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1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA
Hay infinidad de funciones extraídas del mundo real (científico, económico, física…)para las cuales tiene especial relevancia calcular el área bajo su gráfica. Vamos aocuparnos del cálculo de estas áreas. Veamos un ejemplo práctico; imaginemos que lafunción v(t) representa la velocidad de un cuerpo en el tiempo, con la siguiente gráfica:
Queremos calcular el espacio recorrido entre t=a y t=b, por dicho cuerpo. El espacioserá igual al área comprendida entre la gráfica y el eje de abscisas en el intervalo [a,b].
Una idea, utilizada desde la antigüedad para medir áreas, consiste en dividir el intervalo[a,b] en n pequeños tramos de amplitud𝜺 =𝒃−𝒂
𝒏 .
Estos tramos tienen por extremos los siguientes puntos: a=x0<x1<…<xn=b, donde
x1=a+ 𝜀, x2=a+2𝜀…
Podemos aproximar el área como la suma de los rectángulos con base 𝛆y de altura mi
oMi, donde mi es el menor valor de la función en el intervalo [xi,xi+1], y Mi el mayorvalor de
la función en el intervalo [xi,xi+1].
Veamos gráficamente las áreas calculadas:
2
Designemos al área calculada en gráfica a) como suma inferior de Rieman, s[f(x)]; siendo la calculada en b) la suma superior de Rieman, S[f(x)].Se cumple:
s[f(x)]Área S[f(x)]
Los valores de las sumas de Rieman son:
• s[f(x)]= m1(x1-x0)+m2(x2-x1)+…+mn(xn-xn-1)=
n i i i i x x
m
1
1
• S[f(x)]=M1(x1-x0)+M2(x2-x1)+…+Mn(xn-xn-1)=
n i i i i x x
M
1
1
Es fácil darse cuenta que cuanto mayor sea el número n, de intervalos, y por tantocuanto menor sea 𝛆, más se aproximarán al área exacta s[f(x)]y S[f(x)].
Así si 𝑛 → ∞ s[f(x)]= Área= S[f(x)].
Se cumple así que: 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞ 𝒔[𝒇(𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞𝑺[𝒇(𝒙)] = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂 ,
que es la integral definida def(x) con extremos a y b.
2. INTEGRAL DEFINIDA
Dada una función f(x) y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x=a y x=b. Se representa por:
∫ f(x)dx b
a
3. REGLA DE BARROW
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral.
Si f(x) es continua en [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), el valor de la integral definida de f(x) es:
( )
( ) ( ) )(x dx F x F b F a
f ba
b
a
Ejemplo1:
3 22 0 7 3 1 7 3 7 1 0 3 1 0
2
x dx x xEjemplo2: Sea un movimiento con aceleración constante a, v=v0+at. Sea v0=40m/s y
a=g=-10m/s2 v(t)=40-10t. Queremos calcular el espacio recorrido desde t=0 hastaque el cuerpo
3
4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites deintegración:∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒂𝒃 𝒃𝒂
2) Aditividad respecto del intervalo: Si f es continua en [a, b] y c(a, b)
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒄
𝒂
+ ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃
𝒄 𝒃
𝒂
3) Si los límites de integración coinciden, es decir, sia=b∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎 𝒂 𝒂
4) Linealidad de la integral definida:Si f(x) y g(x) son continuas en [a, b] a) ∫ [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃
b) ∫ 𝒌 · 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃 𝒌 · ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂 𝒃
5) Teorema del valor medio (para integrales):
Si f es continua en [a, b]
a b b f x dx f
b a
a
, |
( ) ()6) Si f(x) g(x) | x [a,b] ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≤ 𝒂 𝒃 ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 𝒂 𝒃
E j e m p l o s: Calcu lar las sigu ie nt e s in t e grale s d ef in id a s ap lican d o la r egl a de Bar r o w .
a )
S o l :
b ) ; S o l :
c ) ; S o l :
d ) ; S o l :
e ) ;
{
𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑢 = 𝑙𝑜𝑔𝑥; 𝑑𝑢 =log 𝑒
𝑥 𝑑𝑥
4
f ) ;C a l c u l a m o s l a i n t e g r a l d e f i n i d a p o r c a m b i o d e v a r i a b l e.
; {
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 = 𝑡2
𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡
; ; {
𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑢 = 𝑡; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡; 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑡
H a l l a m o s l o s n u e v o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n .
= 2[−𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡]0𝜋 = 𝟐𝝅
T a m b i é n s e p u e d e h a c e r s i n t r a n s f o r m a r l o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n y v o l v i e n d o a l a v a r i a b l e i n i c i a l .
; ;
E j e r c i c i o s d e i n t e g r a l e s d e f i n i d a s
1 . 2 . 3 . 4 . 5 .
6 . 7 . 8 . 9 . 1 0 .
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5. ÁREA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE DE ABSCISAS OX
1. La función es positiva
Si la función f(x) es positiva en un intervalo [a, b], entonces la gráfica de f(x) está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por: 𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂 𝒃
Para calcular el área entre f(x) y el eje OX:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte (anteriormente calculados).
Ejemplos
a) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
a) Puntos de corte: 4x-x2=0; x
1=0, x2=4
b) Se calcula la integral:
b) Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
b.1) Calculamos el punto de corte con el eje OX:
Ln x=; x=e0=1; punto de corte (1,0)
b.2) ; {
𝑃𝑜𝑟𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝑢 = 𝐿𝑛𝑥; 𝑑𝑢 =𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥
;
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2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b], entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
𝑨 = − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = |∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃
𝒂
| 𝒃
𝒂 Ejemplos:
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
a) Puntos de corte: x2 -4x=0; x
1=0, x2=4
b) Se calcula la integral:
;
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3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso, el recinto tiene zonas por encima (positivas) y por debajo (negativas) del eje OX.
