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Facultad Ingeniería
CONTENIDO
1. Introducción a la lógica
2. Definición de proposición
3. Conectores lógicos
4. Reglas de formación
En todas las ramas de las matemáticas se busca la demostración de razonamientos. Un ejemplo de razonamiento puede ser:
Si no despierto a tiempo, llego tarde a clase. Llegué tarde a clase.
Por tanto, no desperté a tiempo
Introducción a la lógica
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Con el fin de especificar si este tipo de razonamientos tiene algún sentido, se deben examinar cada uno de sus componentes, es decir las frases o proposiciones que lo conforman.
La lógica proposicional tiene su origen a mediados del siglo XIX como resultado de los trabajos de Boole.
Boole observó la relación existente entre las operaciones lógicas AND y OR con las operaciones aritméticas de producto y suma. Boole desarrollo un sistema para la manipulación de expresiones lógicas tan preciso como la aritmética para manejar números.
En lógica proposicional, una proposición solo puede tener dos valores, verdadero o falso.
Introducción a la lógica
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Se le denomina proposición a todo enunciado del cual se disponga de un criterio para asignar un valor de verificación de verdadero o falso, pero no ambos al mismo tiempo.
Definición de proposición
Son proposiciones NO son proposiciones
2+5=3 ¿Qué día es hoy?
En el aspecto cotidiano, es muy frecuente encontrar proposiciones relacionadas. Esta relación se logra mediante conectores lógicos.
• Negación
• Conjunción
•Disyunción no exclusiva
•Disyunción exclusiva
•Condicional
•Bicondicional
Conectores lógicos
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Una proposición puede ser negada mediante la palabra “no”. Una proposición también puede ser negada mediante la expresión “no es cierto que” delante de la proposición. El símbolo matemático usado para representar la negación será ~ (Virdulilla).
Adicionalmente, podemos decir que este operador es el único que puede actuar sobre una única proposición.
Se utiliza para evidenciar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para una proposición. Se construye de derecha a izquierda resolviendo de las proposiciones más simples a las más complejas.
Tabla de verificación
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Ejemplos:
P: “Me han pagado”
~P: “No es cierto que me han pagado”
Tabla de verificación de la negación:
Negación
P ~P
V F
Si unimos dos proposiciones con el nexo «y» denominamos
la proposición resultante la conjunción de las dos
proposiciones. Se deben cumplir ambas proposiciones a la vez. El símbolo para representar la conjunción es ^.
P: “Luis juega al futbol.” Q:”Luis juega baloncesto”
P ^ Q: “Luis juega futbol y baloncesto”
Conjunción
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Tabla de verificación de la conjunción:
Conjunción
P Q P ^ Q
F F F
F V F
V F F
Si unimos dos proposiciones con el nexo «o» denominamos la proposición resultante la disyunción no exclusiva de las dos proposiciones. Pueden cumplirse una de las dos proposiciones o ambas proposiciones. El símbolo para representar la disyunción no exclusiva es V.
P: “Luis juega al futbol.” Q:”Luis juega baloncesto”
P V Q: “Luis juega futbol o baloncesto”
Disyunción no exclusiva
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Tabla de verificación de la disyunción no exclusiva:
Disyunción no exclusiva
P Q P V Q
F F F
F V V
V F V
Si unimos dos proposiciones con el nexo «ó» denominamos la proposición resultante la disyunción exclusiva de las dos proposiciones. Pueden cumplirse una de las dos proposiciones pero no ambas. El símbolo para representar la disyunción exclusiva es V o .
P: “Luis juega al futbol.” Q:”Luis juega baloncesto”
P V Q: “Luis juega futbol ó baloncesto”
Disyunción exclusiva
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Tabla de verificación de la disyunción exclusiva:
Disyunción exclusiva
P Q P V Q
F F F
F V V
V F V
Si unimos dos proposiciones mediante «Si … Entonces …» denominamos la proposición resultante la condicional o implicación de las dos proposiciones. El símbolo para representar la implicación o condicional es ->.
P: “tengo PAPA menor a 3.0”
Q:”pierdo la calidad de estudiante”
P -> Q: “Si tengo PAPA menor a 3.0 entonces pierdo la calidad de estudiante”
En el anterior ejemplo P se denomina antecedente y Q se denomina consecuente.
Condicional
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Tabla de verificación de la implicación o condicional:
Condicional
P Q P -> Q
F F V
F V V
V F F
Si unimos dos proposiciones mediante «… si y solo si…» denominamos la proposición resultante una proposición bicondicional. El símbolo para representar una proposición bicondicional es <=>.
P: “Estudio” Q:”Apruebo”
Q <=> P: “Apruebo si y solo si estudio”
Bicondicional
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Tabla de verificación de operador lógico bicondicional:
Bicondicional
P Q P <=> Q
F F V
F V F
V F F
Una proposición es una expresión que se construye a partir de las siguientes reglas:
• Una expresión cuyo valor de verdad sea verdadero o falso (booleano) se denomina una proposición.
• Si p es una proposición, también lo es la negación de p (~p).
• Si P y Q son proposiciones, también lo son:
• P ^ Q (P y Q)
• P V Q (P o Q)
• P V Q (P ó Q)
• P -> Q (P implica Q)
• Q <=> P (Q si y solo si P)
Reglas de formación
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Tautología: Las proposiciones que son siempre verdaderas independientemente de los valores de verificación de las proposiciones individuales se llama tautología.
Contradicción: Las proposiciones que son siempre falsas independientemente de los valores de verificación de las proposiciones individuales se llama contradicción.
Ejemplos:
Propiedades
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Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial 2012
P Q P V Q P -> (P V Q)
F F F V
F V V V
V F V V
V V V V
P ~P P^~P
F V F
Tautologías de uso más frecuente:
Propiedades
Tautología Nombre
[(P -> Q) ^ P] -> Q Modus ponens [(P -> Q) ^ ~Q] -> ~P Modus tollens
[(P V Q) ^ ~P] -> Q
[(P V Q) ^ ~Q] -> P Silogismo disyuntivo (P ^ Q) -> P
(P ^ Q) -> Q
Simplificación
Tautologías de uso más frecuente:
Propiedades
Facultad Ingeniería
Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial 2012
Tautología Nombre
~ (~P) P Equivalencia de doble negación (P -> Q) (~Q -> ~ P) Equivalencia contrapositiva
~(P ^ Q) (~P V ~Q) Equivalencia de De Morgan ~(P V Q) (~P ^ ~Q) Equivalencia de De Morgan
Las siete últimas tautologías son todas ellas proposiciones bicondicionales. Las tautologías bicondicionales se llaman equivalencias.
FIN
Gracias por la atención
prestada
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