Lógica Matemática
OBJETIVOSUnidad Tema Subtema Objetivos
II Lógica Matemática 2.1 Lógica Proposicional 2.2 Lógica de Predicados 2.3 Métodos de Demostración
El establecimiento de cualquier teoría o concepto se hace
mediante declaraciones y/o afirmaciones llamadas enunciados o proposiciones que tienen un valor de verdad o falsedad pero no ambos.
Conocer y manejar estas proposiciones es el objetivo de este tema. Para ello se definen dos principales conceptos: proposición y conectivo.
Conocer, entender y aplicar los conceptos de: Lenguaje proposicional:
• Proposición primitiva • Proposición compuesta • Conectivo lógico:
o Conjunción o Disyunción o Implicación o Bicondición o Tautología o Contradicción o Contingencia o Equivalencia lógica
En muchas ocasiones es necesario conocer si dos situaciones son iguales o equivalentes.
En matemáticas necesitamos saber cuando dos entidades son iguales o esencialmente lo mismo.
En la lógica matemática se conoce como el álgebra de las
proposiciones en donde por medio de equivalencias se establece cuando dos proposiciones son esencialmente la misma
Es objetivo de este tema conocer las leyes de la lógica para poder establecer equivalencias.
Conocer, entender y aprender las siguientes leyes de la lógica: Semántica de lógica proposicional:
• Ley de la doble negación • Leyes de Morgan
• Leyes idempotencia • Leyes de neutro • Leyes de dominación • Leyes inversa
Leyes de absorción
Para analizar la demostración de teoremas dentro de las
matemáticas discretas se estudia el concepto de argumento y de cuándo un argumento es válido.
Conocer, entender y aprender las reglas de inferencia de: Implicación
Regla de Separación: Modus Ponens· Método de negación: Modus Tollens· Ley del silogismo:
2 Lógica matemática
INTRODUCCIÓN
Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en particular.
Los métodos lógicos se usan en matemáticas para demostrar teoremas y en las ciencias de la computación, para probar que los programas ejecutan lo que deben de hacer. [Johnsonbaugh, 1]
El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, que se caracteriza por su gran flexibilidad y puede estar lleno de redundancias y ambigüedades. Estas características hacen que la lógica formal no esté interesada en el lenguaje natural.
La lógica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar cálculos exactos. Para ello, la lógica requiere el diseño de un lenguaje artificial que sea formal, donde lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado de las frases y donde sólo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas sintácticas sean aceptados como correctos.
La lógica se ocupa básicamente de declaraciones o enunciados que se caracterizan porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lógica trata a las proposiciones que se pueden definir como enunciados simples, ya sean falsos o verdaderos, son proposiciones.
La lógica formal es una ciencia que estudia el conocimiento que genera un conocimiento y este conocimiento puede producirse de dos formas, por constatación, de hechos o ideas o por deducción, a partir de un conocimiento se obtiene otro conocimiento. Esto es, la lógica formal estudia la deducción o razonamiento como proceso mental capaz de generar nuevos elementos de conocimiento a partir de otros.
2.1 Lógica proposicional
2.1.1 Lenguaje formal de la lógica proposicional (sintaxis)
El lenguaje formal de la lógica proposicional está formado por dos elementos: proposiciones y conectivos.
Proposiciones
• Proposición o enunciado: oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas [Grimaldi, 51]
• Proposiciones, frases declarativas simples: son la mínima unidad del lenguaje con contenido de información sobre la que es posible enunciarse con un “verdadero” o con un “falso” como valor de verdad. [Arenas, 5]
Las proposiciones se representan con letras minúsculas a partir de la “ p”: p, q,
r, s, t, u, v…
Las proposiciones pueden ser de tres tipos:
• Proposiciones de acción con sujeto no determinado: o Hace calor
o Es jueves
• Proposiciones de atribución de propiedades a sujetos determinados: o Alberto estudia ingeniería
o Beatriz vive en Cuernavaca o Carlos nació en México • Proposiciones de relación:
o Alberto es primo de Beatriz
o Cuernavaca es la capital del estado de Morelos
o Para ir a Monterrey por carretera se pasa por los estados de Distrito Federal, Querétaro, Estado de México, Guanajuato, San Luis Potosí y Coahuila.
