1
Sucesiones
Concepto de sucesión
S e l l a m a s u c e s i ó n a u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s d i s p u e s t o s u n o a c o n t i n u a c i ó n
d e o t r o .
a1, a2, a3 , . . . , an
3 , 6 , 9 , . . . , 3 n
L o s n ú m e r o s a1, a2 , a3 , . . .; s e l l a m a n t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n.
E l s u b í n d i c e i n d i c a e l l u g a r q u e e l t é r m i n o o c u p a e n l a s u c e s i ó n.
E l t é r m i n o g e n e r a l e s an e s u n a e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a q u e n o s p e r m i t e
d e t e r m i n a r c u a l q u i e r t é r m in o d e l a s u c e s i ó n.
Determinación de una sucesión:
Por el término general
an= 2 n - 1
a1= 2 · 1 - 1 = 1
a2= 2 · 2 - 1 = 3
a3= 2 · 3 - 1 = 5
a4= 2 · 4 - 1 = 7
1 , 3 , 5 , 7 , . . . , 2 n - 1
N o t o d a s l a s s u c e s i o n e s t i e n e n t é r m i n o g e n e r a l. P o r e j e m p l o , l a
s u c e s i ó n d e l o s n ú m e r o s p r i m o s:
2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 , . . .
Por una ley de recurrencia
2 E s c r i b i r u n a s u c e s i ó n c u y o p r i m e r t é r m i n o e s 2 , s a b i e n d o q u e c a d a t é r m i n o
e s e l c u a d r a d o d e l a n t e r i o r .
2 , 4 , 1 6 , . . .
Sucesión de Fibonacci
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 , 2 1 , 3 4 , 5 5 , 8 9 , 1 4 4 , 2 3 3 , 3 7 7 , 6 1 0 , 9 8 7 , 1 5 9 7 , 2 5 8 4 , . . .
L o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s s o n u n o s y l o s d e m á s s e o b t i e n e n s u m a n d o l o s
d o s t é r m in o s a n t e r i o r e s .
Progresiones aritméticas
U n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a e s u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s t a l e s q u e c a d a
u n o d e e l l o s ( s a l v o e l p r i m e r o ) e s i g u a l a l a n t e r i o r m á s u n n ú m e r o f i j o
l l a m a d o d i f e r e n c i a q u e s e r e p r e s e n t a p o r d .
8 , 3 , - 2 , - 7 , - 1 2 , . . .
3 - 8 = - 5
- 2 - 3 = - 5
- 7 - ( - 2 ) = - 5
- 1 2 - ( - 7 ) = - 5
d = - 5 .
Término general de un a progresión aritmética
1 S i c o n o c e m o s e l 1e r t é r m i n o .
an = a1 + ( n - 1 ) · d
8 , 3 , - 2 , - 7 , - 1 2 , . .
an= 8 + ( n - 1 ) ( - 5 ) = 8 - 5 n + 5 = = - 5 n + 1 3
3 an = ak + ( n - k ) · d
a4= - 7 y d = - 5
an = - 7 + ( n - 4 ) · ( - 5 ) = - 7 - 5 n + 2 0 = - 5 n + 1 3
Interpolación de términos en una progresión aritmética
I n t e r p o l a r m e d i o s d i f e r e n c i a l e s o a r i t m é t i c o s e n t r e d o s n ú m e r o s , e s
c o n s t r u i r u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a q u e t e n g a p o r e x t r e m o s l o s n ú m e r o s
d a d o s .
S e a n l o s e x t r e m o s a y b, y e l n ú m e r o d e m e d i o s a i n t e r p o l a r m.
I n t e r p o l a r t r e s m e d i o s a r i t m é t i c o s e n t r e 8 y - 1 2 .
8 , 3 , - 2 , - 7 , - 1 2 .
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
S e a n ai y aj d o s t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s d e l o s e x t r e m o s, s e c u m p l e q u e
l a s u m a d e t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s e s i g u a l a l a s u m a d e l o s e x t r e m o s.
ai + aj = a1 + an
a3 + an - 2 = a2 + an - 1 = . . . = a1 + an
8 , 3 , - 2 , - 7 , - 1 2 , . . .
