MA 2113 Practica 4 pdf

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(1)Práctica 4 Teorema de la divergencia, Teorema de Stoke y Campos conser vativos.. 1.

(2) de , a través de. .. Teorema de la divergencia. Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia) Sea suave y orientada. Entonces se cumple que:. una región tipo IV acotada por. la cual es una superficie cerrada y. Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss. o simplemente. Primer miembro: Segundo miembro:. es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como notación. De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:. con. y. Teorema: Ley de Gauss. Se tiene un sólido. tipo IV en. sea. y. Entonces se cumple que si. Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco en su interior.. 7.2. Ejercicios Resueltos. Figura 7.1:. 2.

(3) teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco en erior.. 7.2. Problema 1.. Ejercicios Resueltos. Problema 1 Ejercicios Resueltos acotada por la semi-esfera dada por y Sea la región de orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia. lema 1 la región de acotada por la semi-esfera dada por y Solución orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia. es suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco II, ción suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo 76 es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco 76. (ver fig. 7.2) Además. está orientada con la normal exterior, por lo tant. 3.

(4) 7.2. Problema 1.. Ejercicios Resueltos. Problema 1 Sea la región de. acotada por la semi-esfera dada por orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.. y. z Solución es suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco II, 76. z=6. s1 S2. D. z=2. y. x (ver fig. 7.2). D=. Además. está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condici 4.

(5) 7.2. Ejercicios Resueltos. Problema 1 Sea la región de. acotada por la semi-esfera dada por orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.. y. z Solución es suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco II,. n1. 76. s1 S2. y n2. x. 5.

(6) Figura. Entonces:. Primero evaluamos. Figura 7.2:. Figura 7.2:. donde encontramos Primero evaluamos. Ahora resta evaluar. y comprobar que da. Primero evaluamos. A tal efecto, parametrizamos. por. Evaluando Ahora resta evaluar. y comprobar que da Ahora resta evaluar comprobar que da apunte hacia el exterior debeyser. A tal efecto, parametrizamos. por. A tal efecto, parametrizamos. por 6.

(7) Figura 7.2:. Ahora evaluamos: Primero evaluamos. Ahora resta evaluar A tal efecto, parametrizamos Ahora resta evaluar. Parametrizamos S1 A tal efecto, parametrizamos. y comprobar que da por. y comprobar que da. por y para que. apunte hacia el exterior debe ser. apunte hacia el exterior debe ser. Obser ve que la orientación del vector normal es la correcta Así que. Así que Ahora, para para que apunte al exterior.. 7.

(8) Figura 7.2:. Ahora evaluamos: Primero evaluamos. Ahora resta evaluar. y comprobar que da. A tal efecto, parametrizamos Ahora resta evaluar. Parametrizamos S1 A tal efecto, parametrizamos. por. y comprobar que da. por y para que. apunte hacia el exterior debe ser. apunte hacia el exterior debe ser. n1. s1 Así que. Así que Ahora, para para que apunte al exterior.. 8.

(9) Figura Figura 7.2:. 7.2:. Ahora evaluamos: Primero evaluamos. Primero Ahora evaluamos resta. evaluar. y comprobar que da. A tal efecto, parametrizamos. Parametrizamos S1 Ahora resta evaluar. A tal efecto, parametrizamos. Ahora resta evaluar. por. y comprobar que da. por. y comprobar que da y para que. A tal efecto, parametrizamos. por. apunte hacia el exterior debe ser. apunte hacia el exterior debe ser. Ahora. apunte hacia el exterior debe ser Así que. Así que Así que Ahora, para para que apunte al exterior.. 9.

(10) y para que. Así que. Así que Ahora, para para que apunte al exterior.. Ahora parametrizamos S2 Por lo tanto,. Ahora, para para que apunte al exterior.. 77. Por lo tanto,. Obser ve que la orientación del vector normal no es la correcta, por eso tomamos el segundo 77 vector 77 10.

(11) y para que. Así que. Así que Ahora, para para que apunte al exterior.. Ahora parametrizamos S2 Por lo tanto,. Ahora, para para que apunte al exterior.. Por lo tanto,. 77. S2. 77 77. n2 11.

