Gastronomía molecular: estudio de las condiciones de contorno de un modelo termomecánico bidimensional del suflé

Texto completo

(1)GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ. Febrero 2018. TRABAJO FIN DE GRADO PARA LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE GRADUADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES. Victor Siliang Ruan Zhao DIRECTORES DEL TRABAJO FIN DE GRADO:. Tutor: Katerina Foteinopoulou Cotutor: Manuel Laso.

(2)

(3) Daría todo lo que sé, por la mitad de lo que ignoro. (René Descartes).

(4)

(5) Agradecimientos La realización de este trabajo no hubiera sido posible sin la siempre rápida y clara ayuda de mi tutora Katerina Foteinopoulou a quien quiero dar las gracias profundamente por esta oportunidad y por su paciencia con todas las explicaciones que me ha repetido muchas veces. También a mi cotutor Manuel Laso, que ha sabido poner paz y orden a mi mal estructurada planificación. Esta oportunidad tampoco hubiera sido posible sin la colaboración de mi amigo Álvaro, quien en un momento de oscuridad dio luz a este Trabajo de Fin de Grado. Quiero agradecer a mis padres por todo lo que han hecho y sacrificado por mí. Sin sus esfuerzos no sería la persona que soy actualmente. A mi hermana Elisa, con quien comparto confidencias desde que tengo uso de razón, gracias por todo. A mis compañeros y amigos de la escuela, sin vuestra compañía y ayuda estos años de duro esfuerzo no hubieran sido posibles. A Juan y a Nacho, por ser los amigos que todos querrían tener en sus vidas. A Fer, del que todos los días aprendo algo. A Belén y a Dani, por haberme enseñado tanto aunque ellos no lo sepan. A Andrés y Alberto, que han sufrido más de una vez mi mal humor. A Hector, Iván, Alex, Patricia, Paula y Ana. Y a Naomi con quien he compartido un largo camino en estos cortos meses, sin tu ayuda y compañía no hubiera sido posible. Se me olvidarán personas importantes seguro, pero a todos vosotros gracias.. 1.

(6) 2. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(7) Resumen El presente Trabajo de Fin de Grado (TFG) tiene por objeto el estudio de condiciones de contorno realistas en un modelo bidimensional termomecánico del suflé. Continua el trabajo de dos trabajos anteriores [1] y [2] que realizaron un modelo unidimensional y bidimensional, respectivamente. Su realización se ha llevado a cabo en el laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales, centro de la Universidad Politécnica de Madrid (ETSII-UPM). El suflé es una preparado alimenticio que se puede asimilar a una mezcla de varias fases en coexistencia, líquido (principalmente agua), gas (vapor de agua y aire) y sólido (elementos como proteínas, polisacáridos, etc.). La evolución de las fases en el cocinado real provoca la expansión del suflé a causa de la expansión del aire inicial, introducido al batir las claras de huevo, y la generación de vapor de agua. Los experimentos llevados a cabo en [1] con distintos grados de firmeza de la clara montada (mayor firmeza, mayor aire introducido) confirman que el gas (aire y vapor) es el responsable del crecimiento, siendo mayor la contribución del vapor generado. Del trabajo de [2], se consiguió realizar un modelo de simulación del suflé bidimensional con muy buenos resultados en la predicción del cambio de fases que tiene lugar en el crecimiento del suflé. Sin embargo, sus condiciones de contorno eran ideales, no consideraba flujo de calor a través de sus fronteras ni deslizamiento, por lo que era susceptible de mejora y análisis. El modelo realizado no utiliza parámetros ajustables, es decir, se calculan todas las incógnitas del problema en cada punto y paso temporal.. Figura 1: Varios suflés reales en un experimento de cocinado 3.

(8) El modelo está constituido por varias ecuaciones que se pueden clasificar en dos grupos distintos: ecuaciones del problema del flujo, con las incógnitas ur , uz (velocidades), T (temperatura), ρagua , ρvapor , ρaire , ρresto (densidades), Pg (presión del gas), Cp (calor específico), k (conductividad térmica), η (viscosidad), f uente (termino de generación de vapor) y xVg (fracción volumétrica del gas en la mezcla), y ecuaciones del problema del mallado, con las incógnitas R y Z, figura 3.8. Las primeras se han constituido mediante las ecuaciones de conservación de masa energía y momento (3.19) y sus correspondientes condiciones de contorno e iniciales. Su resolución se ha realizado mediante el método de Elementos Finitos (Finite Element Method, FEM), concretamente con la aproximación de Galerkin de los residuos ponderados, en un código propio escrito en lenguaje Fortran 90. Para tratar el dominio variable en el tiempo, se adoptó un esquema de generación de malla, que se basa en métodos de mapeo de correspondencia de límites, y el mapeo se realiza resolviendo un conjunto de ecuaciones diferenciales. Como primer paso, el dominio físico variable en el tiempo se mapea en un dominio computacional bastante simple, fácil de definir y constante. A continuación, los valores de las coordenadas físicas en el interior del dominio se obtienen como las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales elípticas parciales. Debido a esta constante reconstrucción / movimiento de la malla, este método pertenece al grupo de métodos ALE (Arbitrary-Langrangian-Eulerian), [3] [4] [5]. La formulación de estas ecuaciones es especialmente fiable y rápida para problemas axisimétricos con fronteras libres, grandes deformaciones y con adaptación del dominio con el tiempo. El dominio del flujo variable con el tiempo se mapea a un dominio constante (figura 2), el dominio de simulación, sobre el cual se calcula la evolución del mallado mediante las ecuaciones de la sección 3.4.3.1. El dominio computacional coincide con el dominio físico real para t = 0s.. Figura 2: Mapeo bidimensional del suflé Se pretende realizar un estudio de las condiciones más realistas posibles por lo que se han estudiado, el flujo de calor a través de las fronteras y deslizamiento en la pared lateral, por efecto de la viscosidad de la mantequilla que se utiliza normalmente antes de la introducción del suflé. La implementación numérica de estas condiciones se ha realizado como condiciones de contorno naturales o tipo Neumann en los términos de superficie que surgen de las ecuaciones de los residuos. Se realizaron diferentes simulaciones con combinaciones de parámetros de operación 4. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(9) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ del horno (i.e. temperatura del parte radiativo) y de parámetros reológicos de la película de grasa entre el soufflé y la pared. Los resultados obtenidos fueron bastante satisfactorios dado que se identificaron dos fenómenos competitivos en las simulaciones: (1) el crecimiento por efecto el flujo de calor y (2) el crecimiento por efecto de la viscosidad.. Figura 3: Efectos del flujo de calor (1) y del deslizamiento (2) sobre el crecimiento del suflé. De forma general, el aumento de la viscosidad de la mantequilla inhibe la expansión de los puntos de contacto de la pared siendo el valor máximo decreciente con la misma. La temperatura de las resistencias realiza el efecto contrario, su aumento provoca el desplazamiento del máximo punto superior hacia el borde del molde (hacia la derecha). Su efecto no solo desplaza de esta manera la frontera libre sino que también eleva la altura de todo el suflé. En conjunto, se puede afirmar que el aumento de la viscosidad reduce el efecto de la expansión lateral favoreciendo la expansión de la parte central. La temperatura en cambio tiene un efecto global más relevante ya que, si bien la presencia de la viscosidad es notable en el crecimiento, la expansión es creciente con la temperatura en todos los casos, siendo más prominente en la región central. Los resultados de las demás incógnitas del modelo también fueron consistentes con los fenómenos de transporte de calor y masa que ocurren en la realidad. Se distinguieron 3 regiones diferentes dentro del suflé entre las isotermas de 70 o C y la de 100 o C, 4. La primera marca la transición de la fase sólida, por desnaturalización de las proteínas y su coagulación y la segunda la transición de la fase líquida de la mezcla a fase gaseosa. La realización de este modelo de simulación en el laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos ha permitido el conocimiento y un análisis en profundidad de los fenómenos físicos que tienen lugar en el cocinado real del suflé, los fenómenos que impulsan su crecimiento, y su dependencia de los valores iniciales. Este modelo también es aplicable a otros productos similares, como bizcochos o galletas, simplemente adaptando la geometría y la composición de la receta. Palabras clave: Material compuesto, mecánica de fluidos, métodos numéricos, transferencia de calor, ingeniería alimentaria, fenómenos de transporte, física de procesos culinarios, gastronomía molecular. Víctor Siliang Ruan Zhao. 5.

