Complejidad de la familia de los compactos de un espacio métrico numerable

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(1)'; , . JI. : t):::. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS DEPAHTAMENTO DE MATEMÁTICAS GRUPO DE ANÁLISIS FUNCIONAL. Complejidad de la Familia de los Compactos de un Espacio Métrico Numerable. RAÚL NAULIN. M.. TRABAJO ESPECIAL DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGISTER EN MATEMÁTICAS TUTOR: DR. CARLOS UZCÁTEGUI. MÉRIDA- VENEZUELA. 2009. .'. . SERB!ULA D0U1ac~6n.

(2) El Hombre no nace cuando ve la luz, sino cuando empieza a irradiarla.. 2.

(3) Agradecimientos. Un agradecimiento al CDCH por su importante apoyo económico mediante el proyecto N°C-1545-08-05-Em y a todas aquellas personas que hicieron posible este trabajo. ¡Gracias!. 3.

(4) ,. Indice general. Introducción. 5. Preliminares. 7. 1. Un Teorema de Hurewicz. 1.1. La ni-completitud de K(Q) C;;; K(lR). 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 2. Algunos resultados con respecto a K(X) C;;; 2x con X espacio métrico numerable 27 Q 2.1. La ni-completitud de K(Q) C;;; 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. La ni(2 X )-completitud de K(X) con X espacio topológico numerable 40 3.1. El caso (X, T) metrizable .. 41 3.2. El caso (X, T) no metrizable . 45 Apéndice. 48. Bibliografía. 58. 4.

(5) Introd ucción. Antes de dar una explicación de lo que se quiere hacer haremos mención acerca de algunos conceptos seguramente conocidos por el lector.. Definición 0.1. Un espacio X es completamente metrizable si éste admite una métrica compatible el tal q'ue (X, el) sea completo. Un espacio Polaco es un espacio separable y completamente metrizable. Definición 0.2. Sea X 'un espacio Polaco. Un conjunto A X se dice que es analítico si existe un espacio Polaco Y y una función continua f : y ---> X tales que f(Y) = A.. s:. La clase de los conjuntos analíticos en X es denotada por ~~(X). y cuando no hay duda acerca del espacio Polaco X sobre el cual se trabaja escribimos ~~. Si A es un conjunto analítico. entonces su complemento A C se denomina coanalítico. La clase de los coanalíticos es denotada por IIi .. Definición 0.3. Sea X un espacio Polaco y A X. Decimos que A es ~i-completo si A es analítico y para todo espacio Polaco Y y todo conjunto analít'ico B y e.Tiste 'Ur¿a fzmción BOTeliana f : y ---t X tal que f-l(A) = B.. s:. s:. 5.

(6) Sea X un espacio topológico, entenderemos por K(X) al conjunto de todos los subconjuntos compactos de X.. Un teorema de Hurewicz efltablece lo siguiente:. Teorema 0.4. El conjunto K(Q) es ni-completo en el espacio K(lR) con la topolog{a de Vietor'is. Una consecuencia de ser K(Q) un conjunto ni-completo en K(lR) con la topología de Vietoris es que K(Q) es ni mas no Boreliano. Lo que se quiere hacer en este trabajo es generalizar el teorema de Hurewizc anteriormente mencionado. Notemos que K(Q) es también un subconjunto de 21QJ, por lo tanto es natural preguntarse acerca de la complejidad de K(Q) en 21QJ con la topología producto, es decir:. Teorema 0.5. El conjunto K (Q) es. ni - completo. en el espacio 21QJ con la topolog{a producto.. Los espacios K(lR) y 21QJ son distintos y sin embargo K(Q) es ni-completo ~n ambos. Estamos interesados en sustituir a Q por un espacio topológico numerable (X, T). No se puede prescindir de la condición de numerabilidad para el conjunto X porque de lo contrario no se podría asegurar que el conjunto 2x , con la topología producto, fuese un espacio Polaco. Para garantizar que K(X) sea coanalítico es suficiente suponer que T es un subconjunto analítico de 2x . Usualmente para demostrar que un conjunto es ni-completo primero se demuestra que es ni y luego se hace uso del método de reducción Wagde. Nuestro principal resultado, teorema 0.6 a continuación, se manifiesta cuando la topología T de X es metrizable. En este teorema se tiene una condición necesaria y suficiente para determinar cuándo el conjunto K(X) es ni (21QJ)-completo.. Teorema 0.6. Sea X un espacio métrico numerable. El conjunto K(X) es n~-fOmpleto en 2x si, y sólo si, existe un s'ubconjunto E ~ X horneomorfo a Q. Este resultado es importante debido al papel que juega Q. Debernos dejar en claro que si (X, T) es metrizable entonces T es un conjunto n~(2X) y en consecuencia es ~i(2"\} Se desea tener un resultado similar cuando T no es metrizable. Sabemos que si X posee una copia de Q, entonces K(X) es ni-completo, sin embargo no se sabe si esta es una condición necesaria.. 6.

(7) Preliminares. Cuando tenemos un espacio métrico X los conjuntos pertenecientes a la clase de los Borelianos sobre X tienen distinto nivel de complejidad, por ejemplo, se define :E~ = {U ~ X : U es abierto en X} y. II? = {F ~ X. : F es cerrado en X}.. Sea W 1 el primer ordinal no numerable. Para 1 < transfini ta. :E~(X) =. Q. <. Wl. definimos por recursión. (U II3(X))cr f3<a. y. II~(X) = (. U:E3(X) )0,. Iko. es decir, un elemento de :E~ (X) se escribe como unión numerable de conjuntos en Uf3 <Cl: rr~(X). De manera similar un elemento de II~(X) se escribe como intersección numerable de elementos en Uf3 <ü :E~(X). Para 1 ::;. Q. <. Wl. definimos:. Finalmente tenemos que :E~, II~ ~ .ó.~+l y :E~ (de manera análoga II~ = -,:E~).. 7. =. -,II~. = {A C. ~ X : A E :E~}.

(8) Definición 0.7. Sean X y Y espacios Polacos y B se denotará :JY B, es decir. ?JYB. =. {x. E X:. ~. X x Y. La proyección 7rx(B) de B en X. (:r, y). E B. paTa algún y. E. Y}. y la coproyección de B por 'íjY B definida por 'íjY B =. {:r. E. X : (1', y) E B para todo y E Y}.. A lo largo del trabajo siempre se hará uso de una caracterización de conjunto analítico y es la siguiente:. Proposición 0.8. Sea X un espacio Polaco y A ~ X. Entonces A es analítico, si e:riste un espacio Polaco Y y 'un Boreliano B ~ X x Y tal que A = :JY B. Sean A un conjunto no vacío. Llamemos AN al conjunto de las sucesiones infinitas de elementos de A. Llamemos A <N al conjunto de las sucesiones finitas de elementos de A y A<n al conjunto de las sucesiones finitas en A de longitud n. Haremos 1lll breve comentario acerca de la forma de trabajar con elementos del conjunto A<N. Sean a = (ao, al,"" an-d, b = (bOl b1 ) ... , bm-d en A<N y p E N tal que p < n. Definimos. alp. (ao,· ... ,(Lp-l). El elemento t = alp se llama segmento inicial de a. También podemos decir que a extiende a t o que t es extendido por a y se escribe t -< (1, o (1, >- t. Por otro lado. t. =:::f.. La concatenación (ao,. a t>i, y sólo si, t -< a o t = a. al, ... ,. an-l, bo, bl , ... , bm-d de a y b la denotamos por. a~b.. Por último, la longitud de a (ao, al, . .. , (1,n-l) será denotada por 10,1 corresponde al número de términos que tiene la sucesión a.. ny. Definición 0.9. Un árbol T sobre un conjunto A es un i:J'ubconjunto no vacío de A <N tal que si s E T Y t -< s, entonces t E T. En pocas palabras T e8 un subconj'll,nto de A<N cerTado bajo -< -predecesores. 8.

(9) Los elementos de un árúol son llamados nodos y el cuerpo de un árbol T es el conjunto [T] = {a E A N : Vk E N(ctlk E T)}.. 0 y mal fundado. Un árbol T se dice que es bien fundado cuando [T] =. [T]. ~. si. 0.. Se dice que un árbol es de ramificación finita si para todo nodo s E T el conjunto {aEA:s~aET}. es finito. Finalmente, diremos que un árbol T es podado si todo sión propia, s -< t, t E T.. 3. E. T tiene 'Una exten-. Sea A un conjunto no vaCÍo. Denotemos Arb = {T ~ A<N : T es un árbol} y cuando A. = {O, 1} = 2 Arb 2 = {T ~ 2<N : T es un árbol}.. A lo largo del trabajo muchas veces hablaremos de árboles como subconjuntos de 2<N o lo que es lo mismo T E P(2<N). Si identificamos p(2<N) con 2 2 <H mediante funciones características, entonces podemos suponer T E 22 <PJ.. Definición 0.10. 2<1'<1 El espacio producto 2 tiene como subbase a los conjllntos de la forma S(s,O) = {f E 2 y. S(s,l). =. {f E 2. 2<1,. 2<1;. : f(s) = O} : f(3) = 1}.. Cuando se trabaje con árboles se hará uso de la notaczón. y ~+ =. {T. ,)<N. E 2-. : s E T}.. que son los mismos abiertos subbásiros expresados al principio. 9.