3 + ( - 7 ) = ( - 2 ) + ( - 2 ) = 8 + ( - 1 2 )
- 4 = - 4 = - 4
Suma de n términos consecutivos de una progresión
4 C a l c u l a r l a s u m a d e l o s p r i m e r o s 5 t é r m i n o s d e l a p r o g r e s i ó n : 8 , 3 , 2 , 7 ,
-1 2 , . . .
Progresiones geométricas
U n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a e s u n a s u c e s i ó n e n l a q u e c a d a t é r m i n o s e
o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o a l a n t e r i o r u n a c a n t i d a d f i j a r , l l a m a d a r a z ó n .
S i t e n e m o s l a s u c e s i ó n : 3 , 6 , 1 2 , 2 4 , 4 8 , . . .
6 / 3 = 2
1 2 / 6 = 2
2 4 / 1 2 = 2
4 8 / 2 4 = 2
r = 2 .
Término general de una progresión geométrica
1 S i c o n o c e m o s e l 1e r t é r m i n o .
an = a1 · rn - 1
3 , 6 , 1 2 , 2 4 , 4 8 , . .
an = 3 · 2n - 1 = 3 · 2n · 2- 1 = ( 3 / 2 ) · 2n
2 S i c o n o c e m o s e l v a l o r q u e o c u p a c u a l q u i e r o t r o t é r m i n o d e l a
p r o g r e s i ó n .
an = ak · rn - k
a4= 2 4 , k = 4 y r = 2 .
5 an = 2 4 · 2n - 4= ( 2 4 / 1 6 ) · 2n = ( 3 / 2 ) · 2n
I n t e r p o l a c i ó n d e t é r m i n o s e n u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a
I n t e r p o l a r m e d i o s g e o m é t r i c o s o p r o p o r c i o n a l e s e n t r e d o s n ú m e r o s , e s
c o n s t r u i r u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a q u e t e n g a p o r e x t r e m o s l o s n ú m e r o s
d a d o s .
S e a n l o s e x t r e m o s a y b, y e l n ú m e r o d e m e d i o s a i n t e r p o l a r m.
I n t e r p o l a r t r e s m e d i o s g e o m é t r i c o s e n t r e 3 y 4 8 .
3 , 6 , 1 2 , 2 4 , 4 8 .
Suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica
C a l c u l a r l a s u m a d e l o s p r i m e r o s 5 t é r m i n o s d e l a p r o g r e s i ó n : 3 , 6 , 1 2 , 2 4 ,
4 8 , . . .
Suma de los términos de una progresión geométrica
decreciente
C a l c u l a r l a s u m a d e l o s t é r m i n o s d e l a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a d e c r e c i e n t e
6
Producto de dos términos equidistantes
S e a n ai y aj d o s t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s d e l o s e x t r e m o s , s e c u m p l e q u e e l
p r o d u c t o d e t é r m i n o s e q u i d i s t a n t e s e s i g u a l a l p r o d u c t o d e l o s e x t r e m o s .
ai . aj = a1 . an
a3 · an - 2 = a2 · an - 1 = . . . = a1 · an
3 , 6 . 1 2 , 2 4 , 4 8 , . . .
4 8 · 3 = 6 · 2 4 = 1 2 · 1 2
1 4 4 = 1 4 4 = 1 4 4
Producto de n términos equidistantes de una progresión
geométrica
C a l c u l a r e l p r o d u c t o d e l o s p r i m e r o s 5 t é r m i n o s d e l a p r o g r e s i ó n : 3 , 6 , 1 2 ,
2 4 , 4 8 , . . .
Término general de una sucesión
Cálculo del término general de una sucesión
1 C o m p r o b a r s i l a s u c e s i ó n e s u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a.
8 , 3 , - 2 , - 7 , - 1 2 , . . .
