Página 1 de 39
TRANSFORMACIONES LINEALES
UNIDAD V Alumno: Ana Irene Ortiz Peralta
Catedrático: Ing. Jesús López Ortega
ING. CIVI L
MATEMATICAS IV
Página 2 de 39 INDICE
5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades.
5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal.
5.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal.
5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
5.6 Álgebra de las transformaciones lineales.
5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales.
Bibliografía
3
7 13
17 23 30 33 39
Página 3 de 39
5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES.
Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria.
Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W*
tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
a) T(u + v) = T(u) + T(v) b) T(c u) = c T(u)
*Escribimos T: V → W para indicar que T transforma V en W
Las transformaciones lineales se llaman con frecuencia operadores lineales.
También, las funciones que satisfacen a) y b) se denominan funciones lineales.
En R2 definamos una función T por la fórmula T( ) ( ) geométricamente, T toma un vector en R2 y lo transforma en su reflexión con respecto al eje x. una vez que hayamos dado la definición básica, veremos que T es una transformación lineal de R2 en R2.
Página 4 de 39
Propiedades de las transformaciones lineales
Teorema 3: Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores v1, v2,…,vn en V y todos los escalares c1,c2,…,cn:
T(c1v1+c2v2+…+cnvn)= c1Tv1+c2Tv2+…+cnTvn
Demostración:
Si T es lineal, entonces T(c1v1 + C2v2)= T(c1v1) + T(c2v2)=c1T(v1)+ c2T(v2)… y asi sucesivamente.
Así, las transformaciones lineales mapean una combinación lineal de vectores en la misma combinación lineal de las imágenes de esos vectores.
Teorema 4: sea T: V → W una transformación lineal. Entonces
1. T(0)= 0……. Esta transformación lineal mapea a todos los vectores de V en 0, en W se le llama transformación cero.
2. T(u-v)= T(u)- T(v) Demostración:
1.- T(0)= T(0v)= 0T(v)=0
2.-…haciendo que c1=1 y c2=-1
T(u-v)= T(1u+(-1)v)= 1T(u)+ (-1)T(v)= T(u) – T(v)
Página 5 de 39
Teorema 5: sea T: V → W una transformación lineal y sea B= {v1,v2,…vn} el generador de V. entonces, el conjunto T(B)= {T(v1),T(v2)…,T(vn)} genera el contradominio de T.
Demostración:
Sea W ∈ R Entonces existe un v que pertenece a V tal que T(v)=W. como B genera a V, hay escalares c tales que v=c1v1. Entonces
W= T(v)= T(c1v1+…+cnvn)=c1T(v1)+…+cnT(vn) de aquí que W sea una combinación lineal de T(B)
Ejemplo
Página 6 de 39 Ejemplo
Página 7 de 39
5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES (REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN)
Homotecia
Para un escalar fijo c. T: V → W es lineal.
T(v)= cv Sea u y w ∈ V y r ∈ R. T es lineal porque
T(u+w)= c(u + w)= cu + cw= T(u) + T(w) T(ru)= c(ru)= rT(u)
Si c > 1, la homotecia es una dilatación, y su efecto sobre v es estirarlo en un factor de c. Si 0 < c < 1, la homotecia es una contracción, y su efecto sobre v es encogerla en un factor de c. si c <0, esta transformación invierte la dirección de v.
Ejemplos:
Página 8 de 39 Ahora bien, si T: R2 R2 definida por ( ) (
). Es fácil verificar que T es lineal y que, geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja con respecto al eje y, a esto se le llama reflexión.
Página 9 de 39 Ejemplo:
Página 10 de 39 Transformación de rotación
Supongamos que el vector ( ) en el plano xy gira un ángulo ϴ en la dirección contraria a las manecillas del reloj.
