Cálculo diferencial: Concepto y
propiedades de una función.
Representación gráfica.
1.1.
Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales
problemas planteados.
Los orígenes del Cálculo se remontan al siglo III a. C., cuando los griegos intentaban resolver el problema del cálculo de áreas usando el método exhaustivo (inventado por Eudoxo), en el que se aproxima el área de la región que se desea conocer mediante áreas de regiones poligonales inscritas en ella cada vez más precisas. Con este método, Arquímedes (287-212 a. C.) determinó la fórmula exacta del área del círculo y de otras figuras.
La sustitución de los números romanos por los caracteres arábigos, aparición de los signos +y−, el importante desarrollo de las notaciones matemáticas que empezó en el siglo XVI d. C., la notación decimal y los resultados sobre soluciones algebraicas de las ecuaciones cúbica y cuártica estimularon el desarrollo de la Matemática y, en particular, de los símbolos algebraicos que permitieron retomar el interés por el método exhaustivo, que se transformó en lo que hoy se conoce comocálculo integral.
Sin embargo, el mayor impulso de esta rama de las Matemáticas se dió en el siglo XVII gracias a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y continuó su desa-rrollo hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron una base matemática firme.
Los aspectos fundamentales (o piedras angulares) que sustentan el Cálculo son el concepto dederivaday el concepto deintegral. Ambos se apoyan en una herramienta fundamental que es el límite. Observemos que:
Ellímitepermite estudiar latendenciade una función cuando su variable se apro-ximaa un cierto valor.
La derivada permite calcular tasas de variación y pendientes de las tangentes a las curvas, definiéndose pues como un límite.
1.1.1. La función valor absoluto.
Elvalor absolutode un número realx se designa por |x|, definido por: |x|=
x six≥0, −x six <0.
En el caso del valor absoluto de una función, debemos tener en cuenta que:
|f(x)|=
f(x) sif(x)≥0, −f(x) sif(x)<0. Ejemplo 1.1.1
|x−5|=
x−5 si x−5≥0,
−(x−5) si x−5<0.
=
x−5 six≥5,
−x+ 5 six <5.
x2−2|x| −3 =
x2−2x−3 six≥0,
x2+ 2x−3 six <0.
1.2.
Las funciones y sus gráficas.
La gráfica de una ecuaciónde dos variables es el conjunto de puntos del plano que son solución de la ecuación y = f(x). Para definir el concepto de función, nos interesamos por aquellas ecuaciones de dos variables en las que una de ellas (habitualmente, la variable y) se puede expresar (de forma unívoca) en función de la otra variable (habitualmente, la variablex). Hablamos entonces de variable dependiente e independiente, respectivamente, y se denotará de forma general como y=f(x).
Hay varios aspectos importantes de las funciones a tener en cuenta a la hora de su repre-sentación gráfica, y que tratamos a continuación.
1.2.1. Dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de puntos de R para los que la función tiene
sentido. Ilustraremos algunos de los casos que se estudian con más frecuencia en ejemplos.
Ejemplo 1.2.1
f(x) =
r
1−x 1 +x
Para que la raíz tenga sentido necesitamos que 1−x
1 +x ≥0 y para que el denominador
no se anule que x6=−1. Dicha situación de puede dar si:
•
1−x≥0 1 +x >0
, lo que se corresponde con (−1,1],
•
1−x≤0 1 +x <0
, lo que se corresponde con ∅.
f(x) =√ex−1.
El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que ex−1≥0, es decir x≥ln(1) = 0. Por tanto, D(f) = [0,+∞).
f(x) = ln|x|
El dominio de f viene dado por el conjunto de números reales tales que |x| 6= 0, es decir D(f) =R\{0}= (−∞,0)∪(0,+∞).
f(x) = ln(x(2−1x)(x+ 3))
El dominio def viene dado por el conjunto de números reales tales que x(2−x)(x+ 3)>0. Tenemos varias situaciones posibles:
•
x >0 2−x >0 x+ 3>0
, lo que corresponde con(0,2),
•
x >0 2−x <0 x+ 3<0
, lo que corresponde con∅,
•
x <0 2−x >0 x+ 3<0
, lo que corresponde con(−∞,−3),
•
x <0 2−x <0 x+ 3>0
, lo que corresponde con∅.
Por tanto, D(f) = (−∞,−3)∪(0,2).
