; (4ptos) U r 4r cuál debe ser radio de orbita circular (3ptos). y la energía

PROBLEMAS PARA III-er PREVIO MECANICA TEORICA I

1) Dos partículas con las masas m_A1 y m_B 2 (aquí y en adelante se utilizan las unidades adimensionales) inicialmente están localizadas en el plano XOY en los puntos A(4,-3) y B(-3,4) y tienen las velocidades iniciales V_A(2,1) y V_B (0,3) (Fig.1). Encuéntrese la posición y velocidad de centro de masas en el momento inicial (4ptos) y en el momento del tiempo t=5 (3ptos). Hállese los vectores de posición y de velocidad para el movimiento relativo en el momento inicial (3ptos) y Lagrangiana para este movimiento si la energía potencial para interacción entre partículas es igual a U



r₁,r₂



2/r₁r₂ (5ptos)

Fig. 1 a)

 



 



 



23; 5/3

 

0.67; 1.67



2 1 2 ) 3 ( 1 ) 1 ( ; 2 1 2 ) 0 ( 1 ) 2 ( 0 ; 67 . 1 ; 67 . 0 3 / 5 ; 3 2 2 1 2 ) 4 ( 1 ) 3 ( ; 2 1 2 ) 3 ( 1 ) 4 ( 0                                             V R   (4ptos) b)R(5)R(0)V

 

0 5



12/3;20/3



(4,20/3)(4;6.67) (3ptos c) r

  

0  43;34



(7;7); r(20;13)(2;4) (3ptos) d)





 

 

r r r r r M r r r L r r M / 2 3 / 392 3 / 2 2 / 3 3 / 2 3 ; 3 / 28 0 0 ; 3 / 2 2 1 / 2 1 2 2 2 2 2 2 _{      }                _  (5ptos) 2)Partícula de masa m2 en campo central con potencial U

 

r 20 ren el

momento inicial esta ubicada en el plano XOY en el punto A(8,6) (Fig.2). El vector de la velocidad de la partícula en el momento inicial es V(0,1). Encuéntrese:

a)El vector de la fuerza que actúa sobre la partícula en el momento inicial (2ptos); b)La energía total E y el momento angular M en el momento inicial (3ptos) c)Tipo de trayectoria (5ptos);

d)Distancia mínima y distancia máxima hasta el centro (5ptos) Fig.2 a) r₀ (8,6); r₀ 10; F₀ U

 

r₀ U

 

r₀ r₀/r₀20r₀/r₀30.02r₀ (0.16;0.12) (2ptos) b)

 





16 1 8 2 v ; 1 10 / 20 2 / ) 1 ( 0 2 2 / v ); 1 , 0 ( v ; 10 ); 6 , 8 ( y 0 0 2 2 0 2 0 0 0 0                   mx M r U m E r r   (3ptos) c) E0 Trayectoria es elíptica (5ptos) d) Para halla los puntos de retorno EM2/2mr220/r

16 ; 4 ; 16 / 1 ; 4 / 1 ; 0 1 20 64 ; / 1 ; / 20 4 / 16 1 ; 1 ; 16 max min 2 1 2 2 2               r r x x x x r x r r E M (5ptos)

3. Demuéstrese que para una partícula en un campo central el momento angular M es constante (3ptos) y el problema tridimensional para el movimiento de una partícula en un campo central se reduce a un problema unidimensional con potencial efectivo U_eff U

 

r M2/2mr2 (4ptos). Para una partícula de masa m4 que en el momento inicial tenia el momento angular igual a M 8 en un campo central con potencial U

 

r 4r2 ¿cuál debe ser

radio de orbita circular

(3ptos). y la energía correspondiente de la partícula (2ptos).? Demuéstrese que para este potencial todas trayectorias son finitas (3ptos).

a) F rU

 

r /rrF0dM/dt0M cte (3ptos)

b) Como dirección del vector M rmvcte la trayectoria es plana y puede ser descrita en coordenadas polares a través de solo 2 coordenadas polares ,en los cuales M m2cteM/m2. Por eso, la energía cinética es solo función de una coordenada : T mv2/2m2/2m22/2m2/2M2/2m2 y Lagrangiana corresponde a un sistema unidimensional: Lm2/2M2/2m2U

