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Centro de Investigación Científica y de f
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Educación Superior de Ensenada
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EABR1|CACiONi DE DEFUSORIS 0P'T!C0'S
UNIFORMES DE BANDA LIMITADA
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Tasas
MAESTRIA EN 'CEENCIAS
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ENRIQUE EFREN GARCIA GUERRERQ
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Y APROBADA POR EL SIGUIENTE COMITÉ
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Dr. Eugenio Rafael Méndez Méndez
Director de/ Comité I
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/D(r. Heriberto Márquez Becerra Dr.\VI tor Ruiz Cortés
Miembro del Comité Miemb de/ Comité
92
Dr. Eugenio Rafael Méndez Méndez 'Dr. Federico Gvïfehl
Jefe de/ Departamento de Optica Director de Estudio/s de Posgrado
CENTRO DE INVESTIGACION CIENTIFICA Y DE EDUCACION SUPERIOR DE ENSENADA
DIVISION DE FISICA APLICADA
DEPARTAMENTO DE OPTICA
FABRICACION DE DIFUSORES OPTICOS UNIFORMES DE BANDA LIMITADA
TESIS
que, para cubrir parcialmente los requisitos necesnarios para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS, presenta:
ENRIQUE EFREN GARCIA GUERRERO
FABRICACION DE DIFUSORES OPTICOS UNIFORMES DE BANDA LIMITADA
A
di
Resumen aprobado por: Dr. Eugenio R¿.'I\/Iéndez Méndez
_ Director de Tesis
En esta tesis se describe la fabricación de difusores ópticos cuyo patrón de esparcimiento es uniforme dentro de un intervalo de ángulos, fuera del cual no producen esparcimiento. Estos elementos ópticos se han denominado difusores ópticos uniformes de banda limitada. El diseño de estos elementos está sustentado en una aproximación de óptica geométrica, con la que se demuestra_que existe una relación sencilla entre el patrón de esparcimiento y la distribución de pendientes del perfil superficial. En esta aproximación el problema del diseño de difusores uniformes se puede cambiar por el problema de diseñar superficies con una distribución de pendientes también uniforme. Los difusores se fabrican en placas con fotorresina las cuales se someten a un proceso secuencial de fotoexposiciones que generan sobre su superficie un perfil con las características teóricas establecidas. Los difusores fabricados se caracterizan por medio de perfilometría mecánica y mediciones de esparcimiento de luz.
ABSTRACT of the Thesis of E. Efren García Guerrero, presented as partial require-ment to obtain the MASTER IN SCIENCES grade in OPTICS. Ensenada, Baja Cali-fornia, México. January 2000.
I
FABRICATION OF BAND-LIMITED UNIFORM OPTICAL DIFFUSERS
I
Abstrac approved by: Dr. Eugenio R. Méndez Méndez
._ Thesis `advisor
In this thesis we describe the fabrication of the optical diffusers that scatter light uniformly within a specified range of angles and produce no scattering outside that range. These optical elements has been called band-limited unifonn diffusers. The desing of the these elements is sustained in a approximation of geometrical optics, in this framework is determain a Simple re_l_antionship between scatter light and the derivatives of surfase profile. In this approximation the problem of desing uniforms diffusers can be recast to desing surjfaces whose derivative profile is uniform. The diffusers are fabricate in coated photoresidt film deposited on glass substrates exposed to blue light. The fabricated diffusers are characterize with a mechanilìal profilometer and their scattering properties are measure whit a scatierometer.
A J. José, J Alberto y Juanito III
mis sobrinos
AGRADECIMIENTOS
A Dios por la oportunidad de ser parte del plan cósmico.
Al Dr. Eugenio R. Méndez Méndez por su ejemplo y por la dirección de esta
tesis.
A los Drs. Heriberto Márquez, Victor Ruiz y Gilberto Gaxiola, miembros de mi comité de tesis, por su colaboración y comentarios.
I
z 1 I
Al Centro de Investigación Cientifica y de Educacion Superior de Ensenada
y al CONACYT, por el apoyo recibido para la realización de esta tesis.
A Jessy por su apoyo incondicional.
A todos mis profesores por los conocimientos compartidos.
A todos mis compañeros y amigos, de hoy y siempre.
I. INTRODUCCION
II. ASPECTOS TEORICOS
II. l.
II. 2.
II. 2.1
II. 2.2
II. 2.3
II. 2.4
II. 3.
II. 4.
ll. 5.
III. 1.
Ill. 2.
III. 2.1
Introducción
Fundamentos teóricos
Teoría escalar de difracción
La ecuación de Helmholtz
El teorema integral de Green
La formulación de Rayleigh - Sommerfeld de la difracción por una pantalla plana
Esparcimiento de luz por superficies en el -modelo de la pantalla delgada de fase
Difusores ópticos uniformes de banda limitada
Simulaciones numéricas
III. FABRICACION
Introducción
Preparación de placas con fotorresina I
. Limpieza de substratos de vidrio
HI. 2.2. Depósito de fotorresina
IH. 2.3. Horneado de placas con fotorresina
III. 2.4. Comentarios
CONTENIDO ( Continuación ) Pfïâififl
III. 3.1. Conformación ideal del perfil superficial
III. 3.2. Método de fabricación
III. 3.3. Arreglo experimental
III. 3.4. Limitaciones técnicas
III. 4. Revelado de substratos expuestos
IV. RESULTADOS
IV. l. Introducción
IV. 2. Caracterización de las muestras obtenidas
IV. 3. Presentación y discución de resultados
IV. 3.1. Traza de perfiles superficiales
IV. 3.2. Mediciones del patrón de esparcimiento
V. RESUMEN Y CONCLUSIONES
LITERATURA CITADA
38
40
44
47
49
51
Sl
52
55
55
59
68
una pantalla plana.
2 Sección transversal de una superficie rugosa. l l
3 Diagrama ilustrativo de la interacción de una onda 12 electromagnética con una superficie rugosa donde, e,- representa
la onda incidente, e,. representa la onda esparcida en reflexión y e, representa la onda esparcida en transmisión.
4 Ilustración del modelo de la pantalla delgada de fase. 14
5 Diagrama ilustrativo de algunas consideraciones para el cálculo 16 del campo esparcido.
6 Ilustración del campo esparcido deseado. 19
7 Las funciones S(x) y d(x). 25
8 Ilustración de la generación de las pendientes del perfil superficial. 27
9 Ilustración del patrón de intensidad promedio deseado en el 29 campo lejano.
10 Ilustración de la generación numérica de un perfil superficial y su 30 derivada.
1 1 Ilustración del cálculo numérico del patrón de esparcimiento 31 correspondiente al perfil superficial de la Fig. 10.
12 Ilustración del cálculo numérico para el patrón de esparcimiento 33 para diferentes longitudes de onda y 6 = 0.01. (a) il ,_ = 0.6328 um,
tb) /t ,_ = 0.532 nm y (C) ,ta = 0.442 um.,
13 Comportamiento de las funciones S(x) y d(x) para diferentes 39 'valores de m. `
14 Ilustración de un perfil superficial generado a partir de la ecuación 40 (55).
15 Ilustración de la generación de la función S(x). 41
LISTA DE FIGURAS ( Continuación ) _
Figura Página
17 Diagrama ilustrativo del arreglo experimental. 45
18 Fotografía del arreglo experimental. 46
19 Fotografía del arreglo experimental. 47
20 Diagrama de flujo empleado para el control de los 48 microposicionadores.
21 Diagrama ilustrativo de la perfilometría mecánica. 52
22 Diagrama ilustrativo del esparcímetro en modo de iluminación 54
convergente. `
23 Traza de la función S(.\') generada experimentalmente con 56 (a) m=3 y(b)m= l.
24 Traza de un perfil superficial §'(x) generado experimentalmente 57 con N: lO, b = 8.5 |.tm y t¡,,.(,,,, = 2 s.
25 Traza de un perfil superficial C (.r) generado experimentalmente 58 con N = 10, b = 6.3 um y r¡,,.0,,, = 2 s.
26 Traza de un perfil superficial §(x) generado experimentalmente 59 con N: 100, b = 6.3 pm y r¡,,.,,,,, = 2 s.
27 Comportamiento del patrón de esparcimiento para un perfil similar 60 al esquematizado en la Fig. 24. A
23 Comportamiento del patrón de esparcimiento para un perfil 61 triangular.
29 Comportamiento del patrón de esparcimiento para un perfil 62 triangular optimizado.
30 (a) Esparcimiento ideal. (b) Medición del patrón de esparcimiento 63 correspondiente al perfil superficial de la Fig. 26.
