INTEGRAL DE RIEMANN
Claudia Ridol…
Universidad Nacional de San Luis
21/08/18
De…nición
Sea
f
:
[
a
,
b
]
!
R
acotada
Una
partición
de
[
a
,
b
]
es
P
=
f
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
g
con
a
=
x
1
<
x
2
<
...
<
xn
=
b
Dada una partición
P
, para cada 1
i
n
,
M
i
=
sup
x
i 1x
x
if
(
x
)
y
m
i
=
inf
x
i 1x
x
if
(
x
)
Suma inferior
L
(
f
,
P
) =
n
∑
i
=1
mi
(
xi
xi
1
)
Suma superior
U
(
f
,
P
) =
n
∑
i
=1
Si
Q
es un re…namiento de
P
1
y
P
2
L
(
f
,
P
1
)
L
(
f
,
Q
)
U
(
f
,
Q
)
U
(
f
,
P
2
)
para toda
P
1
,
P
2
sup
P
L
(
f
,
P
)
inf
P
U
(
f
,
P
)
Example
f
(
x
) =
f
0
3 si
si x
x
=2
6
=2
de…nida en
[
0
,
4
]
L
(
f
,
P
) =
0
y
U
(
f
,
P
) =
3
(
x
i
x
i
1
)
donde
x
i
1
<
2
<
x
i
sup
P
L
(
f
,
P
) =
inf
Examples
g
(
x
) =
f
0
1 si
si
x
2
x
2
/
Q
Q
de…nida en
[
0
,
1
]
L
(
f
,
P
) =
0
,
U
(
f
,
P
) =
1
sup
P
L(f,P)
<
inf
P
U(f,P)
De…nición de Integral de Riemann
f
es
integrable
en
[
a
,
b
]
si
sup
P
L
(
f
,
P
) =
inf
P
U
(
f
,
P
)
Este número sera la
integral de
f
sobre
[
a
,
b
]
Z
b
a
f
o bien
Z
b
a
f
(
x
)
dx
Denotamos
f
2
R
Si
f
0,
R
a
b
f
recibe el nombre de
área
de la región determinada por la
función
f
.
Pot lo tanto,
L
(
f
,
P
)
Z
b
a
Criterio de Integración
Teorema
Sea f acotada en
[
a
,
b
]
, f
2
R si y sólo si para todo
e
>
0
existe una
partición P de
[
a
,
b
]
tal que
U
(
f
,
P
)
L
(
f
,
P
)
<
e
Propiedades
1) Sea a
<
c
<
b
.
La función f
2
R en
[
a
,
b
]
()
f
2
R en
[
a
,
c
]
y f
2
R
en
[
c
,
b
].
Además
R
b
a
f
=
R
c
a
f
+
R
b
c
f
2) Si f
,
g
2
R en
[
a
,
b
] =
)
f
+
g
2
R en
[
a
,
b
]
y cf
2
R en
[
a
,
b
]
R
b
a
f
+
g
=
R
b
a
f
+
R
b
a
g
y
R
b
a
cf
=
c
R
b
a
f
Si f
,
g
2
R en
[
a
,
b
]
y f
g y m
f
M
,
entonces
R
b
a
f
R
b
a
g
y
m
(
b
a
)
R
b
Propiedades
Teorema
Sea f
2
R y acotada en
[
a
,
b
]
con m
f
M
.
Si
ϕ
es continua en
[
m
,
M
] =
)
ϕ
of
2
R en
[
a
,
b
].
Si f
,
g
2
R en
[
a
,
b
] =
)
f
.
g
2
R en
[
a
,
b
]
y
j
f
j 2
R en
[
a
,
b
]
j
R
a
b
f
j
R
b
a
j
f
j
De…nition
Sea
F
:
[
a
,
b
]
!
R
k
con
F
= (
f
1
,
f
2
,...,
fk
)
y fi
:
[
a
,
b
]
!
R
.
Entonces
F
2
R
si
f
i
2
R
,
para
i
=
1
, ...,
k
.
En este caso
R
b
a
F
(
x
)
dx
= (
R
b
a
f
1
(
x
)
dx
, ...,
R
b
a
f
k
(
x
)
dx
)
¿Qué funciones son integrables?
Teorema
Si f es continua en
[
a
,
b
] =
)
f
2
R en
[
a
,
b
].
Teorema
Si f es monótona en
[
a
,
b
] =
)
f
2
R en
[
a
,
b
].
Example
f
(
x
) =
f
n1si
1
n+1
<
x
1n