(10) Figura 4: Densidad del vapor para una simulación donde la temperatura radiativa era de 500o C y la viscosidad de 20 Pa s. Tiempo de simulacion t = 360s. Códigos UNESCO: 331208 Propiedades de los Materiales 330900 Tecnología de los Alimentos 220404 Mecánica de Fluidos 220932 Termodinámica 221311 Fenómenos de Transporte 250121 Simulación numérica 120600 Análisis numérico. 6. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(11) Índice general. 1. Introducción. 11. 1.1. Motivaciones del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Descripción del caso del suflé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Antecedentes. 15. 2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Modelado del suflé. Ecuaciones, condiciones iniciales y de contorno. 21. 3.1. Ecuaciones fundamentales del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1. Ecuación de conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3. Ecuación de conservación del momento cinético . . . . . . . . . . . 23 3.2. Variación de las propiedades físicas del suflé . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1. Fracción volumétrica de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.3. Calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.4. Conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.5. Presión de la fase gaseosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.6. Término fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4. Resolución numérica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.1. Método de los Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7.

(12) 3.4.2. Aplicación del método de residuos ponderados-Galerkin . . . . . . . 33 3.4.3. Mallado. Despcripción y desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.3.1. Ecuaciones del mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.3.2. Frontera libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5.1. Condición de simetría axial. Frontera B4 . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5.2. Transferencia de calor. Conducción, convección y radiación . . . . . 41 3.5.3. Condición de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5.4. Equilibrio de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5.5. Ecuación cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5.6. Resumen de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5.7. Implementación de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . 48 3.6. Diagrama de la resolución matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. Resultados. 53. 4.1. Validación del modelo con las condiciones de contorno del flujo de calor . . 53 4.2. Comparación de los efectos de la condición de deslizamiento . . . . . . . . 56 4.3. Análisis del modelo validado con condiciones de flujo de calor y deslizamiento 58 4.4. Modelo final. Empleo de flujo radiativo con factores de forma . . . . . . . . 69 4.4.1. Evolución de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 4.4.2. Evolución de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4.3. Evolución de las densidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4.4. Evolución del término fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4.5. Evolución de la fracción volumétrica de gás . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4.6. Evolución de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.7. Evolución de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4.8. Evolución del calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.9. Evolución de la conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5. Conclusiones. 81. 5.1. Líneas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(13) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ 6. Planificación temporal y espacial. Valoración de impactos. 85. 6.1. Estructura de Descomposición del Proyecto (EDP) . . . . . . . . . . . . . 85 6.2. Diagrama de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3. Presupuesto económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7. Valoración de los impactos. Aspectos relacionados con la responsabilidad social, ética y profesional 89 Apéndices. 90. Índice de Figuras. 95. Índice de Tablas. 97. Bibliografía. Víctor Siliang Ruan Zhao. 102. 9.


(15) Capítulo 1 Introducción Suflé: del Fr. soufflé, Alimento preparado con claras de huevo a punto de nieve y cocido en el horno para que adquiera una consistencia esponjosa. [6].. 1.1.. Motivaciones del trabajo. Hasta hace un par de décadas los mecanismos que responden a preguntas como ¿porqué se vuelve blanca la clara del huevo? o ¿porqué se endurece la corteza del pan?, estaban sin resolver o incluso no se habían llegado a formular. Surge de esta manera el término de Gastronomía Molecular acuñado por el físico Hervé This, en colaboración con Nicholas Kurti, en 1988. Esta nueva disciplina científica se definió como la "búsqueda de los mecanismos de los fenómenos de preparación y consumo", [7], [8]. La publicación de varios textos científicos desde entonces ha supuesto un gran avance en la ciencia de los alimentos, una mejor compresión de los fenómenos del transporte y el desarrollo de nuevas técnicas como el uso de aginatos, sifones o la cocina a baja temperatura. This propuso una serie de retos para poder dar respuesta a parte de esas preguntas [9]. Una de ellas fue la del suflé. Algunas de las incógnitas que se plantearon fueron, si se podía hacer un suflé siempre perfecto dadas unas condiciones, si existe un límite a la expansión o si es existe un valor de aguas mínimo para hacer el volumen máximo. Se trata por tanto de cuestiones de gran interés académico y científico que darán explicación a interesantes fenómenos físicos y que el presente trabajo intentará resolver. Hasta la fecha, no existen trabajos teóricos que hayan tratado el caso del suflé que permitan responder a estas preguntas. Sí se ha avanzado en la creación de modelos para el pan y otros productos en donde se han identificado fenómenos físicos acoplados, especialmente fenómenos del transporte (calor y masa) cuya descripción no es sencilla y requiere de simulaciones mediante modelos matemáticos que permitirán resolver los retos crecientes de la ingeniería de los alimentos y que podrán aportar soluciones en la industria alimenticia reduciendo el coste y la pérdida de energía. El desarrollo de este trabajo también persigue una un objetivo de mayor alcance que son la creación de herramientas que permitan realizar simulaciones futuras en el campo de 11.

(16) la ingeniería de los alimentos, desarrollando un código de elementos finitos y llegar a un modelo validado que de respuesta a fenómenos físicos que se suceden durante los procesos de horneado.. 1.2.. Descripción del caso del suflé. Un suflé está compuesto principalmente por claras de huevo (batidas a punto de nieve), leche, harina y mantequilla, aunque otras recetas puedan incluir otros ingredientes, como queso o chocolate. Existen, por tanto, 3 fases, líquida, sólida y gases, diferenciadas a la hora del cocinado. Estas, tienen una fracción volumétrica inicial que variará con el tiempo debido a los flujos de calor en el calentamiento que sucede dentro del horno. Son de especial atención del isoterma de 100o C, por el cambio de fase del agua, contenida en la leche y en los huevos, a vapor, y la de 70o C por el cambio de las claras de huevo a estado sólido. La aparición de nuevas fases resulta en una clara distinción de zonas dentro del suflé, especialmente las burbujas de vapor de agua que son responsables parciales del crecimiento del suflé. No es el único motivo del crecimiento del suflé (contribuye entorno al 25 % [10]), la consistencia de la claras también juega un papel muy importante a la hora del crecimiento ya que una consistencia mayor se alcanza cuando más batidas están y mayor aire ha sido retenido (también se introduce cierto grado de humedad, del propio aire que retrasará la recondensación del vapor formado). Experimentalmente se demuestra que se puede alcanzar un volumen dos o tres veces mayor que el inicial [9], [1]. Las etapas del cocinado, tras la introducción en el horno, se pueden resumir de manera breve en los siguientes puntos: 1. Calentamiento de la paredes del molde mediante convección-conducción y de la parte superior por radiación. Se establece un gradiente de temperatura en el interior del suflé. 2. Distribución de la temperatura. 3. Los gradientes de presión producen un movimiento de la parte superior, frontera libre, de acuerdo con la condición cinemática impuesta, y de las capas interiores del suflé. Ambas ocurren por formación de burbujas de vapor. 4. La capa superior pierde todo su contenido en agua y se forma la corteza. Por debajo, la fase vapor mantiene una presión ligeramente superior. 5. La llegada a los 70o C desde el exterior al interior del molde produce el cambio de estado de las claras de huevo de líquido a sólido formándose la estructura interior, terminando la cocción cuando se ha transformado por completo. La descripción física del suflé no es trivial y su modelo de simulación, complejo. Los distintos fenómenos físicos que se suceden en cada punto y en cada instante de tiempo son descritos por ecuaciones diferenciales de conservación, masa, energía y momento. Se tratan de ecuaciones diferenciales no lineales que requieren de técnicas de análisis 12. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(17) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ numérico para su resolución. Por esta complejidad se han realizado dos simplificaciones que se han realizado en el modelo son: se considera un modelo axisimétrico que no tiene en cuenta la formación de nuevas burbujas y que dejerían formas toroidales alrededor del eje de simetría, y se considera un sistema cerrado sin intercambio de masa con el exterior y que no deja escapar los gases una vez terminada la cocción; como consecuencia la masa, y la densidad total como suma de densidades aparentes, se conserva y se puede considerar el suflé como un continuo. La consideración de las burbujas individuales llevaría a la realización de un modelo tridimensional. Otra suposición, de menor impacto, es la consideración despreciable del efecto de la gravedad sobre nuestro sistema. En la realización de este Trabajo de Fin de Grado se ha partido de modelo previo realizado en el departamento [2] que proponía un modelo ideal de cocción y al que se le han incorporado nuevas condiciones de contorno (radiación, conducción, convección y deslizamiento) más realistas con el objetivo de realizar una simulación más fiel de las etapas de cocción del suflé. El modelo propuesto y validado en este presente trabajo no ha sido una simple simulación de las ecuaciones sino que ha supuesto un análisis exhaustivos de las propiedades químicas y físicas de los elementos que componen la mezcla. Para la simulación se ha utilizado el Método de los Elementos Finitos, más concretamente el método de Galerkin mixto junto con el método de Euler implícito para la integración temporal, para la discretización espacio-temporal y un mallado estructurado, implementado con un código propio, en lenguaje Fortran-90, escrito completamente en el departamento de Simulación de Materiales no Metálicos y no se ha utilizado ningún sofware comercial para el cálculo y simulación del mismo. El modelo no contiene ningún parámetro ajustable y todas las propiedades físicas son calculadas teniendo en cuenta si dependencia con la temperatura el tiempo y la posición.. Víctor Siliang Ruan Zhao. 13.

