectivamente a λ1 y λ2.

(2.3) [2 puntos] Siendo A la matriz obtenida en el apartado anterior, calcula la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre el espacio nulo de A y sobre el espacio columna deA.

(2.1) SiA es una matriz real sim´etrica se verifica: (a) Todos sus autovalores son reales.

(b) Si u y v son dos autovectores (reales) de A correspondientes a autovalores distintos λ₆=µ, entonces u y v son ortogonales, u_·v = 0.

Teorema espectral para matrices reales sim´etricas : Siendo A una matriz real se verifica que

(c) Aes sim´etrica_⇐⇒Aes diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal. (2.2) Puesto que A es una matriz sim´etrica real, es diagonalizable ortogonalmente, es decir,

podemos obtener una matriz ortogonalQ que verifica que

QT_AQ=D=   λ1 λ2 λ2  =   −1 0 0  .

Los vectores columna de Q son autovectores de A que forman una base ortonormal de R3_{. El primer vector columna q1 de Q ser´a un autovector unitario de A asociado a}

λ1 = 1, con lo cual podemos tomar

q1 = 1 ||v1|| v1 = 1 √ 6   1 2 −1  .

El segundo y tercer vector columnaq2 y q3 deQser´an dos autovectores de A asociados aλ2 = 0 ortogonales y unitarios, con lo cual podemos tomar

q2 = 1 ||v2|| v2 = 1 √ 5   2 −1 0  .

Por tanto, A ser´a de la forma A=QDQT ₌    1 √ 6 2 √ 5 ∗ 2 √ 6 − 1 √ 5 ∗ −_√1 6 0 ∗      −1 0 0     1 √ 6 2 √ 6 − 1 √ 6 2 √ 5 − 1 √ 5 0 ∗ ∗ ∗  = =    −√1 6 0 0 −√2 6 0 0 1 √ 6 0 0      1 √ 6 2 √ 6 − 1 √ 6 2 √ 5 − 1 √ 5 0 ∗ ∗ ∗  =   −1 6 − 2 6 1 6 −26 − 4 √ 6 2 6 1 6 2 6 − 1 6  = = 1 6   −1 ₋2 1 −2 ₋4 2 1 2 ₋1  . Observaciones:

(1) A pesar de haberlo considerado, el vectorv2 no ha sido necesario en la obtenci´on de la matriz A puesto queλ2 = 0. De hecho, las restantes condiciones son suficientes para determinar A. Puesto que la dimensi´on de Nul (A₋ λ2I) = Nul (A) tiene que ser 2 (A es diagonalizable) y todo vector de Nul (A₋λ2I) = Nul (A) tiene que ser ortogonal a todo vector de Nul (A₋λ1I) = Nul (A+I) (A es sim´etrica), necesariamente tiene que cumplirse

Nul (A₋λ2I) = Nul (A−λ1I)⊥= [Gen {v1}]⊥ = Nul

v₁T

≡x1+ 2x2−x3 = 0 (2) Una buena opci´on para determinar A es considerar una descomposici´on espectral

de A. Siendo _{q1, q2, q3} una base ortonormal de R3 formada por autovectores de A asociados respectivamente a λ1 =−1, λ2 y λ3 =λ2, se verifica que

A =λ1q1q1T +λ2q2qT2 +λ3q3qT3 = (−1)q1q1T + 0q2qT2 + 0q3q3T = =     tomando el vector q1 = _||v11||v1 dado antes     =_−√1 6   1 2 −1  √1 6 1 2 ₋1 =...

(3) Un buen ejercicio (en el que habr´a que obtener una base de Nul (A ₋ λ2I)) es sustituir en el enunciado λ2 = 0 por un valor λ2 6= 0 y obtener la correspondiente matriz A.

(2.3) Siendo A la matriz obtenida en el apartado anterior, calcula la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre el espacio nulo de A y sobre el espacio columna de A.

