Transformación Bidimensional
entre PSAD56 e ITRF08 usando
métodos de Helmert y
Molodensky
María José Zambrano
Carrera de Ingeniería Geográfica y Medio Ambiente
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Ricardo Romero
Grupo de Investigación en Tecnologías Espaciales
Gestión Investigación y Desarrollo
Instituto Geográfico Militar
Alfonso Tierra
Grupo de Investigación en Tecnologías Espaciales
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
INTRODUCCIÓN
El proceso de conversión de un sistema de coordenadas a otro, llamado transformación de
coordenadas, requiere que los mismos puntos tengan sus coordenadas conocidas en ambos
sistemas, el arbitrario (local) y el sistema final (global) de coordenadas . Para este trabajo se
utilizó la transformación bidimensional, para coordenadas planas (Este-Norte). Los métodos
que se aplicaron para la transformación bidimensional fue la transformación de Helmert y
Molodensky Badekas.
• Puntos
homólogos
• PSAD56 - ITRF
Transformación
Coordenadas
• Helmert
• Molodensky
Métodos
• Transformación
bidimensional
• Compatibilizar y
actualizar
Finalidad
PROBLEMÁTICA A RESOLVER
Precisión de la
red clásica
Escala de
representación
Cartografía
incompatible
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Figura1. Transformación de Sistemas de Referencia
Transformación Similaridad
M. Molodensky M. Helmert
TRANSFORMACIÓN DE HELMERT
Figura2. Dos sistemas de coordenadas en el plano
Fuente: M Farjas, (2005)
Conocidas las coordenadas de dos puntos
en ambos sistemas podrán determinarse las
cuatro incógnitas de la transformación de
Helmert.
TRANSFORMACIÓN DE HELMERT
Este tipo de transformación considera los siguientes parámetros: rotación, traslación y
diferencial de escala.
El modelo matemático de Helmert para la transformación de coordenadas en PSAD56 a
ITF08 vienen dadas por (1):
(1)
Donde,
𝑋 𝑌
𝐼𝑇,corresponde a las coordenadas en ITRF08.
𝑋
𝑜𝑌
𝑜 𝑇, traslaciones en X y Y.
K=
1 + δ , representa la factor de escala, donde 𝛿 es el diferencial de escala.
𝑅 , corresponde a la matriz de rotaciones en el eje z.
𝑋 𝑌
𝑃𝑇,corresponde a las coordenadas en PSAD56.
𝑋
𝑌
𝐼
=
𝑋
𝑜
TRANSFORMACIÓN DE MOLODENSKY
Figura 3.Geometría de la Transformación de Molodensky-Badekas
El modelo bidimensional de Molodensky relaciona dos sistemas de coordenadas mediante
los cuatro parámetros de transformación de Helmert , la diferencia radica en la inclusión de
un centroide de coordenadas (
𝑋
𝑚
, 𝑌
𝑚
). Las ecuaciones de condición para la transformación
de coordenadas en PSAD56 a ITF08 vienen dadas por (2):
( )
(2)
𝑋
𝑌
𝐼
=
𝑋
𝑜
𝑌
𝑜
+
𝑋
𝑌
𝑚
𝑚
+ 1 + δ ∗ 𝑅 ∗
𝑋 − 𝑋
𝑌 − 𝑌
𝑚 𝑃
𝑚
Donde,
𝑋 𝑌
𝐼𝑇,corresponde a las coordenadas en ITRF08.
𝑋
𝑜𝑌
𝑜 𝑇, traslaciones en X y Y.
𝑋
𝑚𝑌
𝑚 𝑇,coordenadas del centroide.
K=
1 + δ , representa la factor de escala,donde 𝛿 es el diferencial de escala.
𝑅 , corresponde a la matriz de rotaciones en el eje z.
𝑋 − 𝑋
𝑚(𝑌 − 𝑌
𝑚)
𝑃𝑇,corresponde a las coordenadas en PSAD56.