(10) Sea A un conjunto. Se sabe que los abiertos sub básicos de la topología producto sobre AH' está dada por los conjuntos de la forma. S(:c, U). =. {a. E. A N : a(x). E. U}. donde U es un abierto en A. Los abiertos de la forma. donde s E A<H' generan la misma topología producto sobre AN. Un resultado que nos será de mucha utilidad es el siguiente:. Teorema 0.11. Sea T un ár-bol sobr-e un conjunto A. Entoncés [T] es compacto si, y sólo si.. T es de mmificación finita. Demostración: ==*) Supongamos que T no es de ramificación finita. Existe una sucesión de nodos {tnh, en T tal que t p -If. t q para todo p, q E N. Sea {B(s)} un cubrimiento infinito de abiertos básicos de [T] tal que {B(tn)}¡¡, <;. {B(s)}. Es claro que de {B(s)} no se puede extraer un cubrimiento finito de [T] porque de lo contrario existiría abiertos básicos B (t p) y B (t q) tal que B(t q) <;. B (t p), con lo cual t p ~ t q . Como consecuencia [T] no es un conjunto compacto.. {:=) Supongamos que [T] no es compacto. Sea {B(Sn)}nEr un cubrimiento infinito de abiertos básicos de [T] sin subcubrimiento finito. Existe una sucesión infinita de nodos distintos en T tal que ninguna extiende a la otra. En efecto:. Paso 1: Sea PI E. r.. Paso 2: Existe P2 E. Es claro que [T]. r. Paso n: Existe Pn E U~~1 B(sp,).. %B(Spl); %B(spJ U B(Sp2); E {l, ... , n} y [T] %. tal que PI -If. P2, P2 -If. PI Y tal que [T]. r. tal que PI,; -If. pz para todo k, l. La sucesión {sp.,,}n cumple con lo anteriormente expuesto y como consecuencia T no es de ramificación finita.. •. 10.

(11) Proposición 0.12. El conjunto Arb 2 es cermdo en el espacio 2N <N. Demostración: Sea k E (Arb 2 )c. Existe rz E N tal que el n-ésimo elemento de la sucesión k, llamémoslo p, no es ni O ni 1. El abierto. S (p, 1) = {f. N<N. 2. E. : f (p). = 1}. está contenido en (Arb 2)C y 1.; E S(p, 1).. •. Proposición 0.13. El conjunto P Arb 2 = {T E Arb 2 : T es podado} es cermdo en 22<N. Demostración: Primero veamos que P Arb 2 es cerrado en Arb2 . Sea T terminal de T y tomemos el conjunto abierto. A. =. ~+. tí.. P Arb2 . Sea s un llodo. n( U V:-=-lJ nEN. El conjunto A contiene a todos los árboles que tienen como nodo terminal a s, por lo tanto es claro que T es un elemento de A. Sin embargo. Como P Arb2 es cerrado en Arb 2 y este último es cerrado en P Arb 2 es cerrado en 2I\!<N.. Proposición 0.14. El conjunto N = {Ct. E NN :. a(i) > O paTa infinitos i} es G s en. 2I\!. <1'<. ,entonces. •. NI\!.. Demostración: Identifiquemos a 2 con el conjunto {O, 1}. Se sabe que el conjunto W de todas las sucesiones eventualmente cero en 2I\! es un conjunto numerable y por ende Fa. De modo que. • 11.

(12) Proposición 0.15. El conjunto Arb; = {T E Arb2. :. [T]. n Ni- 0}. es 'E~ en 22<t~.. Demostración: Por definición de Arb; tenemos que. Para o E 2N consideremos los conjuntos. e. {(T,0)EArb 2 x2 N :OEN&OE[T]) {(T, o) E Arb 2 x 2M : o E N & Vi E N(oli E T)};. A. {(T,0)EArb 2 x2 M :OEN};. B. {(T, o) E Arb 2 x 2N : Vi E N(oli E T)}.. Por la proposición 0.14 en conjunto A es C J . El conjunto B es cerrado. Así. C=AnB 2M. es un conjunto Boreliano y en consecuencia 3 C es analítico.. Proposición 0.16. El conjunto P Arb'2 = {T E P Arb 2 : [T]. n N i- 0}. Demostración: Tenemos que PA7'b;. =. PArb 2. •. es :Ei en 22 <1'1.. n. Arb;.. Por la proposición 0.13 el conjunto P Arb2 es cerrado y por ende :Ei. Como la clase de los analíticos es cerrada bajo intersecciones, entonces se concluye que PArb'2 es :Ei(2 2 <ti).. •. Teorema 0.17. Si F E ~i(X), entonces ~i(F). = {B n F: B 12. E ~i(X)}..

(13) Demostración: Sea F E ~HX). Veamos que {B • Si tomamos B. n F:. B E ~i(X)} es una CT-álgebra.. = X, entonces F n B = F, por lo que F. E. {B. nF. : B E. ~i(X)};. • Sea A E {B n F : B E ~i(X)}. Tenemos que A = B n F para algún B E ~HX). Por otro lado A C = BC n F por lo que {B n F : B E ~i(X)} es cerrado bajo complementos; • Sea {Anhl una colección numerable de elementos de {B Tenemos An = (Bn n F) = Bn) n F. U. U. UnEN. :B. E ~i(X)}.. (U. nEN. Como. nF. nEN. Bn E ~i(X), entonces. UnEN. An. E. {B. nF. : B E ~i(X)}.. Afirmación 1: ~t(F) ~ {B n F: B E ~i(X)}. Si tomamos B un conjunto abierto en X, entonces B n F es un abierto relativo en F. Como {BnF : B E ~i(X)} contiene los abiertos de F, entonces el resultado es inmediato. Afirmación 2: ~i(F) 2 {B n F : B E ~i(X)}. Vamos a hacer inducción sobre la complejidad de B. Supongamos que B E :E~. Tenemos que B n F es abierto ell F y como consecuencia B n F E ~i(F). Fijemos o: E Wl Y supongamos que para todo (J < Q, B n F E ~i(F) con B E :E~. Ahora tomemos B E :E~. Si B E :E~, entonces B = UnEN An donde An E U f3 <a II~. Tenemos que An = U¡3<a C¡3.n con C¡3,n E II~ para todo n E N. Por hipótesis inductiva cg: n E :E~, por lo que C¡3,n n F E ~i(F). Así. U(C(3,n n F) (U CO,n) n F E ~i(F) =. es decir An entonces. nF. E. ~i(F) para todo. n E N. Como ~i(F) es una CT-álgebra,. U(A n n F) (U An) n F =. nEN. nEN. =. B. nF. E. ~i(F).. •. Corolario 0.18. El conjunto P Arb; es :Ei en Arb 2 . 13.

(14) Demostración: ~l . en 22<N . entonces eXIste un B ore l'lano E eomo PA T b; es Úl. ,)<N. ~ 2~. 2<N. Como P Arb2 ~ Arb 2 y Arb2 es un conjunto cerrado de 2 Boreliano en Arb2 x 22 <H por el teorema 0.17. Por lo tanto. ,)<N. x 2-. tal que. , entonces E es un. Como P Arb; es la proyección de un Boreliano B ~ Arb2 x 22 <N, entonces P Arb; es ~t(Arb2)'. •. La clase de los conjuntos analíticos (coanalíticos) contiene a la clase de los Borelianos, por lo tanto todo conjunto Boreliano es analítico (coanalítico). Cuando un conjunto es ~t-completo (ni-completo) se tiene corno consecuencia que el conjunto en cuestión es analítico (coanalítico) mas no Boreliano. Podernos hacer un gráfico para describir los lliveles de complejidad corno sigue: IJo2 .... IJO1 .ó. 01. .ó. 02. nO1. .ó.~. .... .ó. 11. n°2. donde .ó.t es la clase de los Borelianos. Definición 0.19. Sean X, Y espacios Polacos con A ~ X Y E ~ Y. Decimos q'U,e A es Wadge reducible a E (A ::; w E) si existe 'una función continua ¡ : X ---> Y tal que. ¡-l(E). =. A.. Una de las consecuencias del concepto de reducción Wadge es su utilidad para determinar cuándo un conjunto es IJi-completo. Proposición 0.20. Sean X. y espacios Polacos con A ~ X Y B ~ Y. Si E es ~i. A es ~i - completo y A es Wadge reducible a E, entonces E es ~i-completo. 14.

(15) Demostración: Sean X, Y espacios Polacos con A ~ X, B ~ Y tales que A es :Ei -completo y B es :Ei. Sea K un espacio Polaco cualquiera y e ~ K un conjunto analítico. Existe una función Boreliana 9 : K - - t X tal que g-l(A) = C. Por otro lado, como A es Wadge reducible a B. existe una función continua ¡ : X - - t Y tal que ¡-l(B) = A. La función (J o g) : K - - t Y es Boreliana y además. Por lo tanto B es :Ei -completo.. •. La proposición 0.20 funciona tanto para conjuntos analíticos como coanalíticos, es decir:. Corolario 0.21. Sean X. y espacios Polacos con A ~ X Y B ~ Y. Si B es y A S:w B, entonces B es IIt-completo.. IIt. A. es IIi-completo. Demostración: Existe una función continua ¡ : X - - t Y tal que A = ¡-l(B). Por otro lado AC = (J-l(B))C = ¡-l(B c'). Por la proposición 0.20 BC es :Ei-completo. El resultado se cumple por complementación.. •. Es claro que la relación S:w es transitiva haciendo la composición adecuada de funciones. Dado un espacio topológico X denotaremos por K(X) el conjunto formado por todos los subconjuntos compactos de X.. Definición 0.22. Sean X un espacio topológico y K(X) sin el conjunto vado. Se llama topología de Vietoris sobre K(X) a aquélla que tiene como subbase los conjuntos de la fa r"m a. {K. E. K(X) : K. ~. U}. y {K E K(X) : K donde U es un conjtmto abierto de X.. 15. n U =/: 0}.