No son proposiciones aquellas declaraciones de tipo interrogativo e imperativo:
o ¿Habla usted inglés? o Cierra la ventana
Por favor, apaga la luz
Las proposiciones son oraciones declarativas
Pueden ser FALSAS: “F” o “0” VERDADERAS: “V” o “1”
• Conectivos: son los elementos del lenguaje que permiten construir frases nuevas a partir de las existentes obteniendo nuevos significados. [Arenas, 5]
Conectivos
conectivo Símbolo lógico Expresión en
lenguaje natural Ejemplos
Negación
¬
p
No pNo ocurre que p
No es cierto que p
Es falso que p
Hoy no hace calor No llegaré tarde Eso no es verdad
Conjunción
(“y”)
p
∧
q
p y q p aunque q p pero q p sin embargo q p no obstante q p a pesar de q
Vamos al cine y a cenar también
Luis trabaja aunque estudia de noche Llegué a tiempo no obstante haber salido tarde
Disyunción
(“0”)
p
∨
q
p o q o ambos O bien p o bien q
Al menos p o q
Como mínimo p o q
O vamos al cine o vamos a cenar
O me saco un 7 o me saco un 8
Condicional
implicación
p
→
q
sip entonces q
sólo si q entonces p p es suficiente para q qes necesaria para p
No pa menos que q
Si saco 8 entonces mi promedio aprobatorio Si saco 8 en el parcial tendré el promedio aprobado
Para tener el promedio aprobado debe de sacar 8
Bicondicional doble
implicación
q
p
↔
p si y solo si qp necesario y suficiente para q
Voy de vacaciones si y solo si apruebo todas mis materias
Equivalencia entre conectivos13:
1. Implicación – disyunción: p→q es equivalente a ¬p∨q. Ejemplo: si
llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, o no llueve o me mojo. 2. Implicación – conjunción: p→q es equivalente a ¬
(
p∧¬q)
. Ejemplo: sillueve entonces me mojo, es equivalente a decir, no ocurre que llueva y no me moje.
3. Disyunción – conjunción: ¬p∨q es equivalente a ¬
(
p∧¬q)
.4. Bicondicional – implicación: p↔q es equivalente a
(
p→q) (
∧ q→ p)
Sintaxis
Definición formal del lenguaje proposicional
La definición formal de un lenguaje requiere la especificación de su alfabeto y de sus reglas de sintaxis14.
1. Alfabeto: los símbolos que se utilizan son
a. Símbolos de proposiciones: p,q, r, s,t,u,v
b. Símbolos de conectivos: ¬, ∧,∨, →, ↔ c. Símbolos de paréntesis:
{
[
( )
]
}
2. Reglas de sintaxis:1ª Las fórmulas bien construidas (fbc) del lenguaje proposicional se definen de la siguiente manera:
a. Las letras p, q, r, s,t,u, v son fbc
b. Si p y q son fbc también lo son ¬p y ¬q
c. Sólo son fbc las que se obtienen de las definiciones anteriores (a y b)
2ª Para la correcta relación entre proposiciones y conectivos las fbc:
a. No deben aparecer dos conectivos adyacentes, excepto en la negación.
b. Es preciso definir la relación conectivo-proposición cuando hay más de un conectivo en la fórmula:
• Un conectivo pertenece a la proposición inmediata o al conjunto de proposiciones encerradas en un paréntesis, corchete o llaves.
• Para evitar exceso de paréntesis, se define una jerarquía de prioridades entre conectivos:
o Nivel 1 : negación
o Nivel 2: conjunción y disyunción o Nivel 3: implicación y bicondicional
2.1.2 Semántica de lógica proposicional
Un sistema de fórmulas y razonamientos válidos se construye a partir del significado (verdadero o falso) de las proposiciones compuestas, esto es, a partir de la forma de dar un valor al contenido de la información de cada proposición. Se llama semántico15 al método de demostración de los valores del significado de una proposición compuesta.
La forma en cada conectivo genera los valores de una proposición compuesta es por medio de una tabla de verdad en donde se definen todas las combinaciones posibles de los valores que pueden tener el conjunto de proposiciones simples que hacen una proposición compuesta.
Cálculo proposicional Tablas de verdad de conectivos
En resumen:
p ¬ p
0 1 1 0
p q p∧ q p∨ q p∨ q p→ q p↔ q
0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1
Tautología, contradicción y contingencia
• TAUTOLOGÍA T0: Cuando una proposición compuesta es verdadera
para todos los valores de verdad.