 

 (4ptos)

c) U_effM2/2m2U

 

 64/(242)42 428/2 Orbita circular corresponde al mínimo de potencial efectivo (cuando ambos puntos de retorno coinciden y elipse se transforma en circunferencia)

 

4 0 2 2 eff 4 8/ 0; 2 U         (3ptos)

 

8 2 U E eff 0  (2ptos)

d) Cuando EU_eff

 

₀ 8 2 hay caída sobre el centro y en caso contrario hay dos cruces de la línea horizontal con la curva

 

 2 2E

eff 4 8/

U    y por eso hay dos puntos de retorno y trayectoria es finita (3ptos)

4. ¿Cómo se define la sección eficaz diferencial d dpara el problema de dispersión (2ptos)? Explíquese porque la sección eficaz según esta definición se mide en las unidades de área (2ptos). ¿Como se define el parámetro de impacto p (2ptos)? Demuéstrese la formula d d2p

   

 dp d (3ptos). Utilizando esta definición hállese la sección eficaz diferencial e integral para el problema de dispersión sobre una esfera rígida de radio a (6ptos)

1)Una masa m está en el plano vertical deslizándose a lo largo de una barra AB lisa (Fig. 1) y curvilínea la cual es una parte de circunferencia del radio R. La barra AB está rotándose alrededor de eje vertical OO’ con la velocidad angular



. Utilizando el desplazamiento x como la coordenada generalizada encuéntrese: a) la energía cinética, energía potencial y Lagrangiana de masa mexactas (8ptos) y b)linealizadas

(en la aproximación armónica) (4ptos) y c) frecuencia y solución de la ecuación de Lagrange para las oscilaciones pequeñas (5ptos)

Solución: a)





_                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₁ 2 2 2 R x x x m x m y x x m T    V T L x R mg mgy V  2 2;   (8ptos) Fig. 1 b) mgR R g mx x m L R x R mg V x m x m T       _                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2 2   (4ptos) c) ; sin( ) 2 ; 0 2 2 _{  }        x A t R g x x  (5ptos) 2)Un péndulo simple con la masa m2kgy de longitud L1m está conectado con

un bloque de masaM4kg, que puede moverse en el plano horizontal sobre una superficie absolutamente lisa y además está conectada con dos resortes cuyos coeficientes de elasticidad están iguales a k0.5N/m (Fig. 2) Encuéntrese: a)energías cinética y potencial en la aproximación armónica (5ptos); a)Lagrangiana y las ecuaciones dinámicas (3ptos), b)frecuencias normales (5ptos) y c)formas (3ptos) normales de oscilaciones pequeñas de este sistema. (g10m/s2)

Solución: Fig.2 a)

















2 cos 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{    } s mL mL s m M L L s m s M y x m s M T                   

Para las oscilaciones pequeñas: T



Mm



s mL mLsmLs  s22ss 2 2 2 3 2 2 2 2 En notaciones matriciales _                      2 2 2 6 ˆ ; ˆ 2 1 ; ; q s T qmq m s q t        ) 10 ( 2 1 2 1 2 2 1 cos 2 1 2 1 2 2 0 2 2 2 2_{         }  ks ks mgL ks mgL mgL V s V En notaciones matriciales _        10 0 0 1 ˆ ; ˆ 2 1 k q k q V t  (5ptos) b)Ecuaciones dinámicas en notaciones matriciales mˆqkˆq0 (3ptos)

c)







; 76 . 2 ; 4 . 0 ; 6 . 7 ; 165 . 0 ; 16 36 . 59 62 16 320 3844 62 ; 0 10 62 8 ; 0 4 10 2 1 6 ; 0 10 2 2 2 1 6 0 ) ˆ ˆ det( 2 1 2 2 2 1 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2                                     k m (5ptos) d)                                                                                            9 . 2 1 ; 0 2 . 5 2 . 15 2 . 15 6 . 44 ; 0 10 2 2 2 1 6 ; 6 . 7 1 33 ; 0 67 . 9 33 . 0 33 . 0 01 . 0 ; 0 10 2 2 2 1 6 ; 165 . 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 C C C C C C C C C C C C           (3ptos)

