Cónicas

1

Secciones Cónicas

1.1

Parábola

Se de…ne parábola como

"el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto …jo F(foco) y una recta d ( directriz) "

SiP(x;y)pertenece a la parábola su distancia medida a la rectadserá igual a la medida al puntoF;veri…cará

d(P;F)=d(p;d)

p

(x p)2_{+ (y 0)}2_=x+p

(x p)2+ (y 0)2= (x+p)2

x2 2px+p2+y2=x2+ 2px+p2

y2= 4px

Distinguimos

Lado recto = cuerda que pasa por el Foco. Ancho focal= longitud del Lado recto.

y2= 4pp

y2= 4p2

y= 2p

…nalmente Q(p; 2p) y Q0_{(p; 2p)}

la longitud del lado recto será 2p+ 2p= 4p posición relativa a los ejes

orientación abre hacia ecuación Horizontal derecha y2= 4px Horizontal izquierda y2_{= 4px} Vertical arriba x2= 4py Vertical abajo x2_{= 4py}

Ejemplos :

-) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y directrizx= 3

2

atento al vértice y la directriz será Horizontal y abrirá hacia la derecha, luego su expresión será de la formay2= 4px

reemplazandop= 3 2

y2= 4(3 2)x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

-)Encontrar el Foco y la directriz de la parábola de ecuacióny2_{= 8x} y2_{= 8x}

y2_{= 4px} )4p= 8, luego p= 2

…namente su directriz serád_!x= 2y el foco F(2; 0) y2_{= 8x}

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-) Encontrar el Foco y la directriz de la parábola de ecuación x2= 12y x2_{= 12y}

x2_{= 4p} )4p= 12;luego p= 3 …namente su directriz serád_!y= 3y el foco F(0; 30) x2_{= 12y}

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

Ejercitación:

1. Encontrar el Foco , la diectriz y gra…car en cada caso: (a) x2_{= y}

(b) y2_{= 4x} (c) y2 _{24x= 0} (d) y2_{+ 2x= 0}

(e) 3x2 20y= 0 (f) x2+ 6y= 0 (g) x2= 7y

(a) Directrizx+2 3 = 0 (b) Foco enF(6; 0)

(c) Directrizy= 4 (d) Foco enF( 1

4; 0) (e) Directrizx= 8 (f) Foco enF(0; 5) (g) Directriz eny= 1

5

3. Un puente colgante tiene una longitud de 160 metros. El cable que lo soporta describe una parábola. Si el puntal en cada uno de los extremos tiene una altura de 25 metros ¿Cuál es la ecuación de la parábola que lo representa?

4. El cableado de un puente colgante está dado por la ecuación x2 = 400y. Si los puntales tienen una altura de 50 metros ¿Cuál es la longitud del puente?

5. Una antena parabólica tiene un diámetro de 1 metro. Si tiene una pro-fundidad de 20 cm ¿a qué altura debemos colocar el receptor?,es decir ¿a qué distancia se encuentra el Foco? (rta. a 31.25 cm del vértice)

6. Gra…car las siguientes parábolas en el mismo sistema de coordenadas

(a) y2_{= 4px con p=}1 3;

1 2;1;2;3

(b) x2_{= 4pxcon p=} 1 3;

1.1.1 Ecuación ordinaria de la parábola

Inicialmente de…niremos la traslación de ejes

x0 _{=x h}

y0_{=y k} o bien

x=x0_+h

y=y0_+k

Si la parábola se encuentra trasladada su vértice no coincidirá con el origen sino que tendrá coordenadasO0_(h;k).

