Termodinámica: Conceptos Fundamentales Parte 3

Parte 3

Olivier Skurtys

Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa

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Ecuaciones de estado

1 Ecuaciones de estado

Definici´on

Ecuaci´on de estado de un gas ideal Validez de la ley de los gases ideales

1 Ecuaciones de estado

Definici´on

Ecuaci´on de estado de un gas ideal Validez de la ley de los gases ideales

Definici´

on

Una ecuaci´on de estado es una relaci´on que relaciona entre ellas las diferentes variables de estado de un sistema, al equilibrio termodin´amico(condici´on necesaria para que las variables de estado intensivas sean definidas).

Por ejemplo: la ecuaci´on de estado de una cantidad determinada de fluido (liquido o gas) sera de la forma:

1 Ecuaciones de estado

Definici´on

Ecuaci´on de estado de un gas ideal

Validez de la ley de los gases ideales

Definici´

on de un gas ideal

El estudio experimental de los gases ha conducido definir el modelo del gas ideal. Modelo muy usado en termodin´amica.

Tan que se opera a presi´on suficiente peque˜na (≪105P a), se observa experimentalmente tres leyes.

Ley de Boyle-Mariotte

A temperatura constante, la presi´on P de una masa dad mde gas es inversamente proporcional a su volumen

Ley de Gay-Lussac

A presi´on constante p, el volumen V ocupado por una masa dadam de gas es proporcional a su temperatura

V

Ley de Avogadro y Ampere

Dos vol´umenes iguales de gas de naturaleza distinta, tomado en las mismas condiciones de temperatura y de presi´on, tienen el misma numero de moles

Definici´

on

Por definici´on, un gas ideal es un gas que sigue exactamente las leyes de:

1 Ley de Boyle-Mariotte

2 Ley de Gay-Lussac

Ley de los gases ideales

Vimos que un sistema simple cerrado puede ser completamente caracterizado por 2 variables de estado independiente.

Se deduce que por un gas ideal, existe una relaci´on relacionando: p, V, T.

Por un numero de moles fijados, esta relaci´on puede se escribir, de manera muy general, bajo forma diferencial:

dV = ∂V ∂T p dT + ∂V ∂p T dp (4)

dV = ∂V ∂T p dT + ∂V ∂p T dp (5)

La ley de Gay-Lussac dice que el volumen es proporcional a la temperatura, a presi´on constante:

V =bT ⇒ ∂V ∂T p =b= V T (6)

La ley de Boyle-Mariotte dice que el productoP V es constante a temperatura constante:

pV =a⇒V = a p ⇒ ∂V ∂p T =−a p2 = −pV p2 = −V p (7)

As´ı, obtenemos: dV = V TdT − V pdp (8) o todav´ıa: dT T = dV V + dp p (9) Integramos: lnT = lnV + lnp+ Cte (10)

As´ı, tenemos la relaci´on:

pV =kT (12) Una consecuencia de las leyes de Avagadro y Ampere y de Boyle - Mariotte es que a temperatura constante, el producto pV es proporcional al numero de moles.

Se deduce que la constante de integraci´on kes proporcional al numero de moles N:

k∝N (13)

As´ı se obtiene la ley de los gases ideales:

pV =N RT (14)

R es la constante universal de los gases ideales (universal por que no depende de la naturaleza del gas considerado).

Se puede tambi´en escribe la ley de los gases ideales:

en funci´on de la masa m de gas al lugar del numero

de moles N.

se note M _{la masa molar del gas considerado}

pV =mrT con r= R

M

J.kg−1.K−1 (15)

r es una constante que depende de la naturaleza del gas; es la constante m´asico del gas considerado

1 Ecuaciones de estado

Definici´on

Ecuaci´on de estado de un gas ideal

Validez de la ley de los gases ideales

A escala microsc´opica, un gas ideal satisface dos condiciones siguientes:

1 el tama˜no de las mol´eculas del gas es despreciables frente

las distancias que separan las mol´eculas:

eso permiteasimilar las mol´eculas a un punto material 2 las fuerzas de interacci´on a distancia entre las mol´eculas

son despreciables:

el comportamiento de una mol´ecula es entonces independiente del comportamiento de las otras

La hip´otesis del gas ideal es entonces valida si las distancias promedio entre las mol´eculas son suficientemente grandes.

Se deduce de las consideraciones anteriores que por un numero de mole de gas dadaN:

el comportamiento de un gas real podr´ıa ser aproximada

por un gas ideal si el volumen que ocupa es

suficientemente grande.

Eso se produce a baja presi´on y a temperatura elevada

en practica, el modelo del gas ideal da resultados buenos por varios gases usuales a presi´on atmosf´erica y a

temperatura ambiente:

1 Ecuaciones de estado

Definici´on

Ecuaci´on de estado de un gas ideal Validez de la ley de los gases ideales

Vimos que:

En un gas ideal, cada mol´ecula tiene un comportamiento independiente de las otras.

Esta propiedad sera naturalmente conservada en una mezcla de gases ideales.

As´ı, una mezcla de gases ideales es un gas ideal.

Definici´on

En una mezcla de ngases ideales, la presi´on parcial pi del gas i

es:

la presi´on que ejercer´ıa sobre las paredes del recipiente, si este gas estaba solo a ocupar la totalidad del volumen V, a la misma temperatura T.

Notamos Ni el numero de moles del gasi, se define la presi´onpi:

pi= NiRT

Ley de Dalton

La presi´on total de la mezcla es la suma de las presiones parciales. En efecto: pV = n X i=1 Ni ! RT = n X i=1 (NiRT) = n X i=1 (piV) = n X i=1 (pi)V (17) Entonces tenemos: pV = n X i=1 (pi)V ⇒p= n X i=1 pi (18)

Adem´as,la presi´on parcial del gas ipuede ser determinado:

a partir del conocimiento de su fracci´on molar: xi = Ni N = Ni n X i=1 Ni (19) y de la presi´on total p

En efecto, se puede escribir:

pi =NiRT V =Ni

p

Finalmente, si se usa la expresi´on que hace intervenir la masa de gas al lugar del numero de moles. Se puede definir:

la masa molar de la mezcla como la media ponderada de todos los componentes

M ₌ m N = n X i=1 mi N = n X i=1 NiM_i N = n X i=1 (xiM_{i) (21)}

Comentarios

1 Podemos asimilar el aire puede a una mezcla de gases ideales:

nitr´ogeno (N2): 4/5 oxigeno (O2): 1/5

En las condiciones de temperatura y de presion ambiente, se puede considerar como un gas ideal, de masa molar promedio M_{aire = 0,8}×28 + 0,2×32≈29g.mol−1 ₍₂₂₎ As´ı, raire = R M_aire = 8,3145 29 ≈0,287 J.g −1_.mol−1 ₍₂₃₎ raire= 287 J.kg−1.mol−1 (24)

Comentarios

Entonces por el aire se puede escribir:

pV =mrT ⇒p= m

V rT ⇒p=ρrT (25)

donde ρ

kg.m−3es la masa especifica del aire.

2 Valor de la constante r por varios gases:

gas r (J.kg−1.K−1)

Aire 287

Helio 2076

Oxigeno 260

Nitr´ogeno 297

3 La noci´on de presi´on parcial tiene sentido solamente por una mezcla de gases ideales.