BANCO DE PREGUNTAS PARA EL SEGUNDO
EXAMEN DEPARTAMENTAL
Resp: Dr. José Eligio Moisés Gutiérrez Arias
ECUACIONES DIFERENCIALES1. En cada uno de los problemas siguientes determinese la solución general de la ecuación diferencial dada. Si se dan condiciones iniciales, encontrar la solución que la satisfaga
a) y00+ 2y0 3y= 0 b) 4y00+ 4y0+y= 0 c) 6y00 y0 y= 0 d) 2y00 3y0+y= 0 e) y00 y= 0 f) y00 2y0+y= 0 g) y00+ 5y0= 0 h) y00 9y0+ 9y= 0 i) y00 2y0 2y= 0 j) y00+ 2y0+y= 0 k) y00+y0 2y= 0; y(0) = 1; y0(0) = 1 l) y00 6y0+ 9y= 0; y(0) = 0; y0(0) = 2 m) y00+ 8y0 9y= 0; y(1) = 1; y0(1) = 0
2. Mostrar que la solición general de y00 4y= 0 es y=c1sinh 2x+c2cosh 2x:
3. Mostrar que si r16= r2 entonces las funciones er1x y er2x son linealmente independientes en -1< x <1:
4. En cada uno de los problemas determinese la solución general de la ecuación diferencial dada. a) y000 y00 y0+y= 0 b) y000 3y00+ 3y0 y= 0 c) 2y000 4y00 2y0+ 4y= 0 d) yiv 4y000+ 4y00= 0 e) yvi+y= 0 f) yiv 5y00+ 4y= 0 g) yvi 3yiv+ 3y00 y= 0 h) yvi y00= 0 i) yv 3yiv+ 3y000 3y00+ 2y0= 0 j) yiv 8y0 = 0 k) yviii+ 8yiv+ 16y= 0
5. Resolver el problema de valores iniciales
y000+y0 = 0; y(0) = 0; y0(0) = 1; y00(0) = 2
6. Mostrar que la solucion general de la ecuación diferencial yiv y= 0 puede escribirse como
y=c1cosx+c2sinx+c3coshx+c4sinhx: Determíncese la solución que satisface las condiciones iniciales y(0) =y0(0) = 0, y000) =y000(0) = 1:¿Por qué es conveniente usar coshx y sinhx en lugar
7. Usando el método de coe…cientes indeterminados para encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea, encuéntrese la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Cuando se especi…que, encuéntrese la solución que satisface las condiciones iniciales dadas. a) y00+y0 2y= 2x y(0) = 0, y0(0) = 1 b) 2y00 4y0 6y= 3e2x c) y00+ 4y=x2+ 3ex y(0) = 0, y0(0) = 2 d)y00+ 2y0= 3 + 4 sin 2x e)y00+ 9y=x2e3x+ 6 f) y00 2y0+y=xex+ 4 y(0) = 1, y0(0) = 1 g) 2y00+ 3y0+y=x2+ 3 sinx h) y00+y= 3 sin 2x+xcos 2x i) y00+ 2y0+y=excosx j) u00+w2 ou= coswt w6=wo k) u00+w2 ou= coswot l) u00+ u0+w2ou= coswt 2 4w2o<0 m) y00+y0+y= sin2x
n) y00+y0+ 4y= 2 sinhx Indicación: sinhx= (ex e x)=2
ñ) y00 y0 2y= cosh 2x Indicación: coshx= (ex+e x)=2
8. En los siguientes problemas determine una forma adecuada parayp(x)si se usara el método
de coe…cientes indeterminados. No se calculen las constantes.
a) y00+ 3y0= 2x4+x2e 3x+ sin 3x b) y00+y=x(1 + sinx) c) y00 5y0+ 6y=excos 2x+e2x(3x+ 4) sinx d) y00+ 2y0+ 2y= 3e x+ 2e xcosx+ 4e xx2sinx e) y00 4y0+ 4y= 2x2+ 4xe2x+xsin 2x f) y00+ 4y=x2sin 2x+ (6x+ 7) cos 2x g) y00+ 3y0+ 2y=ex(x2+ 1) sin 2x+ 3excosx+ 4ex
9. El wronskiano W(y1; y2) de dos soluciones de y;;+p1(x)y;+p2(x)y = 0 puede escribirse comoW(y1; y2)(x) =cexp
Rx
p1(x)dt ;dondeces una constante. Puede mostrarse más general-mente que si y1; y2; : : : ; yn son soluciones de y(n)+p1(x)y(n 1)+ +pn(x)y= 0 para < x < ;
entonces W(y1; y2; : : : ; yn)(x) =cexp
Rx
p1(x)dt : Esto es conocido como la identidad de Abel.
