SOLUCIONES
EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Ejercicio nº
1.-Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea:
a) compatible determinado b) compatible indeterminado
c) incompatible
Justifica en cada caso tus respuestas. Solución:
a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, no puede ser compatible determinado; con solo dos datos (ecuaciones) no podemos averiguar tres incógnitas. b) Por ejemplo:
: forma la de serían que , soluciones infinitas
tiene 1
3
z x
z y x
R
1 , y 2 2 , z , con
x
c) Tendrían que ser dos ecuac iones contradictorias. Por ejemplo:
vez. la a ecuaciones dos
las dar pueden se
no le; incompatib es
1 3
z y x
z y x
Ejercicio nº
2.-Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:
3 2 6 2
5 4
4 3
z y x
y x
z y x
Solución:
En primer lugar, lo resolvemos mediante el método de Gauss:
11 0 0 0
9 7
4 3
11 0 0 0
9 1 7 0
4 1 3 1
3 2 6 2
5 0 4 1
4 1 3 1
a a
a a
a
1 2 3
1 2
1
z y x
z y
La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible. Geométr icamente, el sistema representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres.
Ejercicio nº
3.-Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas:
1 8 2 7
1 2
3 2
b)
0 3
6 2
5
4 3
a)
t z y x
t y
x
t z y x
z y x
z y x
z y x
Solución:
6 1 2 5
4 1 1 3
0 3 1 1
0 3 1 1
6 1 2 5
4 1 1 3 a)
a a a
2 1 3
6 16 3 0
2 5 1 0
0 3 1 1
6 16 3 0
4 10 2 0
0 3 1 1
a a
a
a a
a a
a
3 ) 2 ( : 2
1
1 5 3
1 3 2
1
0
2 5
0 3
0 1 0 0
2 5 1 0
0 3 1 1
a a
a a
2 3 3
2 1
z z y
2, 2, 0
. essolución La
0
2 5 2
2 3
z
z y
z y x
4 9 3 9 0
2 3 1 3 0
3 1 1 2 1
1 8 2 7 1
1 2 0 1 1
3 1 1 2 1 b)
a a
a a
a
1 3
1 2
1
0 0 0 0 2
2 3 3
3 2
2 0 0 0 0
2 3 1 3 0
3 1 1 2 1
a a
a a
2 3 3
2 1
t z y x
t z y
t z y x
La última ecuación es imposible. Por tanto , el sistema es incompatible.
Ejercicio nº
4.-En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. a) Con estos datos, ¿se puede sabe r el número de hombres que hay?
b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?
Solución:
a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños. Como hay 22 personas, tenemos que:
xyz = 22
Con el otro dato, planteamos otra ecuación: y 3z = 2x
Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de mujeres, ni el de niños) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógn itas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuación.
b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:
12
6 66
11
4 18 22
0 9 66 2
3 22
0 3 2
22 3
2
0 3 2 2
22
x
y y
z
y y
y z
z y
z y
y x
z y x
z y x
Ejercicio nº
5.-Dados los siguientes siste mas de ecuaciones:
2 3
4 3
b)
1 5 3
0 2 a)
x y
z x
y x
y x
y x
Resuélvelos e interprétalos geométricamente.
Solución:
a) Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
1 1 0
0 0 0
0 2 1
1 1 0
5 5 0
0 2 1
1 1 1
5 1 3
0 2 1
a a a
a
a a
a a
a
3 3 5 2
1
1 3
1 3 2
1
1 2 2 1
0 2
y y x y
y x
El sistema es compatible determinado. La solución es (2, 1).