•
Las observaciones ajustadas se pueden expresar en función de los parámetros ajustados (5):
Donde,
La=Observaciones ajustadas
Xa= Parámetros que van hacer ajustados
La = F(𝑋
𝑎
)
•
El modelo matemático para calcular los parámetros de transformación está dado por (6)
X = (A
T* P * A)
−1* (A
T∗ P ∗ L)
Donde,
X= Vector de corrección d parámetros
A=Matriz de derivadas parciales
P= Matriz de pesos (Identidad)
L= Diferencia entre las observaciones aproximadas y las observaciones realizadas
•
Para determinar la calidad del ajuste, se calcula la varianza posteriori (7):
𝜎
𝑜
2
=
𝑉
(𝑛−𝑢)
𝑇∗𝑃∗𝑉
=
(𝑛−𝑢)
Ф
Donde,
n-u =Grados de libertad, n es el número de observaciones y u , número de incógnitas
V=vector de residuales de las observaciones ajustadas
Si se asumen que un ITRF no varía con respecto al tiempo y sus coordenadas quedan
ajustadas en el espacio (no hay velocidades involucradas), en este caso los parámetros de
transformación se emplean sin sus velocidades, se usan 7 parámetros , pero si se asume que
los parámetros de transformación cambian con respecto al tiempo en una época dada,
entonces es necesario el uso de los 14 parámetros (incluidos sus rates).
( )
7 parámetros 14
parámetros
Figura 4.Parámetros de Transformación del ITRF2008 a ITRFS anteriores.
Fuente: The International Terrestrial Reference Frame.
Coordenadas observadas en
IGb08, ITRF08 (2013)
Base de datos ,observadas en
ITRF94 (1995.4), de los 134
vértices : 80 se transformaron
(ITRF94 – ITRF08)
Parámetros de Transformación
PSAD56
IGb08
2 Traslaciones
1 Rotación
1 Diferencial de escala
Comisiones
54
País
134
METODOLOGÍA
1.
Se elaboró una base de datos de coordenadas tanto en PSAD56 como en ITRF08.
2.
Se realizó un cambio de época entre ITRFs del ITRF94 (1995.4) a ITRF08 (2013.9) y
viceversa, tendiendo las coordenadas de las comisiones y del país en los dos sistemas.
Tabla1.Coordenadas cartesianas de la de la Base de Datos.
Figura 5.Parámetros de Transformación del ITRF2008 a ITRFS anteriores.
Fuente: The International Terrestrial Reference Frame.
Coordenadas Transformadas con rates
Coordenadas Transformadas sin rates
14 parámetros
7 parámetros
Figura 6.Parámetros de Transformación del ITRF2008 a ITRF94.
Parámetros
7
14
X Y Z
λ ϕ
E N
Figura 7. Puntos observados en las Comisiones 2013.
Figura 8.Puntos observados en todo el País
.
ÁREAS DE COBERTURA
4. Para la transformación de las coordenadas se diseñaron dos programas en el software de
Matlab, para cada uno de los métodos.
Ajuste
Comprobación
PUNTOS
30%
70 %
Puntos
Comisiones: 54
País: 134
Ajuste
39
87
Comprobación
15
47
5.
Del conjunto de puntos de las comisiones y de todo el país , se seleccionó los puntos de
ajuste y los puntos de comprobación para cada grupo.
Los puntos de ajuste comprenden
los puntos
extremos que cubren el contorno del país y aquellos
de mayor y menor altura nivelada.
Con los puntos destinados para la prueba o
comprobación, se calculó las estadísticas principals.
La escala se obtiene de la ecuación:
Parámetros del programa
δ
1.249
ppm
α
1.37E-6
rad
Tx
-263.96
m
Ty
-377.25
m
Figura11.Programa Helmert