(16) Proposición 0.23. Sea Q' = Q n [0,1]. El espacio K(Q') es n~ en K([O, 1]) con la topología de. Vietoris. Demostración: Como K(Q') ~ K([O, 1]), entonces tenemos que. K. E. K (Q'). ~. K. K ([O, 1]) & K. E. ~. Q'. y además. K S;;; Q'. ~. '111- E [O, l](x E K==?c E QI).. En el apéndice, en la proposición A.l., se demuestra que el conjunto. A. {(K, x) E K([O, 1]) x [0,1] : x E K}. =. es cerrado. Como QI es Fa en [O, 1], entonces el conjunto. B = {(K, :c) E K([O, 1]) x [0,1] : .c E Q'} es Fa en K([O, 1]) x [0,1]. El conjunto A1. {(K, x) E K([O, 1]) x [0,1] : x E KC V :1: E Q'}. es un Boreliano, por lo tanto la coproyección \;1[01].111 es un conjunto Así. K(Q') es. =. K([O, 1]) n \1[0,1]111. ni en K ([ 0, 1]).. Proposición 0.24.. El espacio K(Q) es. nt en K([O, 1]).. • ni. en K(lR) con la topología de Vietoris.. Demostración: Como K(Q) S;;; K(lR) , entonces tenemos que. K. E. K(Q). ~. K. E. 16. K(lR) & K S;;; Q.

(17) y además. K. ~. Q ~ \h.:. E. IR(x E K. x E Q).. ==?. Al igual que en la proposición 0.23 se puede demostrar que el conjunto 11,1. = {(K, 1:). E. K (IR) x IR : x E K. ==?. x E Q}. es un Boreliano. Por lo tanto la coproyección V[?jl,f. es. = {K. E K(IR): K ~ Q}. rrt en K(IR). Así K(Q) = K(R). n VIR: 1\1. es rr~ en K(IR).. •. Proposición 0.25. El conjunto H = {K E K(2 N ) Vieto'ris.. :. K. nN. =1=. 0} es. :El. en K(2 N ) con la topología de. Demostración: Por definición. El conjunto es cerrado y por la proposición 0.14 el conjunto descrito por la relación a E N es Ca en 2N . Por lo tanto. B. {(K, a). E. K(2 N ) x 2N. : CY. E. K. {(K,a). E. K(2 N ) x 2N. : Q. E. K} n {(K,a). 1\. CY. E. N} E. K(2I'l) x. es Boreliano. De modo que la proyección 3 21'1 B sobre K(2 N ) es. es ~~ en K(2 N ).. 2N. :. a. E. N}. :E¡. Así. • 17.

(18) Proposición 0.26. Existe un homeomorfisrno f : (O, 1). ~. IR. tal que f(q). E. Q para todo q E (O, l)nQ.. Demostración: Ver en el apéndice la proposición A.7.. •. Proposición 0.27. Sean A, B conjuntos, cjJ : A ~ B una función cualquiera y, los espacios 2A y 2B con la topología producto. Entonces la función. 1>: 1>(X). cjJ[X]. es continua. Demostración: Sean t E B Y el abierto subbásico S(t) = {f E 2B. U {XI( E 2. A. :. f(t) = 1}. Tenemos que. :. XI((p). = 1}.. pE</J-1 (t). El conjunto 1>-l(S(t)) es unión de abiertos subbásicos, por lo tanto él es abierto. El mismo razonamiento se sigue para el abierto subbásico S(t) = {f E 28 f(t) = O}.. :. •. Corolario 0.28. Sean A, B conjuntos, cjJ : A ~ B una función biyectiva cualqltiera y, los espacios 2A y 2B con la topología producto. Entonces la función. 1>: 1>(X) es 'un homeornorfismo. 18. cjJ[X].

(19) Teorema 0.29. Si X es un espacio metr'ÍZable, entonces la topología de Vietoris sobre K(X) es metrizable. Este resultado es importante pues justifica la prueba de la siguiente proposición. Proposición 0.30. Sean A y B espacios métricos. Dotemos a K(A) y a K(B) con la topología de Vietoris. Si f : A -----+ B es una función contimla, entonces la función. rp:. K(A). \¡?(A1). -----+. K(B). f[2l1J. es continua. Demostración: Sea (AlrJn una sucesión de elementos de K(A) tal que Aln f[1I1] E K(B) Y U un abierto ell B tal que. f[ 21,1]. E. e=. -----+. 11'1. Supongamos que. {K E K (B) : K ~ U}.. El conjunto f-l(U) es abierto en A y contiene a 1'11, por lo tanto existe un m E N tal que 1Un E {K E K(A) : K ~ f-l(U)} para todo n 2m. Como consecuencia f[Aln J E rp(Aln ) ----+ rp(A1).. e. para todo n. >. In,. es decir. De igual manera, sea (Aln)n una sucesión de elementos de K(A) tal que A1n Al. Supongamos que f[A!] E K(B) Y U un abierto en B tal que. f[Al] E. e=. {K E K(B) : K. -----+. n U =l0}.. El conjunto f-l(U) es abierto ell A e intersec:ta a Al, por lo tanto existe un m E N tal que M n E {K E K(A) : K n f-l(U) =l0} para todo n 2 m. Como consecuencia f[1~1n] E. rp ( A1n). ----+. '? ( A1) .. e. para todo n > m, es decir. • 19.

(20) Corolario 0.31. Sean A y B espacios métTicos. Sean K(A) y K(B) con la topología de Vietor-'Ís. Si f : A -+ B es un homeomoTfismo, entonces la función <p:. K(A) <p( l\l). también es un homeomoTfismo.. 20. -+. K(B). j[ l\¡f].

(21) C:l U n Teorema de H urewicz En muchas ocaciones es de interés estudiar la complejidad de los conjuntos con los cuales se trabaja, entendiendo complejidad a si estos son Borelianos o no. En este capítulo estudiaremos la complejidad de K(CQ) visto como sub espacio de K(~).. 1.1.. La ni-completitud de K(Q) e K(JR). Un resultado debido a Hurewicz dice lo siguiente: Teorema 1.1. El conjunto K(CQ) es ni-completo en J((~) con la topología de Vietoris. Este resultado ya es conocido, sin embargo es interesante saber cómo se llega a él. Definamos el conjunto uada de funciones.. 111 F = {T E. 21\1<N :. T es un árbol mal fundado}. y recordemos que. H. =. {K E K(21\1) : K. n N =J 0}.. El conjunto lIJ F es el arquetipo de conjunto analítico completo. Vamos a demostrar que !vI F ::; w Arb; ::; ~v H para concluir, mediante la proposición 0.20, que Hes :Ei-completo en K(21\1).. 21.

(22) Proposición 1.2. . A rb~ es :Ell -comp l eto en 2-,)<N . El conjunto Demostración: Se sabe que 1\1 Fes :Ei-completo y por la proposición 0.15 Arb2 es :Ei(2 2 <N), por lo tanto basta probar que l\J F Sr,v Arb2. Denotemos por Ok la sucesión de ceros de longitud k. Consideremos la función <.p : N<N -7 2<N dada por <p( (no, nI, ... , 7l. m )) =. ono 10 n1 1 ... onrn.. Por la proposición 0.27 la función. <P(X). <p[X]. es continua Ahora veamos que ¿p transforma árboles en N<N en árboles en 2<N. Sea T E 2N<~J un árbol. Sean s E T Y P = {r E T : r -< s} el conjunto de todos los predecesores de s. Supongamos que s = (no, ... ,ni, ... ,nk) Y r = (no, ... ,ni) E P. Entonces se tiene que <p( r) = ono 1 ... IOn, -< ono 1 ... IOn, 1 ... IOn, = <.p( s) Y en consecuencia. <P(P) = {t E <p[T] : t. =. <p(7') & rE P & <pCr) -< p(s)}.. es cerrado bajo segmentos iniciales. Sólo hay que ver que ep-I(Arb 2) = Pvl F. S;;;; J1v1F. Sea T E ¿P-l(Arb;). Sea cr E ¿P(T) n N S;;;; ATb~. Consideremos la rama infinita R = {crin: 17 E N} de <P(T). Es claro que ¿P-1(R) es un árbol con una rama infinita tal que ¿P-l(R) S;;;; T. Si acaso el conjunto {lsl : s E ¿P-1(R)} estuviese acotado en N, entonces a E N es una rama finita de T.. i) ¿P-1(Arb;). ii) 11,11 F S;;;; <p-1 (ATb~). Tomemos T E 1\1 F Y o: E [T]. Consideremos los conjuntos R = {o:ln : n E N} y ¿P(R) = {r E <p[T] : r = <.p(o:ln) para algún n E N}. Como los elementos de R tienen longitud tan grande como se quiera, entonces los elementos de <P(R) tienen tantos números 1 como se desee. Así ¿P(R)nN =f (/) y como consecuencia ¿P(R) S;;;; ¿P(T) E Arb;.. • 22.

