Un primer curso de Lógica

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Un primer curso de Lógica

Para estudiantes de Filosofía

Miguel Molina

Toda la historia de la lógica es un intento por definir una noción aceptable de estupidez.

Demasiado ambicioso.

Umberto Eco

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A la memoria de mi padre, Carlos, quien siendo yo niño me dijo que me conven- dría hacer un curso de Lógica. Creo que le hubiera gustado ver que la vida, por caminos tortuosos, me llevó a cumplir su recomendación, quizá en una forma que no imaginó al darla.

A mi madre, Mirta, sin cuyo apoyo constante me hubiera sido imposible llegar a estar en condiciones de realizarlo.

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IV

La imagen de tapa y contratapa pertenece a un manuscrito del siglo XIII que contiene Sophistici Elenchi, Topica, Analytica Priora y Analytica Posteriora de Aristóteles y se encuentra en la Royal Collection de la British Library. Ha sido puesta en Internet bajo una Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication y se encuentra en

http://www.bl.uk/catalogues/illuminatedmanuscripts/ILLUMIN.ASP?Size=mid&IllID=

56510

La imagen de la portada es una fotografía de una xilografía que muestra el cuadrado de oposición aristotélico, e ilustra la cuarta edición de Margarita Philosophica de Gregor Reisch (Basilea, 1517). La fotografía es de dominio público y se encuentra en https://commons.

wikimedia.org/wiki/Category:Square_of_opposition#/media/File:Gregor_Reisch_-_

Margarita_philosophica_-_4th_ed._Basel_1517_-_p._083_detail_-_square_of_

opposition_-_1000ppi.png

Este libro fue realizado en L^ATEX a partir de la plantilla The Legrand Orange Book, creada por Mathias Legrand y modificada por Vel para el sitio http://www.latextemplates.com.

Esta plantilla se encuentra bajo licencia CC BY-NC-SA 3.0 y se accede a ella en http://www.latextemplates.com/template/the-legrand-orange-book.

Para el texto se ha utilizado la fuente Palatino; para los caracteres matemáticos la fuente Euler Virtual Math; para los títulos, índices y encabezados de página la fuente Opensans y se han elegido numerales antiguos para todas las instancias, desde la paginación hasta los diagramas.

Palatino es creación del gran diseñador de fuentes Hermann Zapf, inspirada en tipos renacentistas y nombrada en honor al maestro calígrafo Giovambattista Palatino (Rossano, Calabria, c.1515). Como todas las fuentes humanistas, tiene eje inclinado y trazo modulado, recordando las letras trazadas a mano con una pluma.

Euler Virtual Math está basada en el tipo Euler, otra creación de Zapf, hecha por encargo de Donald Knuth, e intenta reproducir la grafía matemática escrita en una pizarra, en la que las variables no van inclinadas.

Los numerales antiguos, puestos en un mismo renglón, no se presentan alineados.

Las cifras alineadas son una creación relativamente reciente, inventada para facilitar la revisión de documentos contables y que recién llegó a la imprenta en 1788. A pesar de lo acostumbrados que estamos a ellos, son chocantes cuando se encuentran en medio de un texto y su presencia imprimiría un aire demasiado moderno a la estética de un libro dedicado a una ciencia de tradición milenaria.

La fuente Opensans es una sans serif humanista creada por Steve Matteson.

A pesar de mis esfuerzos, persisten cuestiones de diseño tipográfico que me gustaría mejorar. Pero algún día debía dejar de corregir. Todo comentario, sugerencia o advertencia de error, será bienvenido a [email protected] o a [email protected].

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Agradecimientos

Muchísimas personas desconocidas por mí han hecho posible la existencia de este libro. Quiero dejar constancia de mi agradecimiento a todos aquellos que colaboran en la elaboración y perfeccionamiento de herramientas tan maravillosas como Linux y L^ATEX, que son gratuitas y hacen posible que una sola persona produzca un documento de una estructura tan compleja como este sin perder la cordura en el intento.

En un plano más personal, a varias personas debo que este libro tenga una cantidad de errores mucho menor que la que tendría de no haber sido por ellos. Si en este recuento olvido a alguien, pido disculpas desde ya.

Deseo agradecer a Julián Mazzoni, Daniel Pirotto, Ian Tayler, Leticia López, Elena Gómes, Graciela Ortega, Diego Cuevas y Facundo Correa por sus aportes que mejoraron versiones preliminares.

A Valeria Schaffel, por su colaboración en la elaboración de las figuras cuando yo aun no me atrevía con el paquete TikZ y sobre todo por su involucramiento en el proyecto, que constituyó un apoyo necesario para realizarlo.

A mis compañeros del Departamento de Lógica y Filosofía de la Lógica del Instituto de Filosofía de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación de la Universidad de la República, Alejandro Chmiel y José Seoane, por las charlas mantenidas y sugerencias ofrecidas.

Y finalmente, a mi amiga y también compañera del Departamento mencionado, María Fernanda Pallares, quien cargará sobre su conciencia con buena parte de la responsabilidad de que este libro salga a la luz. Sin su impulso, aliento, paciencia y ayuda en múltiples maneras, no me habría dispuesto a escribirlo, ni hubiese continuado hasta el final.

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Prefacio

Este libro es el resultado de la reflexión sobre la práctica docente en el curso de Lógica I para la Licenciatura de Filosofía en la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación de la Universidad de la República. Pretende introducir al estudiante de Filosofía en la única ciencia que figura como asignatura obligatoria en su carrera.

Esta característica peculiar de la Lógica -el ser una ciencia- hace que su enseñanza presente dificultades particulares en el marco de una carrera netamente humanística. Según mi experiencia, la mayor de esas dificultades surge de la falta de contacto previo de la mayoría de los estudiantes con la deducción.

Lejos están los tiempos en que nadie pasaba por la educación media sin haber sido expuesto a demostraciones en matemática y sin haberlas estudiado, y es sabido que fuera de esta ciencia, la deducción cumple un papel ancilar. Alguna vez leí que a demostrar se aprende en matemática o no se aprende. Quizá haya exageración en esto, pero en todo caso, indica algo a tener en cuenta.

Es por eso que considero que el curso debe comenzar con el planteamiento de situaciones que impulsen al estudiante a realizar sus propias inducciones y deducciones, de manera de proveerlo de un almacén de razonamientos que sirvan como materia de reflexión posterior.

No parece suficiente mostrar al alumno algunas inferencias deductivas, esperando que vea en ellas algo particular –especialmente si esas inferencias son ejemplos triviales preparados ad hoc–, ya que si bien el pensamiento deductivo es una de las cumbres alcanzadas por el espíritu humano, difícilmente alguien lo comprenda gracias a que le comuniquen que Sócrates es mortal dado que es hombre y todos los hombres son mortales.

Lo importante del asunto, que es la necesidad debida a los aspectos formales, queda enterrado bajo la sencillez del ejemplo.

Es por eso que el curso comienza con acertijos (en esto la influencia del maravilloso autor que es Raymond Smullyan está muy presente), que una vez resueltos, al reflexionar sobre las justificaciones de sus soluciones, permiten demarcar las inferencias deductivas, y distinguir en ellas, en términos informales, las constantes lógicas que las hacen posibles.

A partir de aquí es fácil justificar la necesidad de la formalización, si se tiene buen cuidado en mostrar las dificultades que puede presentar el uso de las lenguas naturales para la evaluación de la corrección argumental. Al tratarse de un curso para estudiantes de Filosofía, no está de más ofrecer una panorámica histórica de las alternativas al uso de las lenguas naturales que la humanidad ha ideado, para culminar en una caracterización precisa de los lenguajes formales. Con esto queda conformada la primera parte del curso, preliminar a la presentación de las lógicas que se estudiarán en las partes segunda y tercera.

Llegado este punto, en la segunda parte, el desarrollo de la lógica proposicional en

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VIII

una forma estándar parece natural: se establece la sintaxis y la semántica. Atendiendo a la imperiosa necesidad de tender puentes entre la lógica y otras disciplinas, especialmente filosóficas, se dedica un capítulo a examinar algunas relaciones entre fórmulas de la lógica proposicional y expresiones de la lengua española.