31 Comportamiento del patrón de esparcimiento de un perfil 64 superficial de pendientes con una función de densidad de
esparcimiento para un elemento óptico comercial.
I. INTRODUCCION
En muchas situaciones prácticas es deseable tener difusores ópticos cuyas propiedades
de esparcimiento de luz puedan ser especificadas de antemano. En particular, difusores que
producen un esparcimiento uniforme dentro de un intervalo de ángulos y que no esparcen
luz fuera de éste constituyen elementos ópticos con muchas aplicaciones. Estos elementos
se han denominado difusores ópticos uniformes de banda limitada. Un caso típico donde
estos difusores pueden ser utilizados es en sistemas de proyección, en donde es importante
producir iluminación uniforme dentro de un cierto intervalo angular, sin pérdidas de luz. El
diseño de difusores uniformes ha sido considerado por varios autores. Entre ellos podemos
citar a Kurtz, [1972] que ha estudiado el caso de difusores binarios. Trabajos sobre difusores
unidimensionales han sido reportados por Kurtz et al., [1973] y por Nakayama y Kato, [l982].
Incluso, algunos trabajos para el caso bidimensional han sido reportados por Kowalczyk,
[l984].
A pesar del interés en el tema, hasta hace poco no era claro que tipo de propiedades
estadísticas podrían tener este tipo de difusores y no existían procedimientos de diseño claros
para su fabricación. Sin embargo, recientemente se han reportado trabajos de investigación
referentes a difusores unidimensionales y bidimensionales [Méndez et al., 1998; Leskova
et al., 1998] que abren nuevas posibilidades en el diseño y fabricación de estos elementos
ópticos. Estas investigaciones están sustentadas en una aproximación de óptica geométrica
con la que se demuestra que existe una relación sencilla entre el patrón de esparcimiento
y la distribución de pendientes del perfil superficial. Bajo estas circunstancias el problema
del diseño de difusores se puede cambiar por el problema de diseñar superficies con una
distribución de pendientes uniforme.
Cabe mencionar que es-posible encontrar comercialmente elementos ópticos difractores
que esparccn la luz uniformemente sobre regiones angulares específicas. Sin embargo, estos
elementos no son realmente aleatorios además de que operan en un estrecho intervalo de
longitudes de onda y requieren iluminación coherente.
Maradudin et al., [l998], y el método de fabricación propuesto por Méndez et al., [l998].
El capítulo II de esta tesis se estructura en cinco secciones. En la primera parte se
presenta una introducción del problema a tratar: En la segunda sección se define el marco
teórico en el que planteamos el problema de esparcimiento de luz por una superficie rugosa.
En la tercera sección, dada la naturaleza del problema planteado se introduce la aproximación
de la pantalla delgada de fase. En la cuarta sección se establecen los requerimientos teóricos
necesarios que debe cumplir un difusor óptico uniforme de banda limitada. La quinta
sección presenta algunos resultados numéricos a manera de verificación del contexto teórico
desarrollado para los difusores.
En el capítulo III se describe detalladamente el proceso de manufactura empleado para
obtener un difusor óptico uniforme de banda limitada objetivo final de este tabajo de tesis.
Son tres las etapas involucradas en el proceso de manufactura. La primera se refiere a la
preparación de placas con fotorresina. La segunda corresponde a la generación del perfil
superficial sobre las placas con fotorresina por medio de un proceso de fotoexposición. La
tercera etapa describe el proceso de revelado al que se someten las placas de fotorresina
expuestas.
En el capítulo IV se presentan los resultados más significativos obtenidos en la
fabricación de los difusores ópticos de banda limitada. La caracterización de los difusores
fabricados se lleva a cabo por la medición de su pcrfil superficial y por la determinación del
patrón de esparcimiento que produce. La metodologia empleada en la caracterización y los
intrumentos de medición empleados se describen en este capítulo.
3
II. ASPECTOS TEORICOS
al
II.1. Introduccion
La interacción de la luz con los medios materiales es un fenómeno cotidiano que por
muchos años ha sido tema de estudio. La explicación puede darse en términos básicos a partir
de las ecuaciones de Maxwell, para el caso de la física clásica. Algunos de los fenómenos
más cotidianos y mejor comprendidos son el de la reflexión y la refracción de la luz por una
superficie plana. El grado de comprensión de estos fenómenos es tal que es posible inferir
propiedades ópticas de un material a partir de la luz reflejada o refractada por éste.
Sin embargo, la interacción de la luz con una superficie rugosa es, en general, un
problema no resuelto por métodos analíticos. La naturaleza de esta interacción hace que
su tratamiento general solamente se pueda realizar actualmente por medio de simulaciones
numéricas. La principal dificultad para resolver problemas de esparcimiento de luz por
superficies rugosas es la evaluación del campo electromagnético en la superficie y, en
particular, los valores del campo eléctrico y su derivada normal. Existen varios modelos que
proponen soluciones aproximadas al problema de esparcimiento. Entre estos se encuentra la
teoría perturbativa, la aproximación de Kirchhoff y el modelo de la pantalla delgada de fase.
El conocer la manera en que una superficie esparce la luz (o una onda electromagnética
en general) es de gran importancia práctica, según puede inferirse de la gama de aplicaciones
que se le han dado a este fenómeno. Entre éstas se puede mencionar la caracterización de
superficies por métodos ópticos no destructivos [Bennett y Mattsson, 1989], los estudios de
polarimetría planetaria [Mishchenko, 1992; Drossart, 1993], los estudios oceanográficos por
sonar [Thorsos, 1990; McDaniel, 1993] y el ultrasonido médico [Dhawan y Singh, 1993],
entre muchas otras.
Existen dos maneras fundamentales de tratar el problema del esparcimiento de luz. La
primera corresponde al problema directo. Cuando se conocen las condiciones de incidencia y
conocen tanto las condiciones de incidencia como el campo esparcido, el problema a resolver
consiste en la determinación de las características del elemento esparcidor. Tanto en los
problemas directos como en los inversos se consideran normalmente dos vertientes. La
primera corresponde a problemas deterministas o de una sola realización, y la segunda
corresponde a problemas en donde se busca alguna cantidad o característica promedio de
la superficie (desviación estandar de altura, distribución de pendientes, etc.).
El desarrollo de este trabajo de tesis corresponde al planteamiento de un problema
inverso. Como se ha mencionado estamos particularmente interesados en fabricar difusores
ópticos uniformes de banda limitada, lo que significa que deseamos obtener físicamente
una distribución angular específica en el campo lejano. En consecuencia, nuestro primer
problema es determinar teóricamente las características que debe cumplir el elemento
esparcidor, para después desarrollar e implementar un proceso de manufactura que nos
permita la fabricación de estos elementos ópticos.
El propósito fundamental cie este capitulo es el determinar las características teóricas
que deben satisfacer los difusores que se quiere fabricar. El capítulo se ha estructurado
en cinco secciones. En la primera sección se define el marco teórico en el que se plantea
el problema general del esparcimiento de luz por una superficie rugosa. En la segunda
parte, dada la naturaleza del problema planteado, se introduce la aproximación de la pantalla
delgada de fase. En la tercera sección se establecen los requerimientos teóricos necesarios
que debe cumplir un difusor óptico uniforme de banda limitada para generar el patrón
de intensidad promedio deseado en el campo lejano. La cuarta sección presenta algunos
resultados numéricos a manera de verificación del contexto teórico desarrollado para los
difusores.
