Integral de Fourier - Prof. E Saez.pdf

(1)

NOCIONES B ´ASICAS

E. S ´AEZ

Sea f : (_−∞,_∞)_→R una funci´on absolutamente integrable, seccionalmente con-tinua en cada intervalode la forma [−p, p], p >0 y con derivadas laterales en cada punto. Entonces se sabe que la funci´on f se puede escribir puntualmente como una Integral de Fourier:

(1) f(x) = _π1R₀∞R_−∞∞ f(ξ) cosλ(ξ−x)dξdλ , x∈R

Observación 1. Recordemos que la Integral de Fourier converge en los puntos de discontinuidad de f al valor medio del salto, por esta razón la igualdad anterior puede ser falsa pero esto ocurre a lo más en finitos puntos ya quef es seccionalmente continua.

La integral de Fourier tiene el integrando en la variable λ como una funci´on Par. Por las propiedades de las funciones Pares se puede escribir equivalentemente

(2) f(x) = 1

2π Z _∞

−∞

Z _∞

−∞

f(ξ) cosλ(ξ₋x)dξdλ , x_∈R

Por las propiedades de las funciones Impares es inmediato para la integral en la

variable λ _Z

∞

−∞

Z _∞

−∞

f(ξ) senλ(ξ₋x)dξdλ= 0

En consecuencia multiplicando por −i 2π

(3) −₂_πiR_−∞∞ R_−∞∞ f(ξ) senλ(ξ₋x)dξdλ= 0

donde i es la unidad imaginaria del sistema de n´umeros complejos

Sumando cero a la f´ormula (2), reemplazando el cero por la f´ormula (3) y reagru-pando las integrales se obtiene:

f(x) = ₂1_πR_−∞∞ R_−∞∞ [cosλ(ξ−x)−isenλ(ξ−x)]f(ξ)dξdλ

Departamento de Matem´atica, UTFSM e–mail: [email protected].

(2)

Por la identidad de Euler eiθ _≡ _cos_θ₊_i_sen_θ _con _θ _∈_R _{se puede escribir la llamada} versi´on compleja de la Integral de Fourier:

(4) f(x) = 1

2π

R_∞

−∞

R_∞

−∞f(ξ)e−

iλ(ξ−x)_{dξdλ , x}_∈_R

Importante: La Integral de Fourier se puede escribir equivalentemente

(5) f(x) = 1

2π Z _∞

−∞

e−iλx

Z _∞

−∞

f(ξ)e−iλξdξ

| {z }

funci´on deλ

dλ , x_∈R

La existencia de las integrales impropias en (5) permite definir la funci´on en la variable λ llamada Transformada de Fourier

(6) _F[f](λ) :=R_−∞∞ f(ξ)e−iλξ_dξ _{= ˆ}_f(λ)

Nótese que introduciendo la función ˆf en (5) serecupera la funciónf pues se tiene:

f(x) = 1 2π

Z _∞

−∞

ˆ

f(λ)eiλxdλ

Entonces se define la llamada Transformaci´on Inversa de Fourier por:

(7) _F−1_{[ ˆ}_{f](x) :=} 1 2π

R∞

−∞f(λ)eˆ iλx_dλ

Comentario 1. Algunos autores para aumentar la simetria de las f´ormulas en las definiciones de la Transformada de Fourier y su inversa reparten el coeficiente de (4), ₂1_π = √1

2π 1

√

2π en ambas integrales y definen:

F[f](λ) := √1

2π

R∞

−∞f(ξ)e−iλξdξ

F−1_{[ ˆ}_f_{](x) :=} _√1 2π

R∞

−∞f(λ)eˆ iλxdλ

Expresiones conocidas con el nombre de Formas Sim´etricas de la Transformada de Fourier y su Inversa.

Ejemplo 1. Por c´alculo directo obtener:

F[e−a|x|](λ) = ? , a >0

Soluci´on: Es claro que la funci´on f(x) = e−a|x|_{, a >} _{0 es absolutamente}

(3)

x f(x)

Figura 1

Usando directamente la definici´on (6) se tiene:

F[e−a|x|](λ) = R_−∞∞ e−a|x|_e−iλx_dx₌R0 −∞e−

a|x|_e−iλx_dx₊R∞ 0 e−

a|x|_e−iλx_dx

= R_−∞0 ex(a−iλ)_dx₊R∞ 0 e−

x(a+iλ)_dx₌ ex(a−iλ)

a−iλ

0

−∞−

e−x(a+iλ)

a−iλ

∞

0

Pero ex(a−iλ) _≡_eax_(cos_λx₋_i_sen_{λx), entonces en el sentido de l´ımite} _||_ex(a−iλ)_||₌

eax_→₀ _si _x_{→ −∞} _pues _{a >}₀

An´alogamente ||ex(a+iλ)_||₌_e−ax _→₀ _si _x _{→ ∞}_.

