Espacios de Hilbert

(1)

Espacios de Hilbert

Problemas para examen

En todos los ejercicios de esta lista, si no está escrita otra suposición, suponemos que H es un espacio vectorial complejo con producto interno h·, ·i. En la definición del producto interno pedimos la propiedad lineal respecto al primer argumento y la propiedad lineal conjugada respecto al segundo argumento. Un espacio de Hilbert definimos como un espacio complejo con producto interno, completo respecto a la norma inducida (no pedimos que sea de dimensión infinita ni que sea separable). Hablando de subespacios de espacios de Hilbert, usamos esta palabra en el sentido puramente algebraico (el subespacio no necesariamento es cerrado).

Propiedades elementales de formas sesquilineales

En esta sublista de ejercicios, suponemos que H es un espacio vectorial complejo y f es una forma sesquilineal en H, esto es, f : H × H → C, la funci´on f es lineal respecto al primer argumento y lineal conjugada respecto al segundo argumento.

1 Ejercicio. Usando la inducci´on matem´atica muestre que para cada m en N, cualesquiera a₁, . . . , a_m en H, cualesquiera λ₁, . . . , λ_m en C y cualquier b en H,

f

m

X

j=1

λ_ja_j, b

!

=

m

X

j=1

λ_jf (a_j, b).

2 Ejercicio. Demuestre que para cada n en N, cualquier a en H, cualesquiera b1, . . . , b_n en N y cualesquiera µ1, . . . , µ_n en H,

f a,

n

X

k=1

µ_kb_k

!

=

n

X

k=1

µ_kf (a, b_k).

3 Ejercicio. Demuestre que para cada m, n en N, cualesquiera a1, . . . , a_m, b₁, . . . , b_n en H y cualesquiera λ₁, . . . , λ_m, µ₁, . . . , µ_n en C,

f

m

X

j=1

λ_ja_j,

n

X

k=1

µ_kb_k

!

=

m

X

j=1 n

X

k=1

λ_jµ_kf (a_j, b_k).

(2)

4 Ejercicio. Sea A ⊆ H. Muestre que el conjunto {b ∈ H : ∀a ∈ A f (a, b) = 0} es un subespacio de H.

5 Ejercicio. Sean m ∈ N, a1, . . . , a_m ∈ H, S = `(a₁, . . . , a_m). Muestre que

{b ∈ H : ∀s ∈ S f (s, b) = 0} = {b ∈ H : ∀k ∈ {1, . . . , m} f (a_k, b) = 0}.

6 Ejercicio (la identidad de paralelogramo para formas sesquilineales). Sea f : H × H → C una forma sesquilineal. Denotemos por q a la forma cuadr´atica asociada a f :

q : H → C, q(x) := f (x, x) (x ∈ H).

Muestre que

q(a + b) + q(a − b) = 2(q(a) + q(b)).

7 Ejercicio (la propiedad homogénea absoluta de orden 2 para formas cuadráticas). Sea f : H × H → C una forma sesquilineal. Denotemos por q a la forma cuadrática asociada a f . Muestre que para cada a en H y cada λ en C

q(λa) = |λ|²q(a).

8 Ejercicio (la identidad de polarizaci´on para formas sesquilineales). Sea f : H × H → C una forma sesquilineal. Denotemos por q a la forma cuadr´atica asociada a f . Sean a, b ∈ H.

Demuestre que

f (a, b) = 1 4

3

X

k=0

i^kq(a + i^kb).

Sugerencia. Primero verificar que

3

X

k=0

i^k = 0,

3

X

k=0

(−1)^k= 0.

Propiedades elementales del producto interno

9 Ejercicio. Escriba la definici´on del producto interno y la definici´on del preproducto interno.

10 Ejercicio. Muestre que si h·, ·i : H² → C es una funci´on lineal respecto al primer argumento y herm´ıtica (es decir, hb, ai = ha, bi para todo a, b en H), entonces esta funci´on es lineal conjugada respecto al segundo argumento.

(3)

11 Ejercicio. Usando la inducci´on matem´atica muestre que para cada m en N, cualesquiera a₁, . . . , a_m en H, cualesquiera λ₁, . . . , λ_m en C y cualquier b en H,

* _m X

j=1

λ_ja_j, b +

=

m

X

j=1

λ_jha_j, bi.