En el capítulo siguiente se presentan los aspectos experimentales involucrados en la
5
II.2. Fundamentos teóricos
u 4
II.2.1. 'leoría escalar de difraccion
El fenómeno físico en el que se basa la operatividad de los difusores de nuestro interés
es el de la refracción (0 reflexión) de la luz. Sin embargo, el análisis se hace en un contexto
mas general, que es el de la teoria de difracción. La luz es un fenómeno que puede ser
analizado en términos de una onda electromagnética vectorial. Su comportamiento está
regido por las ecuaciones de Maxwell, para el caso de la física clásica. Estas ecuaciones
muestran que el campo eléctrico E y el flujo magnético B, no pueden ser tratadas de manera
independiente dada la interdependencia existente entre ambos campos. Afortunadamente.
es conocido que bajo ciertas condiciones resulta apropiado hacer un tratamiento escalar al
fenómeno de difracción de la luz, es decir, considerar sólo la amplitud escalar de cualquier
componente transversal de E o de B. Dichas condiciones son las siguientes [Goodman, 1968,
pag. 32]:
o Que la abertura o pantalla difractora tenga dimensiones mucho mayores que la longitud
de onda.
0 Que el campo difractado sea observado a una distancia de la abertura mucho mayor que
la longitud de onda y que los ángulos involucrados en el cálculo no sean grandes.
Estas condiciones se cumplen para el tipo de problema a considerar en este trabajo de
tesis. El marco teórico en el que nos ubicamos entonces es el de la teoría escalar de difracción.
II.2.2. La ecuación de Helmholtz
En el contexto de la teoría escalar de difracción, el valor del campo escalar en el punto
P(_r,y,z) al tiempo t se puede representar por la función escalar e(:r.y, z. †), que puede
corresponder, por ejemplo, a una componente del campo eléctrico.
En una región sin fuentes. el campo total e(.1;.y.:.t) en la región de interés debe
, 132€
VZSHÉWIO, (1)
donde c representa la velocidad de la luz. Para ondas monocromáticas. tenemos que
e : E(rc, y, ,z)e"““¿. (2)
donde y, 1) representa la amplitud compleja. Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación
(1), se obtiene que
(V2 +13) E = U.
(3)
donde kr _ 1â : 2-7 es el número de onda.Á
En consecuencia, la amplitud compleja de cualquier onda monoeromática propagándose
a través del espacio libre cumple esta relación. La ecuación (3) se conoce como la ecuación
de Helmholtz.
II.2.3. El teorema integral de Green
El teorema integral de Green establece que si E(P) y G(P) son dos funciones de la
posición P = y. z) que toman valores complejos y si E es una superficie cerrada que
envuelve a un volumen l/, donde E, G y sus derivadas parciales de primer y segundo orden
son continuas y univaluadas, entonces se cumple que
. ›
_,
al:
0G
i [Gv~E _ Eva] dv :f icã -
(zz,
un
l E
donde 5% es la derivada a lo largo de la normal hacia fuera del volumen V en cada punto de
2.
Para aplicar este teorema a problemas de difracción y en particular al tipo de problema
7
manera prudente la llamada función de Green G. Una posibilidad se describe en la siguiente
sección.
II.2.4. La formulación de Rayleigh - Sommerfeld de la difracción por una pantalla plana
La formulación de Rayleigh ~ Sommerfeld al problema de la difracción de la luz por una
pantalla delgada se basa en el teorema integral de Green, expresado por la ecuación (4). A
partir de esta relación. se puede obtener una solución ala ecuación de onda homogénea en un
punto arbitrario, en términos de los valores que toma el campo sobre una superficie arbitraria
que encierra a dicho punto. Denotamos a PQ como un punto de observación y como ,É a
una superficie arbitraria que rodea a PO, como se ilustra en la Fig. 1. En consecuencia. el
problema es expresar la amplitud compleja en PQ en términos de los valores que toma sobre
la superficie E. Aplicando al problema el teorema integral de Green, escogemos al volumen
V limitado por la superficie Z como la región sombreada que se ilustra en la Fig. 1 y a la
función G(r) como solución de la ecuación diferencial
(V2+k2)G(r) =4†rö(| r-ro -~'11rö(| r_r0 (5)
que es una ecuación inhomogénea. Los términos del lado derecho se pueden interpretar
como dos fuentes puntuales en las posiciónes PO y PU, como se esquematiza en la Fig. 1.
En consecuencia. la función G se puede interpretar como las ondas producidas por dichas
fuentes. La fuente en el punto 150 es la imagen espejo de la fuente en el punto PQ, teniendo
como plano de reflexión al plano de la pantalla. Por lo tanto, la fuente en É, produce ondas
con la misma longitud de onda ,\ que la fuente en PO pero, debido al signo negativo del
segundo término en el lado derecho de la ecuación (5), las fuentes oscilan con un defasamiento
relativo de 1800.
13;, 11,,
\ _
¡'01
n tp!
if!
Figura 1.- Foirnulación de Rayleigh - Sommerfeld de la difracción por una pantalla plana.
'L',C|l`-I'(]| el-kiI`--F0'
G I L _ me
(r) |r- r0| |r-r0|› (6)
que, como ya mencionamos, puede interpretarse como dos ondas esféricas de amplitud
unitaria expandiéndose de PO y E0. Es fácil verificar que esta función satisface la ecuación
(5).
-Para simplificar la notación escogemos rol = |r - r0| y Fm = Ir A ïol, y analizamos el
término de la derivada normal de G (r) que aparece en la ecuación (4). Tenemos directamente
que
%(1r) : ñ - VG(r).
(7)
Dada la geometría de la función de Green es conveniente emplear coordenadas esféricas
9
_0f,, låƒ^ 1 ôf^
Vf _ 31" cr + r 3060 + ãpåìcpepi (8)
Escogiendo orígenes adecuados, vemos que G no depende de H ni de 59, por lo que
podemos escribir
öG(r) A A å)G(r)
(M : in/.e_í
dn ' ôr
1 eikful N 1 GUÍFU1
: cos(n.r01) 1,/f - _ † - cos(n.r01) 'tlf' - T †. (9)
foi 701 Tor foi
Con referencia a la Fig. 1, para puntos P1 sobre El tenemos que
7"o1 - foi»
cos(ïz`..r01) = -cos(ñ.'f0¡). (10)
y, en consecuencia, sobre la superficie plana El se tiene que
G(r) = 0,
aan) _
_ A
__
1 6""-H
¶ -2COb(T7.I`01)(ZÄ-ã')'¶.
De este modo, vemos que la función G se cancela sobre el plano de la pantalla.
Por otro lado, por sustitución directa de las ecuaciones diferenciales (3) y (5) en el lado
izquierdo de la ecuación (1), encontramos que
/ [G(1~)v2E(1~) _ E(r)v2G(r)]a1›: i†fE(P,,).
nz)
V
para el caso en que PO E V y donde se ha utilizado el hecho de que 150 ¢ V. Con referencia
a la Fig. 1, si Z : El -l- E-¿, donde E1 es la superficie plana y E2 es una porción de esfera de
radio R, y considerando el resultado expresado por (12), la ecuación (4) se puede escribir de
E(P0) = à / lana? _ E(r)%ír)l az.
(13)
21-I-E2
Esta ecuación expresa el valor del campo en cualquier punto PD, en términos de los
valores que toma el campo E y la función G sobre la superficie Z que rodea al punto
PO. La integral sobre El representa el campo esparcido o difractado por la pantalla. Para
una geometría de reflexión, la integral sobre E2 representa el campo incidente y para una
geometría de transmisión se tiene que
/Í iG(r)ô%ír) - E(r)â_ãå2J dí)-2 -› 0,
(14)
cuando R -› oo. Se dice entonces que las funciones G(r) y E(r) satisfacen una condición de
radiación de Sommerfeld [Goodman, 1968, pag. 38]. Podemos escribir entonces el campo
esparcido en la forma ,
Exa) = à / [G<f›ô§_f,f) - E<f>ô§_,f)] da.
U»
Esta ecuación expresa el valor del campo esparcido en cualquier punto PO, en términos
de los valores que toma el campo E y la función G sobre la superficie plana E1. Por lo
tanto, siguiendo los resultados expresados por las ecuaciones (11), la ecuación (15) se puede
reescribir como
1 A I 1 íkrm
E,,(P0) : Ã-TF / i-2E(r) cos(n,r01) (tk - rm) 677]' dìll. (16)
21
Como generalmente 'rm >> Ã y >> -T% , la ecuación (16) adquiere la forma
1 A ikrm
ll
que reconocemos como la integral de difracción de Rayleigh - Sommerfeld para la difracción
por una pantalla delgada [Goodman, 1968, pag. 45].
II.3. Esparcimiento de luz por superficies en el modelo de la pantalla
delgada de fase
lz.