1.2.2. Límites.
1. Los problemas de la tangente y la velocidad.
El concepto de límite se puede ilustrar a través del problema de la recta tangente a una curva y = f(x) en un punto de ella P: límite de las rectas secantes a la curva y = f(x) que pasan por P. Se usa entonces la definición de pendiente entre dos puntos de la curva, el propioP = (a, f(a))y un punto genéricoQ= (x, f(x)), como:
mP Q=
f(x)−f(a) x−a .
Si la recta tangente es el límite de las rectas secantes, su pendiente será el límite de las pendientes de las rectas secantesmP Q cuandoQtiende aP.
2. El límite de una función.
Una definición formal de dicho concepto es la siguiente: La notación
l´ım
x→af(x) =L
se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a a es L", y quiere decir que si x es un número arbitrariamente próximo a a, entonces la imagen de x a través de la función f se aproxima arbitrariamente aL.
Por aproximarse arbitrariamente dos números reales podemos entender aproximarse por la izquierda o por la derecha, por tanto la definición anterior encubre que exis-ten los límites laterales, que denotaremos por l´ım
x→a+f(x) el límite por la derecha y
l´ım
x→a−f(x) el límite por la izquierda, y que ambos son iguales. Igualmente se define el concepto de límite +∞ o −∞.
3. Cálculo de límites.
Una posible estrategia para calcular límites es relacionarlos con el concepto de con-tinuidad (que conocen, al menos de manera intuitiva). Así, si la función es continua en un punto, el límite de la función en dicho punto coincide con su valor a través de f. De este modo, se daría respuesta, por ejemplo, a límites de funciones polinómi-cas, racionales (siempre que el punto en el que se quiere calcular el límite no anule el denominador) y trigonométricas (si el punto pertenece al dominio de la función trigonométrica). En el caso del límite de una función compuesta:
Sif yg son funciones tales que l´ım
x→ag(x) =L yxl´ım→Lf(x) =f(L), entonces:
l´ım
x→af(g(x)) =f(L).
Respecto al cálculo de límites de funciones definidas a través de la suma, resta, producto de dos o más funciones, de una función por una constante o del cociente de funciones (siempre que la función que aparece en el denominador no se anule en el punto en el que se quiere calcular el límite), podemos decir:
l´ım
x→a(f(x) +g(x)) = l´ımx→af(x) + l´ımx→ag(x)
l´ım
x→a(f(x)−g(x)) = l´ımx→af(x)−xl´ım→ag(x)
l´ım
x→a(f(x)·g(x)) = l´ımx→af(x)·xl´ım→ag(x)
l´ım
x→a
f(x) g(x) =
l´ım
x→af(x)
l´ım
x→ag(x)
polinómicas:
l´ım
x→∞ p(x) q(x) =
∞ sigrad(p)> grad(q) an
bn
sigrad(p) =grad(q) y
p(x) =anxn+an−1xn−1+. . .,q(x) =bnxn+bn−1xn−1+. . .
0 sigrad(p)< grad(q)
También son conocidos los dos teoremas siguientes:
[T1 ] Si f(x) ≤ g(x) para todo x en un intervalo abierto conteniendo a a (quizás excepto en a), y existen los límites de ambas funciones cuando x tiende a a, entonces:
l´ım
x→af(x)≤xl´ım→ag(x).
[T2 ] (Teorema del “sandwich") Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en un intervalo abierto conteniendo aa(quizás excepto ena), y l´ım
x→af(x) = l´ımx→ah(x) =
L, entonces:
l´ım
x→ag(x) =L.
4. Definición precisa de límite.
La definición de límite dada anteriormente es un poco vaga, ya que el concepto de proximidad no queda explicitado de manera clara. Así por ejemplo, no podemos dar respuesta a la cuestión básica de cuál es la cercanía de x al punto a para que la función f(x) esté a 0,1 del límite L. La siguiente definición formaliza los conceptos anteriores, traduciendo el concepto de proximidad en distancia (valor absoluto): Definición de límite:Seafuna función definida en u intervalo abierto que contiene a a(excepto posiblementea), y seaL un número real. La notación
l´ım
x→af(x) =L
significa que, para cada ε >0, existe un δ > 0 tal que si 0 <|x−a|< δ, entonces |f(x)−L|< ε.
Igualmente, se formalizarán los conceptos de límites laterales e infinitos.