12 Ejercicio. Demuestre que para cada n en N, cualquier a en H, cualesquiera b1, . . . , b_n en N y cualesquiera µ1, . . . , µ_n en H,

* a,

n

X

k=1

µ_kb_k +

=

n

X

k=1

µ_kha, b_ki.

13 Ejercicio. Demuestre que para cada m, n en N, cualesquiera a1, . . . , a_m, b₁, . . . , b_n en H y cualesquiera λ₁, . . . , λ_m, µ₁, . . . , µ_n en C,

* _m X

j=1

λ_ja_j,

n

X

k=1

µ_kb_k +

=

m

X

j=1 n

X

k=1

λ_jµ_kha_j, b_ki.

14 Definici´on. Sean a, b ∈ H. Decimos que a y b son ortogonales y escribimos a ⊥ b si ha, bi = 0.

15 Ejercicio. Sea A ⊆ H. Escriba la definici´on del conjunto A^⊥. 16 Ejercicio. Sea A ⊆ H. Muestre que A^⊥ es un subespacio de H.

17 Ejercicio. Muestre que H^⊥= {0_H} y que {0_H}^⊥ = H.

18 Ejercicio. Sean m ∈ N, a1, . . . , a_m ∈ H, S = `(a₁, . . . , a_m). Muestre que S^⊥ = {a₁, . . . , a_m}^⊥.

Proyecci´ on ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortogonal de vectores

19 Ejercicio. Sean v ∈ H y a ∈ H \ {0_H}. Pongamos S = `(a). Muestre que existe un

´

unico par de vectores (u, w) tal que u ∈ S, w ∈ S^⊥ y v = u + w.

20 Ejercicio (expresión de los coeficientes de una combinación lineal a través del producto interno). Sea m en N, a1, . . . , a_m una lista ortogonal de vectores no nulos en H y u una combinación lineal de estos vectores:

u =

m

X

k=1

λ_ka_k.

(4)

Muestre que para cada j en {1, . . . , m}

λ_j = hu, a_ji haj, aji.

21 Ejercicio (independencia lineal de vectores ortogonales no nulos). Sea m en N y sea a₁, . . . , a_m una lista de vectores ortogonales no nulos. Demuestre que la lista a₁, . . . , a_m es linealmente independiente.

22 Ejercicio. Sean v ∈ H, m ∈ N y sea a1, . . . , a_m una lista ortogonal de vectores no nulos en H. Pongamos S = `(a₁, . . . , a_m). Muestre que existe un ´unico par de vectores (u, w) tal que u ∈ S, w ∈ S^⊥ y v = u + w.

Desigualdad de Schwarz; la norma inducida por un producto interno

23 Ejercicio (teorema de Pit´agoras para la suma de dos vectores ortogonales en un espacio con producto interno). Sean a, b ∈ H tales que a ⊥ b. Demuestre que

ha + b, a + bi = ha, ai + hb, bi.

24 Ejercicio (la longitud del cateto es menor o igual que la longitud de la hipotenusa).

Sean a, b ∈ H tales que a ⊥ b. Demuestre que

ha + b, a + bi ≥ ha, ai.

25 Ejercicio (¿cu´ando el cateto es igual a la hipotenusa?). Sean a, b ∈ H tales que a ⊥ b y

ha + b, a + bi = ha, ai.

Muestre que b = 0_H.

26 Ejercicio (la desigualdad de Schwarz). Sean a, b ∈ H. Demuestre que

|ha, bi|² ≤ ha, aihb, bi.

Sugerencia: en el caso a = 0_H el resultado es trivial; en el caso a 6= 0_H usar el resultado del Ejercicio 19y aplicar el resultado del Ejercicio 24a los vectores ortogonales u y w.

27 Ejercicio (igualdad en la desigualdad de Schwarz). Sean a, b ∈ H tales que

|ha, bi|² = ha, aihb, bi.

Muestre que los vectores a y b son linealmente dependientes.

(5)

28 Ejercicio (la norma inducida por un producto interno). Definimos N : H → [0, +∞) mediante la regla

N (a) :=pha, ai.