3)¿En que consiste la aproximación armónica que se utiliza para analizar las oscilaciones pequeñas? (2ptos) Demuéstrese que en esta aproximación la energía cinética es una forma cuadrática respecto de velocidades generalizadas y energía potencial es un a forma cuadrática respecto de coordenadas generalizadas (3ptos). Descríbase el método de solución de ecuaciones de Lagrange para encontrar las frecuencias y modos normales de oscilaciones pequeñas.(3ptos) ¿Por qué la ecuación característica siempre tiene valores propios positivos y el número de estas raíces coincide con el número de grados de libertad? (3ptos)

PARA SIGUIENTES SISTEMAS ENCUENTRESE SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAGRANGE PARA LAS OSCILACIONES PEQUEÑAS

a)

---

----

b)

---

c)

--- d) --- --- e)

I. Para una partícula de masa m 1en un campo central con el potencial V 4 r2(se utilizan las unidades adimensionales) cuyos vectores de posición y de velocidad en el momento inicial son r₀ ( 1, 0, 0)y v₀ (1,2,0) encuéntrese: a) el valor del momento angular (2ptos); b) la energía total (3ptos); c) el vector de la fuerza (2ptos) y el torque (el momento de torsión) (2ptos) en el momento inicial; e) el gráfico de la curva del potencial efectivo, la posición del mínimo y el valor del potencial en este punto (5ptos); g) movimiento es finito o infinito y si finito ¿ cuales son _min y _max (4ptos)

Solución: a) 0 v0 1 0 0 2 ; 2 1 2 0 i j k Mmr      k M  M  (2ptos) b) Emv02 2V r

 

0 ; v02 12 22025;r0 

 

120202 1; E5 2  4 12 6.5 (3ptos) c) F V r

 

             i V x j V y k V z 8x i 8y j 8z k  8 ;r F0 8r0 (2ptos) d)      r F r 8r0 (2ptos) e) 2 2 2 2 3 4 0 min 0 / 2 4 2 / ; 8 4 / 0; 1/ 2 0.84; 4 / 2 2 * 2 4 2 5.66 eff eff eff V V M m V V V (5ptos)

0 1 2 3 4 5 0 50 100 _ V(  )  V_min E

g) Para encontrar los puntos de retorno hay que resolver la ecuación

 

2 2 4 2 2



2







1 2

; 6.5 4 2 / ; 4 6.5 2 0; 6.5 6.5 4 4 2 8 6.5 3.2 8; 0.41; 1.21

eff

EV                      

Hay 2 puntos de retorno , por eso el movimiento es finito (4ptos) II. Una partícula de masa m 1en el campo central con el potencial V 10 r en el

momento inicial esta ubicada en la distancia ₀ 5 desde el centro, tiene velocidad

0

v 2 y el ángulo entre los vectores de posición y de la velocidad es igual a 30(se utilizan las unidades adimensionales). Encuéntrese: a)el valor de momento angular (2ptos); b)la energía total (2ptos); c) el potencial efectivo (2ptos); d)el grafico de la curva de potencial con la posición y valor del mínimo señalados. (2ptos). e) ¿Que tipo de trayectoria de la partícula? (2ptos). f) Encuéntrese min y max (2ptos). g) ¿Cuál

debe ser energía inicial de la partícula para que ésta se caiga al centro? (2ptos).

a) Mm0 0v sin 45 5 2 2 25 (2ptos) b) Emv02 2V

 

0  1 10 5 1 (2ptos) c) V_eff V M2/ 2m 2 10 / 25 / 2 2 (2ptos) d) 2 3 0 2 min 0 10 / 25 / 0; 25 /10 2.5; 10 / 2.5 25 /(2 2.5 ) 4 2 2 eff eff V V V (2ptos)

e) ellipitica (2ptos)

f)

2 2 min max 10 / 25 / 2 1 2 20 25 0; 20 400 200 / 4; 1.46; 8.54 eff E V

(2ptos)

g)

E 2

(2ptos)

III. Una partícula de masa

m1kg

en su movimiento

unidimensional esta sometida a un potencial

 

5 4

2 5 2 ( )

V x  x x J

.