(12) Así que. Entonces Ahora, para para que apunte al exterior.. Ahora, para Por lo tanto, para que apunte al exterior.. Finalmente. 77. Por lo tanto, 77. Como queriamos hemos encontrado: Hemos demostrado que. y. 12.

(13) Problema 2.. ema 3 el sólido 3acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de S Problema Sea el sólido acotado de la figura , con (Notación una superficie cerrada Suposobre el plano es orientada de tipo IIhacia en el exterior Sea deun campo ue la proyección de ner que la proyección de. sobre el plano. (Notación. es de tipo II en. Demuestre que. Sea. Demuestre que. torial,. ). un campo vec-. ( Es d. ( Es decir:. ). paralelosa aloslos planos y abe laterales de de formarán formaránparte parte de de planos planos paralelos planos Se que sabelas quecaras las caras laterales. y, repectivamente. , repectivame. Figura 7.3:. Figura 7.3: Además,. (ver figura).. 13.

(14) ue la proyección de. sobre )el plano. Se sabe que las caras laterales de. Además,. ás,. es de tipo II en. Demuestre formarán parte de planos paralelos aque los planos. Sea y. un campo. ( Es d , repectivamente.. (ver figura).. ). abe que las caras laterales de. Además,. (Notación Figura 7.3:. 78 formarán parte de planos paralelos a los planos. y. , repectivame. Figura 7.3:. (ver figura). 787.3: Figura. (ver figura). 78 14.

(15) Solución Designemos. cara superior de. cara inferior y. las caras laterales. Por lo tanto,. (puesto que. Problema 3 Sea el sólido acotado de la figura , con sobre el plano ner que la proyección de. ). una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo(Notación es de tipo II en Sea un campo vecDemuestre que. orial,. ( Es decir:. ). Se sabe que las caras laterales de. por ser por hipótesis. formarán parte de planos paralelos a los planos tipo II en. y. , repectivamente.. Ahora bien,. con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada e libro:. reemplazando a. en donde las comillas indican que se ha to. la orientación adecuada.. Figura 7.3:. Problema 4 Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados por respectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea. 15.

(16) por ser por hipótesis. tipo II en. Ahora bien,. Problema 3 Sea el sólido acotado de la figura , con sobre el plano ner que la proyección de. una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo(Notación es de tipo II en Sea un campo vecDemuestre que. torial,. ( Es decir:. ). con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada e Se sabe que las caras laterales de. libro:. reemplazando a. formarán parte de planos paralelos a los planos. y. , repectivamente.. en donde las comillas indican que se ha t. la orientación adecuada.. Problema 4 Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados por respectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea usar el Teorema de Gauss para calcular Solución puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en es obviamente región tipo IV, suave, acotada Figurapor 7.3: se cumple el Teorema de Gauss:. Además,. (ver fig. 7.. superficie cerrada y orientada. Por lo. (ver figura). 16.

(17) por ser por hipótesis. tipo II en. Ahora bien,. por ser por hipótesis. tipo II en. Ahora bien,. con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada e libro:. reemplazando a. en donde las comillas indican que se ha t. la orientación adecuada. con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este libro:. reemplazando a. en donde las comillas indican que se ha tomado. laProblema orientación4adecuada.. Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados por respectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea usar el Teorema de Gauss para calcular Problema 4 Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados por Solución respectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea. puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en. usar el Teorema de Gauss para calcular. es obviamente región tipo IV, suave, acotada por se cumple el Teorema de Gauss:. (ver fig. 7.. superficie cerrada y orientada. Por lo. Solución. puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en es obviamente región tipo IV, suave, acotada por se cumple el Teorema de Gauss:. (ver fig. 7.4).. superficie cerrada y orientada. Por lo tanto, 17.

(18) según el caso).. Teorema de Stokes. Versión (b) del Teorema de Stokes. Sea una parametrización de una superficie orientada las hipótesis siguientes: (i) es uno a uno. (ii). orientada también y. con. Conclusión:. El primer miembro se puede escribir como:. y el segundo miembro. como:. Nota: Recordamos al alumno que debe consultar los textos recomendados por el Profesor de su curso. En particular, en Marsden y Tromba, tercera edición, encontrará en las páginas la justificación del por qué se presenta el teorema en dos versiones. Allí se demuestra el teorema en la versión más fácil, que es la (a) y se indican las dificultades para la demostración de la versión (b).. 5.2. Ejercicios Resueltos.. Problema 1 el disco dado por Sea. con Calcular 18.

