Matemática y Geometría

I n t r o d u c c i ó n

Espiral de Fibonacci (2006)

La imagen representa el desarrollo de la espiral de Fibonacci utilizando al átomo como inicio y al Universo como la representación del infinito. Esta espiral pasa por los distintos estadios de la complejidad universal: átomo, organismo multi-celular, girasol, el hombre, el planeta Tierra y el Universo.

Ilustración: Rogelio Chovet

Fascículo 1 • Introducción

Nuevamente ponemos en tus manos, amigo lector, joven estudiante, respetado educador, un material de estudio cuidadosamente elaborado que, estamos seguros, se convertirá en una herramienta útil para una mejor comprensión y dominio de los conceptos y técnicas propias de la matemática.

Matemática Maravillosa, como hemos titulado la colección que hoy iniciamos, está particularmente dirigida a los estudiantes de los últimos años del bachillerato, educación técnica y preuniversitaria. En esta obra que presentaremos en 30 fascículos se aborda la matemática de las formas y las transformaciones a través de temas tales como: polígonos y poliedros, trigonometría, cónicas y cuadráticas, matrices, fractales y para cerrar la colección disfrutarán de unos fascículos finales que vinculan la matemática con las artes, la arquitectura y la ingeniería.

Como en las colecciones anteriores, Matemáticas para todos y El mundo de la matemática, donde se expusieron los contenidos propios de la educación básica y media, en esta obra sus autores, luego de un arduo trabajo, han volcado lo mejor de sus talentos, formación y expe-riencia y han puesto especial cuidado en presentar los temas tratados de una manera sencilla, atractiva y motivante, con profusión de imá-genes y gráficos que ilustran los diversos conceptos desarrollados, relacionándolos permanentemente con hechos de la vida cotidiana y estableciendo numerosas conexiones entre esta importante disciplina y otras áreas del conocimiento tales como: física, química, geografía, economía, entre otras, lo cual le imprime a estas colecciones un carácter decididamente innovador.

Empresas Polar, de la mano con su fundación y el decidido apoyo del diario Últimas Noticias, harán posible que cada martes, miércoles y jueves, durante los próximos meses, llegue gratuitamente Matemática Maravillosa a cientos de miles de hogares venezolanos trayendo luces para todos. Impulsados por nuestra fe en el porvenir, desde Fundación Polar seguiremos aportando soluciones.

Leonor Giménez de Mendoza

Matemática Maravillosa concluye la colección de tres volú-menes cuyos dos primeros se publicaron en los años 2004 y 2005 y llevan por título, respectivamente, Matemática para todos y El mundo de la matemática. Esta trilogía constituye una unidad dentro de la multiplicidad de temas presentados, abarcando desde el nivel de la tercera etapa de la educación básica hasta el primer semestre universitario y recorriendo el espectro de una variedad temática integrada por conte-nidos de aritmética, álgebra, geometría, medidas, trigonome-tría, gráficos, curvas y superficies, estadística y probabilidades, llegando hasta temas más recientes como los códigos, los fractales, los splines, los modelos matemáticos, y ciertos aspectos de estadística utilizados actualmente como tallos, hojas y cajas, los cuales impregnan el dinamismo de la matemática y suministran una característica de su vitalidad.

Esta tercera colección de fascículos, Matemática Maravillosa, se orienta básicamente hacia los alumnos y docentes de la educación media, diversificada y profesional, y los del primer semestre universitario. Asimismo, para aquellos bachilleres en ciencias, profesionales y técnicos que cursaron algunas asignaturas de matemática y quisieran revisar ciertos contenidos de una manera actualizada y vinculada a diversas disciplinas como la de ellos mismos.

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A través de toda la obra los temas se presentan en una forma sencilla, prestando atención especial al uso de imágenes y gráficas que ilustran los diversos conceptos y temas desarro-llados. Estos temas cubren parte de la matemática que figura en los programas oficiales de los niveles educativos en referencia, pero son expuestos de una forma más atractiva a lo cotidiano del aula puesto que incluyen diversas secciones, a saber: reseñas históricas, situaciones interesantes, retos, ten-go que pensarlo, jueten-gos, ayer y hoy, ventana didáctica y orientaciones metodológicas, información actualizada de libros y páginas web, y numerosas conexiones de la matemática con otras áreas: arquitectura, ingeniería, artes, medicina, geografía, béisbol, poblaciones, economía, química, física, entre otras, que usualmente no se contemplan en esos programas de estudio.

Tanto el equipo de redacción y diseño de los fascículos como los patrocinantes: Empresas Polar, Fundación Polar y Últimas Noticias, aspiran que esta publicación y la colección completa, contribuyan a refrescar y aumentar el caudal cultural de los habitantes de nuestro país en cuanto a la ciencia matemática y sus vinculaciones con una vasta gama de otras disciplinas y, por otra parte, favorezcan y mejoren el proceso de enseñanza-aprendizaje.

El mayor porcentaje de los temas desarrollados en estos fascículos es de geometría o están vinculados con esta rama de la matemática. Igualmente, incluye trigonometría la cual aborda aspectos geométricos sobre ángulos y lados de un triángulo. Asimismo, en los contenidos sobre matrices se ha puesto especial atención a las transformaciones geométricas en un plano y en el espacio, y en los últimos fascículos que relacionan la matemática con las artes y la arquitectura, además de las vinculaciones geométricas se ha desarrollado el tema de construcciones con regla y compás y de perspectiva. En este sentido podemos afirmar que, de manera general, es una colección sobre La matemática de las formas y sus transformaciones. Los distintos temas se agrupan en los títulos que se describen a continuación.

POLÍGONOS Y POLIEDROS

Iniciando por los polígonos regulares convexos y estrellados, que habíamos tratado brevemente en “Matemática para todos”, especial-mente lo referido a los triángulos, ahora se insiste en sus conexiones con las artes, la arquitectura, la biología y la química, abordando el tópico de “teselaciones” con mosaicos regulares, mosaicos semirre-gulares, mosaicos de Escher y teselaciones de Penrose. Esto último sirve de introducción a los cuasicristales. De aquí pasamos a la dimensión tres, extendiéndonos hasta la cuarta dimensión y utilizando tanto el lenguaje de coordenadas como el de grados de libertad. Desarrollamos lo referente a los poliedros regulares convexos y estre-llados e, igualmente, sus vinculaciones con las artes, la arquitectura y la ingeniería, y con la química al abordar lo relativo a los fulerenos y los nanotubos. En “Matemática para todos” ya se había iniciado el tratamiento de este tema.

Al pasar a la cuarta dimensión nos referimos previamente al famoso libro de Edwin A. Abbot “Flatland. A Romance of Many Dimensions” (“Planilandia. Un romance de muchas dimensiones”, 1884) que nos sirve de introducción al tema, en donde se estudia especialmente el hipercubo mostrando algunas de sus aplicaciones.

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las rela-ciones de ángulos con conceptos geométricos. Además de las funrela-ciones definidas sobre los ángulos, se tienen las funciones trigonométricas definidas sobre conjuntos de números reales, donde la vinculación entre ambas está dada por la medida de ángulos.

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Los fascículos dedicados a trigonometría contemplan los siguientes tópicos en cuanto a la trigonometría de ángulos: Ángulos y medida de ángulos; las funciones trigonométricas de ángulos, la identidad fundamental sen2 α + cos2 α = 1 y su equivalencia con el teorema de Pitágoras; la ley de los senos y la ley del coseno, y, finalmente, algunos aspectos de la geometría de la esfera y las coordenadas geográficas. Luego se estudian las funciones trigonométricas con dominio en un subconjunto y sus gráficas respectivas. Se aplican las funciones trigonométricas a las artes (construcción de Durero) y a la música (con las aproximaciones de Fourier). Asimismo, para honrar a un grupo de venezolanos que llegó hasta el Polo Norte, se desarrolla una aplicación referida a esta excursión.