Luego, _F[e−a|x|](λ) = 1 a−iλ −

1 a+iλ =

2a

a2₊_λ2 , a >0.

Propiedades de la Transformada de Fourier

Suponiendo la convergencia de las integrales impropias involucradas, las propiedades b´asicas de la Transformada de Fourier son an´alogas a las correspondientes propiedades de la Transformada de Laplace.

Propiedad 1 (Linealidad).

F[αf +βg] = α_F[f] +β_F[g] , α, β _∈C

Demostraci´on: Consecuencia inmediata de la propiedad de linealidad de la integral.

Propiedad 2 ( Primer Teorema de Traslaci´on).

F[f(x)eiλ0x_{](λ) =} _F_[f](λ₋_λ

0) , λ∈R

Demostraci´on:

F[f(x)eiλ0x_{](λ) =}R∞

−∞f(x)eiλ0xe−iλxdx=

Z ∞

−∞

f(x)e−i(λ−λ0)x_dx

| {z }

(4)

Ejemplo 2. Si _F[f] = ˆf , entonces por la identidad de Euler

F[f(x) cosax](λ) = 1₂_F[f(x)eiax_{](λ) +}_F_[f_(x)e−iax_](λ)

= 1 2

F[f](λ₋a) +_F[f](λ+a)

An´alogamente, se deja como ejercicio al lector demostrar la f´ormula:

F[f(x) senax] = ₋i 2

F[f](λ₋a)_{− F}[f](λ+a)

Propiedad 3 ( Segundo Teorema de Traslaci´on).

F[f(x₋x0)](λ) = e−iλx0F[f](λ) , x0 ∈R

Demostraci´on:

F[f(x₋x0)](λ) =

Z ∞

−∞

f(x₋x0)e−iλxdx

Sea el cambio de variables x₋x0 =ξ, entonces

F[f(x₋x0)](λ) =

R∞

−∞f(ξ)e−

iλ(ξ+x0)_dξ ₌_e−iλx0

Z ∞

−∞

f(ξ)e−iλξ_dξ

| {z }

F[f](λ)

Propiedad 4 ( Cambio de Escala).

F[f(αx)](λ) = 1

|α_|F[f]( λ

α) , α ∈ R − {0}

Demostraci´on:

F[f(αx)](λ) = Z ∞

−∞

f(αx)e−iλxdx

Sea el cambio de variables αx=ξ, entonces:

Si α >0 , _F[f(αx)](λ) = 1 α

R∞

−∞f(ξ)e−

iλξ

α dξ= 1

αF[f]( λ α)

Si α <0 , _F[f(α)](λ) = 1 α

R_−∞

∞ f(ξ)e−

iλξ

α dξ =−1

α

R_∞

−∞f(ξ)e−

iλξ α dξ =₋1

αF[f]( λ α)

Luego , F[f(αx)](λ) = _|_α1_|F[f](λ_α)

Propiedad 5 ( Transformada de la Transformada ).

F[ ˆf](λ) = 2πf(₋λ)

Demostraci´on:

F[f] = ˆf _⇒f =_F−1[ ˆf] , es decir , f(x) = ₂1_π R_−∞∞ f(ξ)eˆ iξx_dξ _⇒_2πf_{(x) =}R∞

−∞fˆ(ξ)eiξxdξ , cambiando x→ −λ

2πf(−λ) = Z ∞

−∞

ˆ

(5)

Comentario 2. Nótese que la fórmula anterior permite calcular una transforma-da inversa, calculando la transformatransforma-da de la transformatransforma-da pues para recuperar una función f basta cambiar λ → −x y luego dividir por 2π

Ejemplo 3. En el ejemplo (1) se tiene, F[e−a|x|](λ) = 2a

a2₊_λ2 , a >0.