Muestre que N es una norma en H, esto es, N es subaditiva, absolutamente homog´enea y N (a) > 0 para cada a en H \ {0_H}. Despu´es de verificar estas propiedades, escribimos kak en vez de N (a).

29 Ejercicio. Sean a, b ∈ H tales que

ka + bk = kak + kbk.

Demuestre que los vectores a y b son codirigidos, esto es, a = 0_H o existe λ ≥ 0 tal que b = λa.

30 Ejercicio (continuidad del producto interno). Muestre que la funci´on h·, ·i es continua.

El dominio H × H se considera con la topolog´ıa del producto de espacios topol´ogicos. En otras palabras, muestre que para cada a, b ∈ H y ε > 0 existe δ > 0 tal que para cada u, v en H con ku − ak < δ, kv − bk < δ, se cumple la desigualdad

|hu, vi − ha, bi| < ε.

Sugerencia: restar y sumar hu, bi, luego aplicar la desigualdad de Schwarz.

31 Ejercicio (continuidad del producto interno en términos de sucesiones). Sean a, b ∈ H, (x_n)_n∈N una sucesión en H que converge al vector a, (y_n)_n∈N una sucesión en H que converge al vector b. Demuestre que

n→∞l´ımhx_n, y_ni = ha, bi.

32 Ejercicio (la cerradura de cualquier subespacio vectorial es un subespacio vectorial).

Sea S un subespacio vectorial de H. Demostrar que clos(S) es un subespacio vectorial de H. Este resultado es cierto no solamente en espacios con producto interno, sino tambi´en en espacios normados.

33 Ejercicio (la cerradura del subespacio generado por un conjunto de vectores). Sea X ⊆ H. Demuestre que clos(`(X)) es el m´ınimo entre los subespacios cerrados que con- tienen a X. Este resultado es cierto no solamente en espacios con producto interno, sino tambi´en en espacios normados.

(6)

Ejemplos de espacios de Hilbert

34 Ejercicio. Definir el producto interno can´onico en `²(N) y explicar por qu´e `²(N) es un espacio de Hilbert.

35 Ejercicio. Sea (X, F , µ) un espacio de medida. Definir el producto interno can´onico en L²(X, F , µ, C) y explicar por qu´e este espacio es un espacio de Hilbert.

Algunos otros espacios de Hilbert importantes que no consideramos en estos ejercicios:

el espacio de Bergman de funciones anal´ıticas en un dominio y cuadrado integrables, el espacio de Bargmann–Segal–Fock de funciones anal´ıticas en el plano y cuadrado integrables con el peso gaussiano, el espacio de Hilbert asociado a un proceso estocástico (teor´ıa de Karhunen–Loève). Los espacios mencionados son espacios de Hilbert con núcleo reproductor.

Identidad de paralelogramo, identidad de polarizaci´ on y teorema de Pit´ agoras

36 Ejercicio (identidad de paralelogramo). Sean a, b ∈ H. Demuestre que ka + bk²+ ka − bk² = 2(kak² + kbk²).

37 Ejercicio (identidad de Apollonius). Sean a, b ∈ H. Demuestre que kak²+ kbk² = 2

a + b 2

2

+1

2ka − bk². Sugerencia: deducir esta identidad de la identidad de paralelogramo.

38 Ejercicio (identidad de polarizaci´on). Sean a, b ∈ H. Demuestre que

ha, bi = 1 4

3

X

k=0

i^kka + i^kbk².

39 Ejercicio (teorema de Pit´agoras para la suma de dos vectores ortogonales en un espacio con producto interno). Sean a, b ∈ H tales que a ⊥ b. Demuestre que

ka + bk² = kak² + kbk².

(7)

40 Ejercicio (teorema de Pit´agoras para una suma finita de vectores ortogonales en un espacio con producto interno). Sean m ∈ N y sea a1, . . . , a_m una lista ortogonal en H.

Demuestre que

m

X

j=1

a_j

=

m

X

j=1

ka_jk².

41 Ejercicio (criterio para que una funci´on lineal entre espacios con producto interno sea isometr´ıa). Sean H1, H2 espacios con productos internos h·, ·i1 y h·, ·i2, respectivamente.