5. Continuidad y límites laterales.
En el lenguaje cotidiano, un proceso es continuo si tiene lugar de forma gradual, sin interrupción o cambio abrupto. Del mismo modo se define el concepto de continuidad en un punto c:
Definición de continuidad:Una función f se dice que es continua en un punto c si:
2) existe l´ım
x→cf(x), es decir, si existexl´ım→c−f(x), existe xl´ım→c+f(x) y
l´ım
x→c−f(x) = l´ımx→c+f(x)
3) l´ım
x→cf(x) =f(c)
Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo. Una función f escontinua en el intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto(a, b) y, además, l´ım
x→a+f(x) =f(a) yxl´ım→b−f(x) =f(b). Si alguna de las condiciones anteriores no se verifica, aparece uno de los siguientes fenómenos de discontinuidad:
discontinuidad evitable: Si existe l´ım
x→cf(x) peroxl´ım→cf(x)6=f(c). Ejemplo 1.2.2
• La función f(x) =
(
x+ 2 si x≥0,
2(x+ 1)2 si x <0.
es continua en x= 0.
• La función f(x) =
x2−2x+1
x−1 si x6= 1,
3 si x= 1.
posee una discontinuidad
evita-ble en x= 0.
discontinuidad de salto: Si existe el límite por la izquierda l´ım
x→c−f(x), existe el límite por la derecha l´ım
x→c+f(x) pero xl´ım→c−f(x)6= l´ımx→c+f(x). Si xl´ım→c−f(x)− l´ım
x→c+f(x) ∈ R, entonces se dice que la discontinuidad es de salto finito. En
caso contrario, la discontinuidad es desalto infinito.
Ejemplo 1.2.3
• La funciónf(x) =
(
ln(ex−1) six≥1,
1 six <1.
posee una discontinuidad de
sal-to finisal-to enx= 1.
• La función f(x) =
( 1
x six6= 0,
0 six= 0.
posee una discontinuidad de salto
infi-nito en x= 0.
discontinuidad esencial: Si no existe alguno de los límites laterales l´ım
x→c−f(x) ó l´ım
x→c+f(x).
Ejemplo 1.2.4 La función f(x) =
( sen 1 x
si x6= 0,
1 si x= 0.
posee una
disconti-nuidad esencial enx= 0, ya que no existe ni l´ım
La suma, diferencia, producto, cociente y composición de dos funciones continuas es continua, así como del producto de un escalar por una función continua.
Como consecuencia, podemos enunciar:
Teorema del Valor Intermedio: Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y que N es cualquier número entre f(a) y f(b). Entonces, existe un númeroc∈[a, b]tal quef(c) =N.
1.2.3. Asíntotas de una función
Recordemos que hay tres tipos de asíntotas asociadas a una funciónf(x): verticales, hori-zontales y oblicuas. Se caracterizan por:
asíntotas verticales:Son de la formax=adondea /∈D(f). Existen si l´ım
x→a−f(x) = ∞ y/o l´ım
x→a+f(x) =∞. No pueden cortar a la función en ningún punto.
Ejemplo 1.2.5 La función f(x) = 1
x−1 tiene como dominio D(f) =R\{1}, luego
la única candidata a asíntota vertical de f(x) es x= 1. Como:
l´ım
x→1− 1
x−1 =−∞, xl´ım→1+
1
x−1 = +∞
entonces se trata realmente de una asíntota vertical.
asíntotas horizontales:Son de la forma y=b,b∈R, donde b= l´ım
x→∞f(x). Como se pueden calcular los límites a +∞ ó a −∞, pueden existir hasta dos asíntotas horizontales distintas. Las asíntotas horizontales pueden cortar a la función en uno o más puntos.
Ejemplo 1.2.6
• La función f(x) = x
1 +x2 verifica que:
l´ım
x→∞ x
1 +x2 = 0∈R
luego y = 0 es una asíntota horizontal (hacia −∞ y hacia +∞). Observemos que la curva y = x
1 +x2 y la asíntota horizontal y = 0 se cortan en el punto
(0,0).