_y
Pmjl] /N Región Z >§ Í.\'››') I
---“Í,B_laaQ_z2_t1Qz1z§<liQ....___
'
z = 0
Figura 2.- Sección transversal de una superficie rugosa.
Sabemos que cuando una onda electromagnética incide sobre la interfaz plana entre
dos medios parte de ella es reflejada y parte es transmitida, de acuerdo a leyes que son
bien conocidas. Por otro lado, para una interfaz no plana se tiene una superficie rugosa
que podemos representar por su perfil, como se muestra en la Fig. 2. El problema así
planteado es complejo pues frecuentemente el perfil que define los dos medios no se conoce
exactamente y se especifica solamente en términos estadísticos. Dado que el perfil superficial
constituye entonces una sección de un proceso aleatorio, el campo electromagnético
intensidad, las correlaciones del campo eléctrico, etc. En el presente trabajo concentramos
nuestro interés en la distribución angular de la intensidad promedio de la luz esparcida.
ef
/
2*
e,.
(Nu eeee
A
/7
' 112
Figura 3.- Diagrama ilustrativo de la interacción de una onda electromagnética con una superficie rugosa donde, e,-, representa la onda incidente, e,. representa la onda esparcida en reflexión y et representa la onda esparcida en transmisión.
Partiendo del hecho que conocemos tanto las características del campo incidentecomo
las propiedades estadísticas de la superficie el problema consistirá en determinar, con algunas
aproximaciones, los campos reflejado y transmitido (problema directo). Dicho de otra
manera, queremos determinar la distribución angular de la intensidad promedio del campo
esparcido reflejado y transmitido.
En la Fig. 3, y en el contexto de la óptica geométrica, esquematizamos la interacción
de una onda electromagnética incidente, representada por una flecha que indica su dirección
de propagación, con una superficie rugosa, mostrando la generación del campo esparcido en
reflexión y en transmisión. Con referencia a la ecuación (2), consideramos que el campo
13
_ -iw
61'- E1'(93,y›-2)@ É» (13)
donde E,-(x, y, z) representa su amplitud compleja.
Por otro lado, suponemos que el perfil superficial correspondiente a la Fig. 2 se puede
representar por una función univaluada de la posición en el plano 1: - y, y que denotamos por
z:((:c,y). (19)
Nos interesa conocer el campo esparcido en la región z > ((13 y) (ver Fig. 2).
Uno de los modelos más sencillos para analizar problemas de esparcimiento de luz por
superficies rugosas es el de la pantalla delgada de fase. Este modelo establece que el difusor,
o superficie que esparce se puede modelar como una película plana, infinitamente delgada,
cuyo efecto sobre el frente de onda incidente es el de modificar su fase en cada punto, de una
manera consistente con las leyes de la óptica geométrica y tomando en cuenta las diferencias
de camino óptico asociados al perfil de la superficie. En la Fig. 4 se muestra, acorde a este
modelo, que el frente de onda transmitido por un difusor al ser iluminado por una onda plana
es modificado siguiendo el perfil de la superficie. Para que esto se cumpla debe suponerse
lo siguiente [Welford, 1980]:
0 Que el factor de transmisión y de reflexión de la superficie no depende del ángulo de
incidencia local. Para el caso de transmisión se supone además que el medio de incidencia
es homogéneo.
0 Que la superficie tiene variaciones suaves, esldecir, que el detalle superficial tiene
dimensiones mucho mayores que la longitud de onda y que el perfil no tiene cambios
abruptos. Esto permite utilizar conceptos de óptica geométrica y evita efectos de
esparcimiento múltiple y de sombreado.
0 Que los efectos de polarización son despreciables.
Dlfusor
PI-Frenre de onda Frenfe (le onda
plano † -w» transmitido
_ Cambios de fase
(0 ( X- 3')
Per il
Figura 4.- Ilustración del modelo de la pantalla delgada de fase.
superficie en reflexión o en transmisión por un difusor fabricado con un material de índice de
refracción 112 delimitado por un perfil superficial dado por z : Q (as, y), inmerso en un medio
con índice de refracción nl. Estos cambios de fase representados por cp(a:, 3/), son función de
las coordenadas sobre la superficie rugosa.
La relación entre las variaciones de altura de la superficie con las variaciones de fase
para una onda transmitida es
<p¿m,,, : kg (113, y) [111 cos 9, -l/nš - nf sin2 9,] . (20)
Por otro lado, la relación entre las variaciones de altura de la superficie con las
variaciones de fase para una onda reflejada es
90†ef = n1Ic§(ac, [cos 0., + cos 0,]. (21)
15
((:1:,y) de una superficie rugosa con las variaciones de fase tp(_-r, y) que sufre una onda
incidente al ser transmitida o reflejada por el difusor. Nótese que estas variaciones de fase
dependen del ángulo de incidencia, de la longitud de onda, del índice de refracción y de
la variación de alturas en la superficie. Por otro lado, considerando ángulos pequenos de
incidencia y reflexión (transmisión) y particularizando al caso en el que el índice de refracción
del medio que está en contacto con el difusor es nl : 1, las ecuaciones (20) y (21) se pueden
reescribir de la forma
/r((.r. y)[1 - n2] en transmisión
s0(I-1/) :
<22›
2lr((.r. y) en reflexión .
En consecuencia, dentro del modelo de la pantalla delgada de fase, el problema a
considerar consiste en la determinación del patrón de intensidad promedio en el campo lejano,
dada una fase aleatoria y), especificada en término de sus propiedades estadísticas.
Consideremos un campo incidente que en el plano de la pantalla está dado por
6-ÍÍCTI
E¡(I. y, Z) : AUT, (23)
donde rf es la distancia de un punto y, O), sobre la pantalla, al punto (0, 0. zo) (ver Fig.
5). Esta función representa una onda convergente a dicho punto. Utilizando el modelo de
la pantalla delgada de fase, se tiene que la amplitud complejajusto después del difusor está
dada por
6-ikrf Q
y. 0) : I\'f“l0ìe'*”(`”'-U). (24)
ff
donde K representa el coeficiente de transmisión T o de reflexión R de la pantalla, según sea
el caso, A0 es la amplitud de la onda incidente y y) representa la fase introducida por la
superficie en transmisión o en reflexión. En consecuencia, la aplicación de la ecuación (24)
KA ' - -_ . A
1 / {6ltp(:D›U)eZÛ(7U1-TÍ) COS(/nl, I-01)} ([21,
zàrmrf
21
/-\ /\
donde cos(n,r01) es el coseno del ángulo formado entre la normal n y el vector rm. Con
referencia a la Fig. 5, se puede observar que si ro >> (JJ, 3/),,,,,,,,., donde 1'@ es el vector que
va del origen de coordenadas al punto de observación y (93, y),,,,,w representa las dimensiones
de la pantalla difractora, entonces cos(ñ,r01) as cos 0,, donde 6, es el ángulo formado entre
el eje z y el vector ro. Por lo tanto, bajo estas consideraciones la ecuación (25) se puede
reescribir como
E(P0) = fi-(Ai cos H, / {ei`f'(“'y)e"¡*`(”`°1-"f)} dZ1. (26) z r01'rf
531
Esta ecuación expresa la amplitud compleja E(:r0, yo, zo) en el punto PO en términos de
las variaciones de fase tp(:c, y) que sufre la onda incidente al ser transmitida o reflejada por
el difusor, o superficie que esparce.
-_ 2 Deieclur
'_ Í .\`(). _\'(), Z Í
Í
\ 1
Supelficie _ v ,/'// 1'”
R"§”-"“ Ka (32%/;(0, 0' 0) _ , - ¬L- rf †_v tí h(0 0- › Zu )›_
/Ñ Z0 Z
l7
Con referencia a la Fig. 5 podemos ver que
i :E2 + 3/2 atzrg + 1/3/0 2
TUI : TO “i” ~ (27) y qu@
2 + 2 1'2
rf : 'ro [1 + . (28)
0 Por lo tanto,
l 2
l
,.2 2 . , a ,.2 2
1 Jr Z/ -17-To + Z/2/0 -1» + 3/
nn-)r¡=-ro
1+†-2-†
-1+-2-
.