Inmediatamente se presenta uno de los conceptos centrales del curso: la consecuencia semántica. Al presentarlo se tiene por primera vez la posibilidad de asegurar con rigor cien- tífico que ciertas inferencias son correctas. Pero la reflexión sobre la relación de consecuencia semántica no debería restringirse a su presentación formal y su aplicación en la evaluación de algunos argumentos. Si se descuida este punto es muy posible que el alumno crea, con buenas razones, que la lógica se limita al trabajo dentro de determinados sistemas formales.

Esta idea, errónea como es, debe ser corregida rápidamente si es que ha llegado a surgir, porque esa concepción de la lógica como una actividad más o menos mecánica de evaluación de argumentos o de investigación acerca de si unas fórmulas concretas se encuentran en determinada relación con otras, además de desencaminada, es fuente de severos malentendidos acerca del papel de esta ciencia en el quehacer filosófico. Por este motivo, apenas resulta posible, se introducen reflexiones sobre los sistemas, bajo la forma de teoremas sencillos como monotonía o deducción.

Seguidamente, se presenta el otro concepto central del curso, el de consecuencia sintáctica.

Para él valen las mismas consideraciones que se hicieron para la consecuencia semántica. Se hace explícito que las relaciones entre consecuencia semántica y sintáctica deben aclararse, ya que ambas nociones se han propuesto como correlato formal de la consecuencia lógica, pero se posterga la cuestión para la cuarta parte.

La tercera parte del curso es estructuralmente igual a la segunda. Su objeto es la lógica de primer orden. He optado por presentar un lenguaje sin términos funcionales, debido al deseo de simplificar este primer acercamiento, y a que es sabido que no se pierde capacidad expresiva por hacer esa elección.

La cuarta parte no pertenece propiamente a un primer curso de lógica para estudiantes de filosofía. Está pensada especialmente para aquellos alumnos que deseen tener una somera idea de los problemas que se tratan en un segundo curso de lógica, intentando que intuyan que, por decirlo de algún modo, han aprendido apenas a trazar las letras y hay muchas palabras por escribir. Aquí se demuestran los teoremas de corrección para la lógica de primer orden, y de compacidad y completitud para la lógica proposicional. Idealmente, sería bueno ofrecerlo en primer lugar a quienes no seguirán estudiando lógica, pero el mundo real se aparta bastante del ideal en este aspecto.

Al final de cada capítulo (excepto el que sirve de introducción a la lógica de primer orden y los de la cuarta parte) se encuentra una sección de ejercicios. Se ha evitado, en lo que ha sido posible, saturar esas secciones con situaciones que se resuelven mecánicamente. Para los alumnos, muchas de las propuestas son problemas, no ejercicios, y algunas presentan cuestiones abiertas a amplias discusiones. Representan la vía más directa para que el alumno integre, a través de su propia actividad, a la lógica en su cultura filosófica y no la aprehenda como algo aislado. De ahí que considero de fundamental importancia trabajar sobre ellos o sobre problemas similares. La lógica no puede aprenderse en forma pasiva, y la filosofía, si es que se aprende, tampoco.

Al repasar lo expuesto se ve que los contenidos tratados se encuentran de acuerdo con las recomendaciones del Committee on Logic Education de la Association of Symbolic Logic

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IX

para un curso de este nivel, aunque este libro en particular no fue pensado a partir de ellas, que se pueden leer en el importante documento Guidelines on Logic Education¹, sino que se nutre por un lado de la tradición de la enseñanza de la lógica en la Facultad y por otro de lecturas y reflexiones personales, además de intercambios de ideas con los compañeros del Departamento de Lógica y Filosofía de la Lógica.

Vale la pena mencionar que tan pronto como se ha considerado que se tienen elementos para ello, se ha intentado establecer puentes entre los contenidos lógicos del curso y ciertos aspectos particulares que atañen a la filosofía, esperando mostrar al estudiante que la lógica no es una disciplina aislada de sus otros posibles centros de interés. Estos intentos aparecen bajo la forma de “excursos”, secciones autocontenidas dedicadas a temas estrictamente filosóficos en los que la lógica se puede aprovechar en forma fructífera. Así, la metafísica se hace presente al considerar la adecuación de la lógica intuicionista para las filosofías antirrealistas y en la crítica que Russell hace a la lógica aristotélica; la filosofía del lenguaje aparece al considerar los contextos indirectos fregeanos en conexión con las reglas sustitucionales y en la teoría de las descripciones definidas de Russell, y la teología en un análisis de la versión cartesiana del argumento ontológico.

El establecimiento de estas conexiones es prácticamente la única esperanza de que alguien no particularmente interesado por la filosofía de la lógica o la matemática considere la posibilidad de profundizar sus estudios de lógica, y no tenemos derecho a privarle de esa tentación.

En el epílogo se ofrecen consideraciones bastante personales, que no tienen más valor que el de ser las opiniones de alguien que ha pensado lo que dice, acerca del papel que cumple la lógica en la filosofía, su uso correcto en la evaluación argumental, y su valor formativo.

Todo el libro está escrito en una forma muy cercana a los modos orales de comunicación, sin presuponer conocimientos previos e intentando motivar cada uno de los conceptos introducidos. No requiere ninguna formación matemática previa, excepto elementos básicos de teoría intuitiva de conjuntos, que la mayoría de los estudiantes conoce. No quiere decir esto que carezca de rigor. Tiene el suficiente y quizá más que el necesario para un curso de estas características, pero no se confunde aquí rigor con notación compacta y abtrusa, o con explicaciones parcas o inexistentes.

A pesar de haber sido fuente de enorme placer, escribirlo también ha representado un gran esfuerzo, que yo sentiría plenamente justificado si sirve para despertar el interés y la admiración de un estudiante por este modo específico que la humanidad se ha dado de examinar e inquirir el más humano de sus productos, el discurso racional.

Montevideo, junio de 2016.

1Accesible en http://www.ucalgary.ca/aslcle/guidelines.