• La función f(x) = e
x
x+ 1 verifica que: l´ım
x→−∞ ex
x+ 1 = 0, x→l´ım+∞ ex
x+ 1 = +∞
luego y = 0 es una asíntota horizontal hacia −∞, pero no hacia +∞. Obser-vemos que la curva y = e
x
x+ 1 y la asíntota horizontal y = 0 no se cortan en
• La función f(x) = 1
1 +ex verifica que:
l´ım
x→−∞ 1
1 +ex = 1, x→l´ım+∞
1 1 +ex = 0
luego y = 1 es una asíntota horizontal hacia −∞, e y = 0 es una asíntota horizontal hacia +∞. Observemos que la curva y = 1
1 +ex y las asíntotas ho-rizontales y= 0 e y= 1 no se cortan en ningún punto.
asíntotas oblicuas:Son de la formay=m x+n,m∈R\{0},n∈R, donde
m= l´ım
x→∞ f(x)
x , n= l´ımx→∞(f(x)−m x).
Como se pueden calcular los límites a+∞ó a−∞, pueden existir hasta dos asíntotas oblicuas distintas. Las asíntotas oblicuas pueden cortar a la función en uno o más puntos.
Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles hacia −∞ y hacia +∞, es decir, si existe asíntota horizontal hacia +∞ no puede existir asíntota oblicua hacia +∞, e igualmente hacia −∞.
Ejemplo 1.2.7 La función f(x) = x
3
(1 +x)2 verifica que:
m = l´ım
x→∞
x3
(1+x)2
x = l´ımx→∞ x2
(1 +x)2 = 1,
n = l´ım
x→∞
x3
(1 +x)2 −x
= l´ım
x→∞
−2x2−x
(1 +x)2 =−2,
luego y=x−2es una asíntota oblicua (hacia−∞ y hacia+∞). Observemos que la curva y= x
3
(1 +x)2 y la asíntota oblicuay=x−2 se cortan en el punto (− 2 3,−
8 3).
1.3.
Derivación
1.3.1. La derivada.
Dada una funciónf definida en un entorno del punto a, se define laderivada de f en x, que denotaremos porf0(x)(también se darán a conocer otras notaciones para la definición de este concepto), como:
f0(x) = l´ım
∆x→0
f(x+ ∆x)−f(x) ∆x
1.3.2. Fórmulas de diferenciación.
Como es muy lento el cálculo de derivadas a partir de la definición, es conveniente cono-cer las reglas de derivación más básicas. A continuación mostramos las derivadas de las principales funciones elementales:
Derivadas de funciones elementales Regla de la cadena
Potencia
(xn)0 =nxn−1 (f(x)n)0 =nf(x)n−1f0(x)
Exponenciales
(ex)0 =ex ef(x)0
=ef(x)f0(x)
(ax)0 =ax·(lna) af(x)0
= (lna)af(x)f0(x)
Logarítmicas
(lnx)0 = 1
x, x >0 (lnf(x)) 0
= 1
f(x)f
0
(x)
(loga(x))0 = 1 lna
1
x (logaf(x)) 0
= 1
lna
1
f(x)f
0
(x)
Trigonométricas
(senx)0 = cosx (senf(x))0 =f0(x) cosf(x)
(cosx)0 =−senx (cosf(x))0 =−f0(x)senf(x)
(tanx)0 = 1 + (tanx)2 = 1
(cosx)2 (tanf(x))
0
= [1 + (tanf(x))2]f0(x)
(cotanx)0 =−(1 + (cotanx)2) = −1
(senx)2 (cotanf(x))
0
=−[1 + (cotanf(x))2] f0(x)
Inversas trigonométricas
(arcsenx)0 = √ 1
1−x2, si |x|<1 (arcsenf(x))
0
= f
0(x)
p
1−f(x)2
(arccosx)0 = √−1
1−x2, si |x|<1 (arc cosf(x))
0
= −f
0(x)
p
1−f(x)2
(arctanx)0 = 1
1 +x2 (arctanf(x))
0
= f
0(x)
1 +f(x)2
(arccotanx)0 = −1
1 +x2 (arccotanf(x))
0 = −f 0(x)
1 + (f(x))2
en cuenta el álgebra de derivadas, cuyas fórmulas son:
Derivada de una suma/resta:
(c f(x))0=c f0(x), parac∈R. Derivada de una constante por una función:
(f(x)±g(x))0=f0(x)±g0(x) Derivada de un producto:
(f(x)·g(x))0=f0(x)·g(x) +f(x)·g0(x) Derivada de un cociente:
f(x) g(x)
0
= f
0(x)·g(x)−f(x)·g0(x)
g(x)2 , sig(x)6= 0
1.3.3. La Regla de la Cadena.
Regla de la cadena:Si existen las derivadas de la funciónf respecto deuy de la función u=g respecto de x, entonces la función F =f ◦ges una función derivable respecto de x y su derivada respecto dex,F0(x) viene dada por la expresión:
F0(x) =f0(g(x))g0(x).