(29)
'ro T0 T0
Notamos ahora que r@ >> .r,_1/. Por lo tanto los términos con rå en el denominador son
pequeños. Realizando una expansión en series de potencias en este parámetro de la expresión,
encontramos la siguiente aproximación
93:1: +1
T'01_ T'f : (30)
To
Esta aproximación se cumple bajo dos condiciones. La primera requiere que
(Wife + 1/.T/o)2
3 <<)/\, (31)
'fo la cual se le puede interpretar físicamente como
1
. /\
senzfìs << É. (32)
La segunda condición requiere que
(33)
2 -l- 2 2
<< ,,¿›,
(34,
'2 . . . , . . . .
donde ($2 + 3/2)mm_ involucra la dimension iluminada del elemento esparcidor. Bajo estas
consideraciones al sustituir la ecuación (30) en la ecuación (26) y, considerando que 'rm re ro,
esta última adquiere la forma
KA ' ~i Í J: yt
E(p,>:T;C0S@, /
ría +a-f)}d2,.
(35)
'L TD
21
La ecuación (35) expresa la amplitud compleja E(a;0,y0,z0) en el punto PQ a una
distancia ro de la superficie, en términos de las variaciones de fase <p(a:, y) que sufre la onda
incidente al ser transmitida o reflejada por el difusor 0 superficie que esparce.
II.4. Difusores ópticos uniformes de banda limitada
Se ha denominado como difusores ópticos uniformes de banda limitada aquellos cuyo
patrón de esparcimiento es uniforme dentro de un intervalo de ángulos, fuera del cual no
producen esparcimiento.
Estamos interesados, por ejemplo, en que la distribución angular del campo esparcido
sea uniforme en el intervalo -Gm < 05 - 00 < Bm, Es decir, se quiere que la intensidad
promedio esparcida en el campo lejano tenga la siguiente forma
(I(P0)) : Iørect
,
(36)
donde los paréntesis angulares representan un promedio sobre un conjunto de realizaciones
de la fase aleatoria (p(a:, y), IO es una constante, rect((9,) es la función rectángulo [Goodman.
1968, pag. 13], 60 es el ángulo de incidencia, 95 el ángulo de esparcimiento y 19m representa
el ancho del patrón de esparcimiento. En la Fig. 6 se esquematiza la forma ideal del patrón
19
Difusm' Optico de Ba/ir1(iL11mf(1da _,.- Pfmmua de obSe¡.mC¡-¿¡¡
í_,__
Ilmnílmción E `
nec! 0
__ Eiymrcilnielim dpro:
I s 'da
` L.
[ne
_ f ._
_ 9 m 9 0 9 I" 9 S [grados ]
Figura 6.- Ilustración del campo esparcido deseado.
1
La intensidad promedio esta dada por
(I(Po)> = (I E(P0) l2>,
(37)
donde E(P0) es la amplitud compleja. Utilizando entonces la ecuación (35), que representa
la amplitud compleja en el campo lejano en el punto PQ, a una distancia ro del difusor y
donde <p(fc, y) son las variaciones aleatorias de fase que introduce su perfil superficial al ser
iluminado, podemos determinar el patrón de intensidad con relación a la ecuación (37). La
introducción de la función de abertura A(a;, y), nos permite cambiar los límites de integración
en la ecuación (35), que se puede reescribir como
OO
E(P0) = cos (9, {A(x,y)ei“P(W)e¬ík(%w+%y) } dmdfy. (38) 0
vía: y) = «ne-(fr) + se-yíy)
(39)
Y
A(1:, y) = A_,,.(.r)Ay(y). (40)
Suponiendo que no hay correlación entre los procesos tp,,,.(:r) y (a,,(y), y considerando
las ecuaciones (39) y (40), la ecuación (38) se puede reescribir de la forma
a
3*
a`\.8
¿P-E(P0) = ÁÍ/,4_,.(1*)e'f'f(“:)e_”c(i'Lt<iiI) (y)e'9””(y)e_ik(iJ'_iiy)ciy
: (41)
donde /C : cos 9, y E,.(P0) y E¿,(P0) son las amplitudes complejas en las direcciones .r
e y respectivamente. En consecuencia, con relación a la ecuación (37) se tiene que
(1(Po)) = UCI2 <1w(Po)> <fy(P«:›))-
(42)
Observando la ecuación (41), notamos que (I,,,(P0)) es de la misma forma que ([y(P0)).
Empleando la definición de la ecuación (37), se tiene que
OO
(Li-(Pai) :P//A3-(:c)Á;(.1¬') <e4i(f*(”')`*””(”))> (z~i'“iiT(i('l”*'”')da:d.r'. (43)
-OO
Observamos que el término que contiene las variaciones de fase es el único que tiene
un comportamiento aleatorio y por lo tanto el promedio sólo afecta a éste. La expresión
(e""<*””(””')¬”1(1`))) es un promedio cuyo valor depende de las propiedades estadísticas del
perfil superficial del difusor. Si consideramos momentáneamente que la rugosidad en la
superficie del difusor y por lo tanto, el cambio de fase (9(rir.y) es un proceso aleatorio
estacionario (caso ideal), entonces (e“'l*f"I($')_>”f=lï))) es una función que sólo depende del
21
MM) Z <e-r<«a(w')-»W-'+Aw))>_
(44)
En consecuencia, con relación a esta última ecuación, la ecuación (43) se puede
reescribir como
OO
(1,(P,,)) =// ,4,(.f¢' + Aaa;(I')g(aa±)ff*i3^raasaï'.
(45)
Definimos ahora la función
8**
šr
P(Aa:) = (.r' -l- Aw)Á:,(a:')d:L". (46)
Por lo que, bajo esta última consideración la ecuación (45) adquiere la forma
, _
8ì8 “CJ
(r,(P,,)) =
(aw)g(Aa~)@¬*i%^”da¢.
(47)
Notamos ahora que P(A:1:) es una función mucho más ancha que g(Aa:). En
consecuencia, podemos reescribir a la ecuación (47) como
Q
2*@
íì
(I,,(P0)) = Ax)e_iki_\i›lAEdAr, (48)
donde G : P(()). Por otra parte, con relación a la ecuación (22) podemos expresar a la
ecuación (44) en términos de las variaciones de altura §,(a:), es decir
_: <e_'¡(*P;c(1J)_v7I(17,+Ax))> : <e_ia(cJ?(1J>_C:|:(~77/`i'A-'1-`))> ,
donde a representa a /fll - ng] en transmisión o 2]: en reflexión, según sea el caso. La
diferencia (I(:t:') - §»,(.r' + Ax) se puede expresar en potencias de Ax, por lo que para Aa:
9(A1') ~ (@'*“^“”f“*')),
(S0)
donde Q; (a:') nos representa las pendientes del perfil superficial. Esta aproximación se conoce
como la aproximación de la óptica geométrica. Bajo estas consideraciones, al sustituir la
ecuación (50) en la ecuación (48) esta última adquiere la forma
Q
8*@
<[I(P0)> ,x <e¬z`aA:|:C;(;,,-/)> e-ik%.1A:z:dAx. (51)
Por otro lado. la función caracteristica de una variable aleatoria U se define como
[Goodman, 1968, pag. 19]
OO
ll/.ÍU(w) : (e_“”“> =›/ e_i'“”"PU(u)du, (52)
donde P¿¡(u,) es la función de densidad de probabilidad de la función U.
Aplicando la definición dada por la ecuación (52) a la función g(A;z:) (ecuación (50)) se
tiene que
sì*
(D
<€_-ram.-¿'> : -iaaagfp (ã/)d¿/_ V (53)
Aplicando directamente la transformada inversa de Fourier a cada miembro de la
ecuación (53) y con u : aAat podemos obtener que
sì?
,' I ' Í d
P(§í_) : e"*f= <e¬'”¿ > (54)
Tl'
En consecuencia, relacionando esta última ecuación (54) con la ecuación (51) se tiene
23
2**
(T)
PC; (Z) : mL\a:z <e-iaAa;(,`;> (55)
y con z : -E5-'1, finalmente se obtiene que
a rg
oc
I C
kflf f _¡'~* ,- - -1 ,i
P¿/ (--2) : 1 / e I`7ii`\$ <e"“*\“I("' )> clA,r. (56) I a ro 2rr _
Con referencia a la Fig. 5, : sin 0,, por lo que para ángulos pequeños la ecuación
anterior se puede expresar como
/C
3 , (57)
donde Pg representa la función de densidad de probabilidad de las pendientes de la
superficie. Por lo tanto, de acuerdo a nuestro requerimiento original definido por la ecuación
(36). La función de densidad de probabilidad de la ecuación (57) debe ser de forma
rectangular. Es decir, para obtener el patrón de intensidad en el campo lejano de la forma
definida por la ecuación (36), la función de densidad de probabilidad de las pendientes del
perfil superficial del difusor debe ser de forma rectangular.