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Índice general

I Lógica

1

¿Lógica? . . . 3

1.1 Dos acertijos 3

1.2 Inferencias, proposiciones y argumentos 9

1.3 El problema de la calidad 13

1.4 Argumentos deductivos e inductivos 14

1.5 Lógica: primera aproximación 16

1.6 Una clase importante de argumentos válidos 17

1.7 ¿Qué es la lógica? 31

1.8 Ejercicios 32

2

Naturaleza, artiﬁcio y forma . . . 39

2.1 Las lenguas naturales 40

2.2 Lenguas artiﬁciales 42

2.3 Lenguajes formales 47

2.4 Lógica y lenguajes formales 56

II Lógica proposicional

3

^Sintaxis . . . 65

3.1 Alfabeto 65

3.2 Fórmulas 68

3.3 El bloqueo de la ambigüedad estructural 70

3.4 El teorema de lectura única 73

3.5 Árbol de formación de una fórmula 76

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XII ÍNDICE GENERAL

4

Semántica . . . 81

4.1 Verdadero, falso e interpretaciones 82

4.2 Tautologías, contradicciones y contingencias 84

4.3 Tablas de verdad 85

4.4 Asignaciones proposicionales e interpretaciones 88

4.5 Modelos y contramodelos 90

4.6 Vuelta a la biblioteca 93

4.7 ¿Decir lo mismo? Equivalencia 94

4.8 ¿Será suﬁciente? Conjuntos adecuados de conectivos 97

4.9 Ejercicios 104

5

Conectivos lógicos y lenguaje natural . . . 107

5.1 El conectivo ¬ 108

5.2 El conectivo ∧ 111

5.3 El conectivo ∨ 112

5.4 El conectivo → 113

5.5 El conectivo ↔ 115

5.6 Ejercicios 117

6

Consecuencia semántica . . . 121

6.1 La validez en el lenguaje formal 121

6.2 La relación de consecuencia semántica 124

6.3 Conjuntos insatisfacibles y contradicciones 124

6.4 Conjunto vacío y tautologías 125

6.5 Monotonía 125

6.6 El condicional asociado 127

6.7 El teorema de deducción (versión semántica) 130

6.8 El “absurdo” 131

6.9 Ejercicios 132

7

Consecuencia sintáctica. . . 137

7.1 Tras las huellas de los humanos 137

7.2 El sistema de deducción natural para LP 160

7.3 Consecuencia sintáctica 164

7.4 Heurística 167

7.5 Errores frecuentes al intentar hacer derivaciones 178

7.6 Propiedades de la relación de consecuencia sintáctica 182

7.7 Aparatos deductivos 185

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ÍNDICE GENERAL XIII

7.8 Excurso ﬁlosóﬁco: Lógica intuicionista 190

7.9 Ejercicios 199

III Lógica de primer orden

8

Introducción . . . 205

9

Sintaxis . . . 209

9.1 Alfabeto 209

9.2 Fórmulas 214

9.3 El teorema de lectura única 219

9.4 Árbol de formación de una fórmula 220

9.5 Lenguajes de Primer Orden 221

9.6 Ejercicios 223

10

Semántica . . . 225

10.1 Interpretaciones 225

10.2 Estructuras 228

10.3 Valores de verdad bajo una interpretación 230

10.4 Modelos, fórmulas válidas, tautologías 235

10.5 Conjuntos satisfacibles e insatisfacibles 239

10.6 Ejercicios 245

11

LPO y lenguaje natural . . . 249

11.1 La elección de los predicados 249

11.2 La cuantiﬁcación 252

11.3 En la práctica 253

11.4 La igualdad 256

11.5 Excurso filosófico: Descripciones definidas según Russell 257 11.6 Excurso filosófico: Una versión del argumento ontológico 262

11.7 Ejercicios 268

12

Consecuencia semántica . . . 271

12.1 Deﬁnición y primeros ejemplos 271

12.2 Propiedades de la consecuencia semántica en primer orden 274 12.3 La consecuencia semántica y la corrección argumental 276 12.4 Excurso ﬁlosóﬁco: Lógica aristotélica y crítica de Russell 279

12.5 Ejercicios 290

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XIV ÍNDICE GENERAL

13

Consecuencia sintáctica. . . 293

13.1 Las reglas de inferencia 293

13.2 El sistema de deducción natural para LPO 305

13.3 Consecuencia sintáctica 307

13.4 Heurística 307

13.5 Propiedades de la consecuencia sintáctica 317

13.6 Excurso ﬁlosóﬁco: Contextos indirectos 317

13.7 Ejercicios 320

IV Metateoría

14

Introducción . . . 325

15

Corrección . . . 327

15.1 La demostración 327

15.2 Consecuencias de la corrección 335

16

Compacidad y completitud . . . 337

16.1 Compacidad 338

16.2 Completitud de LP 343

16.3 En LPO 353

Epílogo: Lógica, ¿para qué? . . . 355 Bibliografía . . . 366 Índice alfabético . . . 371

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I

1

^¿Lógica?; . . . 3 1.1 Dos acertijos

1.2 Inferencias, proposiciones y argumentos 1.3 El problema de la calidad

1.4 Argumentos deductivos e inductivos 1.5 Lógica: primera aproximación

1.6 Una clase importante de argumentos válidos 1.7 ¿Qué es la lógica?

1.8 Ejercicios

2

Naturaleza, artiﬁcio y forma; . . . 39 2.1 Las lenguas naturales

2.2 Lenguas artiﬁciales 2.3 Lenguajes formales

2.4 Lógica y lenguajes formales 2.5 Ejercicios

Lógica

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1 | ¿Lógica?

E

n esta primera parte intentaremos dar una respuesta a la pregunta “¿Qué es la lógica?”. Como el lector imaginará, no se trata de una pregunta que admita una respuesta a la vez correcta, comprensible para quien la desconoce a priori y que se pueda dar en pocas líneas. Así es que comenzaremos un recorrido tendiente a responderla, en el cual revisaremos variados elementos necesarios para ello.

Por poco contacto que hayamos tenido con la ciencia de la lógica, sabemos que esta tiene relación con el razonamiento. Vamos, por tanto, a comenzar nuestro recorrido resolviendo algunos problemas y acertijos, con la esperanza de que esa actividad, que seguramente será divertida, nos ayude a aproximarnos a una comprensión cabal de qué es la lógica.

1.1 Dos acertijos Nurikabe

El nurikabe es un juego inventado en Japón en el año 1991, aparentemente por la compañía Nikoli¹, en el que se parte de una grilla cuadrada en algunas de cuyas casillas hay números, y el objetivo es determinar cuáles casillas son blancas y cuáles negras según reglas dadas. La figura siguiente muestra la disposición inicial de un nurikabe de 5 por 5 y su solución.

4 4

1 5

4 4

1 5

Antes de dar las reglas que nos permitirán determinar cuáles cuadrados deben quedar negros y cuáles no, introduzcamos dos términos que nos serán útiles: diremos que las casillas negras representan agua, mientras que las blancas representan islas.

Las reglas son:

1. Toda casilla debe quedar al final en negro (agua) o en blanco (o sea, formar parte de una isla o ser ella misma una isla).

1http://es.wikipedia.org/wiki/Nurikabe, consultada el 4 de agosto de 2013.

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4 Capítulo 1. ¿Lógica?

2. Todas las casillas que representan agua deben quedar conectadas; es decir se debe poder ir desde cualquier casilla con agua hasta cualquier otra también con agua sin pasar jamás por una isla. La conexión se da a través de los lados. Si dos casillas con agua comparten un vértice pero no un lado, ese contacto no cuenta como conexión.

3. No debe quedar ningún cuadrado de 2 por 2 formado solamente por casillas con agua.

4. Cada casilla numerada debe estar en una isla formada por tantas casillas como indica su número. Las islas están formadas por casillas conectadas por un lado. Ninguna isla debe tener más de una casilla numerada en su interior.

Observe que en la solución ofrecida se cumplen todas las condiciones impuestas por las reglas. Examinemos ahora la resolución de un nurikabe. En las figuras hemos agregado un sistema de coordenadas a la grilla (letras para las columnas, números para las filas), de modo que podamos referir a cada casilla individualmente. La disposición inicial es la siguiente:

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

Podemos resolver el problema de descubrir cuáles casillas tienen agua siguiendo este razonamiento:

paso 1: Observe la casilla a2. Según la regla 4, esa casilla debe constituir por sí sola una isla. Por lo tanto, debe estar completamente rodeada de agua. Por eso, se deduce que las casillas a1, b2 y a3 tienen agua.

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 2: Las casillas b5 y d5 separan casillas numeradas. Si no tuvieran agua, existirían islas con más de una casilla numerada en ellas, violando la regla 4. Por lo tanto, en b5 y d5 hay agua.

(19)

1.1 Dos acertijos 5

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 3: La regla 2 indica que todas las casillas que tienen agua deben estar conectadas.

Para que las casillas con agua a1, b5 y d5 no queden aisladas, es necesario que haya agua en b1, b4 y d4.

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 4: Por regla 4, en a4 no puede haber agua, para conformar la isla de a5. Entonces, la única forma de que el agua de a3 no quede aislada es que haya agua en b3.

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 5: Por regla 4, las casillas c4 y c5 deben conformar una isla, de manera que en c3 debe haber agua.

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 6: Por regla 4, las casillas e5, e4 y e3 deben conformar una isla, de manera que en d3y e2 debe haber agua.

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1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 7: Por regla 4, la casilla c2 forma parte de una isla de 3 casillas, que solo pueden ser c1, c2 y d2 o c2, d2 y d1. Y no hay más islas. En cualquiera de los dos casos, en la casilla E1 hay agua, y por tanto, en e1 hay agua.

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

paso 8: Por regla 2, el agua de las casillas e1 y e2 debe quedar conectada con el resto del agua que aparece en la grilla. La conexión puede hacerse o bien a través de e3, pero en este caso la isla de e5 quedaría con dos casillas, no con tres; o bien a través de d1 y c1, pero en este caso la isla de c2 quedaría con dos casillas, no con tres; o bien a través de d2. Esta es la única posibilidad de no violar las reglas. Entonces, hay agua en d2 y con esto queda resuelto el nurikabe propuesto.

1 2 3 4 5

a b c d e

2 2 3

1 3

Reflexionemos sobre lo que acabamos de hacer. Estamos absolutamente seguros de que hemos resuelto el nurikabe. Además, repasando el razonamiento que hicimos para conseguirlo, nos convencemos fácilmente de que hemos hallado la única solución de este. En cada paso hemos estado “obligados” a optar como lo hicimos, de manera que no hay otra solución.