1.4.
Aplicaciones de la derivación
1.4.1. Recta tangente y recta normal a una curva y=f(x).
La recta tangente a una curvay=f(x)en el punto x=aviene dada por la expresión: y=f(a) +f0(a) (x−a)
y larecta normal a una curvay=f(x) en el puntox=aviene dada por la expresión: y=f(a)− 1
f0(a)(x−a)
f(x) =e−x2 enx= 1
En x= 1, f(1) = 1e, y la recta tangente viene dada por la expresión:
y−f(1) =f0(1) (x−1), es decir, y−1 e =f
0
(1) (x−1).
Por tanto, tenemos que calcular f0(1). Observemos que f0(x) = −2x e−x2, luego
f0(1) =−2e. La recta tangente viene dada pues por y−e1 =−2e(x−1), es decir:
y = 1
e(3−2x).
Y la recta normal viene dada por y−1e = 2e(x−1), es decir:
y = e 2x+
1 e−
e 2
. f(x) = ln(x+ 1)en x= 2
En x= 2, f(2) = ln(3), y la recta tangente viene dada por la expresión:
y−f(2) =f0(2) (x−2), es decir, y−ln(3) =f0(2) (x−2).
Por tanto, tenemos que calcularf0(2). Observemos quef0(x) = x+11 , luegof0(2) = 13. La recta tangente viene dada pues pory−ln(3) = 13(x−2), es decir:
y= ln(3) + 1
3(x−2).
Y la recta normal viene dada por y−ln(3) =−3(x−2), es decir:
y= ln(3)−3 (x−2).
1.4.2. Regla de l’Hôpital.
El cálculo de límites presenta algunos casos de indeterminación que pueden ser dilucidados gracias a una de las aplicaciones del cálculo de derivadas como es la Regla de l’Hôpital
1: Supongamos f yg funciones diferenciables yg0(x)6= 0sobre un intervalo abierto I que contiene al puntoa,a∈[−∞,+∞], (salvo quizás a). Supongamos que
l´ım
x→af(x) = 0 y xl´ım→ag(x) = 0
o bien
l´ım
x→af(x) =±∞ y xl´ım→ag(x) =±∞,
es decir, tenemos una indeterminación del tipo 0/0 o∞/∞. Entonces, l´ım
x→a
f(x)
g(x) = l´ımx→a
f0(x) g0(x) siempre que el límite de la derecha no sea indeterminado.
Dicha regla es válida también para el cálculo de límites laterales.
1
Ejercicio 1.4.2
l´ım
x→+∞ ex
x = +∞
+∞(indet.)=(L’Hôpital)x→l´ım+∞ ex
1 = +∞ l´ım
x→−1
x2+ 2x+ 1 x+ 1 =
+∞
+∞(indet.)=(L’Hôpital)xl´ım→−1
2x+ 2 1 = 0
Análogamente, las indeterminaciones 0· ∞ó ∞ − ∞ se pueden resolver usando la Regla de L’Hôpital, siempre y cuando se hayan transformado inicialmente en límites del tipo 0 0 ó ∞
∞.
Ejercicio 1.4.3
l´ım
x→+∞xe
−x= +∞ ·0(indet.)= l´ım x→+∞
x ex =
+∞
+∞ =(L’Hôpital) x→l´ım+∞ 1 ex = 0
l´ım
x→+∞(e
x−x) = +∞ − ∞(indet.)= l´ım x→+∞e
x 1− x
ex
= +∞ ·
1−+∞ +∞
, donde
l´ım
x→+∞ x ex =
+∞
+∞ =(L’Hôpital)x→l´ım+∞ 1
ex = 0, luego
l´ım
x→+∞e
x 1− x
ex
= +∞ ·(1−0) = +∞.
Nota:El caso de límites def(x)g(x) que sean de la forma 00,∞0 o 1∞ no se tratarán en este tema.
1.4.3. Monotonía y determinación de extremos.
Intuitivamente una función es creciente o decreciente en un intervalo si su pendiente es positiva o negativa (respectivamente) en todos los puntos del intervalo. Por tanto, si la función es derivable se puede demostrar (de manera formal) cuándo es creciente y cuándo decreciente según el signo de su derivada. Los puntos en los que dicha derivada se anu-le serán llamados puntos críticos, ya que se corresponden con el paso de una función creciente a decreciente o viceversa.
