Diferenciación(segunda parte)(análisis de funciones)

(1)

Diferenciación

(segunda parte) (análisis de funciones)

Cátedra de Matemática I 2013

(2)

Valores extremos de una función

¿Dónde alcanza una función sus valores máximos y mínimos?

¿Cuál es el mayor valor de todos los máximos?

¿Y el más pequeño de los mínimos?

(3)

Valores extremos de una función

¿Dónde alcanza una función sus valores máximos y mínimos?

¿Cuál es el mayor valor de todos los máximos?

¿Y el más pequeño de los mínimos?

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Valores extremos ABSOLUTOS

Máximos y mínimos absolutos – Definición

(5)

Sea f una función con dominio D. Se dice que f tiene un valor máximo absoluto en D en un punto c si:

f(x) ≤ f(c) para todo x en D

(6)

f(x) ≤ f(c) para todo x en D y un valor mínimo absoluto en D en un punto c si f(x) ≥ f(c) para todo x en D

(7)

f(x) ≤ f(c) para todo x en D y un valor mínimo absoluto en D en un punto c si f(x) ≥ f(c) para todo x en D

máximo absoluto mínimo absoluto

“EXTREMOS”

absolutos (o globales)

(8)

Ejemplo:

sean las funciones cos(x) y sen(x) definidas en el intervalo cerrado [-π/2, π/2]

(9)

Ejemplo:

(10)

Ejemplo:

_cos(x)

máx. abs. (1 vez) mín. abs. (2 veces)

(11)

Ejemplo:

_cos(x) _sen(x)

máx. abs. (1 vez) mín. abs. (2 veces)

máx. abs. (1 vez) mín. abs. (1 vez)

(12)

(13)

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Valores extremos RELATIVOS (o “locales”)

(15)

Máximos y mínimos relativos (o locales) – Definición

(16)

Máximos y mínimos relativos (o locales) – Definición Una función f tiene un valor máximo relativo en un punto interior c de su dominio si

f(x) ≤ f(c) para todo x en algún intervalo abierto que contenga a c

(17)

Máximos y mínimos relativos (o locales) – Definición Una función f tiene un valor máximo relativo en un punto interior c de su dominio si

f(x) ≤ f(c) para todo x en algún intervalo abierto que contenga a c

Una función f tiene un valor mínimo relativo en un punto interior c de su dominio si

f(x) ≥ f(c) para todo x en algún intervalo abierto que contenga a c

(18)

Determinación de extremos y su categorización

Teorema: de la primera derivada para valores extremos locales

(19)

Si f tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior c de su dominio, y si f ' (la derivada de f) está definida en c,

entonces:

f '(c) = 0

(20)

entonces:

f '(c) = 0

Este teorema nos dice que la primera derivada de una función siempre es cero en un punto interior donde la función tiene un extremo local y la derivada está definida (cumplir ambas cosas!)

(21)

entonces:

f '(c) = 0

Este teorema nos dice que la primera derivada de una función siempre es cero en un punto interior donde la función tiene un extremo local y la derivada está definida (cumplir ambas cosas!) extremo local en c

(c punto interior)

(22)

entonces:

f '(c) = 0

(c punto interior) f '(c) está definfida

(23)

entonces:

f '(c) = 0

(c punto interior) f '(c) está definfida

f '(c) = 0

(24)

Por lo tanto, los únicos lugares donde una función f puede tener un extremo (absoluto o relativo) son:

(25)

1- puntos interiores donde f ' = 0

(26)

2- puntos interiores donde f ' no esté definida

(27)

3- puntos extremos del dominio de f (no existe la derivada)

(28)

Punto crítico: sea c un punto interior del dominio de f

(29)

f '(c) = 0 si

(30)

f '(c) = 0

f '(c) no está definida si ó

(31)

f '(c) = 0

f '(c) no está definida

si ó c es un

punto crítico

(32)

Entonces: ¿cómo encontrar los extremos absolutos de una

función continua f en un intervalo cerrado finito?

f '(c) = 0

f '(c) no está definida

si ó c es un

punto crítico

(33)

Método para encontrar los extremos absolutos de una función f continua en un intervalo cerrado finito

(34)

1- Evaluar f en todos los puntos críticos

(35)

1- Evaluar f en todos los puntos críticos 2- Evaluar f en los extremos del intervalo

(36)

1- Evaluar f en todos los puntos críticos 2- Evaluar f en los extremos del intervalo