Para mostrar este resultado para n= 3 podemos proceder como sigue a) Mostrar que W0 = y1 y2 y3 y;1 y2; y3; y;;;1 y2;;; y3;;; ; donde W(y1; y2; : : : ; yn) =W:
Sugerencia: La derivada de un determinante de 3 por 3 es la suma de 3 determinantes de
tres por tres con sus primero, segundo y tercer renglón derivados, respectivamente.
b) Substituir para y1;;;; y;;;2 y y3;;; de la ecuación diferencial; multiplicar el primer renglón por p3; el segundo por p2 y sumar éstos al último renglón para obtener
W0 = p
1W:
El resultado deseado se concluye de esta ecuación. La prueba para el caso general es similar. Ya que la función exponencial nunca se anula, este resultado muestra que W(y1; y2; : : : ; yn) o
10. El proposito de este problema es mostrar que si W(y1; y2; : : : ; yn) no es idénticamente cero
sobre < x < ; entonces y1; y2; : : : ; yn son linealmente independientes; y si son linealmente
independientes y son soluciones de
L[y] =y(n)+p1(x)y(n 1)+ +pn(x)y= 0; < x < ; (i)
entonces W(y1; y2; : : : ; yn)no es cero en ninguna parte sobre < x < :
a) Supóngase queW(y1; y2; : : : ; yn)no es identicamente cero sobre < x < :Para mostrar que
y1; y2; : : : ; ynson linealmente independientes mostraremos que es imposible encontrar constantes
c1; c2; : : : ; cn (no todas cero) tales que
c1y1(x) +c2y2(x) + +cnyn(x) = 0; (ii)
para toda xen < x < . Escribiendo las ecuaciones para la primera, segunda,..., y (n 1) esima derivada de la Ec.(ii) en un punto en el que W(y1; y2; :::; yn) 6= 0, mostrar que las c‘s
deben ser todas cero si la Ec. (ii) es cierta . De aqui que y1; y2; y3; :::; yn sean linealmente
independientes.
b) Supongase que y1; y2; y3; :::; yn son soluciones linealmente independientes de la Ec. (i).
Para mostrar que W(y1; y2; : : : ; yn) no es cero en ninguna parte sobre < x < , suponga que
W(y1; y2; :::; yn)(x0) = 0 y muestre que esto conduce a una contradicción.
Sugerencia: Si W(y1; y2; :::; yn)(x0) = 0, existe una solución diferente de cero de la Ec.(i) que
satisface las condiciones iniciales y=y0=y00= =y(n 1)= 0 en x
0; usar entonces el Teorema de existencia y unicidad.
11. Veri…car que las funciones dadas son soluciones de la ecuación diferencial y calcular el Wronskiano de las soluciones
a)y000+y0 = 0 1 cosx sinx
b)yiv+y00= 0 1 x cosx sinx
c) y000+ 2y00 y0 2y= 0 ex e x xe 2x
d)yiv+ 2y000+y00= 0 1 x e x xe x
e) xy000 y00= 0 1 x x3
12. Mostrar que W (5;sin2x;cos 2x) = 0: ¿Puede establecerse este resultado sin calcular direc-tamente el Wronskiano?
13. Supongase que el operadordiferencial lineal L está de…nido por L[y] =aoy(n)+a1y(n 1)+
a2y(n 2)+:::::::+any, dondeao,a1,...,an son constantes reales. Calculese:
a) L[xn]
b) L[erx]
c) Determinese cuatro soluciones de la ecuación yiv 5y00+ 4y = 0: ¿Piensa usted que las
cuatro soluciones forman un conjunto fundamental de soluciones? ¿Por qué?