De esta manera la ecuación canónica quedará en función de los ejesX0 _eY0

. de la forma x02= 4py0 si reemplazamos vemos que

(x h)2= 4p(y k)con p₆=0

x2 2hx+h2= 4py 4pk

podemos ver que esta última expresión es de la forma x2_{+Dx+Ey+F = 0}

-) Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice está enV(5; 2)y su foco se encuentra enF(5; 4)

podemos ver quep= 2 (x 5)2_{= 4(2)(y ( 2))} (x 5)2_{= 8y 16} x2 _{10x+ 8y+ 41 = 0}

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10 -8 -6 -4 -2 2

Ejercitación :

1. - ) Encontrar el Foco,Vértice y Directriz de las siguientes parábolas- Gra…car (a) y2 _{8y 8x+ 64 = 0 ( rta. V(6;4); F(8;4); d!x= 4)}

(b) y2_{+ 2y+ 20x 39 = 0 ( rta. V(2; 1); F( 3; 1); d!x= 7)} (c) y2_{+ 10y 24x+ 49 = 0 ( rta. V(1; 5); F(7; 5); d!x= 4} 2. En cada Caso hallar la intersección de la recta y la parábola

(a) r _!6x y 2 = 0 , parábola x2_{+ 4x y 5 = 0 ( rta.}

P( 1; 8)yQ(3;16)

(b) r_!11x 2y+ 7 = 0 , parábola x2_{+ 10x y+ 6 = 0 ( rta.} P( 1

2; 3

4)yQ(5;31)

1.2

La Elipse

De…nimos la elipse como"el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma-toria de distancias a dos puntos …jos llamados Focos es constante"

!

F P + F0!P = 2a

p

(x c)2_+y2₊p_(x+c)2_+y2_{= 2a} (p(x c)2_+y2₎2_{= (2a} p_(x+c)2_+y2₎2

(x c)2+y2= 4a2 4ap(x+c)2_+y2_{+ (x+c)}2_+y2 (x c)2 4a2 (x+c)2= 4ap(x+c)2_+y2

xc 4a2= 4ap(x+c)2_+y2 (xc+a2)2= ( ap(x+c)2_+y2₎2 x2c2+ 2xca2+a4=a2((x+c)2+y2)

x2c2+ 2xca2+a4=a2x2+ 2xca2+a2c2+a2y2 a2_(a2 _c2_{) =x}2_(a2 _c2_{) +a}2_y2

1 = x

2

a2_(a2 _c2₎ (a2 _c2₎

+ y

2

a2_(a2 _c2₎ a2

…nalmente

x2 a2 +

Hallar la ecuación de la elipse de FocosF(5; 0)yF0( 5; 0)tal que la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los focos sea igual a 12

2c= 10

a= 6 pues 2a= 12 b2_=a2 _c2

b2_{= 6}2 ₅2_)b2_{= 11}

…nalmente x

2

36 + y2 11 = 1

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

Ejercitación :

1. Encontrar la ecuación de la elipse en cada caso y Gra…car (a) F(1

5;0) , ’F

0₍ 1

5;0) , V( 5

2;0) , V

0₍ 5

2;0) (b) F(0;3) , ’F0_{(0; 3) , V(0;10) , V}0_{(0; 10)}

(c) F(0;25) , ’F0(0; 25) , V(0;30) , V0(0; 30) 2. En cada caso hallar las coordenadas de los vértices y de los focos .

(a) 4x2+y2 36 = 0 (b) 9x2+ 8y2= 72

1.2.1 Ecuación Ordinaria

x02 a2 +

y02 b2 = 1

y sabemos que x=x0+h

y=y0+k y

x0 =x h y0=y k

reemplazando las expresiones dex0 _ey0

(x h)2

a2 +

(y k)2 b2 = 1

b2_{(x h)}2_+a2_{(y k)}2_=a2_b2

b2_x2_+a2_y2 _2b2_{xh 2a}2_yk+b2_h2_+a2_k2_=a2_b2 b2_x2_+a2_y2 _2b2_{xh 2a}2_yk+b2_h2_+a2_k2 _a2_b2_{= 0}

podemos ver que la última expresión es de la forma

Ax2+By2+Dx+Ey+F= 0

Ejemplo :