Si se nos presenta la configuración inicial, y se nos dice que algunas casillas son blancas y otras son negras, respetando las reglas, podemos estar seguros, absolutamente seguros, a través del razonamiento hecho, de que si la configuración inicial es esa, y las reglas se cumplen, entonces las casillas negras son a1, b1, b2, a3, b3, b4, b5, c3, d2, d3, d4, d5, e1, e2, y las restantes son blancas.

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1.1 Dos acertijos 7 Es imposible que si es verdad que en un nurikabe de 5 por 5 la configuración inicial es la dada y las reglas se cumplen, la solución sea otra o no haya solución.

Examinemos ahora un conocido problema.

El oso

El problema del oso es muy famoso. Fue votado como uno de los diez acertijos más conocidos en la lista de correo Snark, dedicada a los juegos de ingenio², y considero poco probable que el lector no lo conozca. Sin embargo, será valioso analizarlo. El acertijo se enuncia así:

Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 hacia el este, y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió. ¿Cuál es el color del oso?

Es muy probable que si el lector conoce el acertijo, recuerde que en la versión por él conocida aparecía un cazador. Pero aquí analizaremos el pelaje del animal que pasea tranquilamente, sin que nadie lo moleste.

Parece que de los datos no podemos inferir nada sobre el color del oso. Después de todo, saber que algo se movió así o asá no parece decir nada acerca de su color. Pero examinemos el enunciado con más detenimiento. Tiene algo extraño: se nos dice que el oso comienza y termina su recorrido en el mismo punto. Hagamos un diagrama, suponiendo que el oso parte de A:

A D

B C

10km 10km

10 km

Obviamente, esto no puede ser. Aparentemente, el problema está mal planteado, ya que el oso no empieza y termina su recorrido en el mismo punto, sino en un punto que dista 10 kilómetros de donde partió.

Pero en realidad, el problema es nuestro, ya que este diagrama representa el recorrido del oso en un plano, y hace ya algún tiempo que la humanidad sabe que no vive en un planeta con forma de plato. Por lo tanto, una representación más adecuada sería la siguiente:

2Seguramente, la mejor lista de correo para compartir acertijos en español. Para inscribirse: http://mailman.

uba.ar/mailman/listinfo/snark.

(22)

N

S

W E

A D

B C

Ahora vemos que no es verdad, en general, que el oso termine a 10 kilómetros de donde empezó. Y también es obvio dónde puede empezar su recorrido el oso para cumplir las condiciones impuestas por el acertijo:

N

S

W E

B C

A=D

Aparentemente, el oso partió del Polo Norte y volvió allí. Nunca estuvo a una distancia mayor a 10 kilómetros del polo. ¿Es necesariamente esto así? Tal vez el lector no resuelva problemas de geometría esférica todos los días, de modo que adelantamos la respuesta: no, el oso también puede moverse en las inmediaciones del Polo Sur. Considere lo siguiente: existe un paralelo en el hemisferio sur cuya circunferencia mide exactamente 10 kilómetros. El oso puede haberse encontrado 10 kilómetros al norte de ese paralelo al comenzar su recorrido. Al caminar 10 kilómetros al sur, llega a ese paralelo, luego lo recorre completamente caminando siempre hacia el este, con lo que vuelve al punto en que llegó a ese paralelo caminando 10kilómetros, y al moverse al norte 10 kilómetros vuelve al punto de partida. La figura siguiente muestra una posible trayectoria del oso (en una escala exagerada):

(23)

1.2 Inferencias, proposiciones y argumentos 9 S

N

E W

Y no hay más lugares donde pueda estar el oso para cumplir con el enunciado del acertijo. Entonces, ni siquiera sabemos dónde está el oso. Sin embargo, en la Antártida (que es donde se mueve el oso si está en el hemisferio sur) no hay osos. Por lo tanto, el oso se mueve en las inmediaciones del Polo Norte. Así que, ¿de qué color es el oso? La respuesta parece obvia: si está en las inmediaciones del Polo Norte, debe ser un oso polar, y por lo tanto, blanco.

Es verdad que se considera que esa es la respuesta correcta al acertijo, y en cierto sentido, lo es. Pero, ¿realmente el oso tiene que ser blanco?

En realidad, si pensamos bien, el problema es totalmente equivalente, en cuanto a lo relevante, a “Hay un oso en el Polo Norte o muy cerca del Polo Sur. ¿Cuál es su color?”.

Nadie discutirá que es sumamente razonable responder que es blanco. Pero evidentemente, no es absolutamente seguro que el oso sea blanco, aun si está en el Polo Norte. Podría ser un oso grolar, un híbrido raro de oso polar y oso pardo, que tiene características de sus dos padres y su pelaje a veces no es blanco. Podría ser un oso pardo, perdido por allí. Podría ser de cualquier color, en realidad. Por improbable que parezca, podría ser un oso polar al que alguien haya pintado de rojo. Esto sin contar con que el enunciado del problema es compatible con que el oso esté en el hemisferio sur, en cuyo caso no tendríamos razón alguna para afirmar que es de un color u otro. Por supuesto, es muy poco razonable decir algo como que el oso es rojo. Pero es posible que el oso no sea blanco, por más que haya caminado 10kilómetros al sur, luego 10 kilómetros al este, luego 10 kilómetros al norte y haya vuelto a su punto de partida.

1.2 Inferencias, proposiciones y argumentos

Revisemos lo que hemos hecho con el nurikabe y el problema del oso. En ambos casos hemos partido de una información dada (la disposición inicial y las reglas del nurikabe en un caso; que el animal cuyo color debíamos hallar era un oso y el recorrido que hizo en otro), y hemos arribado a una conclusión.

¿Y qué es una conclusión? ¿Por qué algo es una conclusión? Parece claro que la conclusión es lo que afirmamos luego de examinar cuidadosamente la información proporcionada.

Ese examen fue necesario porque hay una determinada relación entre la conclusión y la

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información que nos dieron, una relación que no es fácil de precisar, pero que podemos presentar, en una primera aproximación así: en caso de que la información proporcionada sea correcta, la conclusión es muy plausible.

Vamos a llamar inferir a la actividad de extraer una conclusión de una información dada.

La inferencia correspondiente será la información dada junto con su conclusión, siempre que distingamos la conclusión de la información dada.

Es esta una definición muy amplia. Supongamos que estoy en mi casa, ya acostado, y siento hambre. Me levanto sin encender la luz y me dirijo a la cocina. Antes de llegar, siento un ruido de arrastre junto con un agudísimo dolor en el dedo meñique del pie derecho.

Infiero que me llevé por delante un mueble. En este caso, buena parte de la información relevante para extraer la conclusión está presentada en una forma dolorosamente sensorial, no lingüística. Por otro lado, si al otro día le cuento a un amigo “Anoche estaba ya acostado y me vino hambre. Me levanto sin prender la luz, doy un par de pasos y ¡pah! sentí que me arrancaban el dedo chiquito del pie derecho . . . ”, y mi amigo me interrumpe diciendo “¡Ja!

Te llevaste un mueble por delante.”, él ha concluido lo mismo que yo, pero lo ha hecho desde información presentada en forma lingüística, mediante un lenguaje, en este caso, el español.

Como veremos en breve, vamos a interesarnos exclusivamente por las inferencias en las que la conclusión surge o se extrae a partir de fragmentos lingüísticos, es decir, de expresiones de algún lenguaje, y llamaremos argumentos a estas inferencias. Desde este punto de vista, un argumento quedará determinado por un conjunto de expresiones lingüísticas: las que contienen la información dada, y la que contiene la conclusión.

Nos interesa volver a presentar la inferencia del nurikabe bajo esta luz. Para hacerlo, definamos algunos términos. Por “nurikabe de 5 por 5” entendemos una grilla cuadrada de 5 casillas de lado, en la cual algunas casillas contienen números. En un nurikabe 5 por 5 etiquetamos las columnas como a, b, c, d y e (en ese orden) y las columnas como 1, 2, 3, 4 y 5(en ese orden). Por “casilla xy” significamos la casilla que se encuentra en la columna x y en la fila y. Dos casillas diferentes se llamarán contiguas si comparten un lado, y diremos que dos casillas α y ω están conectadas por negras (blancas) si hay una sucesión de casillas negras (blancas) tal que cada casilla –excepto la primera– es contigua a la anterior, todas las casillas de la sucesión son negras (blancas) y la primera casilla de la sucesión es α y la última es ω.