(23) Proposición 1.3. El conjunto H = {K E K(2 N ). :. K. n N =J 0} es. ~i-completo en K(2 N ).. Demostración: Veamos que Arb~ :Sw H. Consideremos la función. w(T). [T]. Por el teorema 0.11 la función W está bien definida. Sea U un abierto en 2N y consideremos el abierto subbásico U+. =. {I(. E K(2 N ). :. K r;:;: U},. de la topología de Vietoris, y demostremos que su preimagen w-1(U+) es un abierto. Sea T E w-1(U+) y veamos que T es punto interior del conjunto W- 1 (U+). El abierto U ~ 2N se puede escribir como unión infinita de abiertos básicos: U = Us E [' I;(s). Corno [T] ~ USE[' I;(s) y T es compacto, entonces exist.e un subconjunto finito r' r;:;: r tal que [T] ~ USE !" 2:(s). Seall. --< s para algún s E r'}. 6. {t. 6'. {r E 2<N : t --< r -¡., s para algún t E 6 y s E f'}. Como [T] ~. USEf". E 2<N : t. 2.;( s), entonces T. E. A=. USE[,'. \1;;+ n USE,0,.' \1;;-.. Afirmación: A r;:;: w-1(U+). Sea TEA. Como las ramas de T pasan únicamente por s E f', entonces. w(T). E. Us E [". I:(s) r;:;:. u.. Sea U un conjunto abierto en 2N . Veamos qué pasa con la preimagen del abierto subbásico Al igual que en el caso anterior U se puede escribir como unión infinita de abiertos básicos: U = USE[' I;(s). Sean T E w- 1(U-) y {2.;(S)}SE['¡ un cubrimiento infinito de [T] tal que f 1 n r =J 0. Como [T] es compacto existe un subconjunto finito r' ~ r 1, con r' n r =J 0 y tal que [T] r;:;: Us E [" 2.;( s). Consideremos el abierto. 23.

(24) A=. UsEfl. v:+.. Afirmación: T E A <;: w-1(U-). Como el árbol T tiene ramas con nodos s E r', entonces claramente TEA. Por otro lado, como [T] n E(s) i= 0 y E(s) <;: U para todo s E f' n r, entonces. [TJ n U i= 0. La función W es continua y por un cálculo sencillo se puede demostrar que = ATb;. Tenemos que Arb2 :S;vv H y la proposición 0.25 asegura que H es :Ei(K(2 N )). Por la proposición 0.20 Hes :E}(K(2N ))-completo.. w-1(H). Como H es :Ei(K(2 N ))-completo, entonces He es ni(K(2 N ))-completo. Definamos los conjuntos ~V. {a. E 2N. lV'. {a. E 21"1 :. Q'. [O, lJ nQ.. :. •. a es evelltualmente O}; a es eventualmente periódica};. A continuación vamos a hacer las reducciones He = K(VV) :S;W K(Q') :S;W K(Q). para concluir que K(Q) es ni-completo. Proposición 1.4. Si DI Y D 2 son conjuntos densos numerables en 2Pl , entonces DI :Sw D 2 Y D 2 :Sw. DI. Proposición 1.5. El conjunto K(Q') es ni-completo en K([O, 1]) con la topolog{a de Vietoris. Demostración: Los conjuntos VV y liV' son densos numerables en 2Pl . Por la proposición 1.4 se tiene que lV :S w ~/V', por lo tanto existe una función continua JI : 21"1 ----+ 2Pl con Jl-1(lV') = ~V. Ahora consideremos la función. 1'2:. 21"1. -t. [O, 1] 00. L. 1'2 (a). i=O. 24. a( i) 21+1.

(25) y la composición. h. =. h o JI:. 21'J. ---7. [O, 1]. la cual es continua, Cualquier q E Q/ tiene expresión decimal finita o infinita periódica lo cual se traduce en que J.;I(q) E HI', Así f.l- 1 [Q/] E W. Dotemos a K(2 N ) con la topología de Vietoris. Por la proposición 0.30 la función rp:. K(2 N ). K([O, I]). ---7. cp(K). h[K]. es continua. Si !{ E K (Q/), entonces J3- 1 [K] e8 un cenado en 2N y por ser este último un conjunto compacto tenemos que J3- 1 [K] también es compacto. Así. rp-1(K(Q/)) = {K. E. K(2 N ) : h[K]. E. K(Q/)} = K(H/) = H G ,. Es decir, H G = K(lV) :S;H' K(Q/). Por la proposición 0.23 el conjunto K(Q/) es en K([O, 1]), de modo que K(Q/) es ni-completo en K([O, 1]).. nt. Recordemos que la meta es demostrar la. ni -completitud de. K(Q). ~ 2IQ,. •. Proposición 1.6. Sea Q/ = [O, lJ n Q. Dados los conjuntos K(Q/) ~ K([O, 1]) Y K(Q) ~ K(lR) se tiene que K(Q/) S;w K(Q) Y K(Q) S;w K(Q/). Demostración: Tomemos la función inclusión. p: K([O,I]) p(K) Sea K E K(Q). K. ~. ---7. K(lR) K. K(lR), entonces p-l(K) = K si K ~ [O, lJ Y p-l(K) = 0 si K([O, 1]), por lo tanto K(Q/) :S;W K(Q).. ~ [0,1]. En ambos casos IL- 1 (K) E. 25.

(26) Ahora consideremos la función. <jJ: ¡((IR). -7. 1[1\J. <jJ(K) donde. 1\([0,1]). 1 es la función de la proposición 0.26.. La función <jJ es continua y además. <jJ-l(K(Q')) = K(Q).. •. En la proposición anterior se ha demostrado el teorema 1.1. No obstante vamos a resumir lo que se ha hecho para llegar a este resultado.. Teorema 1.1 El espacio K(Q) es ni-completo en K(R) con la topología de Vietoris. Demostración: Vamos a recapitular lo que se ha hecho. El conjunto .M F es conjuntos ATb~ y H son ~i. Mediante la reducciones. ~i -completo.. Los. y por la proposición 0.20 se concluye que H es ~i-completo. El conjunto He = K(W) es ni-completo. Los conjuntos K(Q') y K(Q) son ni. Mediante las reducciones K(~V). :::;w K(Q') :::;w K(Q). y por el corolario 0.21 se concluye que K(Q) es ni-completo en K(lR).. 26. •.

(27)

(28) Consideremos los conjuntos:. Ex.n. Hn. 2x : x {A E 2 X : x. {A. E. E. ti-. En ~ En nA =1- 0} En V En n A =1- 0}:. {A E 2X : En n A =1- 0} {A E 2"' : 3p E X (p E En & p EA)};. H~ll. {AE2"':PEEn };. Hi,n. {A. E. 2x : p. E. A}.. El conjunto H~,n es tal que. H~,n. =. { 2:' VJ. por lo tanto es un abiertocerrado. Como Hi,n es un abierto sub básico de 2x , entonces él es un abiertocerrado. Por otro lado. Hn. =. U(H~,n n H~,n)'. pEX. por lo tanto Hn es abierto. El conjunto. es abiertocerrado. Así es abierto. El conjunto es abiertocerrado. Por otro lado. 28.

(29) es. rrg y en consecuencia. es ~g, por lo que. T'. =. n[( nEx,n)c .¡;EX. U Ix]. ¡¡EN. es rr~. La función. es un homeomorfismo. Así el conjunto T es rr~ en 2x .. •. Proposición 2.2.. Si X es 1Jn espacio métrico, numerable y compacto, entonces K(X) es un conjunto Boreliano. Demostración: En efecto, tenemos que FE K(X) ~ F es cerrado en X,. sin embargo por la proposición 2.1 la colección de conjunto!::) cerrados de un espacio métrico numerable, en 2x , es un conjunto Boreliano y en consecuencia también lo es K(X).. •. Un concepto del cual haremos mucho uso es el de rango de Cantor-Bendixon.. Definición 2.3.. Para cualquier espacio topológico X, sea X' = {x. E. X : ::r es un punto de acumulación de X}. 29.

(30) Llamaremos X' la derivada de Cantor-Bendixon de X. Se pnede definir- la o:-ésima derivada de Cantor-Bendi.1;on por- TecllTsión sobTe o: E Ord como sigue: . si o: = O;. X. n. X(3. ,si. O'. es limite.. (3<0:. Definición 2.4. Sea X nn espacio topológico. El menor or-dinal o: tal que X Oó rango de Cantor-Bendixon y se denota IXlcB.. =. XOó+l es llamado. Se sabe que un conjunto compacto es compacto por puntos de acumulación, mas el recíproco no necesariamente es cierto. Cuando el conjunto en cuestión es numerable, entonces compacto por puntos de acumulación sí implica compacidad.. Proposición 2.5. Sea (X, T) nn espacio topológico numerable y Hausdor-ff. Entonces X es compacto si, y sólo si, todo subconjnnto infinito de X tiene nn p'unto de acnmnlación en X. Demostración: Sea X un espacio topológico compacto, numerable y HausdorfF. Supongamos que A ~ X es infinito y que no tiene puntos de acumulación en X. Sea :r E A. Como :r no es punto de acumulación, entonces existe U~; E T A tal que U".r = {:r}. Como cada {:r} es abierto en TA , entonces A es un conjunto discreto. Esto trae como consecuencia que A = A, por lo tanto A es compacto. Por otro lado, como {UX}XEA es un cubrimiento abierto infinito de A, entonces de él se puede extraer un subcubrimiento finito. u. .TE{.Cl, .... ,X n }. De modo que A es finito. Contradicción. Ahora supongamos que para todo subconjunto infinito A de X, A tiene un punto de acumulación. Tomemos A = X. Vamos a hacer la demostración por. 30.