(19) 5.2. Ejercicios Resueltos.. Problema 3.. Problema 1 el disco dado por Sea. con Calcular 57. Solución es una curva Solución cerrada y simple igual al borde de . es una región es tipouna III (puesto que es y tipo I y además II, basta curva cerrada simple igual altipo borde de con . que sea uno de los dos tipos). son funciones porregión ser combinaciones de polinomios y exponenciales en II,. basta Por lo con tanto,que en lugar de es una tipo III (puesto que es tipo I y además tipo sea uno parametrizar la son curva calcular la integral línea dada,yutilizaremos el Teorema funciones por ser ycombinaciones dedepolinomios exponenciales en de . P Green (del cual hemos verificado sus condiciones). Así que,. parametrizar la curva y calcular la integral de línea dada, utili Green (del cual hemos verificado sus condiciones). Así que,. Si no usamos el Teorema de Green, los cálculos resultan muy largos. En efecto: Una parametrización de. podría ser. Si no usamos el Teorema de Green, los cálculos resultan muy largos. En efecto: Una parametrización de. podría ser. y calcular. es una locura.. es una locura.. 19.

(20) es una región tipo III (puesto que es tipo I y además tipo II, basta con que sea uno de los dos tipos). son funciones por ser combinaciones de polinomios y exponenciales en . Por lo tanto, en lugar de parametrizar la curva y calcular la integral de línea dada, utilizaremos el Teorema de Green (del cual hemos verificado sus condiciones). Así que,. Nota: Si no usamos el Teorema de Green, los cálculos resultan muy largos. En efecto: Una parametrización de. podría ser. y calcular es una locura.. Problema 2 Sea. sea además. Calcular. Solución es el rectángulo dado por para calcular la integral dada, habría que parametrizar cada lado del rectángulo y sumar cuatro integrales de línea. es una curva cerrada y simple. es En su lugar, vamos a ver si se puede aplicar el Teorema de Green: región tipo I y también es tipo II (luego es tipo III), son combinaciones de polinomios, exponenciales y funciones trigonométricas en por lo tanto, Así que, 20.

(21) Problema 4.. Problema 4 Calcular mediante el Teorema de Green: Problema 4 Calcular mediante el Teorema de Green:con Problema 4 con Calcular mediante el Teorema de Green: Solución. Problema 4 mediante de Green: es una elipse de semiejes Calcular y , por locon tantoelesTeorema curva cerrada y simple,. con Solución con así es región tipo III. y , por lo tanto es curva cerrada y simple, por lo tanto, son funciones polinómicas esque una elipse de semiejes con enSolución luego están en en así que está es región tipo en III. sentido por lo tanto, vistas son funciones polinómicas Como recorrida por conocimientos deyintegrales en MA Solución es una elipse de semiejes y ,horario, por lo tanto es curva cerrada simple, de líneas con en luego están en en una elipse semiejes y ,de por lo tanto por es cerrada yen simple, con así que región tipo III. es horario, lolíneas tanto, funciones polinómicas Como estáes recorrida en sentido pordeconocimientos integrales decurva vistasson MA en luego están en en es región tipo III. así que por lo tanto, son Como está recorrida en sentido horario, por en conocimientos en luego están ende integrales de líneas vistas en MA Como está recorrida en sentido horario, por conocimientos de integrales de líneas vistas en. Aquí, Aquí, Aquí, Aquí, Problema 5 Sean y campos escalares: Problema 5 cerrada, frontera de con sentido (+) Sean y campos escalares: Problema 5. región cerrada y acotada tipo III y región cerrada y acotada tipo III y. Sea Sea. curva simple. curva simple. 21.

(22) horario, si se ve desde el origen de coordenadas y. Problema 5.. Problema 8 Usar el Teorema de Stokes para calcular. con. la superficie plana cuyo borde es la curva de intersección entre. las dos superficies de ecuaciones respectivamente. con sentido horario, si se ve desde el origen de coordenadas y. Solución (ver fig. 5.3). en plano. Figura 5.3: 22.