CÓNICAS Y CUÁDRICAS

La geometría del espacio ha sido un tema descuidado en los programas instruccionales previos a la educación universitaria. La visualización de figuras en el espacio desde diferentes ángulos, sus secciones con planos y sus propiedades y características, es un tema que presenta dificultades de aprendizaje para estudiantes tanto a nivel de la educación secundaria como la superior. Por ello se incluyó el estudio de las cuádricas como lo análogo de las cónicas en un plano, con el fin de explorar un tema geométrico en el espacio, además de su importancia en varias áreas de la matemática y de la arquitectura e ingeniería.

Definimos las cónicas como lugares geométricos de puntos de un plano así como secciones planas de una superficie cónica. Presentamos diversas aplicaciones de las cónicas, desde las tradicionales de órbitas elípticas de los planetas al moverse alrededor del Sol y los rayos de luz en una linterna, y otras vinculantes con la arquitectura y la ingeniería. Incluimos otras curvas como la catenaria y la cicloide. El espacio lo iniciamos presentando las rectas y planos y sus posiciones relativas. Luego, al pasar del plano al espacio mediante rotación de curvas planas en torno de ejes, se obtienen superficies cuádricas de revolución: esferas, cilindros, elipsoides, paraboloides e hiperboloides. Las cuádricas son superficies muy utilizadas en la arquitectura y la ingeniería, desde las clásicas como los conos, los cilindros (que son cuádricas regladas) y las cúpulas esféricas, hasta las otras cuádricas regladas como los hiperboloides de una hoja y el paraboloide hiperbólico. De esto se muestran diversos ejemplos de obras civiles.

MATRICES Y TRANSFORMACIONES

El desarrollo del tema se inicia con algunas situaciones conducentes a plantear matrices y sigue con sus operaciones (adición y sustracción, producto por un número, multiplicación) y algunas matrices espe-ciales. Se expresan diversas transformaciones geométricas del plano y del espacio con matrices y se estudian los cuadrados mágicos y los códigos como aplicaciones del álgebra matricial.

FRACTALES

Este es un tema novedoso para los estudiantes y docentes, y en general para el público, puesto que no está incluido en los programas de la educación secundaria ni en el primer año universitario y, por lo tanto, gran parte de los lectores que habrán escuchado tal nombre no lo conocen, pues no tuvieron oportunidad de estudiarlo. Sin em-bargo, ya en “El mundo de la matemática” se motivaron las sucesiones con el fractal de Sierpinski y en el “Tengo que pensarlo” correspon-diente se propuso el fractal copo de nieve de von Koch.

La geometría fractal es la “geometría de la naturaleza”. Fue creada por Benoît Mandelbrot en 1975 y desde entonces se ha desarrollado vastamente, pasando a ser una teoría matemática con numerosas aplicaciones a otras ciencias e inclusive es utilizada en las artes. Presentamos ejemplos diversos de fractales: fractal de Sierpinski, fractal H, el polvo de Cantor, y se define la dimensión fractal que es, junto con la autosemejanza, la característica clave de los fractales. Además de los fractales en dos dimensiones, se construyen algunos en tres dimensiones y se dan ejemplos de fractales en obras de arte.

MATEMÁTICA, ARTE Y ARQUITECTURA

A lo largo de todos los fascículos que componen los tres volúmenes de la colección de matemática, se han incluido, de manera sistemática, conexiones de los temas tratados con las artes (pintura, escultura y música) y la arquitectura e ingeniería. En el cierre de la colección presentamos una visión unificadora en cuanto a esas conexiones y una comparación entre la evolución de la matemática y la de las artes (básicamente pintura y escultura), resaltándolas con pensamientos de artistas venezolanos como Jesús Soto, Mercedes Pardo y Manuel Quintana Castillo.

Asimismo, dedicamos un fascículo a construcciones geométricas; entre éstas a los polígonos regulares y a la perspectiva, puesto que como se observa a través de la colección, ellas tiene incidencia en arte, arquitectura e ingeniería.

Polígonos y poliedros

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“Si no puedo dibujarlo es que no lo comprendo”

Albert Einstein (Alemania, 1879-1955).

Tributo a Einstein

La geometría euclidiana establece como elementos básicos puntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figu-ras que se pueden construir con esos elementos, con parte de ellos y con otras figuras como cónicas, cuádricas, etc. Así, con semirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzan a construir ángulos, polígonos y poliedros.

El mundo de los polígonos

Lo anterior nos indica que los polígonos (poli=muchos y

gonos=ángulo) son figuras de muchos ángulos, pero es

necesario establecer que los polígonos se definen de tal forma que el número de ángulos, de lados y vértices son iguales. Una definición de polígono es: una figura plana, cerrada, formada por segmentos que se unen sólo en sus extremos y en donde dos segmentos adyacentes no son colineales.

El mundo de las formas poligonales y poliédricas

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar”

Hipatia de Alejandría (Egipto, 370-415 d.C.)

Punto. Dimensión 0: no tiene largo, ancho ni altura

Recta. Dimensión 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura

Plano. Dimensión 2: tiene largo y ancho, no tiene altura

Espacio. Dimensión 3: tiene largo, ancho y altura

Estos son polígonos

Estos no son polígonos

Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vértices, se denomina diagonal del polígono. La unión de dos lados consecutivos del polígono determina un ángulo del mismo llamado ángulo interior del polígono. Un lado y la prolon-gación del otro determinan un ángulo exterior.

Vértice

Lado

Diagonal

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

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Clasificación de polígonos

Una clasificación de los polígonos es:

Polígonos

No convexos (cóncavos)

Convexos

Regulares

No regulares

Equiláteros (lados

iguales)

No equiláteros

P Q

Se caracterizan porque si elegimos en el polígono dos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQ también está en el polígono. Otra caracterización de los polígonos convexos es que todos sus ángulos internos miden menos de 180°.

P

Q

Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos P y Q cualesquiera en el polígono, pero el segmento PQ no está completamente contenido en el polígono. Otra caracterización es que al menos uno de sus ángulos internos mide más de 180°.

P

Q P

Q

Se caracterizan porque son polígonos equián-gulos (todos sus ángu-los son iguales) y equi-láteros (todos sus lados son iguales)

Se obtienen al dividir una circunferencia en partes iguales y luego al unir los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, puede resultar un poli-gono regular estrellado

Decide: ¿cuáles de las siguientes figuras son polígonos? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son equiángulos? ¿Cuáles son equiláteros? ¿Cuáles son regulares? y ¿cuáles son no regulares?

Explica en cada caso el porqué de tu decisión.

A B C D

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por ello un polígono regular es inscrito en una circunferencia (todos sus vértices son puntos de la circunferencia) y es circunscrito en una

circunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunfe-rencia).

Se denomina ángulo central de un polígono regular el ángulo que tiene de vértice el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos.

Cada ángulo central de un triángulo equilátero mide =120°.

Cada ángulo central del pentágono regular mide =72°.

¿Cuánto mide cada ángulo central de un hexágono regular? ¿El de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada ángulo central de un polígono regular de n lados?

Se denomina apotema de un polígono regular al segmento determinado por el centro del polígono y el punto medio de un lado del polígono.

La medida de un ángulo interior de un polígono regular es igual a 180° menos la medida del ángulo central. ¿Por qué? El ángulo interior de un pentágono mide 108°. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular y el de un octágono regular?

En general, ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de n lados?

A partir de un polígono regular de n lados se pueden construir polígonos estrellados o formas estrelladas (que son no convexas) y se clasifican en dos categorías: polígonos estrella-dos y polígonos falsos estrellaestrella-dos.

Para construir una forma estrellada partimos de un polígono regular de n vértices. Enumeramos todos los vértices. Partimos de uno de éstos, por ejemplo del número 1, uniéndolos median-te segmentos de la siguienmedian-te manera:

El vértice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el 7 y así sucesivamente de dos en dos (p=2).

Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc.

Si al final se han unido todos los vértices y se llega al vértice inicial se obtiene una figura estrellada (polígono estrellado).

El mundo de los polígonos regulares

Hexágono regular Octágono regular

108° 72° Apotema Ángulo central Ángulo interno 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8

Hexagrama Falso estrellado Pentagrama

1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2) 360° 3 360° 5 360°/n α α

Cuando resulta más de un polígono éste se llama polígono compuesto o falso estrellado.

2α = 180°- 360₆°= 180 (6-2)

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Otro ejemplo de polígonos estrellados

A partir de un dodecágono regular (n=12), el cual se puede construir por duplicación de un hexágono regular o, también, utilizando un transportador y marcando sobre la circunferencia un ángulo central de 360°/12 = 30°. Tomar un compás y con esta abertura trazar los vértices del dodecágono. Numeramos las marcas del 1 al 12.

¿Cuántos octágonos estrellados hay? ¿Cuantos undecágonos estrellados hay?

Sugerencia: Determina los números primos con 8 menores que 4 y aquellos primos con 11 y menores a 5.

30°

360° 12 =30°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p=5 1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1 Resulta un dodecágono estrellado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p=3 1-4-7-10-1 2-5-8-11-2 3-6-9-12-3

Resultan tres cuadrados por lo que es un falso estrellado

p=2

1-3-5-7-9-11-1 2-4-6-8-10-12-2

Todo triángulo es inscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las mediatrices de los lados del triángulo y es circunscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo. Además, todos los polígonos regulares satisfacen las mismas propiedades.

En el caso especial de los cuadriláteros, existen los que se pueden inscribir en una circunferencia denominados concíclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polígonos regulares de 4 lados) y los rectángulos. Además de los rectángulos, hay otros cuadriláteros no regulares que son concíclicos.

Mostramos varios ejemplos de estos cuadriláteros.

El mundo de los cuadriláteros concíclicos

O

O

Una caracterización de los cuadriláteros concíclicos es la siguiente:

“Un cuadrilátero es concíclico sí y solo sí tiene dos ángulos opuestos suplementarios”.

Veamos porqué si un cuadrilátero es concíclico entonces tiene dos ángulos opuestos suplementarios.

El cuadrilátero ABCD es concíclico. Los ángulos ADC y ABC son ángulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC) es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC) es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arco ABC más la medida del arco ADC es 360º, luego m( ADC) + m( ABC) = 180°.

Por tanto, los ángulos ADC y ABC, opuestos en el cuadrilátero concíclico, son suplementarios. De igual forma se demuestra que los ángulos BAD y BCD son suplementarios.

A

B C D

O

Observa en la figura los ángulos del cuadrilátero y los diferentes ángulos que se forman al trazar las diagonales del cuadrilátero. Se establece que si el cuadrilátero es concíclico entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones:

i) m ( BAD) + m( BCD)=180° ii) m( ABC) + m( ADC)=180°

iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = y

Y recíprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera el cuadrilátero es concíclico.

A

B

D

O

d w

x a

b

y

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Desde tiempos remotos los polígonos se han utilizado en la pintura, en la arquitectura y en la decoración de monumentos, además de su sentido místico-religioso.

A los pitagóricos, conocedores del dodecaedro que representa El Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinaba este poliedro por su relación con el pentagrama o estrella de cinco puntas que era el símbolo místico y de identificación de esa hermandad, lo que a su vez está relacionado con el número de oro. Éste fue también el signo cabalístico con el que el Fausto del gran escritor alemán Göethe (1749-1832) atrapó a Mefistófeles.

Diseño de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa una circunferencia para representar el perímetro interior y las filas de asientos. Se inscriben cuatro triángulos equiláteros que reproducen el polígono estrellado compuesto de 12 lados (n=12 y p=4). Los astrólogos utilizan desde tiempos inmemo-riales una figura semejante a ésta para representar los 12 signos del zodíaco.

En el diseño de edificaciones como templos, monumentos, edificios, también es común encontrar polígonos.

Los polígonos en el diseño,

las artes y la arquitectura

El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci (1452-1519), en sus planos para construir iglesias utilizaba los polígonos regulares como una parte esencial del diseño. Allí vemos una planta octogonal en la que se agregan capillas a la iglesia sin que se afecte la simetría del edificio principal.

El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los maestros del barroco italiano, igualmente se valía de los polí-gonos.

Observemos, a la derecha, el esquema geométrico de la planta de San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su parte superior.

La decoración, el diseño artístico, las artes en general, tienen en los polígonos un gran aliado. Es innumerable la utilización de los polígonos en estos campos, de los que suministramos unas pocas muestras en estos fascículos.

En la fotografía observamos el famoso Pentágono sede del departamento de defensa de los Estados Unidos. Éste es el edificio más grande del mundo con forma de pentágono, consistente de cinco anillos consecutivos de cinco plantas cada uno. Composición de Víctor Vasarely (Hungría,

1908-1997). Observa los cuadrados y los rombos, que al mantener fija la vista crean una sensación de movimiento.Vasarely es uno de los maestros del arte cinético virtual. Mediante “trucos perceptivos” se observa un movimiento debido a los ángulos de enfoque y al desplazamiento del observador.

Polígonos y poliedros

Rojo central (1980).

El científico se ocupa de demostrar hechos, para comprobarlos, las mentes más estrictas utilizan ecuaciones matemáticas, luego vienen otros hombres, que aplican estos conocimientos y los traducen en objetos concretos con aplicabilidad práctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible, aquella que no se puede demostrar a través de esas fórmulas matemáticas: es la realidad sensible, son dos formas de explo-rar, descubrir y explicar el universo, los cuales normalmente marchan paralelas"

Pasamos del mundo de los polígonos (figuras planas o bidi-mensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espacio tridimensional). En el proceso de fabricación de piezas y en la construcción de edificios tiene especial importancia la interpretación del plano de la pieza o del edificio, para luego construir el modelo, réplica de la pieza que se producirá posteriormente.

Así también construimos cuerpos a partir de sus respectivas redes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estruc-turas de uso en la construcción y el diseño.

Las figuras representadas son cuerpos geométricos en el espa-cio, limitados por un número finito de superficies planas. Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficies planas en cuestión son polígonos y se denominan caras del poliedro.

El mundo de los poliedros

Observa cualquiera de los poliedros que están dibujados y algunos de sus elementos característicos:

a) ¿Cómo definirías cada uno de sus elementos? b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?

c) ¿Cuántas caras, como mínimo, habrá que juntar en un vértice?

d) ¿Cuánto pueden sumar, como máximo, los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice?

Se denomina orden del vértice al número de caras que con-curren a un mismo vértice. Este poliedro tiene orden del vér-tice 3.

Cara Vértice

Este es un poliedro que tiene 14 vértices, 21 aristas y nueve caras.

Este cuerpo geométrico no es un poliedro.

Poliedros

No convexos (cóncavos)

Convexos

Regulares (sólo hay 5)

No regulares

Regulares estrellados

(hay 4)

No regulares

Se caracterizan porque cada uno de ellos se puede apoyar en una superficie plana sobre cada una de sus caras.

Se caracterizan porque cada uno de ellos no se puede apoyar en una superficie plana sobre alguna de sus caras.

Se caracterizan porque to-das sus caras son polígo-nos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Decide: ¿cuáles de los siguientes cuerpos son poliedros? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son cóncavos? ¿Cuáles son regu-lares? y ¿cuáles son irreguregu-lares? Explica en cada caso el porqué de tu decisión.

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

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Clasificación de poliedros

Una clasificación de los poliedros es la siguiente:

Se caracterizan porque son poliedros con caras no con-gruentes y en el caso de la segunda figura, aunque sus caras son congruentes no tie-nen el mismo número de caras en cada vértice.

