Funciones de dos o m´ as variables. Gr´ aficas. Curvas de nivel
Juan Ruiz ´Alvarez, Marcos Marv´a Ruiz1
1Departamento de F´ısica y Matem´aticas. Universidad de Alcal´a de Henares.
Matem´aticas (Grado en Biolog´ıa)
Contenidos
1 Introducci´on
2 Funciones de 2 variables
3 Propiedades
4 Gr´afica de una funci´on de dos variables
´Indice
1 Introducci´on
2 Funciones de 2 variables
3 Propiedades
4 Gr´afica de una funci´on de dos variables
Introducci´ on
Hemos estudiado funciones de una ´unica variable independiente:
y = f (x )
pero muchas relaciones o fen´omenos se explican a partir de de dos o m´as variables. El volumen de un cilindro circular recto,
V (r , h) = πr2h
o la relaci´on entre presi´on, volumen y temperatura en gases ideales P(V , T ) = nRT
V
es una funci´on de 2 variables. Si n es una variable m´as, resulta P(V , T , n) = nRT
V
La notaci´on para las funciones de 2 o m´as variables es similar a la utilizada para una variable,
z = f (x , y ) = x2+ xy w = f (x , y , z) = x + 2y − 3z
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1 Introducci´on
2 Funciones de 2 variables
3 Propiedades
4 Gr´afica de una funci´on de dos variables
Funciones de 2 variables
Definici´on
Sea D un conjunto de pares ordenados de n´umeros reales. Si a cada par ordenado (x , y ) en D le corresponde un ´unico n´umero real f (x , y ), se dice que f es funci´on de x e y . El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x , y ) es el recorrido de f .
Para la funci´on z = f (x , y ), llamamos variables independientes a x e y , y variable dependiente a z.
Definiciones an´alogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general, n variables. Los dominios estar´an constituidos por conjuntos de valores (x1, x2, · · · , xn). Siempre restringiremos nuestro an´alisis al conjunto R. Al igual que para funciones de una variable real, el dominio es el conjunto de puntos para los que la ecuaci´on que representa a la funci´on tiene sentido. Por ejemplo, el dominio de la funci´on dada por:
f (x , y ) = x2+ y2 es R. Sin embargo, el dominio de la funci´on,
f (x , y ) = ln(xy ) es x · y ∈ R+.
Ejemplos
Hayar el dominio de las funciones:
f (x , y ) =
px2+ y2− 9 x g (x , y , z) = x
p9 − x2− y2− z2
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1 Introducci´on
2 Funciones de 2 variables
3 Propiedades
4 Gr´afica de una funci´on de dos variables
Propiedades
Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de una variable:
Suma o diferencia:
(f ± g )(x , y ) = f (x , y ) ± g (x , y ) Producto:
(f · g )(x , y ) = f (x , y ) · g (x , y ) Cociente:
f
g(x , y ) = f (x , y )
g (x , y ), g (x , y ) 6= 0
Funciones de 2 variables
No se puede formar la composici´on de funciones de varias variables. Sin embargo, si g es una funci´on de una sola variable, puede formarse la funci´on compuesta,
(g ◦ h)(x , y ) = g (h(x , y ))
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1 Introducci´on
2 Funciones de 2 variables
3 Propiedades
4 Gr´afica de una funci´on de dos variables
Gr´ afica de una funci´ on de dos variables
Al igual que con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una funci´on de dos variables dibujando su gr´afica.
Definici´on de gr´afica
La gr´afica de una funci´on de 2 variables es el conjunto de puntos (x , y , z) ∈ R3 que satisfacen
z = f (x , y )
on (x , y ) en el dominio de f . Puede interpretarse geom´etricamente como una superficie en el espacio.
Ejemplo: Determinar el dominio y el recorrido de f (x , y ) =p
16 − 4x2− y2
Curvas de Nivel
Dada la funci´on z = f (x , y ), para cada valor z0 de la variable z, una curva de nivel o l´ınea de contorno es el conjunto de valores (x , y ) ∈ dominio de f tales que f (x , y ) = z0
Por su importancia uso, hay curvas de nivel con nsombre propio las isobaras que marcan puntos de presi´on constante, las isotermas, que marcan puntos de temperatura constante
Para representar una funci´on de 2 variables z = f (x , y )
1 Determinar el dominio
2 Representar el corte con los planos 0XZ , 0YZ , es decir, representar z = f (x , 0), z = f (0, y )
3 Representar las curvas de nivel
4 Relacionar los elementos anteriores Ejemplo: representar
f (x , y ) = x2+ 4y2
Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a l´ıneas de altura constante sobre el nivel del mar. Los mapas de este tipo se llaman mapas topogr´aficos. En estos mapas, la diferencia de altitud entre dos isoclinas conc´entricas es constante. Suelen representarse para variaciones de 10, 20, 50, 100 metros. Un mapa de contorno traduce la variaci´on de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separaci´on grande entre las curvas significa que z var´ıa lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy deprisa.
superficies de nivel
Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se a˜nade una dimensi´on. Si f es una funci´on de 3 variables y c una constante, la gr´afica de la ecuaci´on f (x , y , z) = c es una
superficie de nivel de la funci´on f .
Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la funci´on f (x , y , z) = 4x2+ y2+ z2
.
Claudia Neuhaser. Matem´aticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall.
Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.