Consideremos la elipse

reemplazando

8(x0_+h)2_{+ 4(y}0_+k)2 _24(x0_{+h) 4(y}0_{+k) 13 = 0}

8x02_{+ 4y}02_+x0_{(16h 24) +y}0_{(8k 4) + 8h}2_{+ 4k}2 _{24h 4k 13 = 0}

16h 24 = 0

8k 4 )h=

3

2 y k=

1 2

luego el centro de coordenadas trasladado será O0₍3

2; 1 2)

y reeplazando los valores obtenidos , nuestra expresión quedará

8x02+ 4y02 32 = 0 o bien

8(x 3 2)

2_{+ 4(y} 1 2)

2_{= 32}

(x 3 2)

2

4 +

(y 1 2)

2

8 = 1

en primer caso se encuentra referida a los ejes trasladados y en el último a los ejes originales .

(x 3 2)

2

4 +

(y 1 2)

2

8 = 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Ejercitación

1. Hallar la ecuación canónica y gra…car (a) 9x2_{+ 4y}2 _{90x 124y+ 225 = 0} (b) 2x2_+y2 _{24x 2y+ 72 = 0}

1.3

La Hipérbola

De…nimos la Hiérbola como"el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos …jos llamados Focos es constante"

!

F P F0!P = 2a

p

(x c)2_+y2 qR_x+c)2_+y2_{= 2a}

(p(x c)2_+y2₎2_{= (2a+}qR _x+c)2_+y2₎2

x2 2xc+c2+y2= 4a2+ 4aqRx+c)2_+y2_+x2_{+ 2xc+c}2_+y2

4xc 4a2= 4aqRx+c)2_+y2

( 4xc 4a2)2 = (4aqRx+c)2_+y2₎₎2 x2_c2_{+ 2xca}2_+a4_=a2_(x2_{+ 2xc+c}2_+y2₎ x2_c2_{+ 2xca}2_+a4_=a2_x2_{+ 2xca}2_+a2_c2_+a2_y2 x2_c2_{+ 2xca}2_+a4 _a2_x2 _2xca2 _a2_c2_=a2_y2 x2_(c2 _a2_{) +a}2_(a2 _c2_{) =a}2_y2

x2_(c2 _a2_{) a}2_y2_=a2_(c2_+a2₎ x2_(c2 _a2₎

a2_(c2_+a2₎

a2_y2

x2 a2

y2 b2 = 1

Lado recto : Cuerda que pasa por el Foco. Para calcular su longitud hacemos x=c

c2 a2

y2

b2 = 1 o sea

a2_+b2 a2

y2 b2 = 1

(a2_+b2_)b2 _a2_y2 _a2_b2_{= 0} b2_a2_+b4 _a2_b2_=a2_b2

b4 a2 =y

2

…nalmente

y= b 2

a

…nalmente, los extremos del lado recto serán (c;b 2

a) y ( c;

b2 a)

y su longitud 2b 2

a

Ejemplo:

Encontrar la hipérbola cuyos focos sonF(5;0) F0_{( 5;0)cuya diferencia de}

distancias a los puntos de la misma sea 8 F(5;0)F0_{( 5;0))c= 5}

2a= 8₎a= 4

c2_=a2_+b2

52_{= 4}2_+b2_{)b= 3}

…nalmente la hipérbola será x 2

16 y2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

1.3.1 Asíntotas de la Hipérbola

sea x 2

a2 y2 b2 = 1

-y2a2+x2b2 a2b2= 0 y2_a2_=b2_(x2 _a2₎

y= b a

p x2 _a2

podemos ver que si_jx_jes muy grande ( tiende a₁) podemos considerar p

x2 _a2_{= x}

luego

y= b ax

Ejercitación:

1. Encontrar la ecuación de la Hipérbola en los siguientes casos y Gra…car

(a) F0( 3

2;0) F( 3

2;0) 2a= 2

(c) Distancia focal=14, centrada en el origen y longitud del lado recto = 20

2. Encontrar las coordenadas de los vértices , Focos y Gra…car (a) 25x2 _4y2_{= 225}

(b) 4x2+ 5y2 80 = 0 (c) x

2

81 y2

9 = 1 (d) y2 9x2 81 = 0

1.3.2 Ecuación Ordinaria

x02 a2

y02 b2 = 1

y sabemos que x=x0+h

y=y0_+k y

x0 _{=x h}

y0_{=y k}

(x h)2 a2

(y k)2 b2 = 1

b2_{(x h)}2 _a2_{(y k)}2 _a2_b2_{= 0}

vemos que es de la forma

Ax2+By2+Dx+Ey+F= 0

Ejemplo :

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola 8x2 _4y2 _{24x 4y 15 = 0}

reemplazamos

8(x0_+h)2 _4(y0_+k)2 _24(x0_{+h) 4(y+k) 15 = 0}

8x02 4y02+x0(16h 24) +y0( 8k 4) + 8h2 4k2 24h 4k 15 = 0 deberá cumplirse

16h 24 = 0₎h= 3 2

8k 4 = 0₎k= 1 2

su centro se encontrará en O0₍3

2; 1 2)

8x02 4y02+ 8(3 2)

2 ₄₍ 1 2 )

2 ₂₄₍3 2) 4(

1

2 ) 15 = 0 8x02 _4y02 _{32 = 0}

x02 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

Ejercitación :

1. Escribir la ecuación canónica de las siguientes hipérbolas (a) x2 _4y2 _{4x 4y 400 = 0}

(b) 4x2_{+ 49y}2 _{48x+ 98y 291 = 0} (c) 3x2 _2y2_{+ 12x+ 2y 14 = 0}

1.4

Rectas Tangentes

1.4.1 Tangentes a una elipse

d(F Q) +d(F0_{Q) =d(F Q) +d(QR)> d(F R)}

=D(F P) +d(P R) =d(F P) +d(P F0_{) = 2a}

F0( c; 00); F(c; 0); P(x1;y1)

la recta PF tendrá de ecuación (y y1) = y1

(x1 c)(x x1) en su forma GRAL. y1x+ (c x1)y cy1= 0

la recta PF’tendrá de ecuación (y y1) = y1 (x1+c)

(x x1)

en su forma GRAL. -y1x+ (c+x1)y cy1= 0

La ecuación de la directriz estará dada por la siguiente relación de distancias D(Ql) = D(Q; l0₎

y1x+ (c x1)y cy1

p

y2

1+ (c x1)2

= py1x+ (c+x1)y cy1 ( y1)2+ ( c x1)2

comoP pertenece a la elipse , se veri…ca x 2 1 a2 =

y2 1 b2 !y

2 1=

a2_b2 _b2_x2 1 a2 reemplazando en la raíz

y2

1+ (c x1)2=

a2_b2 _b2_x2 1

a2 + (c x1) 2

=a

2_b2 _b2_x2

1+a2c2 2a2cx1+a2x21 a2

=a

2_(b2_+c2_{) +x}2

1(a2 b2) 2a2cx1 a2

=a 4_+x2

1c2 2a2cx1 a2

=(a 2 _cx

…nalmente la raíz py2

1+ (c x1)2=

r

(a2 _cx1)2 a2

= a

2 _cx 1

a =

a2 _cx 1

a (porque x1<0)

de manera similar

p

y2

1+ ( c x1)2==

a2_+cx 1

a =

a2_+cx 1 a

luego

a(y1x+ (c x1)y cy1) a2 _cx

1

= a(y1x (c+x1)y+cy1) a2_+cx

1 a2_{y a}2_y

1+x1y1x x21y= 0 (x1y1)x+ (a2 x21)y=a2y1

(x1y1)x a2_y1 +

(a2 x21)y a2_y1 = 1 …nalmente xx1

a2 + yy1

b2 = 1

Generalizando en el caso de la Hipérbola xx1 a2

yy1 b2 = 1

Si se encuentra desplazada aO0_{(h; k)}

(x h)(x1 h) a2

(y k)(y1 k)

b2 = 1

4x2_+y2 _{8x+ 8y+ 16 = 0 en el puntoP(2; 4)} (x 1) +(y+ 4)