Denotamos por k · k₁ y k · k₂ a las normas inducidas y por d₁, d₂ a las distancias inducidas.

Sea A : H₁ → H₂ una transformaci´on lineal. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) A preserva el producto interno:

∀x, y ∈ H1 hAx, Ayi2 = hx, yi1.

(b) A preserva la norma:

∀x ∈ H₁ kAxk₂ = kxk₁.

(c) A preserva la distancia (en otras palabras, A es isometr´ıa):

∀x, y ∈ H₁ d₂(Ax, Ay) = d₁(x, y).

Convexidad estricta de las bolas en espacios con producto interno

Sea V un espacio normado. Un conjunto A ⊆ V se llama convexo si para cada a, b en A y cada λ en [0, 1] se tiene que

(1 − λ)a + λb ∈ A.

Un conjunto A ⊆ V se llama estrictamente convexo si para cada a, b en A, tales que a 6= b, y cada λ en (0, 1) se tiene que

(1 − λ)a + λb ∈ int(A).

En la soluci´on de los siguientes ejercicios es c´omodo usar la identidad de paralelogramo (o la identidad de Apollonius).

(8)

42 Ejercicio. Sean a, b ∈ H, r > 0, tales que kak ≤ r, kbk ≤ r, a 6= b. Demuestre que ka + bk < r.

43 Ejercicio. Sea r > 0. Demuestre que el conjunto {a ∈ H : kak ≤ r} es estrictamente convexo.

44 Ejercicio. Sea δ > 0 y sean (an)_n∈N, (bn)_n∈N sucesiones en H tales que kank → δ, kb_nk → δ, y

∀n ∈ N

a_n+ b_n 2

≥ δ.

Demuestre que l´ım_n→∞ka_n− b_nk = 0.

El elemento de norma m´ınima en un conjunto convexo cerrado no vac´ıo

Suponemos que H es un espacio de Hilbert.

45 Ejercicio. Sea X un subconjunto de H, cerrado, convexo y no vac´ıo. Demuestre que existe un elemento x en X tal que para cada y en X \ {x} se cumple la desigualdad kxk < kyk. Sugerencia: poner

δ := d(X, 0_H) = ´ınf

y∈Xkyk,

considerar una sucesión (a_n)_n∈N en H tal que ka_nk → δ, y demostrar que esta sucesión es de Cauchy. Usar la identidad de Apollonius, igual que en la solución del Ejercicio 44.

46 Ejercicio. Sea S un subconjunto de H, cerrado, convexo y no vac´ıo, y sea v un elemento de H. Demuestre que existe un elemento x en S tal que para cada y en S \ {x}

se cumple la desigualdad kx − vk < ky − vk.

Proyecci´ on ortogonal sobre un subespacio cerrado

47 Ejercicio. Sea S un subespacio cerrado de H y sea v ∈ H. Muestre que existe un

´

unico par de vectores (u, w) tal que u ∈ S, w ∈ S^⊥ y v = u + w.

48 Ejercicio (propiedades de la proyecci´on ortogonal). Sea S un subespacio cerrado de H. Para cada v en H denotemos por P_S(v) al vector u del ejercicio anterior. Demuestre las siguientes propiedades de la funci´on P_S.

(9)

1. P_S ∈ B(H) y kP_Sk ≤ 1.

2. P_S² = P_S.

3. hP_Sa, bi = ha, P_Sbi para cada a, b en H.

4. La imagen de P_S es S.

5. El n´ucleo de P_S es S^⊥.

Propiedades principales de la operaci´ on “complemento ortogonal”

49 Ejercicio. Sean X, Y ⊆ H tales que 0_H ∈ X, 0_H ∈ Y . Demuestre que (X + Y )^⊥ = X^⊥∩ Y^⊥.

50 Ejercicio. Sea X ⊆ H. Muestre que X^⊥ es un subespacio cerrado de H.

51 Ejercicio. Sea X ⊆ H. Muestre que X^⊥= (clos(`(X)))^⊥.

52 Ejercicio. Sea S un subespacio cerrado de H. Muestre que (S^⊥)^⊥ = S.

53 Ejercicio. Sea X ⊆ H. Muestre que (X^⊥)^⊥ = clos(`(X)).

Representaci´ on de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert

54 Ejercicio. Sea g ∈ H. Definimos ϕ_g: H → C mediante la regla ϕ_g(f ) := hf, gi.

Demuestre que ϕg ∈ H^∗ y que kϕgk = kgk.