(31) inducción sobre la derivada de Cantor-Bendixon de X. Sea {An}nEr un cubrimiento abierto infinito de X. Si IXlcB = 2, entonces X posee un número finito de puntos de acumulación. En efecto, si acaso X' fuese infinito, entonces por hipótesis X' tendría un punto de acumulación y en consecuencia IXI C B = 3 contradiciendo el hecho de que IXlcB = 2. Corno X' = {;rl"'" ;c n}, entonces existen abiertos Al, ... , An que cubren a X', Al ser X \ X' un conjunto finito, entonces el cubrimiento abierto finito de X se construye de manera inmediata. Supongamos que para cualquier subconjunto infinito G ~ X con IGleB : : ; O: se infiere que X es compacto. Supongamos que IXIcB = Q + 1. El conjunto X(o) es finito porque de lo contrario IXlcB = Ü + 2. Corno x(a) = {Xl"," Xn}, entonces existen abiertos Al, ... ,An que cubren a X(o) . • Si X \ x(a) es finito, entonces el cubrimiento abierto finito se construye fácilmente . • Si X \. x(a). es infinito, entonces por hipótesis inductiva X es compacto .. •. A continuación vamos a ver uno de los resultados desarrollados en el trabajo y para esto debemos dejar en claro cierta terminología. Dado un espacio topológico numerable (X, T) se dice que la topología T, definida sobre X) es analítica si T es un ~f visto corno subconjunto de 2x . El concepto de topologías analíticas comenzó a ser estudiado en el artículo AnalyUc topologies o'veT countable sets [6]. Podernos citar corno ejemplo un espacio topológico (X, T) numerable y metrizable. Por la proposición 2.1 se sabe que T es II~(2X) y en consecuencia ~i(2X). Teorema 2.6. Si X es un espacio topológico numemble y de H(L'UsdoTff con topología analítica, entonces K(X) es IIi en 2x . Demostración: Sea X un espacio topológico numerable y de Hausdorff con topología analítica T. Tenemos que K E K(X) ~ VG E 2X (G ~ K & G es infinito =? G posee un punto de acumulación). Vamos a determinar la complejidad del conjunto A = {(K,G) E 2 x x 2x : G ~ K & G es infinito =? G posee un punto de acumulación}.. 31.

(32) Tenemos la equivalencia G posee un punto de acumulación. 3p E XV A E 2X (p E G & A E T & p E A===? G n A es infinito).. {:::=:::}. Para determinar la complejidad de la relación G posee un punto de acu'm'U'zación debemos estudiar la complejidad del conjunto. Bc,p = {(K, A). E. 2x x 2x : p. E. G& A. E. T & pEA. ===?. GnA es infinito}.. Consideremos los conjuntos. Bb,p. {(K,A). E. 2x x 2x : p. E. G};. B~;,p. {(K, A). E. 2x x 2x : p. E. A};. B2;,p. {(K, A). E. 2x x 2x : A E T};. Bi;,p. {(K, A). E. 2x x 2x : G n A es infinito}.. Tenemos que l B C,p. 2x x 2x. ,si p E G;. o. , si p ti- G;. -. -. {. por lo que Bb,p es abierto cerrado. La relación p E A es abiertacerrada en 2x por lo que el conjunto B~;,p es abiertocerrado. Como T es :Et (2 X ), entonces Bb,p es un conjunto anaJítico. Finalment.e, por un cálculo sencillo se puede ver que B¿;,p es Boreliano. De modo que el conjunto. es coanalíticü. Como consecuencia el conjunt.o. es coanalítico al igual que. De =. U De,p. pEX. Las relaciones G. E. =. ~. K Y G es 'infinito son Borelianas, por lo tanto el conjunto. {(K, G). E. 2x x 2x : G ~ K & G es infinito}. 32.

(33) es Boreliano. De modo que es nt(2 x x 2'"\} Como la clase de los coanalíticos es cerrada bajo coproyec:c:iones, entonces el conjunto. • 2.1.. La rri-completitud de K(Q) e 2Q. La ni(2 Q)-completitud de K(Q) ha sido un resultado desconocido. Para su demostración haremos uso del concepto de reducción Wadge. En primer lugar debemos probar que K(Q) es coanalítico en 2Q , lo cual es consecuencia directa del teorema 2.6. Un resultado inmediato de la proposición anterior es el siguiente: Proposición 2.7. El conjunto K(Q) es. nt. en 2Q .. Demostración: El espacio Q con la topología T heredada de ffi. es metrizable y numerable, por lo tanto la proposición 2.1 nos asegura T es n~ en 2Q . Por el teorema 2.6 es inmediato que K(Q) es n~ en 2Q .. •. Como dijimos al principio de la sección anterior nuestro interés es demostrar que el espacio K(Q) es n~-completo en 2Q . Es decir: Teorema 2.8. El espacio K(Q) es ni-completo en 2Q . Ya se demostró que K(Q) es ni en 2Q por una simple aplicación del teorema 2.6. Para la completitud vamos a verificar que el conjunto P ATb~ es ~t (ATb 2 )completo para luego hacer la reducción (P Arb;)C ~\V K(Q) Y aplicar el corolario 0.21.. 33.

(34) Comencemos definiendo los siguientes conjuntos: T. {s. Al F2. {T. E. E. T : s es un nodo terminal de T}; ATb2 : [T]. 1= 0}.. Proposición 2.9. Sea CERO = {O}<N. La función. <p(T). T U {s~Ó : 8 E. T&. Ó E CERO}. es continua. Demostración: Sin pérdida de generalidad asumamos ~+ = ~+ n ATb2 y V5- = (Tn)n una sucesión en ATb 2 tal que Tn ----> T Y s E 2<N tal que:. Vs- n Arb2 . Sean. Caso 1: <p(T) E V/. Como T ~ y(T) E ~+, entonces existe n E N tal que s E TmE ~+ para todo m 2: n y en consecuencia <p(Tm) E Vs+ para todo m 2: n. Caso 2: <p(T) E V-S-. Como s ti- l¡?(T), entonces s ti- T. Por lo tanto, si T ~ <p(T) E ~-, entonces existe n E N tal que Tm E ~- para todo m 2: n. Como s ti- Tm , entonces s~Ó ti- l¡?(Trn ) para todo Ó E ERO y para todo Tn 2: 7/. Por lo tanto <p(Tm ) E ~- para todo m 2: n.. e. •. Corolario 2.10. El conjunto P ATb2 es ~~ - completo en ATb 2. Demostración: Por el corolario 0.18 el conjunto PATb~ es ~i(ATb2). Sea <p la función de la proposición 2.9. Observemos que si T E ATb2 entonces <p(T) E P ATb~, por lo tanto y(ATb 2) ~ P ATb2. Por otro lado, si T E PATb 2, entonces existe ex E [T] todo T' E <p-l(T), entonces <p-l(T) ~ ATb 2.. 34. n N. Como ex. E. T' para.

(35) Es claro entonces que ATb; = y-I(PATb;) Y por lo tanto Arb; ~w PA7'b;. Como Arb; es :Ei(2 2 <N)-completo y P Arb; es :EHArb 2 ), entonces por la proposición 0.20 se cumple el corolario.. •. Recordemos que para reducir (PArb;)C a K(Q) debemos definir una función que asigne cada elemento (P Arb;)C' UIl compacto de Q. Este proceso de asignación puede resultar complicado si Be hace de manera directa. Sin embargo vamos a desarrollar un paso intermedio entre Arb2 y 21Qi trabajando con UIl espacio homeomorfo a Q. Este espacio es (2<N, T5,KLJ. Definición 2.11. Sea T un árbol sobre un conjunto bien ordenado (A, ~). Definimos el orden de Kleene-Brouwer, denotado por <1\B, corno sigue:. Fijamos nodos s = (so, 811"" sn-d l! t = (tO, tI, . .. , fm-d de T. Entonces 8 está por debajo de t en el orden de Kleene-Brouwer, s <KB t, si ocurre. i) t --< s (8 extiende a t) o ii) existe ,¿ < mÍn{m, n} tal que Finalmente s. ~KB. t si s. <[(B. Sj. = t j para todo j < i l!. Si. <. ti. t o s = t.. La topología T5,KB sobre 2<N es la generada por el orden ~J{B. Es claro que (2<N, T5,KB) tiene una base numerable y además, toda topología de orden es regular. Por el teorema de metrización de Urysohn éste es un espacio métrico. Proposición 2.12. La función. es un homeomorfismo. Demostración: Sean (sn)n una sucesión en 2<1"1 tal que Sn ----+ S Y D = [O, Isll n N. Para cada p E D existe no E N tal que sm(P) = s(p) para todo m 2: no. Como s es una sucesión finita podemos tomar. n. = máx{np E. N : p E D & srn(P) 35. =. s(p) para todo m 2: n p }..

(36) Es claro que para todo número natural m > n y para todo p E D, se cumple srn(P) = s(p) y 1 ~ sm(P) = 1~ s(p). Como srn(P) = s(p). si, y sólo si, 1 ~ s'm(P) = 1~ s(p), entonces la bicontinuidad es inmediata. La biyectividad es inmediata.. •. Definamos. jIFi = {1~s: ~ E lIIF2 }. Es claro por la proposición anterior que los conjuntos Al F 2 y Al Fi son homeomorfos.. Proposición 2.13. Sea Arb~ = f[Arb 2 l donde. f. es la .función de la proposición 2.12. La función. es continua.. Demostración: La demostración se remite al apéndice.. •. Es claro que en esta última proposición/J.' es continua independientemente si el dominio es Arb2 o Arb~. A continuación la idea es determinar cuándo T E P Arb; según T U {u~O : 'U E T & u(lul) = 1} sea compacto o no visto como subconjunto de (2<N, TScKB ). Podría decirse que T E P Arb; si T U {'U~O : 11 E T & u(i'ul) = 1} no es compacto. Un resultado como este sería cierto si no fuese por la presencia del árbol T = e ERO el cual no pertenece a P Arb; y tampoco es compacto. Para solucionar este problema ya se ha considerado los árboles que tienen como raíz el número 1.. Proposición 2.14. Sea 7); la función. 'I/J(T). T U {v~O : v E. 36. T&. 'u(lul). =. 1}..