Puesto que

S = Col (A) = Gen

   v1 =   1 2 −1      ,

la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre Col (A) es PS = 1 √ 6   1 2 −1   1 √ 6 1 2 ₋1 = 1 6   1 2 ₋1 2 4 ₋2 −1 ₋2 1  . Puesto que Nul (A) =

Col (AT)⊥ = [Col (A)]⊥, la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre Nul (A) es

PS⊥ =I−PS = 1 6   5 ₋2 1 −2 2 2 1 2 5  . Observaci´on.

Para tener una interpretaci´on geom´etrica de los ingredientes que aparecen en el ejercicio, notemos que si tenemos una base _{u1, u2, u3} deR3, de forma que

{u1} generaS = Nul (A+I) = Col (A) y

{u2, u3} generan su ortogonal,S⊥ = Nul (A),

entonces cualquier vector v _∈R3 _{se puede escribir como combinaci´on lineal}

v =c1v1+c2v2+c3v3 con lo cual

Av=c1Av1+c2Av2+c3Av3 =c1(−1)v1+ 0v2+ 0v3 =−c1v1. Por tanto al multiplicar la matriz A por

un vector v _∈S =_⇒Av=₋v, un vector v _∈S⊥ =_⇒Av= 0.

¿Tiene alguna relaci´on la matrizA con proyecciones ortogonales y simetr´ıas y los subespacios S (recta) y S⊥ _(plano)?

Ejercicio 3.

(3.1) [4 puntos] Halla la ecuaci´on reducida, dando los cambios de variables adecuados, y representa la c´onica de ecuaci´on

x2+ 4xy+ 4y2₋2√5x+√5y= 0.

(3.2) [4 puntos]SeaSel subespacio deR4 _{definido porS ≡x1+2x2+3x3+4x4 = 0. Calcula}

los vectores deR4 _{cuya proyecci´on ortogonal sobreS es el vector u= [1 −1 −1 1]}T _y

cuya distancia aS es 5.

(3.3) [2 puntos] Determina los valores deα para los que el sistema de ecuaciones

    1 1 ₋1 1 0 ₋2 2 3 α 0 1 α2       x y z  =     1 0 0 0    

tiene infinitas soluciones en el sentido de los m´ınimos cuadrados y calcula dichas solu-ciones.

(3.1) Diagonalizamos ortogonalmente la matriz sim´etrica asociada a la parte cuadr´atica de la ecuaci´on x2 + 4xy+ 4y2 = x y 1 2 2 4 x y ⇒A= 1 2 2 4 ⇒p(λ) =λ(λ₋5). Por tanto la ecuaci´on dada es la de una c´onica de tipo parab´olico (par´abola o par de rectas).

Autovectores asociados al autovalorλ1 = 5: (A₋5I)x= 0_≡ −4 2 0 2 ₋1 0 → 2 ₋1 0 0 0 0 ⇒ x y =x 1 2 ⇒v1 = 1 2 .

Autovectores asociados al autovalor λ2 = 0: ser´an los vectores (no nulos) ortogonales a v1 (A es una matriz sim´etrica real). Tomamos

v2 =

−2 1

de forma que el sentido de giro de v1 a v2 es positivo. Por tanto, puesto que_||v1||=||v2||=

√ 5, la matriz Q= " ₁ √ 5 −2 √ 5 2 √ 5 1 √ 5 # = _√1 5 1 ₋2 2 1

diagonaliza ortogonalmente a la matrizA: AQ=Q 5 0 , Q−1 =QT_.

Haciendo el cambio de variables x y =Q x′ y′ ≡    x= √1 5 (x′−2y′), y = √1 5 (2x′+y′), x′ y′ =QT x y ≡    x′ _{= √}1 5(x+ 2y), y′ _{= √}1 5(−2x+y), y sustituyendo en la ecuaci´on de la c´onica, tenemos

x′ _y′ QT_AQ x′ y′ + −2√5 √5 Q x′ y′ = 0 5x′2₋₂√_5√1 5(x′−2y′) + √ 5_√1 5(2x′+y′) = 0 5x′2_{+ 5y}′ _{= 0≡y}′ _=−x′2_.