Podemos mostrar así la inferencia colocando la conclusión bajo una línea horizontal sobre la cual se encuentran las expresiones que contienen la información dada:

inferencia del nurikabe

En un nurikabe de 5 por 5, en la casilla a2 hay un 1; en las casillas a5 y c5 hay un 2;

en la casilla e5 hay un 3 y ninguna casilla, además de estas, contiene un número. Toda casilla del nurikabe es blanca o negra (y no ambas cosas). Todas las casillas negras están conectadas por negras y no hay cuatro casillas negras que ocupen la intersección de dos filas consecutivas con dos columnas consecutivas. Si una casilla contiene el número n es blanca y existen exactamente n − 1 casillas blancas que no tienen número y están conectadas con ella. Además, todas las casillas blancas que no contienen un número están conectadas por blancas con exactamente una casilla que sí contiene un número.

Las casillas a2, a4, a5, c1, c2, c4, c5, d1, e3, e4, e5 son blancas; las restantes son negras.

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1.2 Inferencias, proposiciones y argumentos 11 Y podemos hacer lo mismo para la inferencia del oso:

inferencia del oso

Un oso caminó 10 kilómetros al sur de su punto de partida, giró al este y caminó 10kilómetros, giró al norte, caminó 10 kilómetros y volvió a su punto de partida.

El oso es blanco.

Ahora veremos qué características tienen las expresiones lingüísticas que nos proporcio- nan la información necesaria para hacer inferencias y las que sirven como conclusiones.

Hay una clase de expresiones que tienen la característica de que podemos decir de ellas que son verdaderas o falsas. La clasificación de las expresiones según los cánones de la gramática española no nos ayudará demasiado a identificarlas. Por lo tanto, apelaremos a nuestra condición de hablantes competentes de la lengua para identificarlas.

Podemos hacer una lista en dos columnas, y reconocer inmediatamente que de las expresiones de la izquierda podemos decir que son verdaderas o falsas, mientras que de las expresiones de la derecha no podemos decir lo mismo.

con valor de verdad sin valor de verdad Está lloviendo. ¿Está lloviendo?

Salió el sol. Ojalá salga el sol.

Partes el pan. Por favor, parte el pan.

Me duele. ¡Ay!

Los ejemplos podrían multiplicarse indefinidamente, pero no es necesario. La idea está suficientemente clara. Diremos que esas expresiones de las que podemos decir que son verdaderas o falsas expresan proposiciones.

Es conveniente que nos detengamos un poco en este punto. Advierta que no decimos que la expresión es la proposición, sino que expresa la proposición. Determinar qué es una proposición es un problema filosófico de importante calado, del que se ocupa la filosofía de la lógica. Sin profundizar en el problema, daremos la principal motivación para no identificar la proposición con la expresión lingüística que la expresa. Esta es que vamos a querer decir que las expresiones lingüísticas “Llueve”, “Está lloviendo”, “It’s raining”, expresan todas la misma proposición, aunque obviamente, como expresiones lingüísticas no son la misma. Es adecuado pensar que una proposición es aquello que puede ser verdadero o falso en una expresión lingüística de la que decimos que puede ser verdadera o falsa. La proposición sería el portador de la verdad o la falsedad. Por supuesto, todo esto puede parecer una sutileza inútil. En todo caso, el problema existe y no se conoce una solución que obtenga amplios consensos. Algunos filósofos piensan que las proposiciones son hechos, otros que son objetos abstractos, otros que son entidades mentales, otros se decantan por la opinión de que son clases de expresiones lingüísticas. Afortunadamente, para hacer lógica no es necesario saber qué es una proposición más allá de lo dicho: una proposición es aquello que puede ser verdadero o falso, y en forma derivada, decimos que una expresión lingüística es verdadera o falsa cuando lo es la proposición que esta expresa. Por eso, terminamos la discusión acerca de

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la naturaleza de las proposiciones en este mismo punto y continuamos con nuestro camino, no sin antes indicar al lector interesado que puede encontrar una somera discusión sobre el problema con referencias para profundizar en [Gra90].

¿Y por qué nos dedicamos a hablar de proposiciones? Estamos interesados en las proposiciones porque vamos a acotar nuestro análisis a inferencias en las que la información aportada, así como la conclusión están dadas a través de expresiones lingüísticas que expresan proposiciones, o sea, a argumentos. Es más, consideraremos que lo esencial en los argumentos no son las expresiones lingüísticas, sino las proposiciones que expresan. Que esto es razonable queda claro considerando los dos argumentos siguientes:

Argumento 1 Argumento 2

Está lloviendo. Llueve.

Debo salir a la calle. Tengo que salir a la calle.

No tengo el paraguas aquí. Estoy sin mi paraguas.

Me mojaré. Me voy a mojar.

Hay un sentido en el que nos gustaría decir que ambos argumentos son el mismo. Este sentido se podría expresar groseramente diciendo que se concluye lo mismo en ambos a partir de la misma información. Y si aceptamos que los argumentos son conjuntos de proposiciones con una destacada como conclusión, y que las proposiciones correspondientes son las mismas, aunque sus expresiones lingüísticas son diferentes, parece indiscutible que también debemos identificar ambos argumentos.

De ahora en adelante, las expresiones lingüísticas nos interesarán fundamentalmente en tanto expresan proposiciones, y más aun, cometiendo un abuso de lenguaje, hablaremos de las expresiones como si fueran proposiciones. Diremos, por ejemplo,

La proposición “Salió el sol”

queriendo significar la proposición expresada por la oración “Salió el sol”.

Continuando con este proceso de acercamiento gradual a nuestro objeto, reformulemos lo que es un argumento a la luz de lo que hemos dicho sobre proposiciones:

un argumento es un par formado por

1. un conjunto de proposiciones llamadas premisas.

2. una proposición llamada conclusión.

De acuerdo con esto, el esquema general de un argumento será:

Premisa 1 Premisa 2

... Premisa n Conclusión

Es importante recordar que tanto las premisas como la conclusión son proposiciones.

Por supuesto, los argumentos se expresan lingüísticamente, y así podemos referirnos a un

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1.3 El problema de la calidad 13 determinado texto como un argumento. Pero es el mismo caso que el de las proposiciones, es decir, el argumento, desde nuestro punto de vista, no es el texto que lo expresa sino el par formado por el conjunto de proposiciones que el texto expresa y se llaman premisas, y la proposición, también expresada por el texto, que llamamos conclusión.

Nos centraremos en los argumentos, ya que como veremos, de ellos es que se ocupa la lógica.

1.3 El problema de la calidad

Cuando resolvimos los acertijos del nurikabe y del oso construimos sendos argumentos.

Consideramos las proposiciones que aparecían en el enunciado del acertijo, las tomamos como premisas y obtuvimos una conclusión. Pero, por supuesto, nos costó cierto trabajo hacerlo. ¿Para qué nos tomamos ese trabajo? La respuesta es que nos tomamos ese trabajo para asegurar la calidad del argumento. Veamos qué significa esto, a través de algunos ejemplos de argumentos de los cuales intentaremos decir algo sobre su calidad.

Todo el dinero que tengo son tres monedas.

Las monedas que existen son de 1, de 2, de 5 y de 10 pesos.

Tengo 35 pesos.

No hay dudas de que este argumento es muy malo, y no vacilamos en decir eso porque en caso de que las premisas sean verdaderas, es decir, si la información aportada por las premisas es correcta, entonces la conclusión debe ser falsa. Consideremos este otro argumento:

Tengo 30 pesos.

Este segundo argumento no parece ser tan malo como el anterior, pero sin embargo, parece bastante malo. La información que las premisas aportan no es incompatible con la ofrecida por la conclusión, como en el caso anterior. Sin embargo, la verdad de las premisas no hace plausible la conclusión. Más bien, parece poco razonable afirmar la conclusión en base a la información aportada por las premisas. Esto es así porque la única forma en que la conclusión sea verdadera dada la información aportada por las premisas es que tenga tres monedas iguales de 10 pesos cada una, y la información que las premisas dan es compatible con muchos escenarios en los que eso no se cumple. Nos parece una conclusión extremadamente poco segura, muy arriesgada. Veamos el siguiente argumento:

Tengo menos que 13 pesos.