(37) Tenernos que: TE PArb; si, y sólo S'l, '¡J;(T) no es compacto en (2<N, TSKB )' Demostración: ~) Sea T E PArb~ y a E [T] n N. El conjunto T' = {ali : i E N} ~ T ~ 'lj)(T) es una sucesión infinita "SoKB -decreciente. Vamos a ver que T' no tiene ínfimo y por lo tanto no converge. Sea r ~ N infinito tal que O'(i) > O para todo i E r. Si a(i) = 1, entonces s = (O'I(i - l))~O es cota inferior del conjunto T'. En efecto, si T E T', entonces r = al71 para algún n E N, por lo tanto tenemos que Caso 1: Si O "So n "So i - 1, entonces. T. -<. S. Y por ende s. "SoKB T;. Caso 2: Si i - 1 < n, entonces sU) = rU) para todo j "So i - 1 Y s( i) < r( i) y como consecuencia s "Sol( B T. Los elementos del conj unto B = {( al (i - 1)) ~ O : i E r} son cotas inferiores de T' y es una sucesión "Sol( B -creciente que no tiene máximo, por lo tanto T' es un subconjunto infinito de 1/J(T) que no tiene punto de acumulación. El conjunto '¡J;(T) no puede ser compacto. ~). Supongamos que 1j;(T) es compacto.. Caso 1: Si T es bien fundado, entonces T. f/. P ATb~.. Caso 2: Supongamos que es mal fundado. Sea O' E [T], T' = {aln : n E N} Y r ~ N infinito tal que a(i) > O para todo i E r. El conjunto T' es una sucesión estrictamente "So/(B -decreciente en T. Como 'lj;(T) es compacto, entonces T' debe tener ínfimo, por lo que el conjunto B = {(al(i - l))~O : i E r} debe ser finito. En consecuencia T' debe ser eventualmente cero. T ti. P Arb 2.. •. Ya tenemos las herramientas necesarias para la demostración del resultado principal. Básicamente será una concatenación de los resultados ya vistos.. Teorema 2.8 El espacio K(Q) es IIi-cornpleto en 21Ql. Demostración: Vamos a considerar tres funciones. Estas son:. 37.

(38) 1) Sea. 1 la. función de la proposición 2.12. Por el corolario 0.28 la función. <p: <p(T). 1[T]. es un homeomorfismo. La primera función es:. 1h(T). <p(T) .. 2) La segunda función a considerar es eP2 = '1/) definida en la proposición 2.14. Es decir. T U {u~O : u E T & 'u(lu,l) = 1}.. 3) Por el teorema de Sierpinski (2<N, T~](B) es homeomorfo a un subconjunto cerrado E de Q. Sea h : (2<N, T~J(B) -----+ E tal homeomorfismo. La tercera función a considerar es. ePAT). h[T].. Definamos. Afirmación 1: eP- 1 (K(Q)) ~ (PArb;)c.. Sea K E K(Q) . • Si K rz. E, entonces (ePI 1 o eP2 1 o eP:;l) (K) = 0 E (PA1>b;( . • Si K ~ E, entonces eP:;l(K) es un subconjunto compacto de 2<N por lo que (eP2 1 o eP:;l) (K) E (PArb~)C ~ 22 <N. Del mismo modo (ePI} o eP2 1 o eP:;l)(K) E (PArb~)C ~. Arb 2 . 38.

(39) • Si K n E =f 0, entonces K n E es cerrado y por ende compacto. Siguiendo el razonamiento del caso anterior se tiene que (eP~lorP2IoeP3I)(KnE) E (PArb;)C ~. Arb 2 . Afirmación 2: (PArb;)C ~ eP-I(K(Q)). Ahora tomemos T E (P Arb;)C ~ !v! F2 . El árbol T no es podado o todas sus ramas son eventualmente cero al igual que (PI (T). Como ePl (T) E (P Arb;f, entonces eP2 (rPI (T)) es compacto y como consecuencia eP:3 (eP2 (rPI (K))) también. Así eP((PArb'2)C) ~ K(Q). El conjunto (PArb;)c es rrt(Arb2 )-completo y K(Q) es rri(21Ql). Como (PArb~)C :S;W K(Q),. entonces por el corolario 0.21 J((Q) es III-completo en 21Ql.. 39. •.

(40) c: 3----------------------' La rri(2 X )-completitud de K(X) con X espacio topológico numerable Para continuar con la generalización del teorema de Hurewicz vamos a trabajar con un espacio topológico numerable X. Se sabe que iQ es el único espacio métrico numerable sin puntos aislados. El conjunto X en cuestión puede ser numerable sin ser homeomorfo a iQ o sin tener un subconjunto homeomorfo al mismo. Si X es metrizable y no posee un subconjunto homeomorfo a iQ, entonces todo subconjunto infinito de X tiene un punto aislado.. Definición 3.1. Se dice que un espacio topológico X es disperso cuando todo subconjunto infimto de X tiene un punto aislado. Por supuesto cualquier espacio discreto es disperso. El conjunto {O} U {~ : n E N} con la topología heredada de lR es un espacio disperso. Denotemos por Ord la clase de los ordinales. Si a E Ord, entonces también podemos mencionar al conjunto (a, <), con la topología de orden, como ejemplo de un espacio disperso. El concepto de espacio disperso nos será de mucha utilidad en la primera sección de este capítulo.. 40.

(41) 3.1.. El caso (X, T) metrizable. Siguiendo las ideas que se comentaron al principio tenemos que para X espacio topológico numerable ser disperso implica no tener copias de Q. En este capítulo queremos estudiar un resultado que también ha sido desconocido: para el caso X metrizable, K( X) es IIi -completo si, y sólo si, X no es disperso. Debemos hacer mención de algunos resultados que hacen referencia a los espacios dispersos. Proposición 3.2. Sea X un espacio topológico y a < x(a) = 0 si, y sólo si, X es disperso. WI. un ordinal tal que IXlcB. = 0'.. Entonces. Demostración: Supongamos que X no es disperso y que a < Wl es un ordinal tal que IXlcB = a. Existe un subconjunto no vacío A <:;:; X que no tiene puntos aislados, por lo tanto A <:;:; X(3) para todo (3 ::; 0', con lo cual A <:;:; X(ü) =1= 0. Supongamos que x(a) =1= 0. Como x(a) = X(o+l) =1= 0, entonces x(n) es un conjunto sin puntos aislados y como x(a) <:;:; X(3) para todo (3 ::; 0', entonces X no es disperso.. •. Proposición 3.3. Sea X un espacio métr'ico numerable y disperso tal que IXlcB es un ordinal sucesor, entonces existen conjuntos Z, V <:;:; X disjuntos tales que. X=ZEBV es una suma topológica y además IZlcB < IXlcB.. Demostración: Sea X un espacio métrico numerable y disperso tal que IXlcB = O' es un ordinal sucesor. Como X es un espacio cero dimensional y x(a-l) = {xn}n es discreto, entonces existe una colección f\l:;Jn de abiertocerrados disjuntos tal que Vn n X(o-l) = {xn} y diarn(Vn ) -----7 O conforme n -----7 oo. Definamos los conjuntos y n. 41. Z=X\ V.

(42) es inmediato ya que la unión finita de compactos es compacto.. • Proposición 3.5. Sea X un espacio métrico numemble. Si X es disperso, entonces K(X) es Boreliana. Demostración: Hagamos la demostración por inducción sobre IXlcB. Si IXlcB = 1, entonces X es discreto, por lo tanto F E K(X) <===? F es finito. la cual es una relación ,ó, ~ (2 X ) . Sea a E Wl Y supongamos que para todo espacio métrico numerable y disperso X con IXlcB < a, K(X) es Boreliano. Supongamos ahora que IXlcB = a.. Caso 1: a es un ordinal sucesor. Por la proposición 3.3 se tiene que la descomposición X suma topológica. Así F E K(X) <===? F. nV. E K(V) & F. nZ. Z EB V es una. E K(Z). Como IZlcB < IXlcB, entonces se tiene por hipótesis inductiva que K(Z) es un conjunto 'ó'H2 X ). Sea {~Jn la colección de la proposición 3.3. Por la proposición 3.4 se sabe que FE K(V) <===? {n E N: F. n ~¡ =l0}. es finito & Vn E N(F. n ~t. Afirmación 1: La relación {n E N: F n~, f 0} es finito es 'ó'i(2 X Si hacemos H <===? {n E N : F n Vn f 0} es finito, entonces FE H <===? 3n E N\im E N(m > n & Vm. La relación Vn n F {F E. =. 2\7 :. 0 es. nF. =. 0).. cerrada en 2 v) por lo que. F E H}. =. U n{F E 2v : V. m. nENm>n. 43. n F = 0}. E K(Vn )). )..