A B C D

Los poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre de sólidos platónicos en honor al filosofo griego Platón (428-347 a.C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a Pitágoras (siglo IV a.C.) y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas sólido de los cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que al dodecaedro le asignó el Universo. Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al dodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final.

En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el número de vértices V, el número de aristas A y el número de caras C.

Calcula V-A+C. ¿Qué número se obtiene? La relación resultante fue demostrada por Euler.

El mundo de los poliedros regulares

Hexaedro regular o cubo

Tetraedro regular Dodecaedro regular

Icosaedro regular Octaedro regular Poliedro regular Modelo Caras Vértices Aristas Aristas por vértice 6 cuadrados 8 12 3 4 triángulos equiláteros 4 6 3 20 30 3 12 30 5 6 12 4 12 pentágonos

regulares 20 triángulosequiláteros 8 triángulosequiláteros Observa los

cinco poliedros regulares, las caras

idénticas que se encuentran en cada vértice y el elemento que representan. Tetraedro (fuego) Icosaedro(agua) Dodecaedro (universo) Octaedro (aire) Cubo (tierra)

Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostró, de forma algebraica, porqué sólo existen cinco tipos de poliedros regulares con-vexos.

Supongamos que se pueda construir un poliedro regular con-vexo cuyas caras sean polígonos regulares de n lados. Luego, el ángulo de cada vértice del polígono mide x 180°. Si el orden del vértice de un poliedro regular es p, entonces la suma de los ángulos de un vértice del poliedro es:

p [ x 180°]. Pero esta suma tiene que ser menor que 360°, porque si fuera igual a 360° las caras estarían en un plano y no se tendría una figura sólida.

Luego: p[ x 180°] < 360°

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Los sólidos platónicos pueden además ser proyectados sobre un plano. Esta proyección se obtiene eligiendo una cara y proyectando los lados del poliedro platónico desde un punto O por encima del centro de esta cara. La figura que se obtiene se llama diagrama de Schlegel. También se pueden obtener si rompemos una cara y estiramos las restantes caras sobre la pared, sin romper las aristas. Observa el diagrama de Schlegel del cubo.

Parte de las características del poliedro (como la conexión entre vértices y lados) se preserva en su correspondiente diagrama de Schlegel. Esto facilita el estudio de determinados problemas, tales como recorrido y coloración. En el caso de los sólidos platónicos estos diagramas son únicos (no depende de la cara desde la que se proyecte).

También se pueden hacer los desarrollos planos tal como se enseñan en Educación Básica (1ª y 2ª etapas) además de los diagramas de Schlegel de los poliedros platónicos. Estos desarrollos los presentamos en la página siguiente.

Proyección de Schlegel

A B C E D F G H O E’ F’ A’ B’ E’ A’ B’ F’ H G C D (n-2) n (n-2) n

p[ ] < 2 p(n-2) < 2n pn -2p -2n < 0 pn - 2p - 2n +4 < 4 p (n-2) - 2 (n-2) < 4 (p-2)(n-2) < 4

(n-2) n (n-2)

n

Como cada cara de un poliedro regular debe tener más de dos lados y más de dos caras deben concurrir en cada vértice, vemos que p y n deben ser mayores que 2. Las únicas solucio-nes (n,p) a esta desigualdad son (3,3), (3,4), (3,5) (4,3) y (5,3). La tabla a la derecha justifica lo anterior.

n p n-2 p-2 (n-2)(p-2) Figura

3 3 1 1 1 Tetraedro

3 4 1 2 2 Octaedro

3 5 1 3 3 Icosaedro

4 3 2 1 2 Cubo

5 3 3 1 3 Dodecaedro

360°/n

α α

2α = 180°- 360°

Tetraedro

Hexaedro regular

o cubo

Dodecaedro

Icosaedro

Octaedro

Vista

Desarrollo plano

Diagrama de Schlegel

Como hemos visto sólo existen cinco poliedros regulares con-vexos. Si eliminamos la condición de ser convexo tenemos cuatro más. Éstos son conocidos como los poliedros de Kepler-Poinsot o poliedros regulares estrellados.

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Pequeño dodecaedro estrellado

Gran dodecaedro estrellado

Posteriormente, en 1809, Louis Poinsot (Francia, 1777-1859) descubrió los otros dos poliedros no convexos regulares, el gran icosaedro y el pequeño dodecaedro.

Pequeño dodecaedro

Gran icosaedro

Icosaedro stellato, 1981.

Materiales: acero inoxidable y cemento. Universo Icosaedro 2, 1980.

Material: acero inoxidable.

El escultor Attilio Pierelli (Italia, 1924- ) utilizó, en la década de los 80, figuras como el dodecaedro, el icosaedro, el hipercubo y otras para realizar sus obras.

Sí, entre estos se encuentran los poliedros semirregulares que son 17. Un poliedro convexo es semirregular si sus caras son polígonos regulares de dos o tres tipos. Entre estos sólidos están los arquimedianos, ya que se creen fueron descubiertos por Arquímedes, aunque no se tiene ninguna prueba docu-mental que lo acredite. Existen 13 sólidos arquimedianos. Siete de ellos se obtienen por truncamiento de los sólidos platónicos, es decir, por cortes de esquinas, acción que se puede ejecutar de varias maneras. Así, los denominados con el nombre del sólido platónico de origen más el término “truncado”, se obtienen al dividir cada arista en tres partes y cortar por estas divisiones. Si dividimos la arista a la mitad y truncamos, sólo obtenemos dos nuevos poliedros: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres se deben al hecho de que al realizar el proceso de truncamiento que acabamos de describir, en el caso de un cubo y un octaedro (respectivamente, icosaedro y dodecaedro) obtenemos el mismo poliedro. El cubo chato y el dodecaedro chato se obtienen con otro procedimiento.

Pero, ¿existen otros tipos de poliedros?

Tetraedro

truncado Cuboctaedro

Cubo

truncado Octaedrotruncado

Rombocuboctaedro

Cuboctaedro

truncado Cubo chato Dodecaedrochato

Icosidodecaedro Dodecaedro

Polígonos y poliedros

La disposición de los pétalos de las flores es, frecuente-mente, en forma poligonal.

Aquí tenemos una fotografía de la malva (Malva sylvestris) que tiene simetría pentagonal. Esta planta, cuyas flores son de color rosado o violáceo, se usa para infusiones calmantes y laxantes.

4

“La simetría, ya sea que se defina en un sentido amplio o restringido, es una idea por medio de la cual el hombre de todas las épocas ha tratado de comprender y crear belleza, el orden y la perfección.”

Desde la antigüedad se han estudiado los polígonos y los poliedros. Se ha encontrado un dodecaedro en esteatita de civilización etrusca que data de unos 500 años a.C.

Asimismo, hay un par de dados icosaédricos de la dinastía de los Ptolomeo que se conserva en el Museo Británico de Londres.

Diversas formas matemáticas aparecen en muchos fenómenos naturales. Las formas poligonales y poliédricas son frecuentes en la naturaleza.

Algunos esqueletos de radiolarios tienen forma poliédrica, como los aquí mostrados a la derecha; unos son un octaedro, otros un dodecaedro y los hay con forma de icosaedro regular. Los radiolarios son protozoos marinos que en su mayoría tienen un esqueleto formado por agujas muy finas o varillas silíceas sueltas o articuladas entre sí. Miden una fracción de milímetro de diámetro.

Los cristales

Igualmente encontramos los poliedros convexos en una variedad de formas, como los cristales de sal en forma de cubos, los diamantes naturales en forma octaédrica y otras estructuras cristalinas.

A diferencia de un cristal, el vidrio es una estructura amorfa, translúcida y frágil a la temperatura ambiente.

Un cristal es la repetición de un motivo básico que está com-puesto de un mínimo de átomos (la malla elemental o célula unitaria).