(18) 1.3.. Objetivos. Se persiguen los siguientes objetivos: Comprender los fenómenos físicos que suceden en el proceso de cocinado real del sufle. Desarrollar un código de implementación de las condiciones de contorno realista mediante elementos finitos. Validar el nuevo modelo con las nuevas condiciones de contorno incorporadas (radiación , conducción, convección y deslizamiento) Simular el modelo y realizar un análisis paramétrico para investigar el efecto de las paredes y de las condiciones de operación. Verificar la validez de las simulaciones.. 1.4.. Estructura del trabajo. En este Trabajo de Fin de Grado sigue la siguiente estructura: En el capítulo 2, se realiza una descripción de los artículos más destacados y relevantes en este campo. En el capítulo 3, se detallan las ecuaciones (masa, energía, momento), las propiedades físicas y las condiciones iniciales y de contorno. En el capítulo 4, se presentan las principales simulaciones realizadas y se analizan los efectos de la aplicación de las nuevas condiciones de contorno introducidas. En el capítulo 5, se discutirán las resultados obtenidos para validar el modelo, así como las posibles líneas futuras de investigación En el capítulo 6, se concluirá con las planificación temporal y espacial incluyendo un breve análisis de los impactos del presente trabajo. 14. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(19) Capítulo 2 Antecedentes 2.1.. Antecedentes. El uso de modelos de elementos finitos en la industria alimenticia, sobretodo de modelos CFD, está bastante popularizado para ciertos productos alimenticios pero no se ha realizado, en cuanto al conocimiento del autor, ningún trabajo de igual magnitud para el caso del suflé. Existen sobretodo artículos acerca del proceso de horneado del pan, un producto que es similar a nuestro suflé y del que se ha realizado una extensa documentación, [11], [12], [13], [14], [15], [16]. Su similitud se encuentra en la existencia de varias fases y su evolución temporal así como el movimiento de una frontera libre (corteza del pan). Este trabajo es la continuación de dos anteriores TFGs realizados en el departamento y de los cuales se parte para seguir extendiendo el modelo. El primer modelo propuesto fué realizado en 2015 por Teresa Díez [1], que realizó dos modelos, en dimensión 0 y 1, y que fueron validados experimentalmente. El modelo de dimensión cero fué caracterizado por el volumen y su evolución realizando una primera aproximación, bajos fuertes suposiciones como transferencia de calor y masa en tiempo finito, que permitieron comprender mejor el problema aunque se presentaban ciertas limitaciones debido a los fenómenos instantáneos o nulos que se sucedían. En el modelo unidimensional, se introdujeron el cálculo de las velocidades, temperaturas, masas y presiones, dependientes de las posición y del tiempo, que complicaron las ecuaciones del modelo pero que se aproximaba más a la realidad del proceso de cocción. Se analizó la variación de la altura del suflé que mostraban, cuantitativamente, resultados muy similares con los observados en los experimentos de cocción. Sin embargo, al no contemplarse la salida de gases tras el proceso de cocción, no se obtuvieron resultados de a esta parte. Otros parámetros como la variación de la temperatura o de la masa mostraron resultados congruentes con la realidad, identificándose los fenómenos de evaporación del agua y generación de vapor que contribuye a la expansión de la que hablará en los próximos párrafos. En 2017, se extendió el modelos unidimensional a un modelo bidimensional, en realidad tridimensional con simetría axial, realizado por Sebastian Kramarz [2]. Este modelo bidimensional añadió dificultad y complejidad a las ecuaciones así como al modelo de simulación de elementos finitos; se impusieron, para un tratamiento inicial, unas condiciones 15.

(20) de contorno de tipo Dirichlet 1 en las fronteras del modelo de calentamiento instantáneo que suponen el punto de partida del presente trabajo. Se consiguió realizar de forma satisfactoria un marco bidimensional de las ecuaciones de conservación del modelo y de las ecuaciones del mallado. A pesar de las condiciones ideales, se logró observar que en el "suflé computacional"se sucedían los fenómenos esperados de expansión en las zonas más calientes por generación de vapor y zonas de altos gradientes de velocidad que ocurren en las regiones con más temperatura y libertad de movimiento, la frontera libre. El trabajo realizado asentó las bases para una mejor compresión de los fenómenos acoplados dentro del suflé a falta de hacer un estudio de unas condiciones de contorno realistas y de los efectos de las mismas.. Figura 2.1: Simulación de la velocidad de los puntos del suflé. [2] Al igual que en los anteriores trabajos, en este no se utilizan parámetros ajustables, sino que todas las propiedades son calculadas en cada punto del mallado y en cada paso de tiempo, y son consecuencia de los experimentos sobre las propiedades físicas de los elementos. Se ha partido también de la receta básica (harina, leche, huevos, sal y mantequilla), donde todos los elementos se han asimilado a 4 sustancias: agua, vapor, aire y resto (conjunto de elementos distintos de los anteriores por fase u otra razón, p.ej. sal, proteínas, polisacáridos, etc.). Parte de los huevos, las claras fundamentalmente, y la leche se asimilaron a agua, para que el modelo fuera más sencillo. El vapor es una razón del crecimiento del suflé y por su generación en el proceso de calentamiento era imprescindible su consideración. Otra de las razones del crecimiento es la existencia de aire húmedo 1 Nota: Una condición de contorno tipo Dirichlet para una ecuación en derivadas parciales como ∇2 y + y = 0 en un dominio Ω ⊂ Rn , es de la forma:. y(x) = f (x) ∀x ∈ ∂Ω. (2.1). donde ∂Ω denota la frontera de Ω. Otro tipo de condición de contorno es el de tipo Neumann, en el que dada la ecuación en derivadas parciales anterior se impone una condición a la frontera ∂Ω del tipo: ∂y (x) = f (x) ∀x ∈ ∂Ω ∂n. (2.2). donde n denota la normal exterior a la frontera ∂Ω.. 16. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(21) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ dentro de las claras de huevo batidas por lo que también fue considerada. Las proteínas de las yemas de huevo, que juegan un papel esencial ya que solidifican a los 70o C, así como otros componentes fueron asimilados a un resto. En relación al estado del arte de las simulaciones sobre alimentos a través de modelos matemáticos se ha venido centrando sobre todo en el estudio del horneado del pan y los fenómenos que lleva asociados. Mondal y Datta realizaron una recopilación del estado de las investigaciones sobre el pan en 2007 [17] donde recogieron los principales trabajos de las últimas dos décadas. El horneado de pan es un proceso que envuelve cambios de temperatura, de volumen y de humedad que se encuentran fuertemente acoplados [13]. Son de vital importancia los fenómenos del transporte de masa y calor [12], ya que durante el horneado se suceden distintos estados, la masa húmeda se transforma en miga para después convertirse en corteza en la parte exterior. El transporte provoca una pérdida de masa, producción de CO2 , expansión de la fase vapor e incremento del volumen, solidificación de las proteínas, entre otros efectos que se encuentran muy correlacionados en la cocina. Además, los sistemas físicos que representan no son sólidos continuos y no se tratan de tal manera sino que debido a las discontinuidades deben ser estudiado como un medio poroso. Los estudios Datta [18], [19] y de Dhall y Datta , [20], sobre el transporte en materiales alimentarios, como el pan, propusieron modelos para el tratamiento de estos medios.. Figura 2.2: Mallado axisimétrico del pan [11] Es muy relevante el trabajo de Ousegui et al [21] que realizó un modelo multifase en medio poroso con una formulación que permitía observar el efecto de un frente de evaporación y su influencia sobre la expansión así como los fenómenos difusivos de ambas fases. En la misma línea, los trabajos de Purlis y Salvadori [14], [15] y [16] se habían realizado previamente un estudio del mecanismo de condensación-evaporación que es el responsable del rápido calentamiento de la matriz porosa. Concluyeron que su existencia aparece en estructuras porosas tanto cerradas (interior del pan, masa húmeda) como abiertas (corteza) hasta que se alcanza la temperatura de 100 o C momento en el se produce la evaporación del agua contenida en el interior. El avance de este frente de evaporación es esencial para el proceso de horneado ya que produce un cambio en la estructura tanto interna, producción de miga, como externa formación de corteza que previene la deshidratación. Esta isoterma formará un frontera entre la fase líquida y la fase gaseosa al igual que otras Víctor Siliang Ruan Zhao. 17.