(23) ). en plano. se desprecia ya que Por lo tanto,. Figura 5.3:. para que. Por lo tanto. apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.. se desprecia ya que. Por lo tanto,. Entonces:. para que. u. apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.. vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes. Por lo tanto Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con una vista desde vista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la luz, observarás que sentido horario ). vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes. Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con sentido antihorario vista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la 61 luz, observarás que vista desde el origen, tiene sentido horario ).. ¿En este caso fue correcta la aplicaciondel teorema de Stokes? Figura 5.3:. 61. se desprecia ya que. , 23.

(24) puntos debe ser finito. Teorema de los campos conservativos.. s de. en donde. SeaNota muy importante: puntos debe ser finito.. el conjunto de estos. tal queestar definido y si hay de puntos de puede. en pero dondeen. conjunto dehaber estos tal caso,el no puede. Definición: n tal caso, no puede haber puntos excepcionales, es decir,. NotaEntonces, muy importante: puede estaradefinido de en tal caso, no(lo puede puntosque excepcionales, las condiciones continuación "sonpero equivalentes" cualhaber significa si se cum es decir, cumplen las demás).. Entonces, las condiciones a continuación "son equivalentes" (lo cual significa que si se cumple alguna de ellas, se ual significa que si se cumple alguna de ellas, se Teorema: Las siguientes condiciones son equivalentes: cumplen (a) las demás).para. cualquier curva. para cualquier curva. (a). (b) Si (b) Si. y. y. cerrada, simple y orientada,. cerrada, simple y orientada,. son dos curvas simples orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial. son dos curvas simples orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial y punto final,. on los mismos punto inicial y punto final,. para alguna (y si existe un (y número si existe número de (c) (c) para alguna de un puntos en donde estará. nohaber puede haber puntos excepcionales), estará. En En no puede puntos excepcionales),. untos en donde (d). no está definida,. (d). l).Un campo vectorial como el. puntos donde tampoco no está no estáen definida, lo. tampoco lo. (lo cual significa quesignifica es irrotacional). (lo cual que es. irrotacional).. que satisfaga alguna de las condiciones del teorema se llama un campo conservativo.. Un campo vectorial como el. que satisfaga alguna de las condiciones del teorema se llama u. El Teorema afirma que al cumplirse una de las condiciones se cumplen todas. La demostración consiste en suponer ones del teorema se llama un campo conservativo El Teorema afirma que al(b), cumplirse las condiciones todas. demostració luego que una si (b)de es. cierta, (b) (c) y sise (c)cumplen es cierta, (c) (d).La Finalmente, se (a) cierta y demostrar que (a) demuestra que (d) (a), con loque cual(a) se cierra el ciclo y queda: (b)cierta, (c) (b) (d) (a). (b), luego que si(a) (b) es (c) y si (c) es cierta, (c) (a) cierta y demostrar. mplen todas. La demostración consiste en suponer demuestra (d) (c) (a),(d). lo cual se se cierra eluna ciclo queda:potencial (a) (b) (d) (a). aparece en (c), encon donde se llama unay función para (c) y al demostrar que La (c) función y si (c)que esque cierta, Finalmente, (b) (b) (c) se encuentra que: (c) (d) aparece en (c), en donde se llama una una función potencial para La función que(a).. (c)potencial se encuentra una (b) función para que: y al demostrar que 69. 24.

(25) 6.2 Ejercicios Ejercicios Resueltos 6.2 Resueltos 6.2 Ejercicios Resueltos. Problema 6.. Problema Problema 11 Sea Sea Problema 1 (a)¿Existe ¿Existe función potencial (a) función potencial parapara? ? Sea (b) afirmativo, encuéntrela. (b)En Encaso caso afirmativo, encuéntrela. (a) ¿Existe función potencial para ?. (b) En caso afirmativo, encuéntrela. Solución Solución ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos (d) (a) (a) que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . si Veamos si porque (d) ( (a)EsEsobvio obvio que Solución entonces sería (d)(d) (a) (a) (b) (c),sus (c) es quelapermite encontrar una función potencial parasi (d) . para ya(b) que son funciones polinómicas en . Veamos (a) porque (a) Es obvio que entonces sería (c),componentes (c)laes que permite encontrar una función potencial . Por(c)loes tanto, si permite encontrar habrá Ahora, (d) dice entonces seríaque (d) (a) (b) (c), la que una función función potencial. potencial para .. Por lo tanto, si. Ahora, (d) dice que. Ahora, (d) dice que. Por lo tanto. no es irrotacional. Por lo tanto, si. habrá función potencial.. habrá función potencial.. no existe función potencial.. Por lo lotanto tanto nonoeses irrotacional no existe no existe función potencial. Por irrotacional función potencial.. Problema 2 Sea Problema 2. Problema 2 Sea (a) ¿ Existe función potencial para Sea. ?. (b) caso afirmativo, encuéntrela. (a) ¿¿ Existe potencial para (a)En Existefunción función potencial para? ? (b) En caso afirmativo, encuéntrela. (b) En caso afirmativo, encuéntrela. Solución es obvio, ahora, (a) Solución Soluciónfunción potencial para . en es obvio, ahora, (a). es irrotacional. es irrotacional 25.