Así, el cristal está compuesto de un arreglo “periódico de blo-ques idénticos”, que son las mallas elementales que definen la estructura molecular interna del cristal. Pero no siempre es de esta forma como encontramos los cristales a escala ma-croscópica.

Por ejemplo, los diamantes naturales se presentan como octae-dros. Sin embargo, en 1913, los cristalógrafos William H. Bragg y su hijo Lawrence bombardearon los diamantes con rayos X y descubrieron que la malla elemental es un cubo en donde los 8 vértices y los centros de las 6 caras están ocupados por átomos de carbono y cada átomo de carbono está ligado a sus cuatro vecinos más próximos formando una configu-ración tetraédrica. A partir de esta malla elemental se construye todo el cristal mediante simple yuxtaposición a sí misma y por traslación paralela. La malla elemental tesela el espacio. La imagen de la derecha nos muestra el ordenamiento de los iones para formar la malla de un cristal de diamante.

Los polígonos y los poliedros

en las ciencias naturales

Fascículo 14 • Polígonos y poliedros

27

La forma externa refleja la estructura molecular interna de la molécula de sal que es una red cúbica, constituida por iones de sodio (Na, esferas rojas) e iones de cloruro (Cl, esferas amarillas) que se alternan en diferentes direcciones.

Al intersectar planos paralelos y observar la estructura bidimensional resulta la de un mosaico regular con cuadrados.

La forma del cristal del mineral de hierro (pirita) al igual que la de la sal es de tipo cúbica, reflejando su estructura molecular interna.

Las formas cristalinas se estudiaron desde la época de Kepler (s. XVII) y posteriormente, a inicios del s. XX, se utilizaron los rayos X para su estudio mediante diagramas de difracción. Los mineralogistas clasificaron esas formas en 7 sistemas (cúbico, tetragonal, rómbico, triclínico, hexagonal, romboédrico y monoclínico) y 32 grupos cristalográficos o clases de cristales (2D) de acuerdo con sus simetrías macroscópicas. Por ejemplo: todos los cristales poseen una simetría rotacional de orden 4 (1/4 de vuelta o giro de 90° alrededor de un eje privilegiado –eje principal–). El orden de la rotación significa que si la aplicamos cuatro veces consecutivas se obtiene la transformación identidad pues 4 · 90° = 360° y la figura que se rota retoma su posición inicial.

En el cubo dibujado se han marcado ejes de rotación con 2-2, 3-3, 4-4, que indican, respectivamente, rotaciones de órdenes 2, 3 y 4 (180° , 120°, 90°). Cada una de esas rotaciones deja invariante el cubo (transforma el cubo en sí mismo). Se dice que son simetrías rotacionales del cubo.

Asimismo, el plano que pasa por el centro del cubo y por los puntos medios de las aristas AB y CD es un plano de simetría del cubo (simetría especular).

La simetría externa de los cristales se caracteriza mediante planos de reflexión (simetrías especulares) y ejes de rotación (simetrías rotacionales), tal como los poliedros, pues las formas cristalinas son formas poliédricas. Los cristales son formas muy bellas de “teselación” del espacio.

4

4 E

D

A B

G H

C

F

En las décadas de los 80 y de los 90, se produjeron tres descubrimientos importantes en el campo de la química y de la física, uno de los cuales hizo cambiar la concepción tradicional de lo que es un cristal. Estos tres descubrimientos, en orden cronológico, fueron: los cuasicristales (1984), los fulerenos (1985) y los nanotubos (1991), que han encontrado gran variedad de aplicaciones en el mundo industrial y los mismos están vinculados a los polígonos y poliedros debido a sus configuraciones geométricas.

Los cuasicristales

En 1984, el químico Daniel Shechtmann y sus colaboradores Ilan Blech, John W. Cahn y Denis Gratias, descubrieron una forma de hacer una aleación de Aluminio (Al) con Manganeso (Mn), la Al6Mn, con el fin de lograr una aleación bastante fuerte. Cuando examinaron este “cristal” con rayos X, en el diagrama de difracción el material tenía una ordenación como la de un cristal pero no encontraron simetrías rotacionales de órdenes 3, 4 ó 6 que son propias de los cristales. En cambio encontraron una simetría rotacional pentagonal (de orden 5), lo que no es posible en los cristales, pues éstos únicamente pueden tener simetrías rotacionales de órdenes 2, 3, 4 ó 6 (teo-rema de restricción cristalográfica).

¿Cómo era posible esto? ¿Había algún error? ¿Cuál era la naturaleza de este “cristal imposible”?

En el ínterin, 1984, los físicos Paul J. Steinhardt y Don Levine, mediante simulación en computador modelaron ese “cristal” Al-Mn y le dieron el nombre de cuasicristal (cristal cuasipe-riódico) y la aleación respectiva se conoce como Shechtmanite. Hoy hay cerca de cien de tales aleaciones. Algunas tienen simetrías rotacionales de orden 8, 10 ó 12. Se tienen aleaciones como la del V-Ni-Si (vanadio-níquel-silicio) o la del Cr-Ni-Si (cromo-níquel-silicio).

La estructura molecular interna de ese tipo de cuasicristal produce una teselación del plano (un embaldosado) que tiene simetría pentagonal. Estas teselaciones (embaldosados) del plano con simetría pentagonales habían sido descubiertas en 1973 por el matemático británico Roger Penrose. Son tesela-ciones no periódicas (son cuasiperiódicas) como lo indicamos en la sección de teselaciones. Al nivel bidimensional, tal cuasi-cristal luce como el embaldosado de Penrose presentado a la derecha.

Patrón de difracción para un icosaedro cuasicristal (se muestran en blanco aquellos puntos de mayor intensidad). Hemos marcado en rojo algunos pentágonos de este patrón.

Fuente: Levine, D. & Steinhardt, P.J. (1984). Cuasicristales: una nueva clase de estructuras ordenadas en Physical Review Letters, Vol 53, Nº 26.

29

Los fulerenos

El carbono C se encuentra en la naturaleza en dos formas dis-tintas: diamante y grafito. El diamante es el material más du-ro conocido, es transparente y aislante. El grafito es opaco, conductor y se rompe fácilmente o se desmenuza. Lo utiliza-mos con frecuencia en la minas de los lápices. Su estructura geométrica es mediante capas o planos paralelos de átomos de carbono y en cada plano los átomos se ligan entre ellos por enlaces químicos formando una red con hexágonos regu-lares (imagen superior). El diamante presenta un entretejido más complejo que le da la dureza característica de ese material (imagen inferior).

En 1985, los químicos R. F. Curl y R. E. Smalley (Universidad de Rice) y Harry Kroto (Universidad de Sussex), vaporizaron el grafito y obtuvieron una forma estable de la molécula de carbono conformada por 60 átomos de carbono localizados en los vértices de un icosaedro truncado (poliedro arqui-mediano con 12 caras pentagonales y 20 caras hexagonales), el C60 (carbono sesenta).

Por esta razón se le dio el nombre de buckminsterfulereno (la buckyball), en honor de Buckminster Fuller, debido a su resemblanza con los domos o cúpulas geodésicas creados por Fuller.

Posteriormente se ha encontrado toda una familia de molé-culas, con átomos exclusivamente de carbono, que los químicos denominan los fulerenos pues su disposición espacial es pare-cida a las construcciones de Fuller: un fulereno es una molécula en forma de jaula convexa con caras únicamente hexagonales y pentagonales.

Se cree que el C60 puede ser un elemento común en el polvo interestelar. La buckyball se sintetiza en forma sólida y tiene usos en lubricantes y procesos catalíticos, entre otros. Los investigadores han modificado la estructura arquitectónica del C60 para producir nuevas moléculas más estables y fuertes, como el C70 y la del carbono 168 denominada la buckygim. Los fulerenos también han encontrado uso en la supercon-ductividad y en la medicina.

El descubrimiento del carbono sesenta recompensó a los tres científicos con el premio Nobel de química en 1996.