El crecimiento/decrecimiento de una función se puede conocer usando el llamadocriterio de la derivada primera:
Una función se dice creciente en x sif0(x)>0. Una función se dice decreciente en x sif0(x)<0.
Notemos que los extremos relativos de una función también verifican la condición de punto crítico f0(x) = 0, pero no todos los puntos críticos son extremos relativos.
Ejemplo 1.4.4 La funciónf(x) = x
1 +x2 está definida en Ry tiene como derivada
f0(x) = 1−x
2
(1 +x2)2.
Por tanto, es decreciente en (−∞,−1)∪(1,+∞) y creciente en (−1,1). Además, posee un mínimo relativo en (−1,−1
La función f(x) = x
3
(1 +x)2 está definida en R\{−1} y tiene como derivada
f0(x) = x
2(x+ 3)
(1 +x)3 .
Por tanto, es creciente en (−∞,−3)∪(0,+∞) y decreciente en(−3,−1)∪(−1,0). Observemos que el punto que no pertenece al dominio influye en la determinación de las zonas de crecimiento/decrecimiento. Además, posee un máximo relativo en
−3,−27 4
y un mínimo relativo en(0,0).
El concepto de extremo relativo es un concepto local, mientras que el concepto de ex-tremo absoluto necesita conocer e comportamiento global de la función en el dominio considerado.
1.4.4. Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda.
En el caso de que la función sea dos veces derivable, se introduce el criterio de concavidad basado en la derivada segunda. Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convexa se llamanpuntos de inflexión, y, si la función es dos veces derivable, se pueden identificar como los valores que anulan la derivada segundaf00(x) = 0. De ese modo:
Una función se dice convexa enx (abierta hacia arriba) sif00(x)>0. Una función se dice cóncava en x (abierta hacia abajo)sif00(x)<0.
Ejemplo 1.4.5
La función f(x) = x
1 +x2 está definida enR y tiene como derivadas:
f0(x) = 1−x
2
(1 +x2)2, f
00(x) = 2x(x2−3) (1 +x2)3 .
Por tanto, es cóncava en (−∞,−√3)∪(0,√3)y convexa en (−√3,0)∪(√3,+∞). Además, posee como puntos de inflexión: −√3,−
√ 3 4
!
, (0,0)y √3, √
3 4
!
.
La función f(x) = x
3
(1 +x)2 está definida en R\{−1} y tiene como derivadas
f0(x) = x
2(x+ 3)
(1 +x)3 , f
00(x) = 6x (1 +x)4.
1.5.
Representación gráfica.
Describimos los pasos principales para representar gráficamente una función y=f(x): 1. Dominio.
2. Continuidad y derivabilidad:Calcular los valores dex para los que la función es continua y los valores dex para los que la función es derivable.
3. Paridad/periodicidad:Comprobar si la función es:
a) par: si verifica que f(−x) =f(x) b) impar: si verifica que f(−x) =−f(x)
y/o si es periódica, es decir, si existeT >0tal que f(x+T) =f(x). 4. Cortes con los ejes:
a) Corte con el eje OX: Calcular los puntosx0 tales quef(x0) = 0. Dichos puntos
tienen por coordenadas(x0,0).
b) Corte con el eje OY: Calcular f(0). Dichos puntos tienen por coordenadas (0, f(0)).
5. Asíntotas:
a) Verticales: Existen si existe un punto a /∈ D(f) tal que l´ım
x→a−f(x) = ∞ ó l´ım
x→a+f(x) =∞.
En ese caso, x=aes una asíntota vertical. b) Horizontales: Existen si l´ım
x→∞f(x) =b ∈R. En ese caso,y =b es una asíntota horizontal.
c) Oblicuas: Existen si existe l´ım
x→∞ f(x)
x =m∈R, y si existexl´ım→∞(f(x)−m x) = n∈R. En ese caso,y=mx+n es una asíntota oblicua.
NOTA: No pueden existir simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas.
6. Monotonía, extremos:
a) Crecimiento/decrecimiento: Calcular los valores de x para los que la función es creciente (f0(x) > 0) y los valores para los que la función es decreciente (f0(x)<0).
b) máximos/mínimos: Calcular los puntos que verifican que f0(x) = 0 y tales que que son un máximo o un mínimo de la función.
