Convergencia puntual de las series de Fourier

Convergencia puntual de las series de Fourier

Dada una funci´on f de clase L¹_2π-perpRq, denotamos por pf a las sucesi´on de sus coefi- cientes de Fourier:

fp_k“ 1 2π

ż2π 0

f pxq e^{´k i x} dx.

Para cada n en N0, denotamos por S_nf a la n-´esima suma parcial de Fourier:

pSnf qpxq “

n

ÿ

k“´n

fp_ke^{´k i x} dx.

Ya hemos demostrado que

S_nf “ Dn˚ f,

donde ˚ es la convoluci´on c´ıclica y D_n es n´ucleo de Dirichlet:

Dnpxq “

n

ÿ

k“´n

e^{k i x} “ 1 ` 2

n

ÿ

k“1

cospkxq “ sen^p2k`1qx₂ sen^x₂ . Usando la primera f´ormula para D_n es f´acil ver que

1 2π

ż2π 0

D_npxq dx “ 1. (1)

Adem´as, hemos verificado que ˇ ˇ ˇ ˇ

1 sen x ´ 1

x ˇ ˇ ˇ ˇď π²

24

´

´π

2 ď x ď π 2

¯

. (2)

Lema 1. Sea rα, βs un subintervalo de r0, πs y sea g P L¹prα, βsq. Entonces

nÑ8lim żβ

α

gpyq sen ˆˆ

n ` 1 2

˙ y

˙

dy “ 0.

Demostraci´on. Denotemos por J_n a la integral que estamos considerando. Extendemos g con cero a r0, πs, luego extendemos g de manera impar a r´π, πs, luego de manera 2π- peri´odica a R. Entonces la funci´on por debajo de la integral es par, y la integral Jn se puede escribir como

J_n “ 1 2 ¨ 1

2π żπ

´π

gpyqe<sup>ipn`1{2qy</sup>´ e´ ipn`1{2qy

2 i dy

“ 1 4 i

ˆ 1 2π

żπ

´π

gpyq e^{i y{2}e^{n i y} dy ` 1 2π

żπ

´π

gpyq e^{´ i y{2}e^{´n i y} dy

˙ .

Las ´ultimas dos integrales se pueden escribir como coeficientes de Fourier, con ´ındices

´n y n, de ciertas funciones integrales, luego por el lema de Riemann–Lebesgue estas integrales tienden a cero cuando n tiende a infinito.

Convergencia puntual de las series de Fourier, p´agina 1 de 3

Teorema 2 (criterio de convergencia de la serie de Fourier en un punto). Sean f P L¹_2π-perpRq, x P R, A P C. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) existe δ P p0, πq tal que

nÑ8lim żδ

0

pf px ` yq ` f px ´ yq ´ 2Aqsen``n ` ¹₂˘ y˘

y dy “ 0. (3)

(b) pSnf qpxq Ñ A cuando n Ñ 8.

Demostraci´on. 1. Utilizamos la definici´on de f ˚ Dn, partimos el dominio de integraci´on en r0, πs y r´π, 0s, en la parte r´π, 0s hacemos un cambio de variable y usamos el hecho que la funci´on D_n es par:

pSnf qpxq “ 1 2π

ż0

´π

f px ´ yqDnpyq dy ` 1 2π

żπ 0

f px ´ yqDnpyq dy

“ 1 2π

żπ 0

pf px ` yq ` f px ´ yqqDnpyq dy.

Por la paridad de D_n, la igualdad (1) se puede escribir en la forma 2

2π żπ

0

D_npyq dy “ 1.

Por eso la diferencia pSnf qpxq ´ A se escribe en la siguiente forma:

pSff qpxq ´ A “ 1 2π

żπ 0

pf px ` yq ` f px ´ yq ´ 2Aqsen``n `¹₂˘ y˘

sen^y₂ dy. (4) 2. La funci´on auxiliar

gpyq “

ˆ 1

senpy{2q´ 2 y

˙

pf px ` yq ` f px ´ yq ´ 2Aq dy es integrable en r0, πs, luego por el lema

nÑ8lim 1 2π

żπ 0

gpyq sen ˆˆ

n ` 1 2

˙ y

˙

dy “ 0.

Esto significa que pSnf qpxq tiende al n´umero A si y solamente si,

nÑ8lim żπ

0

pf px ` yq ` f px ´ yq ´ 2Aq sen``n ` ¹₂˘ y˘

y dy “ 0. (5)

3. Sea δ ą 0. Entonces la funci´on

hpyq “ f px ` yq ` f px ´ yq ´ 2A y

Convergencia puntual de las series de Fourier, p´agina 2 de 3

es integrable en rδ, πs, luego por el lema

nÑ8lim żπ

δ

hpyq sen``n ` ¹₂˘ y˘

y dy “ 0, y la condici´on (5) es equivalente a la condici´on (3).

Teorema 3 (Dini). Supongamos que f P L¹_2π-perpRq, x P R, A P C, y żδ

0

|f px ` yq ` f px ´ yq ´ 2A|

y dy ă `8. (6)

Entonces pSnf qpxq Ñ A cuando n Ñ 8.

Corolario 4. Supongamos que f P L¹_2π-perpRq, x P R, α P p0, 1s, y f satisface la condici´on sim´etrica de H¨older en el punto x, en la forma

|f px ` yq ` f px ´ yq ´ 2f pxq| ď C|y|^α. Entonces pSnf qpxq Ñ f pxq cuando n Ñ 8.

Corolario 5. Supongamos que f es 2π-peri´odica y continuamente derivable. Entonces en cada punto x de R, pSⁿf qpxq Ñ f pxq.

Convergencia puntual de las series de Fourier, p´agina 3 de 3