Por tanto, la c´onica dada es una par´abola que tiene como v´ertice el punto V = (x′ _{= 0, y}′ _{= 0) = (x= 0, y = 0)}

y como ejes

•Eje principal (de simetr´ıa): OY′ _≡x′ _{= 0≡x}′ _{= √}1

5(x+ 2y) = 0≡x+ 2y= 0,

•Eje secundario: OX′ _≡y′ _{= 0≡y}′ _{= √}1

5(−2x+y) = 0≡y= 2x. Los cortes de la par´abola con los ejes coordenados (originales) son

•Corte con OX: y= 0_⇒x2 ₋₂√_{5x= 0 =⇒}

   x= 0_⇒(0,0) x= 2√5_⇒(2√5,0) •Corte con OY: x= 0_⇒4y2₊√_{5y= 0 =⇒}    y= 0 _⇒(0,0) y =₋√₄5 _⇒(0,₋√₄5) Por tanto, la representaci´on gr´afica en los ejes originales es

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 x y x2+ 4xy+ 4y2₋2√5x+√5y= 0 X Y _X′ Y′ (2√5,0) (0,₋√₄5)

(3.2) Dado un vector v _∈ R4_{, el vector proyecci´on ortogonal dev sobre S es el ´unico vector}

u deS para el cualv se puede expresar como v =u+w para alg´un vector w_∈S⊥_{. Es decir,}

proyS(v) = u⇐⇒v−u∈S⊥ = Gen        w0 =     1 2 3 4            . Por tanto v _∈R4 _{: proyS(v) =u =v ∈}R4 _{:v =u+tw0, t∈}R _.

Es decir, dicho conjunto no es otra cosa que la recta (en R4_{) que pasa por u y tiene}

como vector direcci´onw0.

Puesto que dist (v, S) =_||v₋proyS(v)||, para determinar los vectores cuya proyecci´on

ortogonal sobre S es u y distan 5 de S basta determinar los valores de t_∈R _{tales que}

||v₋u_||=_||u+tw0−u||=||tw0||=|t| ||w0||=|t|

√

30 = 5. Por tanto, los vectores pedidos en el enunciado son

t=_±√5 30 =⇒v1 =u+ 5 √ 30w0 =      1 + _√5 30 −1 + 2√5 30 −1 + 3√5 30 1 + 4_√5 30      , v2 =u− 5 √ 30w0 =      1_{− √}5 30 −1₋2√5 30 −1₋3√5 30 1₋4_√5 30      .

(3.3) Un sistema de ecuaciones Ax = b,(A m_×n, b _∈ Rm_{) tiene infinitas soluciones en}

m´ınimos cuadrados si, y s´olo si, el sistema de ecuaciones (compatible) Ax = proyS(b), S = Col (A),

tiene infinitas soluciones y esto es equivalente a que el sistema homog´eneo asociadoAx= 0 tenga infinitas soluciones: Es decir, el sistema homog´eneo es compatible indeterminado o, equivalentemente, los vectores-columna de A son linealmente dependientes. De forma esquem´atica: los siguientes enuciados son equivalentes:

•el sistema Ax=b tiene infinitas soluciones en m´ınimos cuadrados,

•el sistema Ax= 0 tiene infinitas soluciones,

•las columnas de A son linealmente dependientes,

•el rango de A es menor que n.

Calculemos los valores de α para los que los vectores columna de A son linealmente dependientes,     1 1 ₋1 1 0 ₋2 2 3 α 0 1 α2    −→     1 1 ₋1 0 -1 ₋1 0 1 α+ 2 0 1 α2    −→     1 1 ₋1 0 -1 ₋1 0 0 α+ 1 0 0 α2₋₁     .

Los vectores columna de A son linealmente dependientes si, y s´olo si, en la forma esca-lonada se obtienen menos de 3 pivotes, es decir si, y s´olo si se verifica

   α+ 1 = 0 y α2_{−1 = 0} ⇐⇒ α=₋1.