Este argumento no parece tan malo como el último. Por supuesto, es una inferencia arriesgada, ya que la información aportada con las premisas es compatible con que tenga 13,

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14, 16, 17, 20, 21, 22, 25, o 30 pesos, y en cualquiera de esos casos la conclusión sería falsa.

Pero también es compatible con varios casos –no solo con uno, aquí radica la diferencia con la inferencia anterior– en los que la conclusión sería verdadera. Como sea, la conclusión no parece firmemente apoyada por las premisas, aunque el apoyo que recibe es mayor que en la inferencia anterior. Veamos otra inferencia aun:

Tengo más que 3 pesos.

Este argumento parece bastante bueno. La información aportada por las premisas parece apoyar en un grado muy alto la conclusión. En caso que las premisas sean verdaderas, la conclusión lo será excepto solo en un caso: cuando las tres monedas que tengo sean de 1 peso cada una. Es una conclusión arriesgada, pero “sentimos” que el riesgo que asume es pequeño. Y consideremos un último argumento con las mismas premisas:

No tengo exactamente 10 pesos.

Veamos cómo se articulan las premisas y la conclusión en este caso. Si tenemos tres monedas, cada una de las cuales es de 1, de 2 , de 5 o de 10 pesos. ¿Cómo podría ser falsa la conclusión? Un rápido análisis de las posibilidades nos convence de que es imposible que la conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas.

Eso indica que la calidad de este argumento es excelente, inmejorable. No arriesga nada, la verdad de la conclusión está asegurada si está asegurada la de las premisas. En la próxima sección, distinguiremos los argumentos que tienen esta característica de los demás.

1.4 Argumentos deductivos e inductivos

Acabamos de ver que no todos los argumentos son igualmente “buenos”. Hay algunos en los que la verdad de las premisas no asegura la verdad de la conclusión, y entre estos hay

“grados de bondad”, es decir, el grado de apoyo que las premisas prestan a la conclusión puede ser variable. Estos son muy importantes, y se encuentran en la base de las afirmaciones que, con un alto grado de certeza, hacen las ciencias naturales. Por ejemplo, cuando se predice que en el interior de un tubo de vacío, una moneda y una pluma de ave, dejadas caer desde la misma altura, llegarán al fondo al mismo tiempo, se está haciendo una inferencia que podríamos representar así:

Las numerosas veces que se han dejado caer dos cuerpos en el interior de un tubo de vacío desde la misma altura han llegado al fondo al mismo tiempo.

Esta pluma y esta moneda serán dejadas caer desde la misma altura en el interior de un tubo de vacío.

Esta pluma y esta moneda llegarán al fondo al mismo tiempo.

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1.4 Argumentos deductivos e inductivos 15 Es este un argumento fortísimo, dado que muchísimas veces se ha repetido la experiencia (si la experiencia solo se hubiera hecho una vez, la inferencia no sería tan buena). No es razonable esperar que la pluma y la moneda no lleguen al mismo tiempo al fondo. Sin embargo, es claro que no es imposible que ese extrañísimo resultado se dé. Si bien las premisas apoyan la conclusión en un grado alto, no la apoyan totalmente.

Y no solo la ciencia depende de inferencias de este tipo, sino también muchísimas decisiones que tomamos en la vida cotidiana: cuando salgo de Facultad y voy a la parada de siempre a esperar el ómnibus para volver a mi casa, lo hago basado en una inferencia que tiene como premisa que el 188 ha parado muchas veces allí en un horario determinado, y concluye que dirigiéndome a esa parada podré tomar un ómnibus que me lleve a casa. Por supuesto, también se trata de una inferencia muy segura, pero no totalmente segura. Podría pasar, por ejemplo, que se decida cambiar el recorrido del 188 o que se suprima la línea.

Por otro lado, hay argumentos de los que no cabe decir que son más o menos seguros, o muy seguros, sino que son absolutamente seguros. La verdad de sus premisas asegura totalmente la de su conclusión. Es imposible que sean a la vez las premisas verdaderas y la conclusión falsa. Un ejemplo venerable es el que aparece en la memoria de tanta gente, asociado con alguna lección de lógica en la enseñanza secundaria:

Todos los hombres son mortales.

Sócrates es hombre.

Sócrates es mortal.

Observemos que la calidad de un argumento no tiene relación con la verdad o falsedad de las premisas y la conclusión consideradas aisladamente, sino meramente con la consideración de si la verdad de las premisas impone verdad a la conclusión. Por ejemplo:

Todos los perros tienen plumas.

Sócrates es perro.

Sócrates tiene plumas.

Este argumento es excelente, en el siguiente sentido: tiene la misma virtud que el anterior, de que la verdad de las premisas hace imposible la falsedad de la conclusión. Frente a este argumento, si alguien quiere afirmar que la conclusión es falsa, solo tiene el camino de decir que alguna de las premisas lo es, ya que, necesariamente, si las premisas fuesen verdaderas, la conclusión también lo sería. Eso no sucede con el argumento de la pluma y la moneda.

Alguien puede a la vez aceptar que hasta el momento los cuerpos lanzados desde la misma altura han llegado al fondo al mismo tiempo, pero negar que eso sucederá la próxima vez que se lancen. No es una postura que parezca razonable, pero en principio, es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa en ese caso.

Vamos a introducir una distinción que a esta altura debe parecer muy natural y reviste una fundamental importancia. Diremos que un argumento es válido si es imposible que su conclusión sea falsa siendo verdaderas sus premisas. Otra forma de decir lo mismo es la siguiente: un argumento es válido si es necesario que su conclusión sea verdadera si sus premisas lo son.

La validez es, en cierto sentido, un grado máximo de virtud de un argumento: las premisas dan apoyo total a la conclusión. Y como dado un argumento, sus premisas ofrecen

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apoyo total a su conclusión o no lo hacen, es una característica que los argumentos tienen o no tienen, no hay grados en ello. No hay argumentos más válidos que otros, solamente hay argumentos válidos y argumentos inválidos.

Un argumento que, además de ser válido, tiene premisas verdaderas, se llama sólido. Por supuesto, los argumentos sólidos tienen conclusiones verdaderas.

Las inferencias o argumentos que no son válidos tienen diversos grados de bondad.

En este libro nos ocuparemos solamente de la cuestión planteada por la división de los argumentos en válidos e inválidos. Básicamente, estaremos interesados en la determinación de la validez de los argumentos. Cuando un argumento es válido, se lo llama deductivo.

Caso contrario, lo llamaremos inductivo o no deductivo³. No está de más repetir que esta cuestión no tiene nada que ver con la verdad de las premisas y la conclusión consideradas aisladamente, sino con la cuestión de si la conclusión puede ser falsa siendo verdaderas las premisas. Si la respuesta es “No”, el argumento es válido. Si es “Sí”, se trata de un argumento inductivo.

El concepto introducido es tan importante que bien vale resaltarlo:

un argumento es válido si es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa, o dicho de otro modo, si es necesario que su conclusión sea verdadera si sus premisas lo son.

A veces esto mismo se expresa diciendo que en los argumentos válidos hay trasmisión necesaria de la verdad de las premisas a la conclusión, pero creemos que esta forma de hablar no es afortunada. Las premisas pueden perfectamente ser falsas, como hemos remarcado varias veces. Incluso pueden ser tales que en ningún caso pudieran ser verdaderas. Por supuesto, un argumento con premisas así será válido, porque es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa, ya que es imposible que sus premisas sean verdaderas.

1.5 Lógica: primera aproximación

La lógica es una ciencia, y en esta sección intentaremos aproximarnos a su objeto. Las ciencias pueden ser consideradas desde diversos puntos de vista, de los cuales dos muy prominentes son el que las presenta como conjuntos de teorías, un corpus organizado de conocimientos, y el que las presenta como una actividad humana inserta en la historia.