(22) como la de 70 o C que separa en alimentos que contienen huevos las fases liquidas de las sólidas por la desnaturalización (ruptura de la estructura proteica de las claras del huevo y su posterior coagulación) de las proteínas. Los modelos propuestos en los trabajos se centraban principalmente en el estudio de los fenómenos de transporte de masa y calor en medio poroso, de evaporación-condensación y la sucesión de la frontera de evaporación. Trabajos más recientes han estudiado la influencia de la viscosidad inicial y la humedad en la deformación de la frontera libre que constituye la corteza del pan [22]. También se han realizado estudios para conocer la evolución de las propiedades físicas dentro del pan como contenido y pérdida de agua o porosidad de la miga [23], [24]. La relación de los fenómenos del transporte con la deformación y consecuente movimiento de la frontera libre se ilustra en la figura 2.3.. Figura 2.3: Esquema de relación entre los fenómenos de transporte de calor y la deformación de [11] Las ecuaciones que se presentan en los modelos de estudio son, en la mayoría de los autores, ecuaciones de conservación, masa, energía y momento o ecuaciones como la ley de Fick o la de Darcy; se tratan pues de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que requieren de métodos numéricos para su resolución. En la literatura consultada, se emplea con mucha extensión el método de los elementos finitos (FEM, por si siglas en inglés) y algunos estudios mediante el método de diferencias finitas [25]. El empleo de códigos FEM se encuentra muy extendido en este la simulación en el campo de la ingeniería alimentaria [26], ya sea mediante el uso de programas comerciales como COMSOL Physics o ANSYS Fluent, como de códigos propios en el caso de este presente trabajo. Su amplio empleo es debido a la robustez de las soluciones que se alcanzan, sobretodo en con esquemas de Euler implícitos en el tiempo, y por la rápida convergencia de los resultados. La forma de abordar las fronteras libres es una novedad de este trabajo, al igual que los anteriores [2] y [1], ya que emplea un enfoque ALE (Arbitrary-Lagragian-Eulerian) para capturar el movimiento de la misma durante el proceso de simulación. La principal ventaja en este 18. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(23) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ tipo de método, frente a otros como el Euleriano o Lagrangiano tradicionales, es que no necesitan generar un nuevo mallado en cada paso de tiempo porque su evolución está dada por una ecuación diferencial propia. El uso de un código propio en lugar de uno comercial, de pago de libre uso, radica en las condiciones de nuestro modelo que necesitaba de condiciones específicas de trabajo para problemas axisimétricos y con gran deformación de los cuales se disponía de una literatura amplia como [27], [28], [29] y [5]. Además se trata de códigos adaptados a este tipo de problema, que no ad hoc para este modelo, y que por tanto son más rápidos y eficientes en su resolución.. Víctor Siliang Ruan Zhao. 19.


(25) Capítulo 3 Modelado del suflé. Ecuaciones, condiciones iniciales y de contorno Este capítulo está dedicado al desarrollo teórico del modelo. Se empezará por desarrollar las ideas del anterior capítulo presentando las ecuaciones fundamentales, conservación de masa, energía y momento cinético. Las propiedades físicas del modelo definidas se encontrarán en el segundo apartado. Se presentarán los valores iniciales recogidos por [1] en el tercer apartado. El desarrollo matemático, según [2] constituye el cuarto apartado desarrollando y ampliando las condiciones de contorno realista (transferencia de calor, deslizamiento, equilibrio de presiones y la ecuación cinemática de la frontera libre). Por último, se recogen algunos diagramas de flujo para dar explicación a como es la implementación del código propio realizado.. 3.1. 3.1.1.. Ecuaciones fundamentales del modelo Ecuación de conservación de la masa. La primera de las ecuaciones del modelo es la conservación de masa [30]. ∂ρ + ∇ · (ρv) = ±f uente ∂t. (3.1). El término fuente de esta ecuaciones representa la transformación de la fase líquida (agua) a la fase vapor que será positivo para la generación de vapor o negativo en el caso de que el líquido se reduzca. Considerando las 4 fases de las hipótesis iniciales, agua, vapor, aire y resto la ecuación para cada una de ellas es: ∂ρagua + ∇ · (ρagua v) = −f uente ∂t ∂ρvapor + ∇ · (ρvapor v) = +f uente ∂t 21. (3.2) (3.3).

(26) ∂ρaire + ∇ · (ρaire v) = 0 ∂t ∂ρresto + ∇ · (ρresto v) = 0 ∂t. (3.4) (3.5). De la consideración de sistema cerrado tendremos que las ρtotal será la suma de las 4 distintas densidades aparentes de las 4 fases, considerando así el suflé como un continuo: ρtotal = ρagua + ρvapor + ρaire + ρresto. (3.6). El cálculo de estas ecuaciones nos proporcionará información acerca de la como es la formación del vapor, causa de la elevación del suflé, y también de la evolución de la fase sólida, por transformación de las proteinas de los huevos, que formará la estructura al final del cocinado. El cálculo y la forma del término f uente se recogen en el apartado 3.2.6.. 3.1.2.. Conservación de la energía. La temperatura superior del interior del horno provoca una transferencia de calor hacia el suflé y la energía intercambiada en el proceso aumentará la temperatura de los todos los puntos. El intercambio y aumento de la temperatura obedecerá la ecuación de conservación: ∂ (ρtotal Cp T ) + ∇ · (ρtotal Cp T v) = −∇ · q + Hv ∂t. (3.7). El flujo de calor, q, viene dado por la ley de Fourier: q = −k ∇T. (3.8). donde k es la conductividad térmica y ∇T el gradiente térmico dentro de los puntos del suflé. Cp es el calor específico del suflé. El término Hv, es de la forma: Hv = −f uente Lv. (3.9). donde Lv es el calor latente de vaporización del agua tomado como 561,05 cal/kg y por tanto la expresión anterior representa la pérdidas de calor por cambio de fase del agua. Estos parámetros dependerán de la composición y de la temperatura del punto del suflé (dependencia espacial y temporal) por lo que serán calculados en cada instante de tiempo y en cada punto aumentando la dificultad del problema. 22. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(27) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ. 3.1.3.. Ecuación de conservación del momento cinético. La primera de las simplificaciones fue la consideración de un problema bidimensional de simetría axial en un sistema de coordenadas cilíndricas, como se puede ver en la siguiente figura:. Figura 3.1: Varios suflés en un experimento de cocción Nuestras variables espaciales son por tanto r y z. Suponiendo las fuerzas gravitatorias despreciables la ecuación de conservación del momento cinético es de la forma: ∂(ρtotal v) + ∇ · (ρtotal v v) = −∇P + ∇ · τ (t, r) ∂t. (3.10). Debido a la consideración del suflé como medio continuo, podemos aplicar esta ecuación al total de la masa e introducir ρtotal de la ecuación (3.6). La velocidad v será una función de la forma v = v(r, z). El fluido considerado es un fluido newtoniano y el tensor de tensiones en esta ecuación estará dado por su ecuación constitutiva [31]: τ = −η(t, r)[∇ v + (∇ v)t ]. (3.11). La viscosidad, η, cambiará como se verá en el apartado de propiedades físicas 3.2 de la concentración volumétrica de gas en la mezcla que cambiará en cada punto por el calentamiento dentro del horno(dependencia espacial), también dependerá del tiempo por el aumento de temperatura. La parte isotrópica del tensor de tensiones, proporcionará la presión interior debida a la fase gaseosa: σ = −P I + τ. (3.12). Considerando la fase gaseosa como una mezcla de gases ideales, la presión se reduce a la expresión siguiente: i ρaire (t, r) ρivapor (t, r) P = Pgas (t, r) = Paire + Pvapor = RT + (3.13) Maire Mvapor Víctor Siliang Ruan Zhao. 23.