Cambiando λ → x en el segundo miembro de la igualdad anterior y aplicando la propiedad 5 , se tiene:

F[ 2a

a2₊_x2](λ) = 2πe−

a|−λ| _, _{de donde}_, _F−1_[ 2a

a2₊_λ2](x) =e−

a|x| _{, a >}₀

N´otese que tambien _F[ 2a

a2₊_x2](λ) = 2πe

−a|−λ| _{⇒ F}_[ 1

a2₊_x2](λ) =

π ae

−a|λ| _{, a >}₀

Definici´on 1. Una funci´on f : (_−∞,_∞) _→ (_−∞,_∞) , C∞_{-diferenciable tiende}

R´apidamente a Cerosi y s´olo si tiene la propiedad l´ım

|x|→∞x

m_f(n)_{(x) = 0} _, _∀_{n, m}_{∈ N0}

Comentario 3. La idea de la condici´on anterior significa geom´etricamente que para

|x| muy grande ( a izquierda o derecha) la gráfica de la función f y las gráficas de todas sus derivadas son curvas que tienden asintóticamente más rápido al eje x que el crecimiento de cualquier potencia xm _{(ver Fig. 2).}

x

•

0

Figura 2

Teorema 1. Sea f una funci´on que tiende R´apidamente a Cero, entonces: Z ∞

−∞|

f(x)_|dx <_∞ , ( converge )

Demostraci´on: Si f tiende R´apidamente a Cero, en particular l´ım_|x|→∞x2f(x) =

0. Entonces existe una costante K _∈ R+ _{, suficientemente grande tal que} _∀|_x_| _>

K , x2_|_f(x)_{| ≤} _{1 , es decir,} _∀|_x_| _{> K ,}_|_f_(x)_{| ≤} 1

x2. Esta desigualdad permite la

mayoraci´on: _Z

∞

−∞|

f(x)|dx≤

Z

|x|≤K|

f(x)|dx+ Z

|x|>K|

f(x)|dx

Pero R_|_x_|≤_K_|f(x)_|dx =M <_∞ , donde la constante M existe pues f es continua en el intervalo [−K, K] . Adem´as la integral del segundo sumando tambien existe pues

R

|x|>K|f(x)|dx≤

R

|x|>K dx x2 = 2

R∞ K

dx

x2 =−2_x1

∞

(6)

Observaci´on 2. Si f tiende R´apidamente a Cero , todas sus derivadas f(n) _tienden

R´apidamente a Cero y por el Teorema anterior

∀n ∈N , Z ∞

−∞|

f(n)(x)|dx <∞

Teorema 2. Sea f una funci´on que tiende R´apidamente a Cero, entonces

F[f0](λ) =iλF[f](λ)

Demostraci´on:

F[f0](λ) = Z ∞

−∞

f0(x)e−iλxdx=f(x)e−iλx∞

−∞+iλ

Z ∞

−∞

f(x)e−iλxdx

| {z }

F[f](λ)

Pero |f(x)e−iλx_|₌_|_f(x)_{| →}_{0 si} _|_x_{| →}_{0 pues} _f _{tiende R´apidamente a Cero.}

Comentario 4. Nótese que la derivada de una función, bajo la Transformada de Fourier, es convertida en una simple multiplicación por iλ.

Teorema 3. Sea f una funci´on que tiende R´apidamente a Cero, entonces:

∀n_∈N, _F[f(n)_{](λ) = (iλ)}n_F_[f_](λ)

Demostraci´on: (Ejercio de Inducci´on)

Para n= 1 es el Teorema anterior. Supongamos que el Teorema es verdadero para n =k.

Entonces, F[f(k+1)_{](λ) =}_F_[(f(k)₎0_{](λ) = (iλ)}_F_[f(k)_{](λ) = (iλ)}k+1_F_[f_](λ)

Comentario 5. Una de las aplicaciones importantes de la Transformada de Fourier es a la resoluci´on de Ecuaciones Diferenciales Parciales definidas en dominios no acotados. Sea el siguiente ejemplo para ilustrar este tipo de aplicaciones.

Busquemos una funci´on T = T(x, t) , C2_{-diferenciable, definida en el dominio}

Ω = (−∞,∞)×(0,∞) (dominio no acotado en la variablex) que satisfaga la Ecuaci´on de Calor Unidimensional y la condici´on inicial:

∂T ∂t =

∂2_T

∂x2

T(x,0) = e−x2 − ∞< x <∞, t >0

Indicaci´on: _F[e−ax2

](λ) = pπ ae−

λ2

(7)

Observación 3. El ejemplo planteado es una modelación de la distribución de Tem-peratura, T = T(variables espacial, tiempo) de una barra suficientemente aislada, de longitud infinita tal que cada punto en el instante inicialt= 0, tiene la temperatura que indica la condición inicial.