Desde el punto de vista histórico, hay cierto consenso acerca de que la lógica como ciencia tiene sus orígenes en la obra de Aristóteles, quien dedicó una serie de tratados pioneros a su estudio. En estos tratados, Aristóteles intentaba demarcar los “buenos” argumentos de los “malos”, con independencia de la verdad o falsedad de sus premisas. Por supuesto, no es que Aristóteles no se interesara en la verdad de las proposiciones, sino que buscaba las condiciones bajo las que se podía confiar en el resultado de una inferencia, supuesta la verdad de las premisas. No interesan ahora los detalles de la lógica aristotélica, que fue sumamente influyente a través de la historia, al punto de que pudo considerarse superada recién en el siglo XIX, es decir, unos 2500 años después de los tiempos de Aristóteles. Sin

3Esta clasificación de los argumentos no recoge consenso universal, en el sentido de que no todos los filósofos están de acuerdo en clasificar como inductivos a todos los argumentos no válidos. Es decir, hay clasificaciones que encuentran divisiones más finas que la que hemos planteado entre los argumentos no válidos. En estas clasificaciones, los inductivos son solo una clase de argumentos inválidos.

(31)

1.6 Una clase importante de argumentos válidos 17 embargo, este primer impulso es el que ha alentado fundamentalmente a la lógica desde siempre. Podemos decir que la lógica es una ciencia que se ocupa de los argumentos, centrándose en las formas de apoyo de las premisas a la conclusión.

Tradicionalmente, la lógica se ha ocupado de distinguir los argumentos válidos de los inválidos y del estudio de los argumentos válidos -aunque en el propio Aristóteles se encuentran rudimentos de una lógica que se ocupa de argumentos inválidos-. Una lógica que se ocupara de los argumentos inductivos debería ser capaz de determinar la fuerza o bondad relativa de estos, los diversos grados -no absolutos- en que la verdad de las premisas apoya la de la conclusión y este proyecto, que ha tenido un enorme impulso desde el siglo XX, es mucho más discutido que el de la lógica tradicional. Especialmente a partir de un famoso argumento de Hume, que pretende establecer que una inferencia inductiva nunca da razones para creer en su conclusión⁴ hay muchos filósofos que dudan incluso de la posibilidad de una lógica inductiva. A pesar de esto, es de destacar que actualmente se hacen ingentes esfuerzos en el sentido de desarrollar lógicas inductivas. Estos esfuerzos caen por completo fuera del interés de este libro, y además el lector debe estar advertido de que cuando se habla de “lógica” a secas, normalmente se está refiriendo a la lógica que se ocupa de la clasificación de argumentos en válidos e inválidos y al estudio de los primeros. Cuando se desea hablar de lógica entendiendo que se intenta la clasificación y calificación de los argumentos inválidos, se suele decir “lógica inductiva”.

A esta altura del desarrollo, debe estar claro que la lógica de la que nos ocuparemos -de ahora en más, simplemente “la lógica”- clasificaría la inferencia del nurikabe como válida, la del oso como inválida y podría arrojar luz sobre algunas cuestiones que aun no sabemos cuáles son concernientes a la primera. Análogamente, clasificaría como inválidas todas las inferencias de las tres monedas menos la última, a la que clasificaría como válida. Podría, además, aclarar algunos aspectos de esta inferencia.

Nuestra caracterización de la lógica, como ciencia que se ocupa de la discriminación de argumentos válidos e inválidos, y del estudio de los argumentos válidos, está lejos de ser completa. Veamos algunos aspectos necesarios para seguir comprendiendo qué es la lógica.

1.6 Una clase importante de argumentos válidos

Examinemos ahora algunos argumentos válidos, con el propósito de identificar alguna característica común que tienen muchos de ellos, y diferenciarlos de otros, también válidos.

Para ello, volveremos nuestra atención a una familia de acertijos, inspirados en la obra del eminente lógico, mago y escritor Raymond Smullyan, cuya lectura recomiendo con especial énfasis (el lector hallará referencias en la bibliografía).

La biblioteca

Si el lector ha disfrutado de la estupenda novela El nombre de la rosa, de Umberto Eco, recordará que en ella el protagonista, Guillermo de Baskerville, debe resolver varios enigmas en un ambiente dominado por la presencia de una maravillosa biblioteca. Allí hay una rígida

4El argumento, uno de los más brillantes de la historia de la filosofía (reconocer la brillantez de un argumento no significa compartir su conclusión), fue dado por Hume en varias de sus obras, pero se encuentra en forma compacta y clarísima en Compendio del Tratado de la naturaleza humana, disponible online en http:

//iesplayasanjuan.edu.gva.es/filosofia2bach/selectividad/humecompnh.pdf

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clasificación de las obras, con una sección dedicada a las heréticas, en las que la falsedad campea y cuya libre circulación se considera muy peligrosa. Para acceder a ellas hay que solicitar un permiso que rara vez se otorga.

Ficción por ficción, imaginemos que tenemos la suerte de llegar a una biblioteca medieval, dedicada solamente a guardar las obras de dos famosos escritores, Veratius y Mendacius.

Ambos escribieron sobre temas muy arcanos, desconocidos en su totalidad por casi toda la humanidad. Es común abrir uno de esos códices y encontrar frases como “El día que murió Julio César un gladiador llamado Rufus encontró dos sestercios en la Vía Apia”, o “Dios prefiere las biblias en códice a las biblias en rollo”. En general, casi todo lo que escribieron está más allá de nuestras posibilidades de verificación. Pero sin embargo, la posesión de esas obras es muy valiosa, porque todo lo que escribió Veratius es verdadero y todo lo que escribió Mendacius es falso. Por eso, es muy importante, al leer uno de esos libros, saber quién fue su autor. Sea el que fuere, la lectura nos dará conocimiento –si es que hacemos la atribución de autoría correcta–. En esta biblioteca, los códices, manuscritos originales, están dispuestos en estantes, y no tienen una marca de autoría que sea confiable en principio. En general, en el primer folio dicen algunas cosas (escritas por el autor) que pueden permitir hacer la atribución. Nuestro problema es clasificar los libros por autor en cada estante, tarea que se ve dificultada porque ambos autores eran maestros calígrafos y –quizá por ser hermanos gemelos– las maravillosas letras unciales que gustaban trazar son indistinguibles.

Recordemos que en esta biblioteca todo libro es de autoría de Veratius o de Mendacius, y que todo lo que dicen las obras del primero es verdadero, mientras que todo lo que dicen las del segundo es falso. Llamaremos “reglas de la biblioteca” a estas condiciones.

En los problemas que siguen, la solución se encuentra inmediatamente bajo el planteo. Quizá el lector quiera resolverlos por sí mismo antes de leer la solu- ción. Sería bueno que al menos lo intentara, para comparar sus razonamientos con los que ofrecemos. Estos razonamientos servirán de material de reflexión en más de una ocasión en el curso.

Un primer problema

En un estante hay tres códices. El título de uno es “Argos”, el de otro “Belerofonte” y el del último “Casiopea”. Tomamos Argos y lo abrimos, con intención de leer el primer folio. Para nuestra decepción, ha sido atacado por la humedad y parece haberse perdido una parte clave de la información que podríamos obtener. Solo llegamos a leer

Argos

Este libro fue escrito por$ius

En buena parte de donde figuraba un nombre encontramos algo ilegible. Abrimos Belerofonte, el que por suerte está mucho mejor conservado. Su primer folio dice

Belerofonte

En el primer folio de Argos su autor afirmo que fue escrito por Mendacius Finalmente, miramos el primer folio de Casiopea:

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1.6 Una clase importante de argumentos válidos 19

Casiopea

Belerofonte es un libro lleno de mentiras

Nos interesa especialmente saber quién es el autor de Casiopea, ya que hace mucho tiempo queremos investigar sobre su tema, que es métodos de maquillaje de las nereidas.

¿Cómo podemos resolver este problema, si ninguno de los libros dice algo que sea patentemente falso, como por ejemplo, “Dos más dos es igual a cinco” –en cuyo caso sabríamos que el autor es Mendacius–, o patentemente verdadero, como “Esto es un ejemplo de escritura” –en cuyo caso sabríamos que el autor es Veratius?