(28) Hay que señalar que la densidad que aparece en esta expresión es la densidad intrínseca, ρ , la densidad de cada uno de los elementos como sustancia que está relacionada con la densidad aparente por la siguiente expresión: i.  ρk  ρik = xVk ρk i  ρk = xVg. k = agua y resto k = aire y vapor. (3.14). Las densidades intrísecas del agua y del resto se tomaron como constantes durante la simulación pero las del aire y el vapor se calcularon en cada punto y en cada instante de tiempo como se verá en el apartado de propiedades físicas 3.2. Maire y Mvapor , representan el peso molecular del aire y el vapor. La ecuación (3.10) se desarrolla según cada componente espacial r , z de forma que: Componente r: er ·. ∂(ρtotal v) + er · ∇ · (ρtotal v v) = − er · ∇P + er · ∇ · τ ∂t. (3.15). ∂(ρtotal v) + ez · ∇ · (ρtotal v v) = − ez · ∇P + ez · ∇ · τ ∂t. (3.16). Componente z: ez ·. Finalmente se convierten en:. Componente r: vr. ∂ρtotal ∂vr ∂vr ∂vr ∂ρtotal ρtotal vr2 + ρtotal + 2ρtotal vr + ρtotal uz + vr2 ρtotal + ∂t ∂t ∂r ∂z ∂r r P τθθ ∂ρtotal ∂ρtotal + vr uz + vr ρtotal = −∇ · P er + + ∇ · τ · er − (3.17) ∂z ∂z r r. Componente z: uz. ∂ρtotal ∂ρtotal ρtotal vr vz ∂vz ∂vz ∂vr + ρtotal + 2ρtotal uz + ρtotal vr + vz2 + ∂t ∂t ∂z ∂r ∂z r ∂ρtotal ∂vz + vr uz + uz ρtotal = −∇ · P ez + ∇ · τ · ez (3.18) ∂r ∂r. Las ecuaciones de conservación, por ser ecuaciones diferenciales, tendrán que estar definidas en un dominio Ω con frontera Γ en que se definirán las condiciones de contorno al igual que unas condiciones iniciales. Las condiciones iniciales se resumen en las tablas 3.6 y 6.1 y las condiciones de contorno en tabla 3.12. 24. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(29) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ Las siguientes ecuaciones formarán el problema del flujo, representado en la figura 3.8:  ∂ρagua   + ∇ · (ρagua v) = −f uente   ∂t     ∂ρvapor   + ∇ · (ρvapor v) = +f uente,    ∂t     ∂ρaire   + ∇ · (ρaire v) = 0   ∂t      ∂ρresto   + ∇ · (ρresto v) = 0   ∂t    ∂ (ρtotal Cp T ) + ∇ · (ρtotal Cp T v) = −∇ · q + Hv ∂t        ∂ρtotal ∂vr ∂vr ∂vr ∂ρtotal ρtotal vr2   vr + ρtotal + 2ρtotal vr + ρtotal uz + vr2 ρtotal + r +    ∂t ∂t ∂r ∂z ∂r   ∂ρtotal ∂ρtotal   + vr ρtotal = −∇ · P er + Pr + ∇ · τ · er − τθθ +vr uz  r   ∂z ∂z        ∂ρtotal ∂vz ∂vz ∂vr ∂ρtotal ρtotal vr vz   + ρtotal + 2ρtotal uz + ρtotal vr + vz2 + + uz  r  ∂t ∂t ∂z ∂r ∂z   ∂vz  +v u ∂ρtotal + u ρ = −∇ · P ez + ∇ · τ · er z total r z ∂r ∂r (3.19). 3.2.. Variación de las propiedades físicas del suflé. En el modelado del suflé, ecuaciones (3.19), se incluyen adicionalmente más parámetros que deben ser cálculados en cada punto e instante temporal. Constituyen una parte esencial que da realismo a las simulaciones y que aporta información fidedigna de como es la evolución de interior de las misma. Gran parte de estas propiedades han sido calculadas mediante correlaciones o fórmulas empíricas que son válidas para el rango de trabajo de la simulación (sobre todo para la temperatura). Los parámetros inciales utlizados en este trabajo han sido tomados de [1] y [2] y se amplia con nuevas propiedades y mejores condiciones de trabajo.. 3.2.1.. Fracción volumétrica de los gases. La densidad intrínseca definida en la ecuación (3.14) para el aire y el vapor, también se puede utilizar para calcular las fracciones de vapor del agua y el resto, teniendo en cuenta que las densidades intrínsecas de estos componentes serán constante en la simulación aunque no sus densidades aparentes. Mediante estas fracciones volumétricas se puede calcular la fracción del gas, mezcla de aire y vapor: xVg = 1 − xVagua − xVresto Víctor Siliang Ruan Zhao. (3.20) 25.

(30) 3.2.2.. Viscosidad. La expresión utilizada para el cálculo de la viscosidad se ha obtenido de [32] y [33]. Se trata de una expresión que considera la viscosidad del suflé como dependiente de la viscosidad del líquido, ηl y como de la fracción volumétrica del gas, xVg , que tendrá un comportamiento creciente con la misma. η = ηl. 3π # xVg 1/3 16 1 − 0,74. (3.21). ". Esta expresión depende principalmente de xVg ya que la viscosidad del líquido toma valores entre [10−104 ]P a s. La representación de la expresión se encuentra en la figura 3.2. Se puede apreciar que para valores del entorno de xVg = 0,74 la expresión diverge; para estos casos los valores han sido truncados al valor máximo 13017,8 P a s, que es dependerá del valor escogido de ηl , en el modelo de valor 1000 P a s.. Viscosidad del suflé para ηl = 1000 P a s. ·104 5. ηreal ηtruncada. 4,5 4 3,5. η (P a s). 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0. 0,1. 0,2. 0,3. 0,4. 0,5. 0,6. 0,74. 1. xVg Figura 3.2: Viscosidad del suflé en función de la fracción volumétrica de gas. 26. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(31) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ. 3.2.3.. Calor específico. La correlación para el cálculo del calor específico se tomó de [34] y es de la forma: Cp,k = Ak + Bk T + Ck T 2 + Dk T 3. k = agua, vapor, aire y resto. (3.22). Ak , Bk , Ck , Dk representa constantes según la tabla 3.1. El rango de validez es amplio [273,15 − 1500] K. Sustancia. A. B. C. D. Agua Vapor de agua Aire Resto. 18.144 6.97 6.557 10.8863. 0.3464E-2 0.1477E-2 -. 0.04833E-5 0.02148E-5 -. -. kcal , para temperaturas Tabla 3.1: Constantes de la correlación del calor específico en kmol K dadas en K El calor específico del resto se aproximó al 60 % del calor específico del agua: Cp,resto = 0,6 Cp,agua . El calor específico del suflé se calculó como la suma ponderada a las fracciones másicas de las sustancias consideradas (regla de mezcla) [31]. Cp = Xm,agua Cp,agua + Xm,vapor Cp,vapor + Xm,aire Cp,aire + Xm,resto Cp,resto. (3.23). La fracción másica de cada sustancia se calcula con la siguiente expresión: Xm,k =. 3.2.4.. ρk ρtotal. k = agua, vapor, aire y resto. (3.24). Conductividad térmica. Al igual que con el calor específico, la conductividad térmica se calculará con una regla de mezla (Reuss), [31]):. ks =. k X. xVi k i. i = agua, vapor, aire y resto. (3.25). i=agua. Las fracciones volumétricas xVi se calculan con la ecuación 3.14. La conductividad de cada sustancia se obtuvo de [35] y se resumen en la tabla 3.2. Las ecuaciones (3.21), (3.23) y (3.25) dependen de las densidades y fracciones volumétricas de los componentes y son parámetros que entran en las ecuaciones de conservación. Víctor Siliang Ruan Zhao. 27.