En los siguientes cuatro ejercicios usamos la misma notaci´on ϕ_g. 55 Ejercicio. Sea g ∈ H. Demuestre que

g ⊥ ker(ϕ_g), ϕ_g(g) = kgk².

(10)

56 Ejercicio. Sea ψ ∈ H^∗, ψ 6= 0_H→C, y sea g ∈ H tal que g ⊥ ker(ψ), ψ(g) = kgk². Demuestre que ψ = ϕ_g.

57 Ejercicio (teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert). Sea ψ ∈ H^∗. Demuestre que existe un único vector g en H tal que ψ = ϕg.

58 Ejercicio (correspondencia canónica entre los vectores y los funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert). Definimos Φ : H → H^∗ mediante la regla Φ(g) := ϕ_g. Demuestre que la función Φ es biyectiva, lineal conjugada e isométrica.

59 Ejercicio (descripci´on del espacio bidual de un espacio de Hilbert). Definimos Λ : H → H^∗∗ de la siguiente manera. Para cada g en H y cada ψ en H^∗,

(Λ(g))(ψ) := ψ(g).

Demostrar que la función Λ es sobre. Como ya sabemos para cualquier espacio de Banach, la función Λ es lineal e isométrica, por eso inyectiva. Por consecuencia, Λ es un isomorfismo isométrico.

Proceso de ortogonalizaci´ on de Gram y Schmidt

60 Ejercicio. Sea (a₁, . . . , a_m) una lista linealmente independiente en H. Para cada p en {1, . . . , m} pongamos

b_p = a_p−

p−1

X

k=1

ha_p, u_kiu_k, u_p = b_p kb_pk.

Muestre que los vectores b₁, . . . , b_m son ortogonales a pares y no nulos, que los vectores u₁, . . . , u_m son ortonormales, que para cada p en {1, . . . , m}

`(a₁, . . . , a_p) = `(b₁, . . . , b_p), y que

bp = ap − P`(a1,...,ap−1)ap.

(11)

Sumas de sucesiones ortogonales de vectores

61 Ejercicio (convergencia de series de vectores ortogonales). Sea (x_k)_k∈N una sucesi´on ortogonal en H. Demuestre que la serie P∞

k=1x_k converge si, y solo si,

∞

X

k=1

kx_kk² < +∞.

Sugerencias. Denotemos por s_m a la m-´esima suma parcial. En la parte de suficiencia demostrar que la sucesi´on (sm)_m∈N es de Cauchy. En la parte de necesidad demostrar que

ks_mk² =

m

X

k=1

kx_kk²,

y pasar al l´ımite cuando m → ∞.

62 Ejercicio (teorema de Pit´agoras para series de vectores ortogonales). Sea (x_k)_k∈Nuna sucesi´on ortogonal en H tal que

∞

X

k=1

kx_kk² < +∞, y sea

y =

∞

X

k=1

xk. Demuestre que

kyk² =

∞

X

k=1

kx_kk².

Sucesiones ortonormales de vectores

63 Ejercicio (desigualdad de Bessel). Sea (a_k)_k∈N una sucesi´on ortonormal en H y sea v ∈ H. Muestre que

X

k∈N

|hv, a_ki|² ≤ kvk².

(12)

64 Ejercicio. Sea (a_k)_k∈N una sucesi´on ortonormal en H y sea v ∈ H. Muestre que la siguiente serie converge en H:

X

k∈N

hv, a_kia_k.

65 Ejercicio (proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una sucesión ortonormal). Sea (a_k)_k∈Nuna sucesión ortonormal en H y sea v ∈ H. Denotemos por S a la cerradura del subespacio vectorial generado por {a_k: k ∈ N}. Pongamos

u :=X

k∈N

hv, akiak, w := v − u.

Muestre que u ∈ S y w ∈ S^⊥.