Tenemos que calcular las infinitas soluciones en m´ınimos cuadrados del sistema que se obtiene paraα=₋1:     1 1 ₋1 1 0 ₋2 2 3 ₋1 0 1 1       x1 x2 x3  =     1 0 0 0     .

Mediante las ecuaciones normales de Gauss, por ejemplo, tenemosAT_{Ax =A}T_b,

  6 7 ₋5 1 7 11 ₋3 1 −5 ₋3 7 ₋1   →   6 7 ₋5 1 1 4 2 0 1 4 2 0  →   1 4 2 0 0 ₋17 ₋17 1 0 0 0 0  → →   1 4 2 0 0 1 1 ₋1 17 0 0 0 0  →   1 0 ₋2 4 17 0 1 1 ₋₁₇1 0 0 0 0  → =_⇒   x y z  =   4 17 −171 0  +z   2 −1 1  .

En t´erminos geom´etricos, el conjunto de soluciones en m´ınimos cuadrados es la recta de

R3 _{que pasa por el punto (}4

17,− 1

´

Algebra. 2002-2003. Ingenier´ıa Aeron´

autica.

Departamento de Matem´

atica Aplicada II.

Examen Final de Junio (Primer Parcial). 7-07-2003.

Ejercicio 4. Sean E y F los subespacios vectoriales definidos por

E = Col     −1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 ₋1 ₋4     , F _≡    x1+x2−2x3−x4 = 0, 2x1+x2−x3 = 0, x1 + 2x2−5x3−3x4 = 0. (4.1) [3 puntos] Determina las ecuaciones impl´ıcitas deE y una base de F. (4.2) [3 puntos] Calcula una base de E_∩F y ampl´ıala hasta una base de F. (4.3) [1 punto] Calcula la dimensi´on deE+F.

(4.4) [3 puntos] Demuestra que si _{v1, v2, . . . , vr} es un conjunto de vectores de Rn

lineal-mente independientes yP es una matriz n_×n no-singular, entonces los vectores P v1, P v2, . . . , P vr

son linealmente independientes.

(4.1) Ecuaciones impl´ıcitas de E:     -1 0 1 x1 2 1 1 x2 1 1 2 x3 1 ₋1 ₋4 x4     →     -1 0 1 x1 0 1 3 x2+ 2x1 0 1 3 x3+x1 0 ₋1 ₋3 x4+x1    → −→     -1 0 1 x1 0 1 3 x2+ 2x1 0 0 0 x3−x2−x1 0 0 0 x4+x2 + 3x1    ⇒ ⇒ E _≡ x1 + x2 − x3 = 0, 3x1 + x2 + x4 = 0,

Una base de F:Resolvemos el sistema homog´eneo que define F, F _≡   1 1 ₋2 ₋1 0 2 1 ₋1 0 0 1 2 ₋5 ₋3 0  →   1 1 ₋2 ₋1 0 0 -1 3 2 0 0 1 ₋3 ₋2 0  →   1 0 1 1 0 0 -1 3 2 0 0 0 0 0 0  → =_⇒     x1 x2 x3 x4     =x3     −1 3 1 0     +x4     −1 1 0 1     . Por tanto, F _≡ x1 +x3+x4 = 0, −x2 + 3x3+ 2x4 = 0, una base de F es        u1 =     −1 3 1 0     , u2 =     −1 1 0 1            y la dimensi´on de F es dim (F) = 2.

(4.2) Calcula una base de E _∩F y ampl´ıala hasta una base de F. El subespacio vectorial E_∩F viene dado en forma impl´ıcita mediante

E_∩F _≡            x1 +x2 −x3 = 0 3x1 +x2 +x4 = 0 x1 +x3 +x4 = 0 −x2 +3x3 +2x4 = 0 ≡     1 1 ₋1 0 0 3 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 ₋1 3 2 0    → →     1 1 ₋1 0 0 0 ₋2 3 1 0 0 -1 2 1 0 0 ₋1 3 2 0    →     1 0 1 1 0 0 -1 2 1 0 0 0 -1 ₋1 0 0 0 1 1 0    → →     1 0 0 0 0 0 -1 0 ₋1 0 0 0 -1 ₋1 0 0 0 0 0 0    ⇒     x1 x2 x3 x4     =x4     0 −1 −1 1    ⇒ ⇒una base de E_∩F es        w0 =     0 −1 −1 1            .