N E N E El Pelado 10080313.4789 842246.7505 10080321.36 842248.61 7.89 1.86 8.10197895 Cabras 10052207.4420 837907.0604 10052215.40 837908.81 7.96 1.75 8.14989902 Cungapito 10047774.5084 836631.6187 10047782.87 836633.40 8.36 1.78 8.54421961 Rayoloma 10055219.1753 811896.9271 10055227.67 811898.81 8.49 1.89 8.70159247 Tuquer Alto 10054323.8674 852516.6127 10054331.80 852518.48 7.94 1.87 8.15421768 Germania Torre 10001212.0754 678161.8295 10001220.30 678162.24 8.23 0.41 8.23894078 Cuna 9962103.0089 689015.6475 9962111.37 689014.51 8.36 -1.13 8.43821072 Palestina 9820268.0786 614501.8932 9820276.35 614502.14 8.27 0.25 8.27860489 Saya 9756720.7518 543047.3593 9756728.78 543048.01 8.03 0.65 8.05227247 Chillacocha 9613005.6156 652045.6151 9613014.41 652046.66 8.79 1.05 8.85555273 Pachito 9842690.2275 588219.4657 9842698.18 588219.65 7.95 0.19 7.9543653 Quinde 9582901.9427 677118.8802 9582910.99 677120.36 9.05 1.48 9.16871655 Yantahuayco 9687631.9243 684173.8797 9687639.86 684174.15 7.93 0.27 7.93918897 CASITAGUA 9995954.124 780485.857 9995962.74 780486.49 8.61 0.63 8.6371704 LATACUNGA BN 9909956.342 764161.0869 9909964.43 764160.43 8.09 -0.66 8.11376088 LULUNURCO 9991880.798 777461.1882 9991889.42 777461.76 8.62 0.57 8.63741968 MINAYA 9893532.287 580246.7691 9893539.71 580246.42 7.42 -0.35 7.43146193 MIRAVALLE 9970083.922 777284.6917 9970092.43 777285.16 8.51 0.47 8.5235532 PANECILLO GEOD. 9974655.644 776234.5625 9974664.17 776235.11 8.53 0.55 8.54696591 PAYAMINO 9949031.302 910910.4673 9949039.54 910911.80 8.24 1.33 8.34724069 UNGUI II 9973741.668 771907.8252 9973750.20 771908.21 8.54 0.39 8.54531977 LOJA UTPL 9558876.107 699936.2311 9558884.75 699937.78 8.64 1.55 8.77856454 CULAURCO 9870227.643 854278.1735 9870236.19 854278.97 8.55 0.79 8.58293858 CACHARI 9803298.543 670862.4902 9803307.66 670860.68 9.12 -1.81 9.30004259 MASHASHINGO 9849638.096 714864.714 9849647.08 714863.63 8.98 -1.09 9.04747316 CORAZON 9941520.375 761774.1766 9941528.78 761774.03 8.41 -0.14 8.41074136 DANAS 9761088.521 734782.819 9761096.45 734782.12 7.93 -0.70 7.95926393 CORONA REAL 9825007.81 748299.8378 9825015.73 748299.20 7.92 -0.63 7.94865984 GUANGOTASIN 9893980.293 777828.3685 9893988.29 777827.77 8.00 -0.60 8.02035528 INGACORRAL 9935709.124 760686.6087 9935716.28 760686.37 7.15 -0.23 7.15799471 MAPASINGUE #2 9760157.587 616281.9846 9760165.21 616282.54 7.62 0.55 7.64424608 EL TABLON 9906884.97 599071.01 9906892.30 599070.57 7.33 -0.44 7.33863966 GUANTUGLOMA 10001458.22 810826.9359 10001466.49 810827.90 8.26 0.97 8.32088092 CHIHUILPE 9967289.633 712910.9695 9967298.12 712911.45 8.48 0.48 8.49627762 HUANGA 10060294.12 823692.9958 10060302.29 823694.84 8.18 1.85 8.38114439 MULA POTRERO 10009253.27 806911.7026 10009262.09 806912.58 8.82 0.88 8.86795089 EVANGELINA TROJE 10053056.73 848297.1385 10053064.73 848298.73 8.01 1.59 8.16425259 PUSAG COCHA 10026372 784310.2181 10026380.89 784311.47 8.89 1.25 8.9817861 HOSPITAL DEL SUR 9972954.264 773709.6007 9972962.78 773710.08 8.52 0.48 8.52972638 REDONDO 10033693 828826.7393 10033701.42 828828.28 8.42 1.54 8.55842641 VERGEL 9639024.621 632402.285 9639033.76 632403.18 9.14 0.89 9.17916343 PAYLON 9845999.584 686428.7157 9846008.66 686428.10 9.07 -0.61 9.09513963 SAN ENRIQUE 9774879.345 621599.9556 9774886.75 621600.82 7.41 0.87 7.45609488 GATAZO 10089337.24 648240.7506 10089345.17 648242.05 7.94 1.30 8.04025654 CORAL 9754490.24 507714.0408 9754498.27 507714.84 8.03 0.80 8.07287164 SANTA LUCIA 9975128.873 712892.4978 9975137.69 712892.96 8.82 0.46 8.82797305 MESOPOTAMIA 10056154.51 814423.8301 10056162.84 814425.76 8.34 1.93 8.55671263 8.36 7.16 9.30 0.49 31000 Media Mínimo Máximo Desviacíon EscalaESTACIÓN UTM Observadas ITRF08 Transformadas Diferencia N Diferencia E Distancia