Para calcular el área entre f(x) y el eje OX:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Estudiar el signo de la función f(x) entre los puntos de corte. 3º Se calcula la primitiva de f(x), F(x).
4º El área total es igual a la suma (algebraica) (o bien en valor absoluto) de las áreas correspondientes a cada intervalo formado por los puntos de corte (anteriormente calculados).
AT=A1+A2+A3=∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃 𝒅 𝒄
𝒅 𝒄
𝒂 𝒃
𝒅 𝒅
𝒄 𝒄
𝒂
Ejemplos
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje
OX.
a) Puntos de corte: x3-6x2+8x=0; x(x2-6x+8)=0
x=0; x=2; x=4
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6. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE (DOS) FUNCIONES
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Para calcular el área entre f(x) y el eje OX:
1º Se calculan los puntos de corteentre las dos funciones f(x) y g(x), resolviendo la ecuaciónf(x)=g(x).
2º En los intervalos definidos por los puntos de corte, vemos; si f(x) está por encima de g(x) f(x)>g(x) o por debajo g(x)>f(x).
3º El área en cada intervalo es la integral definida con extremos, los del intervalo; y función integración: [f(x)-g(x)] si f(x)>g(x) o [g(x)-f(x)] si g(x)>f(x).
11 Ejemplos
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
a) hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
2. Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
a)
De x = o a x =4, la parábola queda por encima de la recta.
3. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.
a) Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. y=x2/3x
v=0; yv=0; V(0,0) (punto de corte); y=-x2+4x; xv=2; yv=4; V(2,4);
-x2+4x=0; x
1=0, x2=4 (puntos de corte)
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4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.
a) Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. a.1) y= x2 − 2x ; x
v=1, yv=-1; V(1,-1); x2-2x=0; x1=0, x2=2
(0,0) y )2,0) a.2) y = −x2 + 4x; x
v=2, yv=4; V(2,-4); -x2+4x=0; x1=0, x2=4
(0,0) y (4,0).
5. Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen (x), y = cos (x), x = 0. a) Hallamos el punto de intersección de las funciones:
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EJERCICIOS DE INTEGRAL DEFINIDA
1. Halla el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x)=4–x2 y g(x)=3x2.
2. Calcula el área del recinto cerrado comprendido entre la curva y =x2+1 y las rectas y = x, x = -1, x = 2.
3. Calcula el área del recinto del plano limitado por el eje X y por las gráficas de las funciones y = x2+4x+4 e y = 2x+3. Realice un esbozo gráfico.
4. Hallar el área del recinto limitado por la curva y =4-x2 y los segmentos AB y BC, siendo A = (-2,0), B =(-2,4) y C = (2,0). (Sol. 6,33)
5. Dada la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2− 2𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 ¿Puede ser función de densidad para alguna
variable aleatoria continua? Justifíquese la respuesta. (Sol. No)
Nota. Si f(x) es una función de densidad
6. Dada la función f(x)=x3-3kx2+ 9x+5:
a) Calcular el valor de k para que la función tenga un punto de inflexión en x =2 b) Calcular el área que deja la derivada de la función debajo del eje X.
7. Durante un cierto periodo de tiempo, las hojas de una especie vegetal transpiran a razón de 2mg de agua por cm2. Los bordes de una de dichas hojas coinciden con los del recinto acotado del plano limitado por las curvas de ecuaciones y =(5x)1/2 e y=(1/5)x2, donde x e y están expresados en cm. Calcular la cantidad de agua transpirada por dicha hoja en el periodo de tiempo citado. (Sol.16,66 mg ).
8. Estudiar el área del recinto limitado por la curva y=x3-3x2+2x y su recta tangente en x=0. Sol: A=6,75 u2.
9. Hállese el área del recinto limitado por la parábola y=-x2 y la recta y=2x-3. Sol: A=10,7 u2. 10. Hallar el recinto limitado por las funciones: y=x2, y=x2/2, y=2x. Sol: A=4 u2.
11. Sea la función y=2e-2|x|. Calcular el área de la región plana comprendida por la gráfica de f(x) y las rectas x=1 y x=-1. Sol: A=1,72 u2.
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MÁS PROBLEMAS Y CUESTIONES
1. Dadas las parábolas y=x2-x/2+2 e y=x2+3/2x+2. a) Hallar el área encerrada por ambas
b) La distancia entre sus vértices. 2. Integrar las funciones
a) ; b) ; c) ;
d) ; f)
3. Sea la función
¿Qué valor debe tener a para que el área encerrada por la curva y= f(x), y= 2 y el eje vertical sea igual al área encerrada por la curva y= f(x), x= a y el eje horizontal.
4. Las rectas y= x+1, y= -2x+10 e y= -x-1 determinan un triángulo del que queremos conocer su área.
5. a) ¿Qué valor debe tener a para que la recta y= -x+6 y la curva y= -ax2+5x-1 sean paralelas en x= 1
b) ¿Cuál es el máximo valor posible de a para que el recinto encerrado por ambas curvas no sea vacío?
6. La curva y= x3-a y la recta y= bx+1 se cortan en los puntos de abscisa x= -1 y x= 2. a) Hallar los parámetros a y b.
b) Hallar el área encerrada por ambas.
7. a) Hallar a>0 para que
b) Representar las rectas y= x-1, x= a, para el valor d a obtenido en el apartado anterior. Al observar el gráfico resultante, ¿podemos decir que el área entre las rectas y= x-1, x= a, x=0 y el eje horizontal es 4?