7. Concavidad/convexidad, puntos de inflexión:
a) concavidad/convexidad: Calcular los valores de x para los que la derivada se-gunda de la función es positiva o negativa.
8. Representación gráfica.
Ejercicio 1.5.1 Dada la función
f(x) = x
2
x2−1
represéntala gráficamente estudiando previamente: dominio de definición, simetrías, cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.
Solución:Describimos a continuación los principales pasos a seguir para obtener la repre-sentación gráfica:
Dominio:D(f) =R\{−1,1}.
Corte con los ejes:
• Corte conOX: Buscamos la intersección dey =f(x) cony = 0, que es el punto
(0,0).
• Corte con OY: Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0, es decir,
(0,0).
Asíntotas:
• Asíntotas verticales: Las candidatas sonx=−1yx= 1, ya que{−1,1}∈/D(f). Lo comprobamos:
( x=−1 l´ım
x→−1−f(x) = +∞ l´ımx→−1+f(x) =−∞
) ( x= 1 l´ım
x→1−f(x) =−∞ l´ımx→1+f(x) = +∞
)
• Asíntotas horizontales: Son de la formay=b, siendob∈Rtal que l´ım
x→∞f(x) = b. Observemos que:
l´ım
x→∞ x2
x2−1 = 1.
Por tanto, la función posee una asíntota horizontal que es y = 1 cuando x → −∞ y x→+∞.
• Asíntotas oblicuas: No hay, ya que existe asíntota horizontal.
Monotonía, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada primera de la función:
f0(x) = −2x (x2−1)2.
Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: Para su estudio, calculamos la derivada segunda:
f00(x) = 6x
2+ 2
(x2−1)3.
La expresión anterior nunca es igual a cero, pero puede cambiar de signo, ya que el denominador lo hace enx=−1 yx= 1. No hay, por tanto, son puntos de inflexión, pero la derivada segunda es positiva en (−∞,−1)∪(1,+∞) y negativa en (−1,1). La siguiente gráfica corresponde a la funcióny = x
2
x2−1 en el intervalo [−3,3]:
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12
–3 –2 –1 1 x 2 3
Ejercicio 1.5.2 Dada la función
f(x) = ln(x2+ 2x)
represéntala gráficamente estudiando previamente: dominio de definición, simetrías, cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.
Solución:Describimos a continuación los principales pasos a seguir para obtener la repre-sentación gráfica:
Dominio:D(f) = (−∞,−2)∪(0,+∞).
Corte con los ejes:
• Corte conOX: Buscamos la intersección de y=f(x) con y= 0, que gracias a las propiedades del logaritmo son los puntos que verificanx2+ 2x= 1, es decir, los puntos (−1−√2,0)y (−1 +√2,0).
• Corte con OY: Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0. Como
0∈/D(f), no hay puntos de corte conOY.
• Asíntotas verticales: Las candidatas sonx=−2yx= 0, ya que(−2,0)∈/D(f). Lo comprobamos:
x=−2 l´ımx→−2−f(x) =−∞ x= 0 l´ımx→0+f(x) =−∞
• Asíntotas horizontales: Son de la formay=b, siendob∈Rtal que l´ım
x→∞f(x) = b. Observemos que:
l´ım
x→∞ln(x
2+ 2x) = +∞.
Por tanto, la función no posee asíntotas horizontales ni cuando x → −∞ ni cuando x→+∞.
• Asíntotas oblicuas: Son de la forma y=m x+n, m, n∈R, donde
m= l´ım
x→∞
ln(x2+ 2x)
x =
∞
∞ =L’Hôpitalxl´ım→∞
2x+2
x2+2x
1 = 0,
Luego comom= 0 no hay asíntota oblicua.
Monotonía, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada primera de la función:
f0(x) = 2x+ 2 x2+ 2x.
Igualando la expresión anterior a cero, obtenemos que f0(x) = 0 si x=−1 ∈/ D(f). Observemos que, en cualquier caso, la derivada en los puntos a la izquierda de x = −1 y a la derecha de x = −1 tendrán signo distinto, es decir, f es decreciente en
(−∞,−2)y creciente en (0,+∞). Además, podemos deducir que la función no posee extremos relativos.