(43) es un conjunto :Eg(2 V ). Como 2v es un subconjunto cerrado de 2x , entonces Hes una relación 6.. i (2 X ). Afirmación 2: La relación F n ~¡ E K(~l) es 6..i(2 X). Sea x(a-l) = {1: n h¡ como en la proposición 3.3. Tenemos que F n Vn E K(~¡) ~ [x ll ~ F =? F n ~¡ E K(~¡ \ {x n })] & [x n E F =? \lT E N(F n (~¡ \ B(:r;n, ~)) E K(~l \ B(l:n, ~)))] Es claro que si X n ~ F, entonces F n ~¡ E Vn \ {xn}. Como [Vn \ {x n }[ < a, entonces por hipótesis inductiva K(~¡ \ {:r;n}) es 6..i(2 X ). Por otro lado [~¡ \ B(:T n , ~)[ < a y por hipótesis inductiva K(~¡ \ B(;J;n, es 6..i(2 X ). X Que F E K(V) sea 6..i(2 ) se sigue del hecho de que las relaciones F E H Y \In E N (F n Vn E K (~¡)) sean Borelianas.. n). Caso 2: a es un ordinal límite. Si F E K(X), entonces por la proposición A.6. [FlcE debe ser un ordinal sucesor, de modo que existe n E N tal que F n x(rn) = 0 para todo m > n. Definamos Y = X \ x(n). Tenemos que IYIc'E = n < a y por otro lado FE K(X) ~ 3n E N\lrn E N(rn. Como IY[CB < relación F n X (m) = K(X) =. Ct,. 2:: n & F n x(m). =. 0& F n y. E K(Y)). entonces por hipótesis inductiva K(Y) es Boreliano. La Boreliana, por lo tanto. 0 es. U n{F E 2x : F n. x(rn). = 0& F nY. E K(Y)}. nENm2:n. •. El teorema 3.6 que viene a continuación es el resultado principal de este capítulo. Es importante resaltar el papel que juega Q. El hecho de que un espacio métrico numerable X no sea disperso es lo mismo que contenga un subconjunto homeomorfo a Q. Cuando esto ocurre podemos decir lo siguiente acerca de K(X).. Teorema 3.6. Sea X un espacio rnétTico nmnemble con topología analítica. El conjunto K(X) es IIi -cornpleto en 2"" si, y sólo si. existe un s'ubconjunto E ~ X horneornorfo a Q.. 44.

(44) Demostración: ==i» Existe un subconjunto E ~ X tal que Q y E son homeomorfos. Sean Q ---+ E tal homeomorfismo y la función. f. rp:. zp( 1\1). f[ Al]. La función rp es tal que rp-l(K(X)) = K(Q) y además, por la proposición 0.27, es continua (es decir K(Q) K(X)). Por los teoremas 2.1 y 2.6 K(Q) es rri(21Ql)-completo y K(X) es ni(2 X ), por lo tanto K(X) es ni-completo en 2x .. .sw. {::=) Supongamos que X no posee una copia de proposición 3.5 K(X) es Boreliano.. 3.2.. Q, es decir X es disperso. Por la. •. El caso (X, T) no metrizable. El teorema 3.6 ofrece una condicióll necesaria y suficiente para decir cuándo K(X) es ni-completo: X debe tener una copia de Q. Cuando se demuestra el teorema 3.6 se puede apreciar que K(X) es ni-completo independientemente si X es métrico o no. Es decir: Corolario 3.7. Sea X un espacio topológico numerable con topolog[a anal{tica. Si e:.ciste un conjunto E ~ X homeomorfo a Q, entonces K(X) es IIi-completo en 2x . Como ejemplos de espacios topológicos numerables, no metrizables y con topología analítica tenemos a Sw [7] o el Abanico Secuencial [6][5]. En general, cuando se tiene un espacio topológico X que es numerable, no metrizable y con topología analítica, se puede construir otro espacio con las mismas características y que además posea una copia de Q para poder aplicar el corolario 3.7. Ejemplo Sea (X, Tx ) un espacio topológico numerable, no metrizable y con topología analítica. Consideremos el espacio X x Q. Este espacio posee tantas copias de Q como elementos tiene X y además no es metrizahle. Las topologías Tx y TIQl son analíticas. 45.

(45) Afirmación: La topología producto T es analítica sobre 2xxlQl . Tenemos que. A ET. <===?. 'ix. E. A3(A l ,A 2 ) E 2x X 21Ql(A l E Tx: & A 2 E TIQl & ;E E Al X A 2 & Al X A 2 c:;;;; A).. Por otro lado. La relación CEl, ;1:2) E A es abiertacerrada en 2xxlQl , por lo tanto Al x A 2 es una relación cerrada. El conjunto A1x descrito por la relación. es analítica, por lo tanto el conjunto modo que. PI; =. J2X x2. iJ. c:;;;;. A. Afx es analítico en 2xxlQl . De. es un conjunto analítico en 2xxlQl . El espacio (X x <Q, T) es numerable, con topología analítica y posee una copia de <Q. Por el corolario 3.7 el conjunto K(X x <Q) es IIi-completo.. •. En el artículo Spaces which contain a copy of the rationals [1] se pueden hallar condiciones suficientes para. garantizar la existencia de una copia de <Q en un espacio topológico. A continuación mecionaremos alguno de estos resultados.. Teorema 3.8. Sea X un espacio primero numerable. no disperso y regular. Entonces X contiene una copia de <Q. Definición 3.9. Un espacio X es de Lasnev si él es la imagen cerrada de un espacio métrico.. Teorema 3.10. Sea X un espacio de Lasnev y regular. Si X no es disperso, entonces X contiene una copia de <Q.. 46.

(46) Definición 3.11. Un espacio es secuencial si se cumple lo sig1Liente: El conjunto A ~ X es cerrado si, y sólo si, el punto Hmite de toda s1Lcesión convergente en A también está en A.. Definición 3.12. Dado :c E X se define el carácter x(.r) de ]: al menor cardinal de 'una base de :1'.. Teorema 3.13. Sea X un espacio secuencial, regular y sin puntos aislados. Sea b el menor cardinal de una subfamilia no acotada de wW • Si el carácter X(;1:) < b para cada x E X, entonces X contiene una copia de Q.. Los espacios numerables X que cumplen con las premisas de los resultados anteriores deben carecer de una base numerable, pues de lo contrario X sería metrizable. Aún se desconocen ejemplos de tales espacios. La pregunta que queda abierta en el trabajo es si para el caso no métrico se cumple lo siguiente:. Conjetura Sea (X, T) un espacio topológico numerable, regular y con topología analítica. Si K(X) es rrt-completo, entonces e.Tiste un subconjunto E ~ X homeomorfo a Q.. 47.

(47) Apéndice. Proposición A.1. Sean X un espacio métrico y K(X) el conjunto formado por todos los subconjuntos compactos de X con la topología de Vietoris. Los siguientes conjuntos son cerrados:. i) {(x,K). E. X x K(X) : x. ii) {(K, L). E. K(X) x K(X) : K <;: L};. E. K};. iii) {(K, L) E K(X) x K(X) : K. nL =l0}.. Demostración: (i) Definamos NI. =. {(:r, K) E X x K(X) : 1; E K}.. Sea (1', K) E Af e . Corno X es un espacio regular y A.- es cerrado, entonces existen abiertos disjuntos Al y A 2 en X tales que :r E Al y K <;: A 2 . Como {K E K(X) : K <;: Ad es un abierto subbásico, entonces Al x {J( E K(X) : K <;: A 2 } es abierto en X x K(X).. Afirmación: Al x {K E K(X) : K <;: A 2 } <;: !vf e . Es claro que (x, K) E Al x {K E K(X) : J( <;: A 2 }. Ahora tomemos (:rl, Kd E Al x {K E K(X) : K <;: A 2 }. Por definición de Al y A 2 se puede apreciar de manera inmediata que 1;1 ti- K l , por lo tanto (:Dl' Kd E AJe. Conclusión: Af c es abierto.. (ii) Sea (Kn , Ln)n una sucesión en {(K, L) (Kn,L n ). ~. K(X) x K(X) : K c:;;; L} tal que (K,L). Supongamos que existe x E K tal que:1: ti- L. Como X es 48. E.

(48) un espacio regular, existen conjuntos abiertos disjuntos Al y A 2 en X tales que x E Al y L t;:; A 2 • Como Kn -----7 K, entonces existe 111 E N tal que Kn E {K E K(X) : K Ad para todo n 2: m.. n. Por otro lado L E {K E K(X) : K t;:; A 2 }. Como Ln -----7 L, entonces existe p E N tal que K n , Ln E {K E K(X) : K t;:; A 2 } para todo n 2: p. Pero si Kn E {K E K(X) : K Ad y Kn E {K E K(X) : K t;:; A 2 } para todo n 2: máx{m,p}, entonces Al nA 2 i= 0. Contradicción. De modo que K t;:; L Y en consecuencia. n. (K, L). (iii) Sea 111 decir L n K. = {(K, L) = 0.. E. E. {(K, L). E. K(X) x K(X) : K t;:; L}. K(X) x K(X) : K. n L i= 0}.. Tomemos (K, L) E AJe, es. Como X es un espacio normal y, K Y L son subconjuntos cerrados de X, entonces existen abiertos disjuntos Al y A 2 tales que K t;:; Al Y L t;:; A 2 . Es claro que (K, L) E {K E K(X) : K t;:; Ad x {K E K(X) : K t;:; A 2 } t;:; A1e El conjunto Ale es abierto.. •. Teorema A.2. (de Sierpinski)[2]. Todo espacio métrico numerable es homeomorfo a un subconjunto cerrado de Q.. Demostración: Sea X un espacio métrico numerable. El espacio X es cero dimensional. En efecto, tomemos los conjuntos. Nh. =. {x. E lR : :7: =. d(r, s) para r,.'). E. y. El conjunto 2) =. {B(x, r) : x. E. X. Y. r. E. Al}. es una base de abiertocerrados para el espacio (X, T). Los elementos de. 2). son cerrados.. 49. X}.

(49) Sean B (:r, é) E ~ Y t E X \ B (x, é). El punto t no puede estar en la frontera de la bola B(x, é) porque de lo contrario d(l:, t) = é E A11 , contradiciendo la elección del radio é. Sea r = d(t, B(:r, é)). Como B(t,~) B(:r, é) = 0, entonces el complemento de B(l', é) es abierto.. n. Sean (l: n)n una enumeración de X y {Ci : 'Í E N<N} un sistema de conjuntos abierto cerrados de X construido de la siguiente manera:. Paso 1:. i) Definamos C( ). ii) Sea. {CihEN<l. =. X;. una partición de X con las siguientes características:. • Xo E C o y :r s E C i donde s = mín{n E N : l: n E Ci } y. • diam(Ci ) <. m'. Paso 2: Sea {Cí - t}tEN<l una partición de cada elemento C i del paso 1 con las siguientes caracterí ticas:. • o.i - t n Cr t = 0 para todo Ci - t , Cr t • :rs' E. o.¡-t. donde. • :ro ECo-o, X s E. Si. = mín{n. o.i - O donde. E. E {o.¡-di,tEN<l,. N :xn E. CO,Ci. o.i-d,. E {Ci}iEN<l. son los mismos del Paso 1 y. Paso n: Sea {Ci - thi,t)EN<n-l XN<l una partición de cada elemento C¡ del paso anterior con las siguientes características:. 50.