Molécula de grafito

Molécula de diamante

Los nanotubos

El prefijo nano indica 10-9 y hoy en día es muy común en las

denominadas nanotecnologías. Los nanotubos fueron descu-biertos en 1991 por Sumio Iijima de la NEC Corporation (Ja-pón). Los nanotubos son “gigantescos” fulerenos rectilíneos (la dimensión rectilínea es muy grande en comparación con su diámetro). Los fulerenos son el ladrillo elemental de la construcción de los nanotubos. En sus paredes, el nanotubo hereda de uno de sus ancestros, el grafito, una característica: el motivo hexagonal.

Para el químico, el nanotubo es un polímero compuesto únicamente de átomos de carbono que puede tener hasta un millón de átomos.

Desde el punto de vista físico, es un cristal unidireccional donde se reproduce periódicamente una misma célula de base. Es como un tubo cerrado en sus dos extremos, de diá-metro nanométrico.

Los nanotubos son materiales ligeros y sólidos y han encon-trado utilidad en electrónica.

Hoy en día estudiamos el mundo tridimensional que nos rodea y percibimos con nuestros sentidos. Además, el macro-mundo, esto es el Universo: los planetas, las estrellas, las galaxias, con distancias dadas en años luz. Y también tenemos el micromundo o nanomundo y en éste hablamos de nanotec-nologías y conceptos con el prefijo nano: los nanotubos, las nanobacterias, los nanocircuitos, las nanomáquinas, son parte de esta terminología.

En el Universo las medidas se hacen con millones de kilómetros y con años luz. En las nanotecnologías las medidas se hacen en nanosegundos (10-9s), nanometros (10-9m), etc.

Fuente: www.nanotech-now.com

31

Al igual que los polígonos, los poliedros se han utilizado en las artes y en la arquitectura desde siglos anteriores. Además han sido objeto de interpretaciones místico-religiosas, como lo atestigua la representación del fuego, de la tierra, del aire, del agua y del universo, mediante los cinco sólidos platónicos, símbolos de perfección y armonía, y la representación de estos poliedros, inscritos y circunscritos a esferas, realizada por Kepler en su búsqueda de por qué sólo existían seis planetas (los únicos conocidos en su época).

Ya el eminente artista, diseñador, arquitecto e ingeniero del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci, utilizó los poliedros para la decoración del libro “La Divina Proporción” (1509) del fraile franciscano Luca Pacioli (1445-1514), quien fue su maestro en matemática. Leonardo dibujó los poliedros (llenos y vacíos), de los que presentamos el dodecaedro vacío.

Antes de esta forma de representar los poliedros, los mismos se ilustraban como sólidos opacos que ocultaban la parte trasera o con segmentos transparentes en el cual el efecto producido no necesariamente permite distinguir si una línea es del frente o del trasero de la superficie. En la representación de Leonardo, con los poliedros huecos o vacíos, se observan las dos partes (frontal y trasera).

Los poliedros en las artes,

la arquitectura y la

ingeniería

Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia. http://www.imss.fi.it

Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia. http://www.imss.fi.it

Asimismo, en el primer retrato que se conoce de un matemá-tico, el de Luca Pacioli, podemos observar en la mesa un dode-caedro y en la parte superior izquierda un poliedro semirre-gular (arquimediano) transparente.

Igualmente, el pintor y grabador holandés Maurits Escher (1898-1972), a quien se considera uno de los artistas del s. XX más vinculados a la matemática por el uso que hizo de ésta mediante polígonos y teselacio-nes, espirales, geometría no euclidiana, el infinito, mundos imposibles, entre otros, también utilizó los poliedros en su arte.

En el diseño de edificaciones, monumentos y pabellones encon-tramos los poliedros.

El Complejo Cultural Teresa Carreño, en Caracas, tiene una forma tronco-piramidal resaltada por una vertiente de estruc-turas salientes. En el mismo, a la entrada de la Sala Ríos Reyna, podemos admirar en el techo una obra de Jesús Soto, artista cinético venezolano (1923-2005).

Polígonos y poliedros

Las superficies esféricas han sido utilizadas por los arquitectos e ingenieros para hacer cúpulas y domos esféricos, coronando los templos cristianos, las mezquitas islámicas y en los capito-lios de muchas ciudades y naciones.

En 1954, el ingeniero, inventor y diseñador Richard Buck-minster Fuller (Estados Unidos, 1895-1983), depositó una patente para sus domos o cúpulas geodésicas, que son una manera de construir domos, de forma esférica, conteniendo un máximo de volumen con un mínimo de material y bastante resistentes. Estos domos no tienen necesidad de tener soporte interior y se realizan a partir de triángulos que forman una grilla semiesférica, distribuyendo esfuerzos de manera pareja a los distintos miembros de la estructura y logrando de esta forma un cociente alto en la razón resistencia/peso. Esos triángulos conforman una red pentagonal y hexagonal como en el balón de fútbol. Son muy sólidos y luminosos.

Hoy en día se cuentan unos 300 000 domos construidos en el mundo. Tres ejemplos notables de tal construcción son: el pabellón norteamericano en la American Exchange Exhibition (1959) en Moscú, la cúpula geodésica del pabellón norteame-ricano en la Exposición Mundial (1967) de Montreal (Fotografía superior), y la cúpula en la ciudad de ciencia y tecnología de La Villete, París-Francia (Fotografía intermedia).

Superficies esféricas y

poliedros en arquitectura

e ingeniería

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

35

Recientemente, el diseñador y arquitecto Sanford Ponder diseñó unos refugios utilizados para la recreación y el trabajo, como las carpas de los vacacionistas, denominados ICOSA por su forma icosaédrica y con un diámetro de 9 a 23 pies (2,74 – 7,01 metros) y un peso máximo de 500 libras (≈ 227 kg) el mayor de ellos. Son como icosaedros cortados por la mitad y con ventanas triangulares.

Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. Las civilizaciones antiguas utilizaban teselados para la ornamentación de casas y templos, cerca del año 4000 a.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decora-ciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. El material utilizado era arcilla cocida que coloreaban y esmal-taban. Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo de trabajo, como los persas, los moros y los musul-manes.

Esos diseños con motivos repetidos son muy corrientes en nuestra vida cotidiana. Podemos pensar en las baldosas que recubren los pisos en forma de rectángulos, de cuadrados, de hexágonos regulares y con otros motivos, y también en los papeles decorativos de las paredes y los papeles que envuelven regalos. He aquí dos de tales diseños con motivos repetidos:

Teselaciones

Los diseños del matemático, como los del pintor o el poeta, han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas. G. H. Hardy (matemático británico, 1877-1947).

37

Si tenemos un cuadrado podemos rotarlo con centro en O (centro del cuadrado) y ángulo 90°. El cuadrado rotado es el mismo que el inicial y no se distingue uno del otro.

Para distinguirlos tendríamos que etiquetar los vértices y observar la acción de la rotación sobre éstos.

Se dice que el cuadrado es invariante por tal rotación de cen-tro O y ángulo 90° o que tiene una simetría rotacional de orden 4 (360°/4 = 90°). También el cuadrado tiene simetría axial pues es invariante, por ejemplo, cuando aplicamos una reflexión respecto de la recta que une los puntos medios de dos lados AB y CD.

90° O O A B C D O A B C D

Rotación en sentido horario con centro en O y ángulo de 90°.

Determinar todas las simetrías rotacionales y axiales de:

a) un cuadrado,

b) un triángulo equilátero, c) un rectángulo.

Observa la diferencia con el caso de un cuadrado.

Si tenemos una teselación del plano realizada únicamente con cuadrados congruentes, observamos que ella queda invariante por rotación de centro O y ángulo 90°. Esto se comprueba fácilmente si dibujamos la misma teselación en un papel transparente o en un acetato el cual colocamos encima haciendo coincidir el punto O y giramos 90°. Asimismo, por traslación según el vector a y traslación según el vector b, y por simetría axial respecto del eje L (el diseño se repite continuamente al mover la “vista” verticalmente y horizontalmente).