Geométricamente, representa tres rectas que se cortan en el punto (2, 1):
: que tenemos ,
ecuaciones dos
las en miembro
2 al la Pasando ncógnitas.
tres con ecuaciones dos
de sistema un
de trata Se
b) o
z
z y
z x
z y
z x
3 2
3 1 3 4 3
2 4 3
El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son:
R
, 2 3 , , con
3 1 3 4
z y
Geométricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta:
Ejercicio nº
6.-Utiliza el método de Gauss para resolver los sistemas:
1 2
3 4 2
2 b)
5 2 4 3
3 2 4
a)
t z x
t z x
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
Solución:
2 4 1 3
3 2 1 4
5 1 1 1
5 1 1 1
2 4 1 3
3 2 1 4 a)
a a a
2 1 3
31 31 0 0
17 2 5 0
5 1 1 1
13 7 2 0
17 2 5 0
5 1 1 1
a a
a a
a a
a a
a
2 2 3 5
2 1
1 3 3
1 4 2
1
1 31 31
3 5
2 17 5
2 17
1 5 1 3 5
31 31
17 2 5
5
z
z y
z y x
z z y
z y x
1 1 1 1 0
1 1 0 1 0
2 0 1 0 0
2 0 1 1 1
1 1 2 0 1
3 1 1 0 1
4 0 2 1 1
2 0 1 1 1 b)
a a
a a
a a
a
1 4
1 3
1 2
1
2
1 2 2
2 0 1 0 0
1 1 0 1 0
2 0 1 0 0
2 0 1 1 1
a a
a a a
3 4
3 2 1
z t y
z z y x
le. incompatib es
sistema el
tanto, Por orias. contradict ecuaciones
son 4 la y 2
La o o
Ejercicio nº
7-Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del pre cio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.
Solución:
Tenemos que:
Planteamos el sistema con los datos que nos dan:
x x x x x z x
y z
x y
z y x
7 , 0 2 , 0 5 , 0 2 , 0 2 2
, 0 2
56 , 3 9 , 0 9 , 0 9 , 0
56 , 3 98 , 1 56 , 3 63 , 0 45 , 0 9 , 0 56 , 3 7 , 0 9 , 0 2 9 , 0 9 ,
0 x x x x x x x
26 , 1 7 , 0
90 , 0 2 80 , 1 2
80 , 1
x z
x y x
Ejercicio nº
8.-Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretación geométrica de los mismos:
2 3 2 b)
3 2
4 4
5 2 3 a)
y x
z x
y x
y x
y x
Solución:
a) Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
1 2 0
7 14 0
4 4 1
3 2 1
5 2 3
4 4 1
3 2 1
4 4 1
5 2 3
a a
a a
a
a a a
3 1
2 1 3
1
3 1 2
2 4
2 ; 2 1
1 2
4 4
1 2 0
0 0 0
4 4 1
a a a
a
3 3 7 2
1
y x x
y y x
. 2 1 2, es solución Su
o. determinad compatible
es sistema
El
: 2 1 , 2 punto el en cortan se que rectas tres son mente,
Geométrica
: que tenemos ,
ecuaciones dos
las en miembro
2 al la Pasando .
incógnitas tres
con ecuaciones dos
de sistema un
de trata Se
b) o
x
x y
x z
x y
x z
2 2 1 2 3
2 3 2
Por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado, cuyas soluciones son: R
, con
2 1 2 3 , 2
, y z
Geométricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta:
Ejercicio nº
9.-En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distint os sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que ent re helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.
b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema plantead o en el apartado anterior. Solución:
a) Llamamos x al número de helados de vainilla que se compran semanalmente, y al de helados de chocolate, y z al de helados de nata.
0 10 10 12
540 6 5 4
110
2 , 1 vainilla
que más 20% nata y Chocolate
540 6 5 4 euros 540 total Precio
110 total
en helados 110
Compran
z y x
z y x
z y x
x z y z y x
z y x
320 1 22 22 0
100 2
1 0
110 1
1 1
0 10 10 12
540 6 5 4
110 1 1 1 b)
a a
a a
a
1 12 3
1 4 2
1
0 0 1 40
100 2 1 0
110 1 1 1
60 1 1 0
100 2 1 0
110 1 1 1
a a
a a
a a a
3 2
2 1
) 22 ( : 3
40
20 80 100 2 100
50 40 20 110 110
40 100 2
110
z
z y
z y x
z z y
z y x
Por tanto, se compran 50 helados de vainilla, 20 de chocolate y 4 0 de nata. Ejercicio nº
10.-a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:
1 3 2
3 4
2
6 4 2 3
z y x
z y x
z y x
b) ¿Podríamos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Razónalo.