(32) Por tanto, tienen que ser calculados en cada punto y en cada paso de tiempo como se indica en la figura 3.8. Sustancia. Conductividad térmica. Agua Vapor Aire Resto. 0.6 0.0179 0.023 0.6. W mK. Tabla 3.2: Conductividad térmica de las sustancias según [35]. El cálculo de los términos anteriores permite calcular la presión de la fase gaseosa y el término fuente que aunque no se traten del propiedades de físicas se han incluido en esta sección por tener una gran dependencia de las mismas y ser variables de la ecuación de conservación de la energía.. 3.2.5.. Presión de la fase gaseosa. Se calcula mediante la ecuación (3.13) y la ecuación (3.14), para el aire y para el vapor.. 3.2.6.. Término fuente. El término f uente introducido en la ecuación (3.1) representa el cambio de fase del agua de la mezcla en vapor. Depende fundamentalmente de la temperatura pero también del gradiente de concentración. Está dado por la siguiente expresión: f uente = a Jg =. 6 xVg kg (csat − c) dp. (3.26). La tabla 3.4 resume los principales parámetros que interviene en el cálculo del término fuente. El coeficiente de transferencia de materia, kg , se calcula a través del número de Sherwood; en una burbuja de dimensión característica dp , se tiene una aproximación de ∼ = 10 según [36]. Para la difusividad del vapor en el aire Dvapor,aire encontramos en [35] un valor aproximado de ∼ = 2,92 ∗ 10−5 m2 /s. Si se toma como valor del diámetro de las burbujas dp = 10−3 m se tiene por tanto que el valor de kg es 0,292 m/s. La concentración de saturación del vapor de agua, csat , se ha calculado mediante la Ley de Raoult que establece la relación con la presión de vapor de la sustancia en una mezcla ideal. Por este motivo tampoco se ha considerado el uso de un modelo de coeficiente de actividad que quedará para futuras línea de investigación y que por lo tanto en este modelo es de valor igual a la unidad. Se considera que la fracción molar de agua en líquido, xmolagua , es un valor constante, ∼ = 0,85, y que no varía con el tiempo dado que el resto de componentes tienen un peso molecular muy inferior al del agua. 28. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(33) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ kg (csat − c). Jg. Flujo de vapor de agua. kg. Coeficiente de transferencia de materia. Sh Dvapor,aire dp. a. Área interfacial específica total entre gas-líquido. π d2p burbujas. burbujas. Número de burbujas por m^3. csat. Concentración de saturación. dp. Diámetro media de burbujas. Sh. Número adimensional de Sherwood. Dvapor,aire. xVg (π d3p /6) Pv xmolagua Mv RT ∼ = 10−3 m ∼ = 10 ∼ = 2,92 ∗ 10−5 m2 /s. Difusividad del vapor en el aire. xmolagua. ∼ = 0,85. Fracción molar del agua en el líquido. Tabla 3.3: Términos de la ecuación (4.30) La presión de vapor del agua estará dada por la ecuación de Antoine: log10 Pv (mmHg) = A −. B T +C. (3.27). Los parámetros utilizados en la ecuación se recogen en la tabla (3.4) de [37] : Tmin (o C) Tmax (o C). Sustancia. A. B. C. Agua. 8.07131. 1730.63. 233.426. 1. 100. Agua. 8.14019. 1810.94. 244.485. 99. 374. Tabla 3.4: Valores de la ecuación de Antoine para el agua Por último la concentración del vapor de agua es la densidad intríseca que se calcula mediante la ecuación (3.14).. Víctor Siliang Ruan Zhao. 29.

(34) Se recogen en la tabla 3.5 las expresiones que constituyen todas las propiedades físicas del modelo del suflé.. Símbolo. Propiedad. η. Viscosidad. Cp,k ks. Calor específico. Expresión ηl. 3π h. 1/3 i 16 1 − xVg /0, 74. Ak + Bk T + Ck T 2 + Dk T 3 resto P. Conductividad térmica. xVi ki. i=agua. xVg. Fracción volumétrica del gas. Pgas. Presión de la fase gaseosa. f uente. Término fuente de la ecuación de masa, tabla 3.3. 1 − xVagua − xVresto i ρaire ρivapor RT + Maire Mvapor 6 xVg a Jg = kg (csat − c) dp. Tabla 3.5: Propiedades físicas del modelo y expresiones. 30. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(35) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ. 3.3.. Valores iniciales. Se recogen los valores iniciales de los parámetros de los trabajos llevados a cabo por [1] y [2] y que son el resultados del estudio de los elementos básicos de los ingredientes. En las tablas 3.6 6.1 se detallan los valores iniciales a los que se llegaron mediante experimentación y cálculo de propiedades físicas y que no son parámetros ajustables. Ingrediente. Cantidad(kg). Densidad (kg/m3 ). Agua ( %). Mantequilla Harina Leche Sal Claras Claras al punto de nieve. 0.225 0.02 0.26 0.045 0.035 0.16. 911 550 1036 2200 1070 207.5. 0.25 14.1 91 88 -. Total. 0.7045. -. -. Tabla 3.6: Masas, densidades y % de agua iniciales de los ingredientes de [1] Las densidades aparentes se calcularon mediante la ecuación 3.14 al igual que se mencionó en el apartado 3.1.3. La suma de las densidades aparentes según 3.6 da la ρtotal . Conocidas las fracciones másicas iniciales, el contenido en agua y que las claras a punto de nieve el mismo contenido que las claras sin montar, podemos calcular la masa de agua, magua : clara X. magua =. mi w i. (3.28). i=mantequilla. Sustancia. densidad(kg/m3 ). m(kg). Xm. V (m3 ). xV. Agua Vapor Aire Resto. 247.2124 0.071454 0.5346 198.5758. 0.27584 0.000079731 0.0005966 0.22157. 0.55446 1.60261 0.001991 0.44537. 0.000281966 0.000621553 0.000621553 0.000212303. 0.25269 0.55703 0.55703 0.19026. Total. 445.85978. -. -. 0.0011. -. Tabla 3.7: Masas, densidades aparentes, fracciones molares y volumétricas y volumen de las sustancias del modelo El suflé inicialmente tiene la forma cilíndrica del molde con una altura de 3 cm y un radio de 5 cm. Las condiciones iniciales del ambiente son de 25 o C y 1 atm. Víctor Siliang Ruan Zhao. 31.