Determina otras simetrías de esta teselación.

Las teselaciones de un plano (pavage en francés y tile en inglés) son de diversos tipos. Aquí destacamos los llamados grupos de simetría del plano y los denominados mosaicos de los que hay una gran variedad y por cuestiones de espacio solamente damos algunos de ellos.

El Jardín Lumínico, ubicado en la auto-pista de Prados del Este de la ciudad de Caracas, parte de la idea del collage como matriz y del pixelado como resolución visual de una intervención que será vista y percibida a diferentes velocidades. Patricia Van Dalen utili-zó un fondo azul intenso, el cual está salpicado de una historia cromática con 14 matices diferentes. A través del pixelado logra transiciones entre un color y otro, y nos sugiere la abs-tracción de un paisaje urbano.

Cuando se recubre un plano con baldosas que no dejen huecos y que no se superpongan (encajan bien), se produce un mosaico.

Existen diferentes tipos de mosaicos de los cuales podemos diferenciar: los regulares (solamente existen 3), los semirregu-lares (solamente existen 8), los de Escher y los de Penrose (imagen a la derecha).

Mosaicos

Los mosaicos regulares se logran a partir de la repetición y traslación de un mismo polígono regular. Existen únicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el embaldosado de los pisos y se forman con: triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.

O

90°

a b a

b

O

60°

O

120° a

b

Tiene una simetría rotacional de orden 4 (360°/4 = 90°). Es un mo-saico que se observa con frecuen-cia en los pisos y en los papeles cuadriculados y milimetrados.

Tiene una simetría rotacional de orden 3 (360°/3 = 120°) y de orden 6. Es un mosaico que se observa bastante en los pisos y en los panales de abejas. Tiene una simetría rotacional de

orden 6 (360°/6 = 60°).

Observa que en cada uno de ellos indicamos dos vectores independientes,

a y b, con el fin de señalar que mediante traslación del polígono en esas

direcciones se obtiene el respectivo mosaico. Se dice que tales mosaicos son periódicos. Estos mosaicos son invariantes por traslaciones de vector

Mosaicos regulares

39

Un plano no se puede teselar con pentágonos regulares pues no encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares penta-gonales (los pisos de las viviendas no se pueden embaldosar con pentágonos regulares):

360°/5 = 72°

72°

108°

α

3α = 3 x 108° = 324°

Con tres pentágonos regulares alrededor del punto O no se cubren 360°, ya queda un hueco.

Hay algunos pentágonos, no regulares, con los que se pueden teselar los planos.

Ο

En cambio con pentágonos regulares (azules) y rombos (amari-llos) sí se puede embaldosar un plano, lo cual era conocido por A. Durero (1471-1528).

Con cualquier triángulo o cualquier cuadrilátero convexo del plano se puede, por repetición, teselar com-pletamente el plano. Observa la construcción, en el caso de un cuadrilátero, donde es suficiente con dibujar los simétricos respecto de los puntos medios de los lados.

D C

B A

C

B A

D

Observa una de las técnicas que hay para hacer teselaciones de un plano, partiendo de un paralelogramo ABCD (un para-lelogramo deformado).

Paso 1: Dibuja una curva c que una A con B y su imagen me-diante la traslación de vector AD.

Paso 2: Dibuja otra curva c’ que una A con D y su imagen me-diante la traslación de vector DC.

Paso 3: Repite el motivo utilizando esas dos traslaciones.

A B

D C

A B

D C

c

En éstos se combinan dos o más polígonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos. Existen solamente ocho tipos de mosaicos semirregulares, de los que a continuación mostra-mos cuatro de ellos.

Ángeles y Demonios (M. Escher). Con centro en A, B y C (puntos de encuentro de 4 alas) y mediante rotación de 90° se obtiene la misma figura (simetría rotacional de orden 4). Las rectas (de color amarillo) L1, L2, L3,... ubicadas en los ejes de los ángeles y los demonios, son ejes de simetría axial (reflexiones). Así, si doblamos “el plano” por uno de ellos, se obtiene la misma figura.

Polígonos y poliedros

6

A _B

C

L1 L2

Mosaicos de Escher

Escher (Holanda, 1898-1972) visitó Granada el año 1936 junto con su esposa y allí estudió detenidamente la decoración de las paredes, techos y pisos islámicos de La Alhambra (el gran palacio construido por los moros durante los s. XIII-XIV). Observó los motivos islámicos en las paredes, todos ellos de tipo geométrico, donde por cuestiones religiosas no hay figu-ras humanas ni de animales. Allí realizó sus dibujos y descu-brió las diecisiete posibilidades de teselar el plano (los 17 grupos de simetría del plano). Durante una labor de cerca de treinta años, Escher creó más de cien teselaciones periódicas de un plano utilizando una gran variedad de motivos.

Para construir tales mosaicos a partir de polígonos que teselan el plano, debe mantenerse el principio de conservación de áreas, esto es, si quitamos una parte hay que colocarla con igual área en otra parte. Esto lo podemos observar en un motivo islámico de La Alhambra de Granada como es la pajarita donde se preserva el área del triángulo equilátero de partida, y en el “paralelogramo deformado”. Observa, abajo, la creación de la figura de un pato a partir del polígono ABCD.

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C D

Observa cómo con pequeñas variaciones en las curvas apare-cerá la figura de un pájaro en vez de un pez volador. Recorta el modelo y tesela el plano.

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

Fascículo 6 • Polígonos y poliedros

43

Mosaicos de Penrose

Entre 1972 y 1973, el matemático británico Roger Penrose des-cubrió un conjunto de teselas que recubren el plano en forma no periódica; es decir, no se puede obtener la teselación a partir de un motivo y mediante dos traslaciones independien-tes. Posteriormente los químicos (1984) descubrieron una alea-ción de Aluminio (Al) y Manganeso (Al6Mn) que tenía ciertas

características de un cristal, pero al mismo tiempo no podía serlo pues tenía simetrías rotacionales pentagonales (ángulo de rotación 360°/5 = 72°) lo que es incompatible con la estructura de un cristal. Le dieron el nombre de cuasicristal y su conformación molecular bidimensional es como un teselado de Penrose.

Algunas teselaciones de Penrose, como las del cometa y del dardo, utilizan para su construcción el número de oro

φ= (1 + 5 )/2 ≈ 1,618. Transformando los dardos y los cometas Penrose creó una teselación no periódica llamadas las gallinas

aperiódicas de Penrose. Como las teselaciones son explotadas

comercialmente y en rompecabezas, Penrose tardó cierto tiem-po en dar a conocer sus embaldosados hasta que los patentó en los Estados Unidos, Japón y el Reino Unido.

El alicatado es un revestimiento plano conseguido colocando pequeñas piezas de diferentes formas geométricas (Alíceres). El alicatado fue el primer revestimiento cerámico utilizado en Al-Andaluz (espacio geocultural y político hispano-árabe, s. VIII-XV) para adornar los muros interiores de las edificaciones, ya que para los exteriores y los pavimentos de las casas se conocía el uso de losetas esmaltadas con estaño. En Sevilla, los zócalos del alicatado más sobresaliente pueden admirarse en los Reales Alcázares, en la iglesia de San Gil y en la Casa Olea, así como pueden verse muestras de alicatado en la portada del monasterio de San Isidoro del Campo y en las

Teselaciones en el espacio

Ya conociendo algo del mundo de las teselaciones de un plano, caben ahora las siguientes preguntas:

¿Y qué hay de las teselaciones del espacio. Se podrán hacer con los poliedros regulares o con otro tipo de poliedros ? ¿Se pueden teselar superficies en el espacio, por ejemplo, la esfera?

Damos algunas respuestas parciales pues un desarrollo del tema sería bastante extenso.