(50) •. :[0. E Co~ o,. :1: 8. E. Ci - o donde Co, Ci E {Gi }.¡Ef\!<N son los mismos del paso. anterior con el primer subíndice Ocomo la sucesión constante cero de longitud lil, y. Observaciones: • Siguiendo estos pasos se puede apreciar que para todo :c s E X existe un número I.;(s) E N tal que. k(3). =. mín{r E N: n r o:f O &. va E CERO(:-c s E C(no, ... ,n.,ro}.. • Si algún :r 8 es un punto aislado en X, entonces. implica que. G(no, ... ,nk(S) ~i =. 0 para todo i. E N<f\!.. Consideremos los conjuntos. 11,11 = {3. E N<N : s. es la etiqueta de algún elemento de X}. y. 11,1. = {a. E Nf\! :. nn. a =. 3~0 para algún 3 E MI Y O E. CERO}.. y. Sean D = {a E l'l1 : Ga1n o:f 0} f : D - - 7 X la función asociada al sistema de conjuntos anteriormente construido donde. f(a) = {3 donde {3 es el único elemento del conjunto Afirmación: La función. f. nn Ca1n-. es biyectiva.. Sean :(:s, :I:t E X distintos y supongamos, sin pérdida de generalidad, que s < t. Consideremos las particiones Ck(s) y Ck(t). Si Ck(s) n Ck(t) = 0, entonces f(:(:s) o:f f(Xt). Si Ck(t) ~ Gk(s), entonces existe un número finito de pasos, digamos m, tal que Ck(s) ~ n n Ck(t) ~ o = 0 donde O, n E N<m. De esto se puede concluir que f(;r s ) o:f f(:rt).. 51.

(51) Continuidad de f: Sea a E D Y E > O en N. Como {f(a)} = se puede elegir n lo suficientemente grande de modo que Cxln <;;;:. f(D. n I:(aln)). <;;;:. nn C"ln, entonces BU (a), E).. Así. B(f(a), E).. En efecto, si acaso (3 E D n I:(aln), entonces aln = (3ln y. C,8I(n+1) <;;;:. Ca1n. <;;;:. B(f(a), E). Continuidad de f-1: Sean. E. Y o> O Con esta elección de O. > O en N, O E CERO tal que. lo suficientemente pequeño para que B(:rs,o) podemos afirmar que. <;;;: Ck(s)~O.. k(s)~O. >. E. En efecto, sea x".. E B(-:D s , o). Si Xl' = :r s el resultado es inmediato. Supongamos que ;(;T =1- XS • Como T E Ck(T) donde k(T) 2': k(s)~O > E, entonces a = f-1(xr) es tal que alk(T) > E Y en consecuencia f-1(:rr) E I:(f-l(:cT)k). Algo que debemos destacar en este punto es que si X = Q, entonces D = y f : D ----7 Q es un homeomorfismo. Llamemos a este homeomorfismo g. Supongamos que X tiene puntos aislados. Hagamos uso del diagrama ~V. para demostrar que (g o f-1 )(X). <;;;:. Q es cerrado.. Afirmación: El conjunto D es cerrado en W':!. Sea fJ E De. Existe n E N tal que C,8ln n X =. 0 lo cual trae como. consecuencia. que. I:(Bln). <;;;:. De.. Así los conjuntos D y g(D) son cerrados en Nf'J y Q respectivamente.. Corolario A.3.. •. Todo espacio métTico y numemble sin puntos aislados es homeomoTfo a Q.. Demostración: Sea X un espacio métrico numerable sin puntos aislados. En la demostración del teorema A.2. se puede apreciar que, si X no tiene puntos aislados, entonces D = W. Por lo tanto 9 o 1- 1 : X ----7 Q es un homeomorfismo.. •. 52.

(52) Proposición AA. La función unión. f(T, S). TUS. es continua.. Demostración: Sea (Tn , Sn)n una sucesión en 22 <1'1 x 22 <N tal que (Tn , Sn) que. f(Tn, Sn). ---1-7. ----7. (T, S). Supongamos. TuS.. Esto significa que para todo n E N existe un número natural m > n tal que k E T m U Srn y k ti- T U S para algún k E 2<Pl. En tal caso debe ocurrir que. Trn. ---1-7. T. o. Srn. ---1-7. S.. Proposición A.5. Sea ATb~ = J[ATb 2 J donde. • f. es la función de la proposición 2.12. La función. es continua.. Demostración: Primero tomemos la función. 3 y(3). { (31131-. Por la proposición 0.27 la función. es continua.. 53. l))~O. , si s (131). =. O;. ,si 3(131). = 1..

(53) La función identidad. y la función. TUS. 1j'3(T, S). también son continuas (ver proposición AA.). Por último definamos la función Arb~. '1/)4:. la cual es contillua porque se define como. -t. 22 <1,. X. 22 <1\1. 4h y '~)2 lo son. Ahora tenemos que la 'lj, de la proposición. la cual actúa mediante el esquema. Proposición A.6. Sea X un conjunto compacto, nmnerable y de Hausdorff. Si Ct es un ordinal sucesor.. • IXlcB =. Ct,. entonces. Demostración: Sea X un espacio métrico compacto, numerable y de Hausdorff. Supongamos que Ct < W1 es un ordinal límite tal que IXlcB = ex y demostremos que X no puede ser compacto. Como w = co f (Ct ), entonces existe una función f : w ----+ Ct que no es acotada en Ct. Construyamos un conjunto J\;1 = {l: n }nEw de la siguiente manera: ;1:1. E. X \ X(f(l)). :1"2. E. X(f(l)) \ X(f(2)). :r. E. x(f(n-1)) \ x(f(n)). n. 54.

(54) para todo n E w.. Afirmación 1: El conjunto A1 es discreto. Sea.e E lIJ. Existe n E w tal que :r = .ell es un punto aislado en x(f(n-l)). AJ es un espacio T 21 por lo tanto podemos elegir un conjunto abierto Al en !vI de modo que separe a 1: n de los puntos Xl, :e2,"" :1.:n -l. Por otro lado, corno X n es un punto aislado en X(f(n-l)), entonces existe un abierto A 2 tal que X(f(n-l)) n A 2 = {:1.: n }. Es claro que el abierto A = Al n A 2 es tal que A n !vI = {xn}.. Afirmación 2: El conjunto 111 no tiene puntos de acumulación en X. Supongamos que A1 sí tiene un punto de acumulación X en X. Existe n E w tal que x E X(J(n)) \ x(f(n+1)). En efecto, si tal número n no existiese, entonces X E x(a) con lo cual IXl cB > o: contradiciendo el hecho de que IXlcB = 0:. Sea E = dCr, X(J(n+l))) y consideremos el conjunto abierto B(x, ~) donde q E N es lo suficientemente grande de modo que B(T, -,-) no contenga los primeros n elementos q de AJ. Con esta construcción tenemos que. B(:e, ~) q. n. x(f(n+l)) =. 0.. Como estamos suponiendo que x es punto de acumulación de M, entonces existe un subconjunto infinito A1' s;:; !vI tal que 111' s;:; B(:r, ~). Como A1' no contiene los primeros n elementos de A1, entonces NI' s;:; x(f(n+1)) con lo cual. •. Proposición A.7.. Existe un homeomorfismo f : (O, 1) ~ lR tal q1J,e f(q) E Q pam todo q E (O, l)nQ.. Demostración: Sean :ro = 0, .e1 = ~", ., l: n = 2- 1 + .... U[x. + 2- n . Tenemos que. n , .rn+r). nEN. 55. = [0,1)..

(55) Definamos la función f:. [0,1). -7. lR. , si :r E [O, ~);. f(x) La función f está definida sobre todo [O, 1) Y es un homeomorfismo sobre la semirecta lR+. Ahora definamos la función. cp:. (-1,1). cp( 1.'). -7. lR. {. f(:r). , si. 1;. E [O, 1);. -f(1 + x) , si x E (-1, O) .. Finalmente el homeomorfismo pedido es 1/J (:r) =. 56. cp( 21: - 1).. •.

(56) ,. Indice alfabético. <K B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 35 I_a l· ................................ , 8 A <n ................................ ,8 T .................................. , 34 Arb; ............................... ,12 a~b ................................. ,8 Arb 2 ·· .. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · , 9 CERO ............................ , 34 K(X) ........................... , 6, 15 A1F ............................... ,21 MF2 . . . . . . . . . . . . ··· . . . . . ···· .. ·.··,34 MF.] .............................. ,36 N ................................. ,11 PArb; ............................. , 12 PArb 2 ... · · · · . · . · · · · · ... · · · . · ... ···,11 T .................... ............... , 8 W ................................. , 24. W' ................................ ,24 L:(s) ......... ...................... 10 1. y. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,8. 'l/y ..... ............................. , 8 :::;~.¡:. ................................ , 14. :::;KB·······························,35. Ord ............................... ,40 d~(X) ............................. , 7 II~(X) ............................. , 7 II~-completo ........................ 14 ~~(X) .............................. , 7 ~t-completo ....................... , 5. IX IcB ............................ , 30 57.

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