Solución:
a) Observamos que la tercera ecuación es suma de las dos primeras, salvo en el término independiente que, en lugar de un 9, es un 1. Por tanto, la tercera ecuación contradice las dos primeras. El sistema es incompatible.
b) No. Si suprimimos una de las ecuaciones, obtendr emos un sistema con tres incógnitas y solo dos ecuaciones. Este nuevo sistema podría ser compatible indeterminado (en este caso lo sería), pero no compatible determinado.
Ejercicio nº
11.-Resuelve el siguiente sistema e interprétalo geométricamente:
2 5 2
5 3 2
1
z y
z x
z y x
Solución:
Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:
5 0 0 0
3 5 2 0
1 1 1 1
2 5 2 0
3 5 2 0
1 1 1 1
2 5 2 0
5 3 0 2
1 1 1 1
a a
a a
a a a
a
3 2
2 1
3 1 2 2
5 0 0 0
3 5 2
1
z y x
z y
z y x
La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible.
Geométricamente, representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres.
Ejercicio nº
12.-Resuelve estos sistemas, mediante el método de Gauss:
11 3 11 6
9 2 4
1 2 3
5 2
b)
2 4 2
10 3
6 3 5
a)
z y x
z y x
y x
z y x
z y x
z y x
z y x
Solución:
22 6 7 0
56 8 16 0
10 1 3 1
2 4 1 2
6 3 1 5
10 1 3 1
2 4 1 2
10 1 3 1
6 3 1 5 a)
a a
a a
a
a a a
1 2 3
1 5 2
1
3 1 2
5 5 0 0
7 1 2 0
10 1 3 1
22 6 7 0
7 1 2 0
10 1 3 1
a a
a a
a a
a
3 2 2 7
2 1
3 ) 8 ( : 2
1, 4, 1
. essolución La
1
4 8
1 7 7 2
1 1 12 10 3
10
5 5
7 2
10 3
z
y z
y
z y x
z z y
z y x
11 3 11 6
5 1 1 2
1 0 2 3
9 2 4 1
11 3 11 6
9 2 4 1
1 0 2 3
5 1 1 2 b)
a a a a
4 1 2 3
0 0 0 0
0 0 0 0
13 3 7 0
9 2 4 1
65 15 35 0
13 3 7 0
26 6 14 0
9 2 4 1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
3 5 4
3 2 2
3 1
1 6 4
1 2 3
1 3 2
1
: miembro 2
al la Pasamos 13
3 7
9 2 4
o
z z
y z y x
z y
z y
z y
x
7 3 7 13 3
13 7
2 9 4
z z
z z
z z
y x
7 2 7 11 2 9 7 12 7
52 2
9 7 3 7 13 4 2 9
4
Las soluciones del sistema son:
R
, , con
7 3 7 13 ,
7 2 7 11
z y
x
Ejercicio nº
13.-Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A,
35 g de B y 50 g de C.
¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
Solución:
Llamamos x a los gramos que tenemos que coger del primer lingote, y a los del segundo lingote y z a los del tercero.
Como queremos conseguir 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C, tendremos que:
500 4 5 6
350 4 4 2
150 2 2
50 4 , 0 5 , 0 6 , 0
35 4 , 0 4 , 0 2 , 0
15 2 , 0 1 , 0 2 , 0
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:
250 10
0 0
200 2
3 0
150 2
1 2
50 2 2 0
200 2 3 0
150 2 1 2
500 4 5 6
350 4 4 2
150 2 1 2
a a
a a
a a
a a
a
2 2 3 3
2 1
1 3 3
1 2
1
25
50 3
50 200 3
2 200
25 2
50 50 150 2
2 150
250 10
200 2 3
150 2 2
z
z y
z y x
z z y
z y x