La clave está en imaginar qué es lo que podría haber originalmente en el folio que encontramos corrompido. Supongamos el autor de Argos fuese Veratius. Si así fuese, no podría escribir en su libro que el autor era Mendacius, porque estaría escribiendo algo falso.

Ahora supongamos que el autor de Argos fuese Mendacius. ¡Tampoco podría escribir que el autor era él mismo, ya que Mendacius solo escribe cosas falsas! Y no hay otra posibilidad, ya que en la biblioteca todos los libros son o bien de Veratius o bien de Mendacius. O sea, en todos los casos posibles, el primer folio de Argos no podía decir que fue escrito por Mendacius. Hemos deducido que ese folio no afirmaba que el libro era de Mendacius, aunque la información dada en el problema no lo dice explícitamente. Es importante notar que sabemos que en el primer folio de Argos no decía que era de Mendacius, pero no sabemos si lo es o no. Sin embargo, esto nos permite resolver el problema de averiguar el autor de Casiopea: en Belerofonte se dice que el primer folio de Argos afirmaba que había sido escrito por Mendacius. Esto tiene que ser falso, es necesario que Belerofonte sea un libro lleno de mentiras. Y eso es exactamente lo que afirma Casiopea, de modo que este está diciendo una verdad, y por lo tanto su autor es Veratius.

Ahora que hemos entendido cómo funcionan las cosas en esa biblioteca tan extraña, consideremos algunas situaciones particulares, de las cuales encontraremos unas sumamente sencillas y otras no tanto. En cada caso, luego de resolverlas, haremos alguna reflexión sobre lo que nos ha permitido hacer la inferencia conducente a la solución.

Todo lo contrario

En un estante se encuentran dos libros muy, muy viejos. Ambos han perdido su primer folio, ni siquiera sabemos sus títulos, de modo que los llamaremos 1 y 2. A continuación se muestra la primera oración de cada uno de ellos.

1

Dios existe Dios no existe

2

¿Qué podemos inferir acerca de estos libros?

Quizá haya entre los lectores algunos teístas, quienes pensarán que el primero fue escrito por Veratius. Tal vez haya algunos ateos, según los cuales el autor del primero es Mendacius.

Es posible que haya agnósticos, quienes no sabrán qué decir acerca de quién es el autor

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de cada uno de ellos⁵. Pero, por más que la creencia acerca de la existencia de Dios pueda dividir las opiniones, hay algo que está más allá de toda disputa: uno de los libros fue escrito por Mendacius, y el otro por Veratius.

Stricto sensu, esto es todo lo que podemos inferir a partir de los datos dados con absoluta seguridad. Es claro que la conclusión de que uno es de Veratius y el otro de Mendacius surge de que uno niega lo que el otro afirma. La proposición expresada por el segundo es la negación de la expresada por el primero, y recíprocamente. En un par así, necesariamente una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa. Además, la palabra “no” en la construcción del enunciado es la que nos indica que se está expresando la negación de la proposición anterior.

De modo que si el primer libro dice la verdad, el segundo miente, y recíprocamente. Por lo tanto, uno de ellos es de Veratius y el otro de Mendacius. El problema de resolver cuál de ellos es el de Veratius, queda para los libros de teología.

Los dos mentimos

En otro estante encontramos dos libros, titulados “Dragones” y “Esfinge”. Esfinge está tan deteriorado que solo es legible la parte superior de cada uno de sus folios, por lo que apenas si sabemos su título.

Pensamos que la única posibilidad que existe de descubrir quién es su autor –excluyendo la de encontrar en él una expresión que podamos clasificar como verdadera o como falsa, lo que no suele suceder en las obras de autores como estos, que se dedican a temas abtrusos–

es que otro libro se refiera a Esfinge. Ya hemos visto que, al igual que en la realidad, en esta ficción sucede que unos libros hablan de otros, de modo que al abrir Dragones encontramos que su primer folio (que está rasgado, pero perfectamente legible) tiene estas palabras:

Dragones

Dragones es obra de Mendacius y

Esfinge es obra de Mendacius

Clasificar estos libros es fácil. Se comprende inmediatamente que Dragones no puede haber sido escrito por Veratius, porque en ese caso tendríamos a este autor escribiendo algo falso, al atribuir la autoría del libro que escribe a Mendacius. Ahora que sabemos que Dragones fue escrito por Mendacius, podemos determinar la autoría de Esfinge. Si Esfinge también fuese una obra de Mendacius, resultaría que este habría escrito una verdad en el primer folio de Dragones. Pero eso es imposible, de modo que Esfinge tiene que ser obra de Veratius. Por lo tanto, la respuesta es que el autor de Dragones es Mendacius, y el de Esfinge es Veratius.

Esta inferencia se basó en el hecho fundamental –y previamente conocido por nosotros, como hablantes competentes del español– de que la proposición expresada en Dragones se construyó a partir de las proposiciones más simples “Dragones es obra de Mendacius” y

“Esfinge es obra de Mendacius” conectadas con un “y”, y en esas condiciones, la proposición constituida sería verdadera si y solo si lo fueran ambas constituyentes. Es algo que nos puede parecer trivial, pero sin apelar a eso, hubiera sido imposible resolver el problema.

5Y quizá haya algún lector de talante positivista, que adhiera al criterio empírico del significado y opine que en realidad, lo enunciado son pseudoproposiciones y por tanto, carecen de valor de verdad. A un tal lector le sugiero que sustituya los enunciados dados por “Hay vida en otros planetas” y “No hay vida en otros planetas”.

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1.6 Una clase importante de argumentos válidos 21 Acá hay un mentiroso

En otro estante encontramos otros dos libros, uno con el título de “Fe” y el otro titulado

“Gracia”. Miramos el primer pliego de Fe, donde se lee:

Fe

Fe es obra de Mendacius o

Gracia es obra de Mendacius

Como ya tenemos cierta práctica en esto de inferir la autoría de cada libro, decidimos no abrir Gracia e intentar deducirla solo a partir de los datos que obtuvimos con Fe. Otra vez la solución es fácil: supongamos que Fe fuese obra de Mendacius. En ese caso, Mendacius habría escrito una verdad, ya que lo escrito significa que al menos uno de los dos libros es de su autoría. Pero no puede ser que Mendacius escriba una verdad y por lo tanto, el autor de Fe debe ser Veratius. Ahora bien, si Gracia también fuese obra de Veratius, este habría mentido en el primer pliego de Fe, ya que hubiera escrito algo que implica que al menos uno de los dos libros es de Mendacius, pero ninguno de los dos lo sería. Por tanto, Gracia tiene que haber sido escrito por Mendacius. La solución es entonces que Fe es obra de Veratius y Gracia es de Mendacius.

En esta ocasión, lo que resultó fundamental para encontrar la solución fue el reconoci- miento de que la proposición expresada en Fe se componía por “Fe es obra de Mendacius”

y “Gracia es obra de Mendacius”, conectadas por un “o”, y de que en esas condiciones, la proposición constituida sería falsa si y solo si lo fueran ambas constituyentes⁶.

Si yo soy, él también

Y por fin encontramos un problema bastante más delicado. En una vitrina había dos libros, con los hermosos títulos “Hades” e “Infierno”, ambos con fuertes cierres metálicos.

Luego de maniobrar un poco con ellos, encontramos que el primer pliego de Hades reza:

Hades

Si

Hades es obra de Ueratius entonces

Infierno es obra de Ueratius

Con estos datos podemos inferir la autoría de ambos libros. ¿Cómo? (Se sugiere al lector pensar cuidadosamente este problema antes de leer la solución; y cuando vaya a leerla, hacerlo también con cuidado).

Comenzaremos contando una breve anécdota. Cuando yo era pequeño, la ley no prohibía a los padres dar palmadas a los hijos. Según me contaron, antes de que cumpliera los dos años, una vez estaba con mis padres caminando por la calle, y bajé de la vereda a la calzada.

Mi padre me levantó, me puso sobre la vereda y me dijo: “Si volvés a bajar a la calle, te daré una palmada”. Caminamos un poco más, yo volví a bajar a la calle. . . Inmediatamente

6Así hemos entendido el “o” en este caso. A veces se usa el “o” para significar que lo expresado será verdadero si y solo si uno y solo uno de los constituyentes es verdadero. Hablaremos de eso más adelante.