(26) Por lo tanto. no es irrotacional. Problemano existe 7. función potencial.. Por lo tanto. no es irrotacional. Por lo tanto. no es irrotacional. Problema 2 Problema 2 Sea. no existe función potencial. no existe función potencial.. Sea Problema 2 función potencial para (a)¿ ¿Existe Existe ? (a) función potencial para ? Sea Problema 2afirmativo, (b)EnEn caso afirmativo, encuéntrela. (b) caso encuéntrela. Sea (a) ¿ Existe función potencial para ? (b) ¿EnExiste caso función afirmativo, encuéntrela. (a) potencial para ? Solución. Solución (b) encuéntrela. es obvio, ahora, (a) es obvio, ahora, (a)En caso afirmativo, Solución función potencial para . en función potencial en es obvio, ahora, para (a). Solución (b) función potencial para . en es obvio, ahora, (a) (b) función potencial para . en (b). es irrotacional. .. es irrotacional es irrotacional. (b). Si Ud. quiere puede ahora comprobar que Si puede ahora comprobar que que Si Ud. Ud.quiere quiere puede ahora comprobar Si Ud. quiere puede ahora comprobar que. En efecto: En efecto: En efecto: En efecto:. 70 70 70. 70. 26.

(27) Problema 8.. Problema 4 ema Sea4. Calcular. Calcular. .. punto. la curva de la figura. desde el punto. la curva de la figura. al. desde el punto. .. Figura 6.1:. Figura 6.1: Solución Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en es irrotacional. tiene función potencial. ión Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d). (a). en (b). ya que sus compo.. 27 (c). En un examen, por ejemplo, el.

(28) es conservativo: Solución Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si que sus compoAntes de ponernos calcular la integral de línea, vamos a verpolinómicas si es conservativo: nentesason combinaciones de funciones y trigonométricasyaen nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en es irrotacional. es irrotacional. tiene función potencial. tiene función potencial. en. .. en. (a) (b) ejemplo, (c). elEn Hemos usado el teorema de en laslaequivalencias la forma (d)un examen, (a) en (b) (c). En por Hemos usado el teorema de las equivalencias forma (d) redactar para se entiendan las implicaciones escritas. alumno debealumno redactardebe el Teorema para el queTeorema se entiendan lasque implicaciones escritas. Por lo tanto:Por. lo tanto:. 71. 71. Recuerde: Ahora bien, en MA Si. y existe. se explicó un teorema sobre integrales de línea: tal que. entonces conocida. por sus puntos inicial. y final. Aquí,. 28.

(29) es conservativo: Solución Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si que sus compoAntes de ponernos calcular la integral de línea, vamos a verpolinómicas si es conservativo: nentesason combinaciones de funciones y trigonométricasyaen nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en es irrotacional. es irrotacional. tiene función potencial. tiene función potencial. en. .. en. (a) (b) ejemplo, (c). elEn Hemos usado el teorema de en laslaequivalencias la forma (d)un examen, (a) en (b) (c). En por Hemos usado el teorema de las equivalencias forma (d) redactar para se entiendan las implicaciones escritas. alumno debealumno redactardebe el Teorema para el queTeorema se entiendan lasque implicaciones escritas. Por lo tanto:Por. lo tanto:. Ahora bien, en MA Si. Entonces:. y existe. se explicó un teorema sobre integrales de línea: 71. tal que. entonces conocida. por su. 71. Aquí,. Problema 5 29.

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