66 Ejercicio (criterio de pertenencia de un vector al subespacio cerrado generado por una sucesi´on ortonormal). Sea (a_k)_k∈Nuna sucesi´on ortonormal en H y sea v ∈ H. Denotemos por S a la cerradura del subespacio vectorial generado por {ak: k ∈ N}. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) v ∈ S.

(b) Existe una sucesi´on (ξ_k)_k∈N en C tal que v =P∞

k=1ξ_ka_k. (c) v =P∞

k=1hv, a_kia_k. (d) kvk² =P∞

k=1|hv, aki|².

Bases ortonormales

67 Ejercicio. Sea (a_k)_k∈N una sucesi´on ortonormal en H. Denotemos por S a la cerradura del subespacio vectorial generado por {a_k: k ∈ N}. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) S = H.

(b) Para cada v en H, existe una sucesi´on (ξ_k)_k∈N en C tal que v =P∞

k=1ξ_ka_k. (c) Para cada v en H, v =P

k∈Nhv, a_kia_k.

(13)

(d) Para cada v en H, kvk² =P

k∈N|hv, a_ki|².

(e) Para cada v en H, si hv, a_ki = 0 para cada k en N, entonces v = {0H}.

Decimos que (a_k)_k∈N es una base ortogonal (o base de Hilbert) de H si se cumplen estas condiciones.

68 Ejercicio. Sean (a_k)_k∈N una base ortonormal de H y ψ ∈ H^∗. Pongamos g =X

k∈N

ψ(a_k)a_k.

Muestre que ψ(f ) = hf, gi para cada f en H.

69 Ejercicio. Supongamos que H es un espacio de Hilbert separable y D es un subconjunto numerable denso de H. Muestre c´omo construir una base ortonormal en H usando el conjunto D y el proceso de ortogonalizaci´on de Gram y Schmidt.

Ejemplos de sucesiones ortogonales

70 Ejercicio (ortogonalidad de los monomios trigonom´etricos). Para cada n en N0 definimos ϕ_n mediante la regla

ϕn(x) := e^{n i x}.

Demostrar que (ϕ_n)^∞_n=0 es una sucesi´on ortonormal en L²([0, 2π),_2π¹ µ), donde µ es la medida de Lebesgue. Tarea adicional: demostrar que (ϕn)^∞_n=0 es una base ortonormal de este espacio.

71 Ejercicio (ortogonalidad de los polinomios de Laguerre). Para cada n en N0definimos Ln mediante la f´ormula de Rodrigues:

L_n(x) = e^x n!

dⁿ

dxⁿ e^−x xⁿ .

Demuestre que (L_n)^∞_n=0 es una sucesi´on ortogonal en L²((0, +∞), ν), donde dν(x) = e^−x dµ(x) y µ es la medida de Lebesgue. Sugerencia: usando la integraci´on por partes demostrar que hL_n, f i_ν = 0 para cualquier polinomio f de grado < n. Tarea adicional:

mostrar que los polinomios de Laguerre forman una base ortogonal de este espacio.

(14)

72 Ejercicio (ortogonalidad de los polinomios de Hermite). Para cada n en N0 definimos H_n mediante la f´ormula de Rodrigues:

Hn(x) = (−1)ⁿe^x² dⁿ dxⁿ

e^−x²

.

Muestre que (Hn)^∞_n=0 es una sucesi´on ortogonal en el espacio L²(R, ν), donde dν(x) = e^−x² dµ(x) y µ es la medida de Lebesgue. Tarea adicional: demuestre que (H_n)^∞_n=0 es una base ortogonal de este espacio.

73 Ejercicio. Definimos los polinomios de Legendre mediante la f´ormula de Rodrigues:

P_n(x) = 1 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ x²− 1n

.

Muestre que (P_n)^∞_n=0 es una sucesi´on ortogonal en el espacio L²([−1, 1]). Tarea adicional:

demuestre que forman una base ortogonal en este espacio.

Isomorfismos de espacios de Hilbert

74 Ejercicio. Sea (a_k)_k∈Nuna base ortonormal en H. Definimos U : H → `²(N) mediante la regla

U f = (hf, aki)_k∈N. Muestre que U es un isomorfismo isom´etrico.