2

4 = 1

(2 1)(x 1) +( 4 ( 4))(y 4)

4 = 1

1.4.2 Tangentes a una Parábola

P(x1;y1); F(p; 0)

la recta que pasa por PF será(y y1) = y1 0

(x1 p)(x x1)

(y y1)(x1 p) =y1(x x1) (x1 p)y y1(x1 p) =y1x y1x1 (x1 p)y+y1p y1x= 0

comox1> p la ec. de la recta horizontal que pasa porpes

y y1= 0

y1x+ (x1 p)y+y1p

p

y2

1+ (p x1)2

= (y y1)

como P pertence a la parábola y2 1= 4px1

p

y2

1+ (p x1)2=

p

4px1+ (p x1)2=

p

(p+x1)2=p+x1 y1x+ (x1 p)y+y1p

p+x1 = (y y1)

…nalmente(y y1) = y1 2x1

(x x1)

o bien, dependiendo de su orientación(y y1) =2y1

Ejemplos :

a. Sea y2_{= 8x hallar su tangente en el puntoQ(2; 4)}

y 4 = 4

2(2)(x 2) x y+ 2 = 0

b. Sea 3x2_{+y= 0hallar su tengente en el puntoQ(1; 3)}

y ( 3) = 2( 3)

1 (x 1)

y+ 3 = 6(x 1)₎6x+y 3 = 0

c. Encontrar la tangente a la parábolay2 10y 8x+9 = 0en el puntoQ( 3 2 ; 7)

el vértice se encontrará enV( 2; 5), luego

y 7 = 7 5

2( 3 2 + 2)

(x+3

2))2x y+ 10 = 0

Si la elipse se encuentra desplazada su vértice tendrá de coordenadasV(h;k) siendo la expresión de su tangente

(y y1) = (y1 k) 2(x1 h)

(x x1)

1.4.3 DE LA ECUACIÓN GENERAL

Ax2_+Bxy+Cy2_{+Dx+Ey+F = 0}

se veri…ca que la ecuación de la recta tangente corresponde a la expresión

Axx1+B(

x1y+y1x

2 ) +Cyy1+D( x1+x

2 ) +E( y1+y

2 ) +F= 0 x2 _y2_{+ 16x+ 6y+ 56 = 0en el punto P( 8; 4)}

xx1 yy1 16( x1+x

2 ) + 6( y1+y

2 ) + 56 = 0

x( 8) y(4) 8(x 8) + 3(y+ 4) + 56 = 0

1.5

Ejercitación

1. Dadas las siguientes cónicas, hallar su tangente en el punto indicado en cada caso.

2. 3x2 _{y 3 = 0 Q(4; 45)}

3. x2 _{3y= 0 Q(2;}4 3)

4. 3y2_{+ 6y 4x 5 = 0 Q(10; 3)}

5. x2 3x 4y 7

4 = 0 Q(

1 2;

3 4 )

6. x2+ 4y2 48y+ 80 = 0 Q(0; 10)

7. 4x2+ 7y2 40x+ 42y+ 135 = 0 Q(27 4 ;

3 2 )

8. 10x2_{+ 3y}2_{+ 20x+ 12y 8 = 0 Q(p}3

5 1; 0)

9. x2_+y2 _{6x 14y+ 39 = 0 Q( 3; 6)} 10. 3x2_+y2_{+ 144x 32y 1481 = 0 Q(27; 22)}

11. 2x2 _3y2 _{6 = 0 Q( 3; 2)}