Para ampliar una base deE_∩F _⊂F hasta una base deF, puesto que dim (E_∩F) = 1 y dim (F) = 2 (y E_∩F _⊂F),

basta tomar un vector (no nulo) deE_∩F (por ejemplo_{w0}) y un vector de F que sea linealmente independiente con el anterior, por ejemplo u1. As´ı tenemos

{w0} base deE ∩F,

(4.3) Calcula la dimensi´on de E+F.Puesto que, como ya hemos calculado, dim (E) = dim (F) = 2,dim (E_∩F) = 1

tenemos que

dim (E+F) = dim (E) + dim (F)₋dim (E_∩F) = 2 + 2₋1 = 3.

(4.4) Demuestra que si_{v1, v2, . . . , vr} es un conjunto de vectores deRn linealmente

independientes y P es una matriz n _×n no-singular, entonces los vectores P v1, P v2, . . . , P vr son linealmente independientes.

Si tenemos una combinaci´on lineal de los vectoresP v1, P v2, . . . , P vr igual al vector nulo

c1P v1+c2P v2+· · ·+crP vr = 0,

multiplicando (a la izquierda) por P−1 _obtenemos

P−1(c1P v1+c2P v2+· · ·+crP vr) = c1P−1P v1 +c2P−1P v2+· · ·+crP−1P vr=

=c1v1+c2v2+· · ·+crvr = 0.

Puesto que estamos considerando vectores v1, . . . , vr linealmente independientes, la

igualdad anterior s´olo puede verificarse para c1 =c2 =· · ·= 0. Por tanto

{P v1, P v2, . . . , P vr}

Ejercicio 5.

(5.1) [3 puntos] Reduce y clasifica, en funci´on de a_∈R_{, la forma cuadr´atica ϕ :}R3 _−→R

definida por

ϕ(x1, x2, x3) =x21+ax22+ 3x32−4x1x2+ 2x1x3−8x2x3.

(5.2) [2 puntos]Determina el punto del plano que se obtiene a partir dez = 3 + 2ial hacer un giro de ´anguloθ =π/6 radianes alrededor dez0 = 1 +i.

(5.3) [3 puntos]

(5.3.1) Calcula la parte imaginaria del coeficiente del t´ermino de grado 3 de z+eiπ410.

(5.3.2) Resuelve (calcula todas las soluciones complejas de) la ecuaci´on (z+ 1 +i)4 =₋4.

(5.4) [2 puntos]Calcula la ecuaci´on reducida y (dando sus elementos caracter´ısticos) repre-senta gr´aficamente la cu´adrica de ecuaci´on

4x2₋y2₋4z2 + 8x+ 4y₋8z= 8.

¿De qu´e tipo de cu´adrica se trata? ¿Es una superficie de revoluci´on?

(5.1) Vamos a reducir a suma de cuadrados completando cuadrados. Comenzamos comple-tando cuadrados en x1, ϕ(x1, x2, x3) = x21+ 2x1(−2x2+x3) +ax22+ 3x23+−8x2x3 = completando cuadrados enx1 = = [x1+ (−2x2+x3)]2−(−2x2+x3)2+ax22 + 3x23−8x2x3 = = siendo y1 =x1−2x2+x3 =y2 1 −4x22 −x23 + 4x2x3+ax22+ 3x23−8x2x3 = = y2 1 + (a−4)x22+ 2x23−4x2x3 = completando cuadrados en x3 = =y2 1+ 2 (x3−x2)2−2x22+ (a−4)x22 = siendo y2 =x3−x2 = = y2 1 + 2y22+ (a−6)x22.

Por lo tanto, la forma cuadr´atica es, seg´un los valores dea_∈R_:

a <6 _⇔ Indefinida

a= 6 _⇔ Semidefinida Positiva a >6 _⇔ Definida Positiva