(36) 3.4.. Resolución numérica del modelo. Se presenta un breve desarrollo teórico de los métodos utilizados para la resolución numérica de las ecuaciones del modelo así como la forma final a resolver tras haber implementado el método de elementos finitos.. 3.4.1.. Método de los Elementos Finitos. La idea fundamental del Método de Elementos Finitos es la división de un dominio continuo en partes, aproximando las funciones a resolver en cada una por polinomios. Se trata de un método muy extendido que empezó en el campo del análisis estructural que transformó el sólido continuo en elementos discretos más fáciles de manejar. En la actualidad, se utilizan en mucho campos de la ciencia como la ingeniería de materiales o mecánica de fluidos. Es especialmente adecuado para simulación de procesos en los que son esperadas grandes deformaciones convirtiéndolo en un método muy apropiado para problemas del campo de la ingeniería de alimentación. Generalizando el problema [38], la formulación de elementos finitos busca resolver el problema: Sea un conjunto de ecuaciones diferenciales A(u) definido en un dominio Ω tal que   A1 (u)       A2 (u) A(u) = =0 (3.29) .       . con unas condiciones de contorno B(u), definidas  B1 (u)    B2 (u) B(u) = .    .. en la frontera de Ω, Γ tal que     =0   . (3.30). se busca encontrar la solución u que satisfaga ambas ecuaciones y las condiciones de contorno ∀x ∈ Ω. Como esta formulación es bastante fuerte buscamos formular el problema de una manera menos restrictiva, la formulación débil. La formulación débil del problema expresa las ecuaciones diferenciales como integrales que podrán ser tratadas en un espacio vectorial y en donde la solución u es de la forma:. u ' û =. n X. Ni ui = Nû. i=1. donde u y û son la solución exacta y aproximada, N las funciones bases (o de forma) y ui las incógnitas de nuestro problema. Sean v y v̄ dos conjuntos de funciones arbitrarias de dimensión igual al número de 32. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(37) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ ecuaciones diferenciales del problema y las condiciones de contorno, multiplicando e integrando tendremos que: Z. Z. T. v A(u)dΩ ≡. [v1 A1 (u) + v2 A2 (u) + v3 A3 (u) + ...]dΩ ≡ 0. (3.31). [v̄1 B1 (u) + v̄2 B2 (u) + v̄B A3 (u) + ...]dΓ ≡ 0. (3.32). De manera que la formulación de elementos finitos queda definida como: Z Z T v A(u)dΩ + v̄T B(u)dΓ = 0. (3.33). Ω. Ω. Z. Z. v̄T B(u)dΓ ≡. Γ. Γ. Γ. Ω. El dominio se subdividirá en elementos, Ωe , conectados mediante nodos en los que se aproximará la solución de nuestras ecuaciones, u.. 3.4.2.. Aplicación del método de residuos ponderados-Galerkin. Las funciones v y v̄ son arbitrarias por lo que podemos elegir funciones de la forma: n X. v ' v̂ =. wi vi. i=1. La ecuación (3.33) quedaría de la forma: Z Ω. wiT A(Nû)dΩ. Z +. w̄iT B(Nû)dΓ = 0. (3.34). Γ. donde A(Nû) representa el residuo o error obtenido por sustitución de la aproximación en la ecuación diferencial y B(Nû) el residuo de las condiciones de contorno. La ecuación (3.34) es la integral ponderada de los residuos y los términos wi los pesos de integración. El método de Galerkin es un método de residuos ponderados que utiliza como pesos de integración las mismas funciones base de la aproximación, Ni . La aproximación realizada por este método es la más intuitiva y fácil de aplicar siendo la más popularizada tanto en los códigos propios como en programas comerciales. El mallado utilizado es estructurado con elementos triangulares cuadráticos, sobre los cuales se definen las funciones base. Serán cuadráticas para la velocidades y la temperatura y lineales para las densidades. Las funciones base lineales, dentro del elemento triangular lineal estarán definidas por 3 nodos; las funciones cuadráticas por 6. Toman valor unidad ( cuando la función está 1 en el nodo i definida en su nodo y nulo en caso contrario, es decir, φi = . Las 0 en el resto Víctor Siliang Ruan Zhao. 33.

(38) derivadas de estas funciones son indeseables ya que, las primeras son continuas a trozos (discontinuas), y las segundas similares a deltas de Dirac (nulas o infinitas) e introducirían discontinuidades en el dominio del problema. Definimos el elemento de referencia T̂ con coordenadas locales como T̂l : [ξ, η] := [(0, 0), (0, 1), (1, 0)] en caso de elementos lineales. Para elementos cuadráticos será el T̂q : [ξ, η] := [(0, 0), (0, 1/2), (0, 1), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (1, 0)], como puede verse en la figura 3.3.. Figura 3.3: Elemento de referencia T̂q Una función base definida en este dominio tendrá la forma:. Funciones lineales.   1 − (x + y) i ψ = x   y. i=1 i=2 i=3. (3.35). Funciones cuadráticas  1 − (x + y))(1 − 1(x + y))      4x(1 − (x + y))     x(2x − 1) φi =  4y(1 − (x + y))      4xy    y((2x − 1). i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6. (3.36). Aplicando la formulación débil de la ecuación (3.33) a las ecuación del modelo, (3.19), con las funciones base (3.35) y (3.36) obtemos los siguiente residuos cuyo desarrollo:. Residuos de las ecuaciones de conservación de masa:. Rρi agua. Z =. ψ. i. . ∂ρagua ∂ρagua ∂ρagua ur + ur + uz + ρagua ∂t ∂r ∂z r. (3.37). Ω. ∂ur ∂uz + ρagua + ρagua + f uente dV ∂r ∂z 34. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(39) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ Z. Rρi vapor. ψ. =. i. . ∂ρvapor ∂ρvapor ∂ρvapor ur + ur + uz + ρvapor ∂t ∂r ∂z r. (3.38). Ω. ∂ur ∂uz + ρvapor + ρvapor − f uente dV ∂r ∂z. Z. Rρi aire. ψ. =. i. . ∂ρaire ∂ρaire ∂ρaire ur ∂ur ∂uz + ur + uz + ρaire + ρaire + ρaire dV ∂t ∂r ∂z r ∂r ∂z. Ω. (3.39). Rρi resto. Z ψ. =. i. . ∂ρresto ∂ρresto ∂ρresto ur ∂ur + ur + uz + ρresto + ρresto ∂t ∂r ∂z r ∂r. Ω. ∂uz dV + ρresto ∂z (3.40) Residuo de la ecuación de conservación de la energía: RTi. Z. i. . (φ. =. ∂ρtotal ∂ρtotal ∂Cp ∂T Cp T + ρtotal T + ρtotal Cp + ur Cp T ∂t ∂t ∂t ∂r. Ω. ∂T ∂ρtotal ∂Cp ∂Cp + ur ρtotal Cp + uz Cp T + uz ρtotal T ∂r ∂r ∂z ∂z ∂T ur ∂ur ∂uz ∂φi + uz ρtotal Cp + ρtotal Cp T ( + + ) + f uente Lv) − qr ∂z r ∂r ∂z ∂r Z ∂φi − qz dV − φi q · n̂ dS ∂z Γ | {z } + ur ρtotal T. T erm A. (3.41) Residuos de la ecuación de conservación del momento:. Rui r. Z =. (φi [ur. ∂ρ ∂ur ∂ur ur ∂ρtotal ρtotal 2 + ρtotal + 2ρtotal ur + ρtotal uz + u2r + ur ∂t ∂t ∂r ∂z ∂r r. Ω. + ur uz. ρtotal ∂uz τθθ P ∂φi ∂φi ∂φi + uz ρtotal + − )− P + τr r + τr z ]dV ∂z ∂z r r ∂rZ ∂r ∂z − n̂ φi ((τ · er ) − P er )dS (3.42) Γ. | Víctor Siliang Ruan Zhao. {z. T erm B. } 35.