3 - 8 = - 5
- 2 - 3 = - 5
- 7 - ( - 2 ) = - 5
- 1 2 - ( - 7 ) = - 5
7 an= 8 + ( n - 1 ) ( - 5 ) = 8 - 5 n + 5 = - 5 n + 1 3
2 C o m p r o b a r s i l a s u c e s i ó n e s u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a.
3 , 6 , 1 2 , 2 4 , 4 8 , . . .
6 / 3 = 2
1 2 / 6 = 2
2 4 / 1 2 = 2
4 8 / 2 4 = 2
r = 2 .
an = 3 · 2 n - 1
3 C o m p r o b a r s i l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n s o n c u a d r a d o s p e r f e c t o s.
4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9 , . . .
22, 32, 42, 52, 62, 72, . . .
O b s e r v a m o s q u e l a s b a s e s e s t á n e n p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a, s i e n d o d = 1 , y
e l e x p o n e n t e e s c o n s t a n t e .
bn= 2 + ( n - 1 ) · 1 = 2 + n - 1 = n + 1
P o r l o q u e e l t é r m i n o g e n e r a l e s :
an= ( n + 1 )2
T a m b i é n n o s p o d e m o s e n c o n t r a r c o n s u c e s i o n e s c u y o s t é r m i n o s s o n
n ú m e r o s p r ó x i m o s a c u a d r a d o s p e r f e c t o s .
5 , 1 0 , 1 7 , 2 6 , 3 7 , 5 0 , . . .
22 + 1 , 32 + 1 , 42 + 1 , 52 + 1 , 62 + 1 , 72 + 1 , . . .
H a l l a m o s e l t é r m i n o g e n e r a l c o m o v i m o s e n e l e j e m p l o a n t e r i o r y l e
8 an= ( n + 1 ) 2 + 1
6 , 1 1 , 1 8 , 2 7 , 3 8 , 5 1 , . . .
22 + 2 , 32 + 2 , 42 + 1 , 52 + 2 , 62 + 2 , 72 + 2 , . . .
an= ( n + 1 )2 - 1
3 , 8 , 1 5 , 2 4 , 3 5 , 4 8 , . . .
22 - 1 , 32 - 1 , 42 - 1 , 52 - 1 , 62 - 1 , 72 - 1 , . . .
an= ( n + 1 )2 - 1
2 , 7 , 1 4 , 2 3 , 3 4 , 4 7 , . . .
22 - 2 , 32 - 2 , 42 - 2 , 52 - 2 , 62 - 2 , 72 - 2 , . . .
an= ( n + 1 ) 2 - 2
4 S i l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n c a m b i a n c o n s e c u t i v a m e n t e d e s i g n o.
S i l o s t é r m i n o s i m p a r e s s o n n e g a t i v o s y l o s p a r e s p o s i t i v o s :
M u l t i p l i c a m o s an p o r ( - 1 )n.
- 4 , 9 , - 1 6 , 2 5 , - 3 6 , 4 9 , . . .
an= ( - 1 )n ( n + 1 )2
S i l o s t é r m i n o s i m p a r e s s o n p o s i t i v o s y l o s p a r e s n e g a t i v o s :
M u l t i p l i c a m o s an p o r ( - 1 )n - 1.
4 , - 9 , 1 6 , - 2 5 , 3 6 , - 4 9 , . . .
an= ( - 1 )n - 1 ( n + 1 )2
5 S i l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n s o n f r a c c i o n a r i o s ( n o s i e n d o u n a
p r o g r e s i ó n ) .
S e c a l c u l a e l t é r m i n o g e n e r a l d e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r
s e p a r a d o.
9 2 / 4 , 5 / 9 , 8 / 1 6 , 1 1 / 2 5 , 1 4 / 3 6 , . . .
T e n e m o s d o s s u c e s i o n e s :
2 , 5 , 8 , 1 1 , 1 4 , . . .
4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , . . .
L a p r i m e r a e s u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a c o n d = 3 , l a s e g u n d a e s u n a
s u c e s i ó n d e c u a d r a d o s p e r f e c t o s .