Para diseñar un difusor óptico uniforme de banda limitada, se debe buscar un perfil
superficial aleatorio cuyas pendientes sigan una función de densidad de probabilidad de
forma rectangular. Este problema de esparcimiento corresponde a un problema inverso. Bajo
estas circunstancias el problema de diseno del difusor se cambia por el problema de diseñar
superficies con una distribución de pendientes uniforme.
Nuestro interés es obtener un patrón de intensidad de la forma definida por la ecuación
(36). Escogemos, por ejemplo, que el perfil superficial §(.1:) del difusor constituya un proceso
aleatorio Gaussiano. Entonces, la función de densidad de probabilidad que describe estas
P(ç) =
â”^.z\:al ALI!x \/
donde a¿ representa la desviación estandar de la variable En consecuencia, sus
pendientes ((1) constituyen también un proceso aleatorio Gaussiano y su función de
densidad de probabilidad tiene una forma similar a la ecuación (58). Por lo tanto, con relación
a las ecuaciones (36), (57) y (58) se observa que el perfil superficial para los difusores ópticos
de banda limitada no puede estar constituido por un proceso aleatorio Gaussiano.
Para el diseño de los difusores se propone generar el perfil superficial unidimensional
de la siguiente forma A
OO
ç(.-1;) = Z c)s(.-t- _ 211)).
(59)
I:-oc
donde {C¡} son números positivos generados aleatoriamente y la función se define
COITIO
-0 x § -(m + l)b
-(m +1)b/1-hzr -(m + l)b < .ir < ~'mb
= -bh -ml) § J: S mb , (60)
-(mi-l-1)bli.+ ha: mb < 1' < (m+1)b
0 (m~l-1)b§ .E
donde m es un entero positivo y b representa una longitud característica.
OO
ç'(.))
2 c,a(1~ _ 211)),
(6))
I:-cx:
La derivada de la función del perfil superficial (pendientes) C'(.r) está dada por
25
0 :i: S -(vn + 1)b
-h -(m+1)b<:r< -mb
: 0 -mb § zi: í mb (62)
h mb<a:<(m-l-1)b 0 (m -l~ 1)b É :U
Las funciones y se muestran en la Fig. 7.
( H)
Perfil Superjficial
2 ( m+l H;
Función S( x )
0
I bli
I)
I | 2ml› I
( b J
Derivada del Perfil Su¡1ei_'ƒic¡al
2 ( m+1 )b Función d(x) I.- K V I
b
I ' ' | 2m[› I
Figura 7.- Las funciones y
Por otro lado, cuando la función de densidad de probabilidad ƒ (7) de los números
aleatorios {G¿} se conoce se pueden generar grandes secuencias de estos números, por
ejemplo, utilizando el método de rechazo [Press et al., 1992]. De esta manera con estas
secuencias de números, se pueden generar superficies con perfil superficial C y derivada
Q' definidas por las ecuaciones (59) y (61) respectivamente.
la ecuación (57). Sin embargo, para el diseño de los difusores se ha considerado como perfil
superficial el definido por la ecuación (59), y este proceso aleatorio ya no es estacionario.
Por ejemplo, con referencia a la Fig. 8, podemos ver que mientras que la derivada promedio,
tomada sobre una muestra larga tiende a cero, el promedio de conjunto será positivo para
ciertas posiciones y negativo para otras, como veremos más adelante. En consecuencia,
resulta necesario regresar a la ecuación (43), que en la aproximación de la óptica geométrica,
representada por la ecuación (50) adquiere la forma
Q
(1.f(P())) av
/Z <er"“^“¢¿(“”')> e_”°ï_§^”dAxdx'.
(63)
Si el perfil superficial del difusor §(:i:') no es un proceso aleatorio estacionario, entonces
su derivada g"(:r') tampoco constituye un proceso aleatorio estacionario. En consecuencia, el
promedio (e_“°^”¿¿(I')) que aparece en la ecuación (63) esfunción de la variable ar' y por lo
tanto, esta ecuación no se puede expresar de forma similar a la ecuación (51), que considera
al perfil superficial como un proceso estacionario.
Al sustituir la ecuación (61) en el promedio que aparece en la ecuación (63) y dada la
independencia de los números aleatorios {C¿}, se obtiene que
<e_mAw<¿($)> : <e-¿aaaI:;°°c,a(z_2ib)> : < É 6-iaAsc,a(f¢-2ii›)>
I:-oo
: Ffi <e-iaA;l¬c,a($-zzb) _ (64)
El punto crucial de haber escogido como pendientes del perfil superficial a la función
definida por la ecuación (61) y que se esquematizan en la figura 8, es que para cualesquiera
de los segmentos de longitud b, sólo hay una contribución diferente de cero. La naturaleza de
estas contribuciones nos permite hacer una separación entre ellas. Aquellas que se encuentran
por arriba del eje de referencia aa' (ver Fi g. 8), corresponden a contribuciones positivas de las
27
de referencia aa', corresponde'n a valores negativos de las pendientes del perfil superficial.
Bajo esta consideración, es fácil observar que el intervalo 2fn,b < 2: < (2'ri, + 1)b, define la
ubicación de las pendientes positivas y que el intervalo (271 - 1)b < .13 < 2nb, define la
ubicación de las pendientes negativas.
ipmú
cv)
1
Figura 8.- Ilustración de la generación de las pendientes del perfil superficial.
En consecuencia el valor promedio indicado en la ecuación (64) y con relación a la
ecuación (52), cuando 2nb < ar < (2n + 1)b (pendientes positivas) se puede expresar como
8
<eiaAx§'(g;)> : <e'iaA:i:hC,1_1) : (W/)ez`aA:1:l1.'yd,Y, (65)
y cuando (211 - 1)b < < 2nb (pendientes negativas) se puede expresar como
sì
s`\.8
*ia
(6-z`a.A.p§'(;);)> : <e-iaAmhC,,+1> : (,Y)G-iaA.'c/z-¬,'d,Y,
donde f (7) es la función de densidad de probabilidad de los números aleatorios {C'¿}.
Entonces sustituyendo las ecuaciónes (65) en la ecuación (63) obtenemos que
(211.-i-.1)b-3@ 00.
<I1:(P0)> : CZ / f f(7)e'f"m"'""cl^, e`”"åA`TdA.rd:1:+
H' 2nb -oo -oo 2nb tx; oo
+02 I f U f(~,)e-f“^r'1^ft(z~, 6-”*`Í_3^”aa1-ae.
(66)
” (2n-1)b-
-Como ningun integrando depende de fc y la sumatoria sobre n. para cada integral en .r
da esta ecuación se puede reescribir como
sì* 8**
*va
: X [gía/ÄI¡t^¡ _|_ C-iuA.|:Ir^,] 6-ílcfg-A.rd,YdA$. (67)
donde X = CLI es una constante. Intercambiando el orden de integración en la ecuación
(67) obtenemos que
(fi) j5(%1 +_fW) + ö`(`ì-J - MJ] Cb'
: 1r<
sì*
*n
I %lf<%)+f(%)l)
Esta ecuación establece una relación directa entre el patrón de intensidad promedio y la
función de densidad de probabilidad de los números aleatorios{C¡}.
Si escogemos a f(^¡) como la función de densidad de probabilidad uniforme definida
fo) = --ect (W -
.
y al sustituirla en la ecuación en la ecuación (68), esta última adquiere la forma
| f1('l/)=¡'ect('9.r/61;: '_ 1/2) › I f2('›/)=¡'eCt(9s/61›: -1/2)
que
Ífmf)
m | f' ' | s a' 9,. [gizidos
-d ni 0 d iii
f(if) = f1(i') + fz(r)
Figura 9.- Ilustración del patrón de intensidad promedio deseado en el campo lejano.
