L´ımites de funciones mon´
otonas
(un tema del curso “An´
alisis real”)
Egor Maximenko
http://www.egormaximenko.com
Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas
M´exico
L´ımites de una funci´
on creciente en los extremos de un intervalo
0 a b inf(V ) sup(V ) Proposici´on 1. Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b,f : (a, b) → R una funci´on creciente, V := f [(a, b)]. Entonces lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = inf(V ), (1) lim x →b x ∈(a,b) f (x ) = sup(V ). (2)
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades,
puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞ sup(V )=3 inf(V )=1 (a, b) = (0, +∞) f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades, puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞ sup(V )=3 inf(V )=1 (a, b) = (0, +∞) f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades, puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞ sup(V )=3 inf(V )=1 (a, b) = (0, +∞) f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
En la proposici´on anterior f puede tener discontinuidades, puede ser constante en algunas partes del dominio.
Las cantidades a, b, inf(V ), sup(V ) pueden ser finitas o infinitas.
a=0 b=+∞ sup(V )=3 inf(V )=1 (a, b) = (0, +∞) f (x ) = 3bx c + 1 bx c + 1
L´ımites de una funci´
on decreciente en los extremos de un intervalo
0 a b inf(V ) sup(V )=+∞ Proposici´on 2. Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b,f : (a, b) → R una funci´on decreciente, V := f [(a, b)]. Entonces lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = sup(V ), (3) lim x →b x ∈(a,b) f (x ) = inf(V ). (4)
Demostraci´
on para un caso
u+ε t f (t) 0 a b u=inf(V )Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R. Demostremos que lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = u. Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε. Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
Demostraci´
on para un caso
u+ε t f (t) 0 a b u=inf(V )Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R. Demostremos que lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = u. Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V .
Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε. Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
Demostraci´
on para un caso
u+ε t f (t) 0 a b u=inf(V )Supongamos que f crece, a ∈ R, u := inf(V ) ∈ R. Demostremos que lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = u. Sea ε > 0.
Entonces inf(V ) + ε no es cota inferior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) < u + ε. Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
Demostraci´
on para un caso m´
as
E t f (t) 0 a b sup(V )=+∞Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞. Demostremos que lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = +∞. Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
Demostraci´
on para un caso m´
as
E t f (t) 0 a b sup(V )=+∞Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞. Demostremos que lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = +∞. Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
Demostraci´
on para un caso m´
as
E t f (t) 0 a b sup(V )=+∞Supongamos que f decrece, a ∈ R, sup(V ) = +∞. Demostremos que lim x →a x ∈(a,b) f (x ) = +∞. Sea E > 0.
Entonces E no es cota superior de V . Encontramos t ∈ (a, b) tal que f (t) > E . Pongamos δ := t − a. Para cada x en (a, a + δ),
Ejercicios: discontinuidades de una funci´
on creciente
Ejercicio 1. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A).
Explicar por qu´e existen los l´ımites lim t→x t>x f (t), lim t→x t<x f (t).
Estos l´ımites se denotan por f (x+) y f (x−), respectivamente.
Ejercicio 2. En la situaci´on del ejercicio anterior, demostrar que f (x−) ≤ f (x ) ≤ f (x+).
Ejercicios: discontinuidades de una funci´
on creciente
Ejercicio 1. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A).
Explicar por qu´e existen los l´ımites lim t→x t>x f (t), lim t→x t<x f (t).
Estos l´ımites se denotan por f (x+) y f (x−), respectivamente.
Ejercicio 2. En la situaci´on del ejercicio anterior, demostrar que f (x−) ≤ f (x ) ≤ f (x+).
Ejercicios: discontinuidades de una funci´
on creciente
Ejercicio 3. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x, y ∈ A, x < y .
Demostrar que
f (x+) ≤ f (y−). Sugerencia: puede servir un punto intermedio entre x , y .
Ejercicio 4. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, sean a < x1 < . . . < xn< b.
Demuestre que
n
X
j=1
Ejercicios: discontinuidades de una funci´
on creciente
Ejercicio 3. Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x, y ∈ A, x < y .
Demostrar que
f (x+) ≤ f (y−). Sugerencia: puede servir un punto intermedio entre x , y .
Ejercicio 4. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, sean a < x1 < . . . < xn< b.
Demuestre que
n
X
j=1
Ejercicios: discontinuidades de una funci´
on creciente
Ejercicio 5. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, y sea h > 0.
Consideremos el conjunto de los saltos de f de altura ≥ h:
Sh:= {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) ≥ h}.
Demuestre que Sh es finito.
Ejercicio 6. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente.
Consideremos el conjunto de los saltos de f :
S := {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) > 0}. Demuestre que S es finito o numerable.
Ejercicios: discontinuidades de una funci´
on creciente
Ejercicio 5. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente, y sea h > 0.
Consideremos el conjunto de los saltos de f de altura ≥ h:
Sh:= {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) ≥ h}.
Demuestre que Sh es finito.
Ejercicio 6. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente.
Consideremos el conjunto de los saltos de f :
S := {x ∈ (a, b) : f (x+) − f (x−) > 0}. Demuestre que S es finito o numerable.