Con los tetraedros regulares no es posible teselar el espacio, pues el ángulo diedro entre dos caras de un tetraedro mide 70° 32’ que no es un submúltiplo de 360° (recuerda el caso de los pentágonos regulares).

En cambio con cubos si es posible teselar todo el espacio; el ángulo diedro entre dos caras mide 90° que es un submúltiplo de 360°. También con los octaedros truncados como se ve en la figura.

Cuando hablamos de teselación sobre una esfera significa con polígonos situados sobre la misma (polígonos “curvos”), cuyos lados son arcos de circunferencia máxima que son las “rectas” sobre una esfera en la denominada “geometría esférica”). Es conocido que la esfera se puede teselar con triángulos. Observa los diez triángulos ubicados en el centro A y los seis triángulos que rodean el punto B, en que los ángulos son de 60°.

Utilizando doce pentágonos regulares se puede teselar una esfera.

Es imposible de teselar la esfera únicamente con hexágonos regulares. Pero, una combinación de pentágonos y de hexá-gonos regulares da una teselación de la esfera, tal como se aprecia en las pelotas de fútbol.

70°32’

90°

B

A

El pintor y matemático Piero Della Francesca (1416-1492), considerado actualmente como uno de los primeros artistas del Renacimiento, se fascinó por los poliedros y esto le condujo a desarrollar propiedades de antiguos y nuevos poliedros. Uno de sus libros, “Libellus de quin-que corpibus regularibus” (1480) conservado en la Biblioteca Vaticana, contiene la figura que conocemos del icosaedro truncado, cuyas sesenta caras son pentágonos y hexágonos en la misma distribución que ahora se utiliza para

construir balones de fútbol.

Dimensiones, coordenadas y grados de libertad

Anterior al Renacimiento (s. XV), la pintura que se hacía en madera (trípticos), lienzo y murales era muy estática. Las figuras en cuestión carecían de movimiento y sus proporciones a veces no eran las más adecuadas. Todo se reflejaba en un único plano sin lograr una sensación de profundidad en el cuadro. Sin embargo, el mundo en que vivimos, el de nuestra experiencia cotidiana, es tridimensional (3D) y para entenderlo a cabalidad necesitamos comprender tanto lo unidimensional (1D) como lo bidimensional (2D).

En el Renacimiento italiano se producirá un cambio signifi-cativo en cuanto a las artes y la arquitectura.

De una parte con “los colores venecianos” (Venecia) y por la otra con “la perspectiva florentina” desarrollada en la ciudad de Florencia (Italia), lo cual permitió capturar el realismo del mundo tridimensional y crear la ilusión de profundidad en la pintura, la escultura y la arquitectura, dando lugar a la repre-sentación de la realidad tridimensional (largo, ancho y profun-didad) en una superficie bidimensional (la tela de un cuadro, una pared o un papel) y creando así la imagen de profundidad.

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Un mural egipcio (s. XIX a.C.). Las figuras están pintadas en un solo plano (son bidimensionales) sin ilusión de profundidad. Este tipo de pintura es típico de antes del Renacimento.

La alabanza de las abejas. Pintura del Medioevo. Biblioteca Apostólica

Vaticana, Roma. Fuente: www.library.nd.edu

La anunciación. Filippo Lippi, pintor renacentista (Italia c. 1406-1469).

El Renacimiento se caracteriza por el estudio y dominio de la perspectiva. Para lograrla se pueden utilizar los llamados puntos de fuga, los cuales permiten darle profundidad a un cuadro o ilustración. En esta página presentamos varios ejemplos correspondientes tanto al Renacimiento como a fechas posteriores a él.

El punto del horizonte donde convergen las líneas de una perspectiva se denomina punto de fuga.

Utilización de dos puntos de fuga centrales para la ilustración de la plaza central de una edificación.

En la ilustración podemos observar como Filippo Brunelleschi (Italia, 1377-1445) utilizó varios puntos de fuga para ilustrar el Duomo en Italia, ya que la figura al no ser rectangular así lo amerita.

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Muchos objetos de nuestra vida cotidiana son bidimensionales, tales como las superficies de: pantallas de televisión, pantallas de computadoras, pantallas cóncavas de cine; así como las páginas de los libros y de los cuadernos, los pisos y las paredes. De igual manera dan idea de lo que es unidimensional los hilos de coser, los alambres finos, una hebra, un filamento... La noción de dimensión es fundamental para la comprensión de la realidad. Con este concepto están aparejados los sistemas de coordenadas y los grados de libertad que utilizan los físicos e ingenieros en sus trabajos.

Una línea representa una sola dimensión (1D). No necesaria-mente tiene que ser representada rectilíneanecesaria-mente: un tren o el Metro de alguna ciudad que se mueve en una vía férrea lo hace en una dimensión. Esta línea férrea puede ser recta o curva, y subir o bajar en una colina, pero el vagón del tren tiene solamente una “dirección” de movimiento. Puede ir hacia adelante o hacia atrás y son la misma “dirección” pero sentidos opuestos.

La línea del tren está situada en nuestro mundo tridimensional, pero el movimiento del tren es unidimensional. Si fijamos una estación del tren como origen O, su posición en un instante de tiempo determinado queda especificada por un único número, se dice por un sólo parámetro: la distancia al origen medida a lo largo de la línea (recta o curva), lo cual se expresa con que ese movimiento tiene un grado de libertad.

Un barco navegando en el océano tiene dos grados de libertad para moverse, son dos direcciones independientes: en una dirección, de popa a proa, puede ser en sentido hacia delante o en sentido hacia atrás, y en la otra dirección, la transversal, de babor a estribor, puede ser hacia la izquierda o hacia la derecha. Así el barco se mueve en dos dimensiones, que en este caso no es plano sino curvo por ser la Tierra y, por lo tanto, su posición en un instante de tiempo determinado está dado por dos parámetros como son la latitud y la longitud.

Figura tridimensional generada por computadora para ser visualizada en un monitor bidimensional.

Un avión se mueve en el espacio tridimensional y tiene tres grados de libertad para moverse, son tres “direcciones inde-pendientes”: en “dirección” de la cola a la punta lo hace hacia delante o hacia atrás (después de girar); en “dirección trans-versal” al avión lo hace hacia la derecha o hacia la izquierda; y en la “tercera dirección” puede ser hacia arriba o hacia abajo. Su posición, en un instante de tiempo, está dada por tres pará-metros como son la latitud, la longitud y la altura.

Análogamente, si se trata de un submarino en lugar de un barco, se necesita la latitud, la longitud y la profundidad a la que se encuentra el submarino.

Si un automóvil viaja dentro de un túnel con sólo dos canales de circulación, está obligado a permanecer en el canal de la derecha (si cambia de canal comete infracción lo que es altamente penalizado en muchos países). Así, su trayectoria es unidimensional. Al salir del túnel, puede girar hacia la iz-quierda, ha tomado otra “dirección”, y luego volver a su canal, es decir puede moverse en 2D.

En esos ejemplos los grados de libertad y su respectivas dimen-siones son coordenadas geométricas. Los parámetros son entes geométricos, a lo máximo tres. No necesariamente esto ocurre siempre. El vuelo del avión o la navegación del submarino, en función del tiempo, requiere otra información: la velocidad con que se mueve. Luego se tienen cuatro grados de libertad que se determinan, en cada instante de tiempo, mediante cuatro parámetros: tres que son geométricos (latitud, longitud, altura o profundidad) y otro que es dinámico (velocidad). Entonces estamos en un espacio de cuatro dimensiones o con cuatro grados de libertad.

M Latitud y longitud de la proyección M de P

Centro del planeta

M

P Longitud y latitud de la proyección M de P

Bitácora de Cristóbal Colón donde se reflejaban los datos de posición (longitud y latitud), profundidad y tiempo de travesía.

Fuente: http://history.missouristate.edu Dos posiciones