3- Tomar el mayor y el menor de estos valores evaluados

(37)

Ejemplo:

Determinar los extremos absolutos de en [-2,1]^{f (x)=x}²

(38)

Ejemplo:

Determinar los extremos absolutos de en [-2,1]

La función es diferenciable en todo su dominio, de manera que el único punto crítico existe en donde:

o sea, en x = 0

f (x)=x²

f ' (x )=2x=0

(39)

Ejemplo:

o sea, en x = 0

Ahora debe evaluarse f en x = 0 y en los extremos del dominio, es decir, en x = -2 y en x = 1:

f (x)=x²

f ' (x )=2x=0

(40)

Ejemplo:

o sea, en x = 0

f(0) = 0 f(-2) = 4 f(1) = 1

f (x)=x²

f ' (x )=2x=0

(41)

Ejemplo:

o sea, en x = 0

f(0) = 0 f(-2) = 4 f(1) = 1

Por lo tanto, la función f tiene un valor máximo absoluto igual a 4 en x = -2 y un mínimo absoluto igual 0 en x = 0

f (x)=x²

f ' (x )=2x=0

(42)

Ejemplo:

o sea, en x = 0

f(0) = 0 f(-2) = 4 f(1) = 1

Por lo tanto, la función f tiene un valor máximo absoluto igual a 4 en x = -2 y un mínimo absoluto igual 0 en x = 0

f (x)=x²

f ' (x )=2x=0

(43)

Importante: si bien los valores extremos de la función pueden alcanzarse solamente en los puntos críticos y en los extremos del intervalo, no todo punto crítico o extremo de intervalo indica la presencia de un valor extremo. Por ejemplo, para puntos interiores puede tenerse:

(44)

Análisis de funciones (crecimiento/decrecimiento)

Función creciente/decreciente - definición

(45)

Sea f una función definida en un intervalo D, y sean x1 y x2 dos puntos cualesquiera en D

(46)

1- si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, entonces se dice que la función es creciente en D

(47)

2- si f(x2) < f(x1) siempre que x1 < x2, entonces se dice que la función es decreciente en D

(48)

2- si f(x2) < f(x1) siempre que x1 < x2, entonces se dice que la función es decreciente en D

A las funciones crecientes o decrecientes en D se las denomina monótonas en D

(49)

Corolario: Criterio de la primera derivada para funciones monótonas

(50)

Supongamos que f es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b)

(51)

Supongamos que f es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) Si f '(x) > 0 en cada x de (a,b), entonces f es creciente en [a,b]

(52)

Si f '(x) < 0 en cada x de (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

(53)

Si f '(x) < 0 en cada x de (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

(nota: prestar atención a los extremos de los intervalos, es decir, cuando tienen paréntesis y cuando tienen corchetes. Si la función está definida hasta un extremo inclusive, en ese extremo no es derivable)

(54)

(55)

(56)

Análisis de funciones (concavidades)

Concavidad de una función - Definición

(57)

La gráfica de una función diferenciable y = f(x) es

(58)

a) cóncava hacia arriba en un intervalo abierto D si f ' es creciente en D

(59)

a) cóncava hacia arriba en un intervalo abierto D si f ' es creciente en D

b) cóncava hacia abajo en un intervalo abierto D si f ' es decreciente en D

(60)

Prueba de la 2da. derivada para la concavidad

(61)

Sea y = f(x) dos veces diferenciable en un intervalo D

(62)

1- Si f '' > 0 en D, la gráfica de f en D es cóncava hacia arriba

(63)

2- Si f '' < 0 en D, la gráfica de f en D es cóncava hacia abajo

(64)

Punto de Inflexión – Definición

(65)

Un punto donde la gráfica de una función tiene una recta tangente y la concavidad cambia, es un punto de inflexión

(66)

Un punto donde la gráfica de una función tiene una recta tangente y la concavidad cambia, es un punto de inflexión

En dichos puntos, la 2da. derivada de la función se anula:

f '' = 0

(67)

Estrategias para graficar funciones

1- identificar el dominio de f y cualesquiera simetrías que pueda tener la curva

(68)

2- encontrar f ' y f ''

(69)

3- encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función en cada uno

(70)

4- encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece

(71)

5- encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad de la curva

(72)

6- identificar las asíntotas

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6- identificar las asíntotas

7- trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos encontrados en los pasos 3 a 5. Dibujar la curva

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