_ K -
_“ì_l
-
2
3
(I,,(P())) _ h {iect(T0h 2)+ieet(TOh%-2)]
= - rect í - -sind, 1 +rect isind, + 1- , ( ) ,
li 2 h 2
a incidencia normal y donde sind, = En consecuencia para ángulos pequeños se tiene
FX
X dsl dsl (
Esta ecuación indica que el patrón de intensidad promedio obtenido en el campo lejano,
toma forma rectangular con dm = h. En la Fig. 9 se presenta esquemáticamente el patrón de
intensidad proinedio dado por la ecuación (71).
II.5. Simulaciones numéricas
La teoría presentada en la sección anterior ha sido comprobada por medio de
simulaciones numéricas.
El éxito en obtener un difusor óptico de banda limitada depende directamente de la
generación de un perfil superficial con características adecuadas de manera que se produzca
el efecto deseado en el patrón de esparcimiento de luz.
ta)
fnmàlbomamm
3_<,
L1-| i i i f 1 i
-400 -300 -200 -100 O 100 200 300 400
X 1
(bi
0.4
0.2 _
,jj
“WWW half
'O-4 (Í '_ i i I ' ' F* i i
-400 -300 -200 -100 O 100 200 300 400
X1
Figura 10.- Ilustración de la generación numérica de un perfil superficial y su derivada.
Por lo tanto, para corroborar el contexto teórico que envuelve a los difusores ópticos
31
características establecidas. Esto nos permite evaluar por medio de simulaciones numéricas
si el patrón de esparcimiento que produce es el esperado.
El perfil superficial aleatorio se ha generado numéricamente [Leskova et al., 1998]
siguiendo el procedimiento presentado por la ecuación (59), con la función S(:i:) dada por
la ecuación (60) y la función de densidad de probabilidad de los números aleatorios {G¿}
definida a partir de la ecuación (69). En la Fig. 10, se muestra una sección de un perfil
superficial y su correspondiente derivada, generados por este método. Los valores empleados
en los parámetros más significativos son b = 60 am, m = 1 y dm = 50.
io A ~ ~ o,=o°
ns`dadpromedo
O-^ l\J(JàO1O1\lQ(D
- fcqk
| | i ' " "1 i I 1
He
-30 -20 -10 0 10 20 30 Angulo de Esparcimiento [grados ]
como
_ a,=20 °
ntens`dadpromed'o
O ->-N(Jà
UIG)\l' I ` “I I I i
-30 -20 -10 O 10 20 30
Angulo de Esparcimiento [grados ]
Figura 11.- Ilustración del cálculo numérico del patrón de esparcimiento correspondiente al perfil superficial de la Fig. 10.
El cálculo numérico que se ha realizado para determinar el patrón de esparcimiento
[Maradudin et al., 1990] involucra 3000 realizaciones del perfil superficial generados
numéricamente, uno de los cuales está representado en la Fig. 10. Esto ha permitido
directamente de la Fig. 11, donde se muestra el patrón de esparcimiento calculado para
ángulos de incidencia de 0° y 20°. De aquí se observa claramente que en el intervalo
-dm < dg - do < dm, aparte de la presencia de pequeños picos distribuidos simétricamente
y un pico central más importante, la distribución angular del patrón esparcido es bastante
uniforme y fuera de dicho intervalo no hay esparcimiento.
La presencia del pico central se debe al hecho de que nuestro análisis está basado en
una aproximación de óptica geométrica. El patrón de esparcimiento está constituido por dos
distribuciones rectangulares, como se puede ver de la ecuación (71), esquematizada en la Fig.
9. Los efectos de difracción degradan éstas distribuciones rectangulares que se formarían
idealmente, haciendo menos abrupto el corte de las distribuciones. El pico en la dirección
especular que se observa en el patrón de esparcimiento mostrado en la Fig. 11, se debe al
traslape entre las colas suavizadas de éstas dos distribuciones.
El traslape entre las distribuciones rectangulares está determinado por el parámetro li,
por la longitud característica b y por la loiigitud de onda /\. Para ilustrar este punto, calculamos
patrones de esparcimiento utilizando funciones de densidad de probabilidad de la forma
f(¬,-) = rest [7 -
+ 5)] _
(72)
donde 5 es una pequena constante. '
Al sustituir la ecuación (72) en la ecuación (71) se obtiene entonces que
([,(P0)) 2 à {rect - + 6)] + rect - + }. (73)
Es posible, en principio, escoger un valor adecuado para 5 que nos permita obtener
aproximadamente la curva de esparcimiento deseada. Es decir, el patrón de esparcimiento
consiste ahora de las dos distribuciones separadas por una distancia angular que depende
dpromedo
6115 da
... Fl
dpromed'o ntens'da
O
nens`dadpromed
._. -30
~3O
| i t I i
20 ~`lO 0 10 20 30 ,
`l
20 -10 O 10
, ri
'I
-30 20 -10 O 10
Angulo de Esparcimiento [ grados ]
Figura 12.- Ilustración del cálculo numérico para el patrón de esparcimiento para diferentes longitudes de onda y 5 = 0.01. (a) )(,. : 0.6328 um, (b) Ã), = 0.532 /im y (c) /\,, = 0.442 ,iim.
para /\,~ = 0.6328 /im, /\,, = 0.532 am y Aa = 0.442 um. Los valores empleados en los
parámetros más significativos son b : 60 ,am y (3 = 0.01. De la figura se observa que el
comportamiento del patrón de esparcimiento es prácticamente el mismo para los diferentes
II
III.1. Introduccion
En el capítulo anterior, se ha mostrado que los difusores ópticos uniformes de banda
limitada, al menos desde el punto de vista teórico, son factibles. Esto ha quedado
demostrado por los cálculos numéricos en los que empleamos perfiles superficiales con las
características dadas por la ecuación (59). Ahora bien, desde el punto de vista práctico,
necesitamos desarrollar una técnica para la generación de los perfiles superficiales con estas
características.
En este capítulo se describe el proceso de manufactura utilizado para la obtención de
difusores ópticos uniformes de banda limitada. El capítulo está estructurado en tres secciones,
que en conjunto, forman la ruta de fabricación. La primera sección describe la preparación
de placas con fotorresina, que es el elemento en el que finalmente se aloja el difusor. La
segunda sección, describe una técnica experimental para la generación del perfil superficial
deseado. En la útima etapa, dado que el proceso de manufactura en la generación del perfil
superficial contempla fotoexposiciones, se describe el proceso para su revelado.
III.2. Preparación de placas con fotorresina
La fotorresina es un polímero fotosensible a longitudes de onda en el ultravioleta cercano
y el azul. Su presentación es en forma de un líquido viscoso, lo cual la hace manejable ya
que permite que se le deposite en forma de capas o películas. En condiciones adecuadas de
preparación, exposición y procesamiento, la curva de respuesta de una película de fotorresina
(exposición vs profundidad) puede presentar una región prácticamente lineal, que juega un
papel fundamental en la generación de los perfiles superficiales.
El objetivo fundamental en esta etapa del proceso de manufactura es la de obtener
35
contituidas por un substrato de vidrio al que se le deposita una película de fotorresina.
Utilizamos como substratos placas de vidrio (BK7) con caras aproximadamente planas y
paralelas, con diámetro de 2 plgs. y espesores entre 3 y 5 mm. La fotorresina empleada en
este trabajo es la STR - 1075 de Shipley.
La preparación de las placas con fotorresina se lleva acabo en tres etapas:
0 Limpieza de substratos de vidrio.
ø Depósito de fotorresina.
0 Horneado de las placas con fotorresina.
Estos procesos se describen a continuación.
III.2.1. Limpieza de substratos de vidrio
La limpieza de los substratos de vidrio es crítica, dado que esto determina tanto la
adherencia de la pelíctila de fotorresina como la uniformidad de ésta. El procedimiento
empleado fué el siguiente:
0 Lavado con detergente y esponja.
0 Enjuague con agua corriente y reposo en agua destilada.
0 Secado con aire comprimido. 1
0 Lavado con acetona frotando con papel de calidad óptica.
0 Secado frotando con papel de calidad óptica. I
0 Lavado en alcohol.
0 Secado frotando con papel de calidad óptica.
Una vez limpios los substratos de vidrio se procede al depósito de fotorresina. Para esto
se cuenta con una campana de flujo laminar con ”spinner” y fijación del substrato por vacio.