a)Demuéstrese que el potencial tiene un solo mínimo en el punto

1

x

y grafíquese el potencial (2ptos) b)Encuéntrese aproximación

armónica para el potencial correspondiente a las oscilaciones

pequeños alrededor de este punto (3ptos) c) ¿Cuál es posible

intervalo de las energías para el movimiento oscilatorio? (2ptos) d)

si en

el momento inicial partícula fue localizada en el punto

x₀ 1

y tenia la

velocidad

v₀0.2 ( / )m s

¿cual es la ecuación de movimiento

?(4ptos)

Solución

a)

 

 

 

 

5 4 4 3 3 2 min max 2 5 2; 2 2 ; 8 6 ; 0 1(min) 0(max); (1) 0.1; (0) 0 V x x x V x x x V x x x V x x y x V V V V                  

(2ptos)

2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Vef f (  )  B -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 -0,5 0,0 0,5 1,0 Vmax=0 V(x) x x_min Vmin=-0.1

b)

 

 

      





 

2 2 5 4 2 1 1 2 5 2 1 1 1 0.1 1 ; 1! 2! 1; 0.1 V V V x x x V x x x x x V x x                  

(3ptos)

c)

0.1 E 0

(2ptos)

d)

 

 





 

 

 

 

2 2 2 2 2 0.1 ; 2 0; sin 2 : 0 0 0; 0 0.2 0.2 2 0.1 2 0.14; 1 0.14 sin 2 L mx V x x x x x x t A t x x A x t t                      

(4ptos)

IV. Encuéntrese ecuaciones de Lagrange para oscilaciones pequeñas del sistema

presentada en la imagen (10ptos)

Solución

1) coordenadas generalizadas

q₁s q, ₂

. Relación con coordenadas cartesianas:

1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 0, ; sin ; cos ; 0, ; cos ; sin x y l s x l y l s l x y s x l y s l                      

2) Energía cinética









2









2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 m m s m m m s m m l T x y  x y   l  s  sl     

Aquí en la aproximación armónica el término

2slsin

es despreciable (3er orden respecto pequeños

s,

.

3) Energía potencial

















2 2 . 1 1 2 2 1 0 2 0 2 2 2 1 0 2 0 cos 2 2 2 2 elast gravedad ks ks V V V m gy m gy m g l s m g l s l m gl ks m g l s m g l s l                     

4) Función de Lagrange





2 2 2 2 2

_

_

_

_

1 2 2 2 1 0 2 0 2 2 2 2 m m s m l ks m gl L  T V       m g l  s m g l  s l

5) Ecuaciones de Lagrange









2 1 2 1 2 ; 2 2 0 m m sks m m g m l m gl

(10ptos)

V Dos bloques de masas m y 2mestán conectadas a través de

resortes con el coeficiente de elasticidad k con la paredes como lo

muestra la imagen. Encuéntrese las matrices de las energías cinética (3ptos) y potencial (3ptos), frecuencias (3ptos)y formas (3ptos) de modos normales para las oscilaciones pequeñas.

Solución: a)



 



1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 _{2 2} 1 2 1 1 1 2 2 1 2 ; ; ; 3 1 2 2 1 _ˆ 3 ; 1 1 2 2 2 2 2 x l s x l s l s x s x s s m s s mx mx ms T ms ms s ms s ms t           _{ }         _{  }   (3ptos) b) 12 12 22 22



12 22



2 0 1 1 1 1 1 _ˆ 2 2 ; v= 0 2 2 2 2 2 2 V  ks  ks  ks  ks  ks  ks _ _   (3ptos) c)







2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 ˆ det( v) 0; 0; 3 2 2 0; 2 8 4 0; ; 4 2 0; 1 2 4 16 8 2 2; 0.586; 3.414; 0.766; 1.85; 2 t                                         (3ptos) d)                 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 _{2 2 1 1 1} 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 _{2 2 2} 2 2 2 3 2 0.242 0.586 0.586 0.930 0.586; 0; 0; 0.586 1.414 0.242 0.384 2 3 2 3.414; 2 C C C normalizado C C C C C                   _{ }  _{   }      _ _  _{ }  _{ } _{ }                            _ _            2 2 1 1 2 2 2 2 8.242 3.414 1.414 0.383 0; 0; 3.414 1.414 3.414 0.923 C C normalizado C C  _{ }    _{   }   _{ }   _{ } _{ }   _{ }    _{   }       (3ptos)