Aplicando al problema, la Transformada de Fourier y usando el Teorema 2, se tiene:

Fh∂T

∂t i

(λ) =−λ2F[T](λ). Pero

Fh∂T ∂t

i

(λ) = R_−∞∞ _∂t∂(T(x, t))e−iλx_dx ₌ ∂ ∂t

R∞

−∞T(x, t)e−iλxdx

= _∂t∂ F[T(x, t)](λ) Entonces, la Transformada de Fourier de la solución del problema como sólo función del tiempo t es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria

d

dt F[T](λ)

=₋λ2_F[T](λ)

Pero y(t) =c(λ)e−λ2_t

, donde c=c(λ) es constante arbitraria respecto del tiempo, es la soluci´on general de la E.D.O.

Como la Transformada de Fourier de la soluci´on del problema es soluci´on de la E.D.O, entonces:

FhT(x, t)i(λ) = c(λ)e−λ2t , para alguna constante respecto del tiempo , c(λ) = ?

Para determinar la constante c, consideremos la condici´on inicial del problema, en-tonces tomando t = 0 se tiene:

F[e−x2](λ) =c(λ)

Es decir, la constante adecuadac(λ) =? es la Transformada de Fourier de la condici´on inicial. Usando la Indicaci´on para a= 1 se tiene c(λ) =√πe−λ42. Luego

FhT(x, t)i(λ) =√πe−λ42e−λ2t =√πe−

λ2 (1+4t) 4

Para recuperarT(x, t) = ?, usando la propiedad 5 (Transformada de la Transformada) se tiene

2πT(₋λ, t) =_Fh√πe−x2(1+44 t)

i

(λ) = √ 2π

1 + 4te

−1+4λ2t

En la expresi´on anterior, dividiendo por 2π y cambiando λ _{→ −}x se obtiene la soluci´on del problema planteado:

T(x, t) = √ 1

1 + 4te

− x2

1+4t . N´otese que l´ım

|x|→∞T(x, t) = 0

Producto de Convoluci´on

(8)

un producto de funciones, que es una integral, no es igualal producto de las Trans-formadas de Fourier de las funciones. Sin embargo, seria deseable una propiedad en este sentido y la soluci´on es simplemente cambiar el producto ordinario de funciones definiendo un nuevo producto.

Definición 2. Sean dos funciones f, g : (_−∞,_∞)_→ R que tienden Rápidamente a Cero. El Producto de Convolución de f por g se define como:

f(x)_∗g(x)_≡(f_∗g)(x) := R_−∞∞ f(ξ)g(x₋ξ)dξ

Observación: El Producto de Convolución es bien definido en el sentido que la integral impropia de la definición es convergente. En efecto

|(f_∗g)(x)_{| ≤}M Z ∞

−∞|

f(ξ)_|dξ <_∞

donde existe la cota M =supx∈R{|g(x)|} , pues g es una funci´on que tiende

r´apida-mente a cero.

Teorema 4. Sean dos funciones f, g : (−∞,∞) → R que tienden R´apidamente a Cero. Entonces

F[f_∗g] = _F[f]_F[g]

Demostraci´on:

F[f_∗g](λ) = Z _∞

−∞

(f_∗g)(x)e−iλxdx= Z _∞

−∞

Z ∞

−∞

f(ξ)g(x₋ξ)dξe−iλxdx

Cambiando el orden de integraci´on se puede escribir

F[f ∗g](λ) = Z ∞

−∞

f(ξ) Z ∞

−∞

g(x−ξ)e−iλxdxdξ

Sea el cambio de variables t =x−ξ, entonces

F[f∗g](λ) = Z ∞

−∞

f(ξ) Z ∞

−∞

g(t)e−iλ(t+ξ)dtdξ = Z ∞

−∞

f(ξ)e−iλξdξ

| {z }

F[f](λ)

Z ∞

−∞

g(t)e−iλtdt

| {z }

F[g](λ)

Comentario 6. La f´ormula del Teorema anterior se puede escribir en t´erminos de la Transformada Inversa.

(9)

Por el Teorema 4 , _F−1_{[ ˆ}_f_{g] =}_ˆ _f_∗_g _{, y es inmediato que}

F−1_{[ ˆ}_f_ˆ_{g] =}_F−1_{[ ˆ}_f]_{∗ F}−1_[ˆ_g]

Teorema 5. Sean dos funciones f, g : (_−∞,_∞) _→ R que tienden R´apidamente a Cero. Entonces

F[f g] = 1

2πF[f]∗ F[g] , o bien, F−1[ ˆf ∗g] = 2πˆ F−1[ ˆf]F−1[ˆg]

Demostraci´on:

F−1_{[ ˆ}_f_∗_{g](x) =}_ˆ 1

2π Z ∞

−∞

( ˆf ∗ˆg)(λ)eiλxdλ = 1 2π

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

ˆ

f(ξ)ˆg(λ−ξ)dξeiλxdλ

Cambiando el orden de integraci´on se puede escribir

F−1[ ˆf _∗ˆg](x) = 1 2π

Z _∞

−∞

ˆ f(ξ)

Z _∞

−∞

ˆ

g(λ₋ξ)eiλxdλdξ

Sea el cambio de variables t =λ−ξ, entonces

F−1_{[ ˆ}_f_∗_{g](x) =}_ˆ 1 2π

R_∞

−∞f(ξ)ˆ

R_∞

−∞g(t)eˆ

i(t+ξ)x_dtdξ

= ₂1_π R_−∞∞ f(ξ)eˆ iξx_dξR∞

−∞g(t)eˆ itxdt

= 2πh 1 2π

Z ∞

−∞

ˆ

f(ξ)eiξxdξ

| {z }

F−1_{[ ˆ}_f_](_x₎

ih ₁ 2π

Z ∞

−∞

ˆ

g(t)eitxdt

| {z }

F−1_[ˆ_g_](_x₎

i

= 2πf(x)g(x)

O bien, F−1_{[ ˆ}_f _∗_ˆ_{g] = 2π}_F−1_{[ ˆ}_f_]_F−1_[ˆ_g]

Relaci´on entre las transformadas de Laplace y Fourier

Sea la funci´on f : (_−∞,_∞)_→Rtal que:

f(t) =

0 si t <0

e−at_{ϕ(t) si} _t _≥₀ , a≥0 donde ϕ: (0,∞)→Res una funci´on

absolutamente integrable, seccionalmente continua y con derivadas laterales en cada punto, equivalentemente la funci´on se puede escribir como f(t) =µ(t)ϕ(t)e−at

Por definici´on de la Integral de Fourier:

F[f](λ) = Z ∞

−∞

f(t)e−iλtdt= Z ∞

−∞

µ(t)ϕ(t)e−ate−iλtdt = Z ∞

0

(10)

Sea el exponente de la funci´on exponencial en la integral anterior a+iλ =s, entonces s ∈C. La integral tiene la forma de una transformada de Laplace y se puede escribir:

F[f](λ) =_L[ϕ](s) , donde s =a+iλ_∈C

Luego, la transformada de Fourier de f es una funci´on en la variable realλy se puede considerar como la transformada de Laplace de ϕ que es una funci´on en la variable compleja s.

Ejemplo 4. Seaf : (_−∞,_∞)_→Runa funci´on absolutamente integrable , seccional-mente continua y con derivadas laterales en cada punto, entonces

F[f](λ) =

L[f](iλ) +_L[f](₋iλ) si fes una funci´on Par

L[f](iλ)_{− L}[f](₋iλ) si fes una funci´on Impar

Demostración: La funciónfadmite integral de Fourier pues por hipótesisfsatisface las condiciones para existencia de la transformada de Fourier . Entonces:

F[f](λ) = Z _∞

−∞

f(t)e−iλtdt = Z 0

−∞

f(t)e−iλtdt+ Z _∞

0

f(t)e−iλtdt

Si f es una funci´on Par , es decir f(−t)≡ −f(t), entonces sea el cambio de coorde-nadas t =−η en la integral

Z o

−∞

f(t)e−iλtdt =−

Z o

∞

f(−η)eiληdη= Z ∞

0

f(η)eiληdη =L[f](−iλ)

Luego,

F[f](λ) = _L[f](₋iλ) +_L[f](iλ) An´alogamente si f es una funci´on Impar, ejercicio para el lector.

Ejercicios Propuestos

1) Demostrar que : _F[_|x_|](λ) =₋ 2 λ2

2) Calcular la integral; R₀∞e−ax_cos(bx)dx_{= ?} _{, a >}₀

3) Demostrar: _F[f(x) sen(ax)](λ) = ₋i 2

F[f](λ₋a)_{− F}[f](λ+a) 4) Calcular la Transformada de Fourier de la funci´on definida por:

f(x) =

x si _|x_|<1

0 si _|x_{| ≥}1 , y demostrar , Z _∞

−∞

(xcosx₋senx)2

x4 dx=

π 3 5.- Calcular la Transformada de Fourier de la funci´on definida por:

f(t) =

cos(at) si _|t_{| ≤}c

0 si _|t_|> c , ces una constante positiva 6.- Demostrar que la soluci´on de la Ecuaci´on Integral

Z ∞

−∞

e−a(x−ξ)µ(x−ξ)ϕ(ξ)dξ=|x|