• CONTRADICCIÓN Fo: Cuando una proposición compuesta es falsa para
todos los valores de verdad.
• CONTINGENCIA: Proposición que puede ser falsa o verdadera dependiendo de los valores de verdad.
Ejemplos: • p→
(
p∨q)
p q p∨q p→
(
p∨q)
0 0 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
• p∧
(
¬ p∧q)
p q ¬ p ¬ p∧q p∧
(
¬ p∧q)
0 0 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
• p∨
(
p∧¬q)
p q ¬ q
(
p∧¬q)
p∨(
p∧¬q)
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
Tautología
Contradicción
Equivalencias lógicas
Proposición equivalente: Cuando todos los valores son siempre verdadero o falso.
Ejemplo: p→q ⇔ ¬ p ∨ q
p q ¬ p p→q ¬ p ∨ q
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1
(
p q)
(
q p)
q
p ↔ ⇔ → ∧ →
p q p→q q→ p
(
p→q) (
∧ q→ p)
p↔q0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
Dos proposiciones S1 y S2 son lógicamente equivalentes (se escribe S1 ⇔S2 ) cuando la proposición S1 es verdadera (respectivamente falsa) si y solo si la proposición S2 es verdadera (respectivamente falsa).
equivalentes
Leyes de la lógica
1
¬
(
¬
p
)
⇔
p
Ley de la doble negación2
¬
(
p
∨
q
)
⇔
¬
p
∧
¬
q
(
p
∧
q
)
⇔
¬
p
∨
¬
q
¬
Leyes de Morgan3
p
p
∨
∧
q
q
⇔
⇔
q
q
∧
∨
p
p
Leyes conmutativas4
(
q
r
)
(
p
q
)
r
p
∧
∧
⇔
∧
∧
(
q
r
)
(
p
q
)
r
p
∨
∨
⇔
∨
∨
Leyes asociativas
5
(
q
r
)
(
p
q
) (
p
r
)
p
∨
∧
⇔
∨
∧
∨
(
q
r
)
(
p
q
) (
p
r
)
p
∧
∨
⇔
∧
∨
∧
Leyes distributivas
6
p
p
p
∨
⇔
p
p
p
∧
⇔
Leyes ídem potentes
7
p
∨
F
0⇔
p
p
T
p
∧
0⇔
Leyes de neutro
8
0
0
T
T
p
∨
⇔
0
0
F
F
p
∧
⇔
Leyes de dominación 9 0
T
p
p
∨
¬
⇔
0
F
p
p
∧
¬
⇔
Leyes inversa
10
(
p
q
)
p
p
∨
∧
⇔
(
p
q
)
p
p
∧
∨
⇔
Leyes de absorción
11
p
→
q
⇔
¬
p
∨
q
Reglas de sustitución
1) Si P (una proposición compuesta) es una tautología y p (una proposición primitiva) aparece en P. Si p se reemplaza por otra proposición q y resulta P1 entonces P1 también es una tautología.
Ejemplo:
P:
p
→
q
↔
¬
p
∨
q
es una tautología Reemplazar p por r∧sP1 :
[
(
r
∧
s
)
→
q
]
↔
¬
[
(
r
∧
s
)
∨
q
]
también es una tautología2) Sea P una proposición compuesta donde p es una proposición arbitraria que aparece en P, y sea q una proposición tal que q ⇔ p. Si se reemplaza p por q resulta la proposición P1 . Entonces P1 ⇔ P.
Ejemplo:
P:
(
p ∧ F0)
↔ F0Si p se reemplaza por
(
q∨r)
→sP1:
[
[
(
q∨r)
→ s]
∧F0]
↔ F0Aplicación:
(
)
[
(
) (
)
]
[
r→s ∧ r→s → ¬ t∨u]
→(
¬ t∨u)
si p⇔ r→s
y q⇔¬t∨u
(
)
[
p∧ p→q]
→ qp q p→q p∧
(
p→q)
[
p∧(
p→q)
]
→ q0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 1
0 1
0 1
0 1
Otras equivalencias
NAND
( )
↑(
p
↑
q
)
⇔
¬
(
p
∧
q
)
se lee como: “p nand q”.
NOR
( )
↓(
p
↓
q
)
⇔
¬
(
p
∨
q
)
se lee como: “p nor q”.
Tabla de verdad
NAND
p q p∧ q p↑ q
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
Tabla de verdad
NOR
p q p∨ q p↓ q
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