14. Mostrar que si y1es una solución dey000+p1(x)y00+p2(x)y0+p3(x)y= 0;entonces la sustitución
y=y1(x)v(x) conduce a la siguiente ecuación lineal de segundo orden para v
y1v000+ (3y10 +p1y1)v00+ (3y100+ 2p1y01+p2y1)v0= 0;
15. Compruebe que las funciones dadas, son soluciones de la ecuación diferencial y calcular su Wronskiano.
a) y000+y0 = 0; 1, cosx, sinx
b) yIV +y0 = 0; x, cosx, sinx
c) y000+ 2y00 y0 2y= 0; ex,e x,e 2x
d) yIV + 2y000+y00= 0; 1,x,e x,xe x
e) x y000 y00= 0; 1,x,x3
16. Halle la solución general de la siguiente ecuación diferencial.
yV I 3yIV + 3 y00 y= 0
17. Determine una solución particular ocupando el método de variación de parámetros.
y000+y0= tan x 0< x < =2
y000 y0=x
y000 2y00 y0+ 2y=e4x
18. Dado quex,x2 y 1=x son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente a
x3y000+x2y00 2xy0+ 2y= 2x4, x >0
determine una solución particular ocupando el método de variación de parámetros.
19. Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada (no evalue las constantes).
a) y000+ 4y0 =x b) y000 y00 y0+y= 2e x+ 3 c) y000+y00+y0+y=e x+ 4x d) yIV + 2y00+y= 3x+ 4 e) yIV 4y00=x2+ex f) y000 3y00+ 2y0=ex+x
20. El Wronskiano de las funciones y1= 1, y2= cosx, y3= sinx, es:
a) cos2x b) sin2x
c) cos2x sin2x
d) 1 e)0
21. Dada la ecuación diferencial lineal homogenea, y000 3y00+ 3y0 y= 0,determine la solución
general.
22. Según el método de coe…cientes indeterminados, la forma adecuada de una solución par-ticular yp(x), para la ecuación diferencial y000 2 y00+y0=x2, tiene la forma (donde aun no se
determinan los coe…cientes):
a) yp(x) =x2(A0 x2+A1 x+A2) b) yp(x) =x(A0 x2+A1 x+A2) c) yp(x) =A0x2+A1 x+A2 d) yp(x) =ex(A0x2+A1 x+A2) e) yp(x) =e x(A0 x2+A1x+A2)
23. Si $ff1g y $ff2g existen paras > s0;y c1y c2 son constantes, pruebe que entonces$fc1f1+
c2f2g=c1$ff1g+c2$ff2g:
24. De…namos la función escalón unitario como sigue:
uc(t) =
0 , si t < c
1, si t c ; donde c 0:
¿Cuál es su transformada de Laplace?
25. En cada uno de los problemas siguientes, encontrar la solución del problema con el valor inicial dado. a) 8 < : y00+y=f(t) y(0) = 0 y0(0) = 1 donde f(t) = 1 ; 0 t < =2 0 ; =2 t <1 b) 8 < : y00+ 2y0+ 2y=f(t) y(0) = 0 y0(0) = 1 donde f(t) = 1 ; =2 t <2 0 ; 0 t < =2 y 2 t c) 8 < : y00+ 2y0+y=f(t) y(0) = 1 y0(0) = 0 donde f(t) = 1 ; 0 t <1 0 ; t 1
26. Mediante la transformada de Laplace, encuentre la solución del problema con valores iniciales. a) 8 < : y00+ 2y0+ 2y= (t ) y(0) = 1 y0(0) = 0 b) 8 < : y00+ 4y= (t ) (t 2 ) y(0) = 0 y0(0) = 0 c) 8 < : y00+ 2y0+y= (t) +u2 (t) y(0) = 0 y0(0) = 1 d) 8 < : y00 y= 2 (t 1) y(0) = 1 y0(0) = 0 e) 8 < : y00+ 2y0+ 3 y= sint+ (t ) y(0) = 0 y0(0) = 1 f) 8 < : y00+!2y= (t =!) y(0) = 1 y0(0) = 0
27. Encuentre la transformada inversa de Laplace de cada una de las siguientes funciones. a) F(s) = (s3!2)4 b) F(s) = e 2s s2+s 2 c) F(s) =2(ss2 1)2se+22s d) F(s) = 2se2 24s e) F(s) =(ss2 2)4se+3s f) F(s) =e s+e 2sse 3s e 4s
28. Encuentre la transformada inversa de Laplace utilizando el teorema de convolución.
a) F(s) =s4(s12+1)
b) F(s) =(s+1)(ss2+4)
c) F(s) = 1