(40) Rui z. Z =. (φi [uz. ∂ρ ∂uz ∂uz uz ∂ρtotal + ρtotal + ρtotal ur + 2ρtotal uz + uz ur ∂t ∂t ∂r ∂z ∂r. Ω. + ur uz. ρtotal ∂ur ∂ρtotal ∂φi ∂φi ∂φi + uz ρtotal + u2z )−P + τr r + τr z ]dV r ∂r ∂z ∂z ∂r Z∂r. n̂ φi ((τ · ez ) − P ez )dS (3.43). − Γ. |. {z. T erm B. }. Los términos T erm A y T erm B de las ecuaciones de la energía y del momento han sido obtenidos mediante integración por partes de los términos en derivadas parciales segundas, serán los que introducirán las condiciones de contorno según el planteamiento de la ecuación (3.34). Adicionalmente, debido a la imposibilidad de computar las derivadas de las variables en las fronteras por la discontinuidad de la primera derivada de las funciones base se introdujo una ecuación adicional que resolvería el tensor gradiente de velocidad: G = ∇v. (3.44). Debido a la simetría axial del problema, el tensor gradiente de velocidad tiene 5 componentes distintas: Grr , Grz , Gzr , Gzz , Gθθ . El desarrollo de su formulación débil se realiza con funciones lineales como con la ecuación de conservación de la masa. Su resolución es posterior al problema del flujo representado en la figura 3.8.. 3.4.3.. Mallado. Despcripción y desarrollo. En las simulaciones numéricas de problemas de mecánica de sólidos o de fluidos es frecuente la distorsión del dominio que se considera en la interacción con sus fronteras como paredes o fronteras libres, con fases de distinta densidad o con partículas en el interior del fluido. Es por tanto muy importante el uso de un método capaz de adaptarse a las distorsiones y que, idealmente, produzca un mallado de alta calidad durante la evolución temporal del dominio, adaptando los cambios a el del fluido. Los dos métodos clásicos utilizados para la descripción del movimiento en problemas de mecánica de fluidos son: (a) método de Lagrange y (b) método de Euler. El método utilizado en este trabajo es el llamado Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) Method que combina las ventajas de los dos anteriores a la hora de la descripción del movimiento, [39]. En el método de Lagrange, cada punto del mallado es considerado como un nodo individual asociado a un punto del material o fluido real durante la simulación, es decir, el movimiento de un nodo seguirá al movimiento del dominio computacional. Es muy apropiado para la descripción de fronteras libres sin gran distorsión, dado que si el dominio se distorsiona este tendría que se reconfigurado (remeshing) en cada paso de tiempo con el consecuente incremento de tiempo de simulación. 36. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(41) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ En el método de Euler el mallado es fijo y el dominio (un fluido) se mueve respecto a este. Es esperable que las grandes distorsiones sean manejadas con relativas facilidad, ya que en cada punto y tiempo se identifica la variable simulada con el punto del mallado, pero con la pérdida de precisión en los cambios de fronteras. La descripción ALE combina ambas descripciones permitiendo que los nodos del mallado se muevan como en la descripción lagrangiana, en la descripción euleriana o de otra forma especificada, dando capacidad a los elementos de adaptarse al las zonas más distorsionadas. Específicamente, en este trabajo la adaptación del mallado se realiza mediante métodos elípticos y cuasi-elípticos de generación de mallas que permiten describir el movimiento de las fronteras libres y geometrías complejas. Los trabajos realizados por [3], [4] y [5] han demostrado ser muy fiables en problemas axisimétricos con fronteras libres, con grandes deformaciones y con adaptación del dominio con el tiempo. El dominio del flujo variable con el tiempo se mapea a un dominio constante (figura 3.4), el dominio de simulación, sobre el cual se calcula la evolución del mallado mediante las ecuaciones de la sección 3.4.3.1. El dominio computacional coincide con el dominio físico real para t = 0.. Figura 3.4: Mapeo bidimensional del suflé Este mapeo al dominio computacional conlleva el uso de la regla de la cadena para el cálculo de las derivadas de las ecuaciones. 3.4.3.1.. Ecuaciones del mallado. Los ecuaciones que conforman el problema del mallado de la figura 3.8 son los propuestas por [3] adaptadas a nuestro problema: s ∇ 1. ! Rξ2 + Zξ2 + (1 − 1 ) ∇ξ = 0 Rη2 + Zη2 ∇ · ∇η = 0. (3.45) (3.46). donde 1 es una constante entre [0, 1] que se ha tomado como 0.1 en nuestro caso. Los subíndices ξ y η denotan derivadas parciales respecto de ξ y η respectivamente. La líneas de coordenadas con valores constantes de η serán paralelas a la frontera libre Víctor Siliang Ruan Zhao. 37.

(42) deformada teniendo que cumplir la condición de ser ortogonales, razón por la cual la ecuación (3.46) es una ecuación de Laplace. Las líneas de coordenadas con valores constantes de ξ también tendrán que seguir una condición de ortogonalidad o cuasi-ortogonalidad dada por la ecuación (3.45). La solución de ambas ecuaciones nos proporciona las coordenadas de (r, z) para cada nodo adaptando de esta manera el mallado en cada paso de tiempo. Se utiliza de nuevo la formulación débil Galerkin con las funciones base (3.35) y (3.36) para aproximar (r, z). Se obtienen las siguientes ecuaciones:. i Rm = r. Z. s. " n̂ ψ i. ! !# Rξ2 + Zξ2 + (1 − ξ1 ) ∇ξ dS Rη2 + Zη2 s ! !# Z " Rξ2 + Zξ2 i ∇ψ · ∇ ξ1 − + (1 − ξ1 ) ∇ξ dV Rη2 + Zη2. ∇ ξ1. Γ. (3.47). Ω. i Rm z. Z. Z. i. n̂ψ ∇ηdS −. = Γ. ∇ψ i · ∇ηdV. (3.48). Ω. Los términos de superficie de estas ecuaciones se pueden ignorar dado que se impondrán condiciones de contorno en las paredes del molde y en la frontera libre. La solución de estas ecuaciones con sus correspondientes condiciones de contorno darán las coordenadas R y Z de todos los puntos del mallado.. 3.4.3.2.. Frontera libre. Como se muestra en la figura 3.8 el cálculo de las variables del problema del flujo precede al problema del mallado. Resuelto este problema, su evolución obedece a las condiciones de contorno que han determinado la frontera libre, por imposición de la condición cinemática (3.74), tras lo cual se resuelve el problema del mallado constituido por la ecuaciones (3.47) y (3.48), teniendo como condición de contorno la frontera libre para esta última, que determinan la posición para los puntos interiores del mallado. Los puntos de la frontera libre están definidos por un vector posición r = r(ξ, ϕ), dependiente de la ξ y ϕ pero no de η ya que son mapeado a una altura constante η = Height, 3.4. r = R(ξ, ϕ)er + Z(ξ, ϕ)ez. (3.49). Los vectores tangente a la superficie son, [40]: aξ = 38. ∂r ∂ξ. aϕ =. ∂r ∂ϕ. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM).

(43) GASTRONOMÍA MOLECULAR: ESTUDIO DE CONDICIONES DE CONTORNO DE UN MODELO TERMOMECÁNICO BIDIMENSIONAL DEL SUFLÉ el vector normal unitario:. aξ × aϕ |aξ × aϕ |. n̂ = y el diferencial de superficie: dS = |. ∂r ∂r × |dξdη ∂ξ ∂η. La frontera libre queda definida por las siguientes ecuaciones: Primer vector tangente: ∂Z ∂R er + e ∂ξ ∂ξ z aξ = s 2 2 ∂R ∂Z + ∂ξ ∂ξ. (3.50). aϕ = e θ. (3.51). ∂R ∂Z er + e − ∂ξ ∂ξ z n̂ = s 2 2 ∂Z ∂R + ∂ξ ∂ξ. (3.52). Segundo vector tangente: Vector normal unitario:. Diferencial de superficie: s dS = R. ∂R ∂ξ. 2. +. ∂Z ∂ξ. 2 dξdϕ. (3.53). Las expresiones del vector normal y el diferencial de superficie son utilizadas en los cálculos de los términos de superficie de las ecuaciones que necesitan introducir un término de frontera y la imposición de una condición natural (o de Neumann), por ejemplo los términos T erm A y T erm B de las ecuaciones (3.41), (3.42) y (3.43). 3.5.. Condiciones iniciales y de contorno. Se establecieron unas condiciones iniciales para todas las simulaciones: Presión inicial: P = 105 P a. (3.54). Temperatura inicial igual a la temperatura ambiente T = 25o C Víctor Siliang Ruan Zhao. (3.55) 39.