Concavidad/convexidad, puntos de inflexión: Para su estudio, calculamos la derivada segunda:
f00(x) = −2x
2−4x−4
(x2+ 2x)2 .
La expresión anterior nunca es igual a cero, el numerador es siempre negativo y el denominador siempre positivo. Por tanto la función siempre es cóncava (abierta hacia abajo), y no hay puntos de inflexión.
–1 0
1 2 3 4
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 x 6 8 10
1.5.1. Problemas de optimización
Aunque se trata de una de las aplicaciones más útiles de la derivación, los problemas de optimización presentan una dificultad adicional para el alumno: Esta consiste en traducir un enunciado escrito en lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Por ello, deben quedar claros los pasos a dar para un buen planteamiento y resolución del problema:
asignar variables o símbolos a cada una de los elementos que aparecen en el problema
escribir una ecuación inicial que exprese lo que se quiere maximizar o minimizar,
si en la ecuación anterior aparecen varias variables, escribir una o varias ecuaciones (de ligadura) que relacionen las variables entre sí a partir de la información suminis-trada por el problema
gracias a las ecuaciones de ligadura, escribir la ecuación inicial como una función explícita de una única variable (independiente): Función a optimizar
determinar el dominio de la función a optimizar
calcular los extremos de la función usando los métodos y criterios anteriormente explicados.
Ejercicio 1.5.3 Uno de los lados de un campo abierto está acotado por un río recto.
1. ¿Cómo podrían cercarse los otros tres lados de una figura rectangular para encerrar la mayor área posible con una cerca de longitud80 m?
2. Si se desea vallar una superficie de 18 m2, ¿qué dimensiones requerirán la mínima cantidad de valla?
(a) El campo abierto sólo requiere 3 lados de cerca, ya que el lado del rectángulo que falta tiene como frontera el río. Al tratarse de un rectángulo, habrá 2 lados de longitud x y un lado de longitud y. Por tanto, el perímetro viene dado por
2x+y y según el enunciado debe ser igual a 80, es decir, 2x+y= 80. Por otra parte, el área de dicha figura (que es un rectángulo) viene dada porA=x·y. Si queremos deducir la expresión del áreaAen función de x, hacemos lo siguiente:
A=x·y 2x+y = 80
⇒ A(x) =x(80−2x) = 80x−2x2.
Observemos que se trata de una función continua definida en [0,40], pues fue-ra de dicho intervalo la función A(x) toma valores negativos (y eso no tiene sentido).
Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Por tan-to, para calcular los extremos absolutos de la función tenemos que estudiar los valores de dicha función en los posibles candidatos:
• extremos:x= 0, x= 40, y sus valores son A(0) = 0,A(40) = 0,
• puntos en(0,40) donde A0(x) = 0: x= 20, y su valor esA(20) = 800,
• puntos donde la función no es derivable: en este caso no hay.
Máximo de A : 800, alcanzado en x = 20. Mínimo de A : 0, y se alcanza en
x= 0, x= 40.
Otra forma de resolver el problema es estudiando su gráfica. Observamos que:
A0(x) = 80−4x, A0(x) = 0 ⇔ x= 20.
LuegoA es creciente (estrictamente) en(0,20)y decreciente (estrictamente) en
(20,40). Por tanto, la función A(x) alcanza un máximo local en x = 20, que es A(20) = 800. Como A(0) = 0 y A(40) = 0, deducimos que dicho máximo es global.
En definitiva, debe haber 2 lados de 20m. y un lado de 40 m. para que el área encerrada por la cerca sea la máxima posible.
(b) En este caso, los datos del problema nos llevan a la conclusión siguiente, donde
P es el perímetro de la superficie que se desea vallar:
x·y= 18 P = 2x+y
⇒ P(x) = 2x+18 x.
Observemos que se trata de una función continua definida en (0,+∞), pues fuera de dicho intervalo la función P(x) toma valores negativos (y eso no tiene sentido).
Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de una función, para una función continua en un intervalo semiabierto y no acotado. Por tanto, para calcular los extremos absolutos de la función sólo podemos usar el segundo razonamiento del apartado anterior. Observemos que:
P0(x) = 2−18 x2, P
La funciónP(x) es decreciente en(0,3)y creciente en(3,+∞), por tanto posee un mínimo local en x= 3 que valeP(3) = 12. Como además l´ım
x→0+P(x) = +∞
y l´ım
x→+∞P(x) = +∞, podemos deducir que dicho mínimo es global.