De manera secuencial, los pasos que se siguen en esta etapa son:
o Se coloca sobre la base giratoria del ”spinner” un substrato y se acciona la bomba de
vacío para su fijación.
o Se acciona el ”spinner” con un nivel bajo de revoluciones (al rededor de 300 rpin).
o Se deposita fotorresina (aproximadamente 10 ml ) en la parte central del substrato con la
ayuda de una jeringa de vidrio, evitando producir burbujas de aire en el depósito.
o Durante unos 15 s, se elevan gradualmente las revoluciones del ”spinner” uniformemente
hasta alcanzar aproximadamente 1500 rpm.
0 Después de unos 5 s adicionales de rotación, se apaga el ”spinner” y la bomba de vacío.
o Se retira y coloca el substrato con fotorresina en una charola horizontal dentro de la
campana de flujo laminar.
III.2.3. Horneado de las placas con fotorresina «
Finalmente se procede al horneado de los substratos con fotorresina. Los parámetros
que se describen a continuación se determinaron experimentalmente y dependen del tipo de
fotorresina empleada.
El control de la temperatura resulta ser un parámetro importante, ya que si ésta es mayor a
unos 90°C, la respuesta óptica de la fotorresina disminuye. Es decir, se requiere mayor tiempo
de exposición para poder grabar sobre ella. Por otro lado, si la temperatura es menor a unos
35°C la fotorresina no seca adecuadamente, quedando muy sensible al tacto. Adicionalmente.
37
que no se presenten choques térmicos muy violentos. El horneado se realizó de la siguiente
manera:
0 Se colocan los substratos en un horno eléctrico a una temperatura de 70°C durante 1 hr
30 min aproximadamente.
0 Se retiran las placas con fotorresina unas 10 hrs después de apagado el horno.
III.2.4. Comentarios
El espesor de la película de fotorresina depositada en los substratos de vidrio oscila entre
10 y 15 um. No se aplica una segunda capa de fotorresina dado que con el espesor logrado
y con los tiempos promedios de exposición empleados en la fotoexposición, no se llega a
consumir la película de fotorresina al grado de llegar al substrato de vidrio. El grosor de
la película depositada fué evaluado en forma visual a través de la tonalidad adquirida por
las muestras. Es importante hacer notar que todo este trabajo se realiza bajo iluminación
amarilla, a la cual la fotorresina es prácticamente insensible.
El éxito de los depósitos de fotorresina, al tener muestras que tengan una buena calidad
se ve dramáticamente afectada por la presencia de polvo o partículas ajenas en la película, ya
que esto hace que se pierda la uniformidad superficial que se requiere. Por esto, la limpieza
de la campana, el ”spinner”, el horno, etc., es fundamental. Un hecho importante es que el
flujo laminar de la campana no debe ser muy fuerte, ya que tiende a deformar la película
depositada, y tampoco demasiado débil, porque se permite la entrada de partículas de polvo.
Utilizamos un punto intermedio según la graduación del equipo empleado. Las películas
de fotorresina depositadas deben estar dentro de la campana de flujo laminar y en posición
horizontal antes de proceder al horneado.
QI
III.3. Generacion del perfil superficial
sobre las placas con fotorresina, esta sección ha sido dividida en cuatro partes. La primera
hace un extracto de los requerimientos teóricos necesarios que debe cumplir el perfil
superficial del difusor, lo cual nos permite visualizar su conformación. En la segunda parte
se discute el método de fabricación empleado para la generación del perfil superficial, el
cual consiste en un proceso de fotoexposición. En la tercera parte se describe el arreglo
experimental empleado y finalmente, en la cuarta sección, se discuten algunas limitaciones
técnicas presentes durante la manufactura de los perfiles superficiales requeridos.
El objetivo en esta etapa es generar el perfil superficial del difusor sobre la superficie de
la fotorresina definido por la ecuación (59). La función y su correspondiente derivada
d(:z:) se muestran en la Fig. 7.
III.3.1. Conformación ideal del perfil superficial
Antes de analizar la forma de generar físicamente el perfil superficial sobre la superficie
de la fotorresina, es conveniente puntualizar algunos detalles referentes a la definición del
perfil superficial
De la definición de la función dada por la ecuación (60), podemos notar que de
acuerdo al valor que le asignemos al parámetro im, puede tomar la forma de un perfil
triangular o de un perfil trapezoidal, con varios anchos posibles. Esto se esquematiza en la
Fig. 13, donde apreciamos además el comportamiento de sus respectivas derivadas.
Por otro lado, a partir de la ecuación (59), notamos que Q es una sucesión de perfiles
trapezoidales definidos por S con profundidades aleatorias dadas por el parámetro C', y
que se encuentran separados uniformemente a razón del parámetro 21).
Elegimos m = 1 con el afán de visualizar como podría ser un fragmento del
perfil superficial definido a partir de Q Consideremos que contamos con tres perfiles
trapezoidales S1 S2(1') y S3(fc) con profundidades dadas por C1, G2 y G3. Los trapecios
39
5(x 1) (UX 1)
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Figura 13.- Comportainiento de las funciones S y para diferentes valores de m.
(59), los trapecios tienen un conimiento a lo largo de la dirección ci: a razón de 2b. Esto es,
cada 2b se encuentra posicionado un trapecio de diferente profundidad. En la parte II de
la figura, los trapecios seleccionados se muestran colocados cada 2b. En la parte III de la
figura, tomamos sólo dos de éstos trapecios para observar su contribución al perfil superficial.
Los valores correspondientes con los que los respectivos perfiles trapezoidales contribuyen
a la conformación del perfil superficial Q quedan representados por S1 y S2(:r). En
este caso, los valores que toma la función Q corresponden a la suma de S1(:t:) con S2(;v).
Esta suma, dada la configuración de nuestro sistema, se-da a partir del nivel cero que se
especifica en III y que correspondería, en nuestro caso, a la superficie de la fotorresina.
En la parte I V se ilustra la forma que adquiere Q correspondiente a la suma de S1
perfil §`2(:z:) = S1 -l- S2(w) + S3(:c), como resultado de la suma de con rn, = 1 para
tres valores de G), así como el comportamiento que tienen sus respectivas pendientes.
S¡(X¡) S2(.\'1) S3(.\'¡)
`¬
2
2h 211
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1ÍI1)= C¡(-\'¡)+S.r(-\'¡)
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(.\'¡)
ii l'-'I
Figura 14.- Ilustración de un perfil superficial generado a partir de la ecuación (55).
De esta secuencia de figuras podemos ver que para construir un perfil superficial C (93),
uno de los principales problemas desde un punto de vista práctico consiste en generar la
función
III.3.2. Método de fabricación
Para generar físicamente el perfil superficial sobre las placas con fotorresina, partimos
41
comportamiento más o menos lineal en el azul [MacAndrew, 1978]. Suponiendo este tipo de
respuesta ideal de la fotorresina proponemos una técnica para generar la función S con
la que en principio podemos fabricar el perfil superficial deseado.
I Haz rrclznigulur :Ir /uz raul
L
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IDEALMENTE. ESTA INTI;'RAC(.'ION.
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DE EXPOSICION
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Subslnilu de rizlrìu LA Pl;-l CA CON FOTORRESINA SE l)1;`SPI/IZA EN LA DIRECCION 'X ' E5711 EXPOSICION PRODUCEUN SEGUNDO SURCO
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IV
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UNA BUENA COMBIN/ICION DE ' 1 N = uiímøru de .r|il›vx¡›1›.r¡cí¡rrir.r
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Pt/Elm' GENERAR EL PERFIL FUNCION S lx)
SUPl;'RI~'lCl1-lL DESEADO
Figura 15.- Ilustración de la generación de la función S
Para ilustrar la generación de la función S' elegimos m = 1. La foirna en que se
genera idealmente la función S sobre la placas con fotorresina se muestra en la Fig. 15.
En el paso I esquematizamos la acción de un haz rectangular de luz azul sobre la placa de
fotorresina. Idealmente, esta interacción forma un pequeño surco de forma rectangular en la
fotorresina de ancho L y con profundidad h, proporcional al tiempo de exposición. Debido
al método de fabricación, a este tiempo lo hemos denominado tiempo de subexposición y lo
denotamos por la variable ts. En la parte II de la figura se muestra la placa con fotorresina
