TEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas

TEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas

3.1.- Introducción.

3.2.- Solución de ecuaciones diferenciales lineales.

3.3.- Transformada de Laplace.

3.4.- Diagramas de bloques 3.5.- Matriz de Transferencia

3.6.- Métodos numéricos, simulación 3.7.- Problemas

3.1 Introducción

En este tema se aborda la descripción de diversos métodos que permiten obtener la evolución temporal de las magnitudes fundamentales que definen un Sistema Dinámico.

Al enfrentarse a este tipo de problemas siempre se plantean dos estrategias alternativas: la resolución analítica o la simulación numérica.

La descripción de los métodos analíticos se justifica por dos razones. En primer lugar representan una herramienta fundamental para el análisis; en segundo lugar, son una referencia fundamental a la hora de testar los resultados obtenidos por los métodos numéricos.

Por otro lado, la aplicación de los métodos numéricos se ha generalizado gracias al uso del computador y la aparición de programas de simulación. Dichos métodos suponen una herramienta fundamental para simular sistemas dinámicos cuando las técnicas analíticas no permiten integrar las ecuaciones del modelo.

En la primera parte del tema se introduce el método analítico tradicional. A lo largo de ella se aclaran algunos conceptos fundamentales como el Teorema de Unicidad y el Principio de Superposición. Asimismo, se definen los conceptos de respuesta libre y respuesta forzada.

En la segunda parte del tema se presenta el método operacional para la resolución de ecuaciones diferenciales. Basándose en la Transformada de Laplace se introducen elementos fundamentales como son la función de transferencia y los diagramas de bloques.

Por último, se describe sucintamente la aplicación de algunos métodos numéricos de integración, que permiten realizar la simulación y obtener el comportamiento de sistemas tanto lineales como no lineales.

3.2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales

3.2.1 Teorema se unicidad y principio de superposición

Encontrar el comportamiento temporal de un sistema o la evolución temporal de la variable de salida equivale a, conocidas las condiciones iniciales, encontrar la solución a la ecuación diferencial que define el modelo de representación escogido.

En primer lugar se enunciarán dos teoremas que establecen las condiciones en las que se puede resolver una ecuación diferencial y ciertas propiedades de las soluciones.

Posteriormente se introducirán las principales técnicas utilizadas para encontrar dichas soluciones.

3.2.1.1 Unicidad de las soluciones Teorema de Existencia y Unicidad:

Supóngase una ecuación diferencial lineal en la forma:

) ) ( ) (

(

0

t dt u

t y t d f

n

i

i i

i ⋅ =

∑

donde las funciones fi (t) son continuas en el intervalo abierto I que contiene al punto a. Entonces, dados n números yo, ..., yn-1, que cumplen las condiciones iniciales:

) 0

(a y

y = ;;; (a) y₁ dt

dy = ;;; ₂

2

) (a y dt

y

d = ; ....; ₁

1

)

( ₋

− = n

n

y dt a

y d

Existe una y solo una solución y(t) de la ecuación diferencial que cumpla las anteriores condiciones iniciales.

Si para una ecuación diferencial no están definidas las condiciones iniciales, pueden encontrarse infinitas soluciones a la ecuación. Una expresión que resuma este conjunto de infinitas soluciones se denomina Solución General de la ecuación .

La solución de la ecuación para unas condiciones iniciales dadas, ha de pertenecer a esta familia y se denomina Solución Particular de la ecuación.

Cuando se busca conocer el comportamiento temporal de un sistema dinámico, estamos interesados en conocer la solución particular de la ecuación diferencial en unas circunstancias concretas. Por tanto, para obtener el comportamiento temporal de un sistema dinámico, es necesario que esté bien definido el problema de condiciones iniciales, es decir, si el orden de la ecuación diferencial es n, se ha de disponer de n condiciones iniciales. Obsérvese que si el modelo viene dado por una ecuación de estado, será necesario que estén definidas todas las componentes iniciales de las n componentes del vector de estado y, por tanto, seguirán siendo necesarias n condiciones iniciales.

3.2.1.2 Principio de Superposición

Una de las características fundamentales de los sistemas estudiados en este tema es la linealidad.. Se dice que un sistema dinámico es lineal si, suponiendo todas las condiciones iniciales nulas, dadas las entradas g₁(t) e g₂(t) que producen respectivamente las salidas y₁(t) y y₂(t) (ver Figura 3.1) entonces, para una entrada

) ( )

( _{2 2}

1

1g t c y t

c + se produce la salida c₁g₁(t)+c₂y₂(t).

( )

g₁ SISTEMA →^y1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Figura 3.1. Sistema lineal, principio de superposición

De esta propiedad de Linealidad se puede deducir el Principio de Superposición:

Principio de Superposición

“La respuesta y(t) de un Sistema Lineal, debido a varias entradas )....

( ),

( ₂

1 t g t

g que actúan simultáneamente, es igual a la suma de las

respuestas a cada entrada actuando solas, cuando todas las condiciones iniciales del sistema son nulas.”

Esta propiedad permite resolver sistemas lineales con múltiples entradas con solo considerar la acción de cada una de ellas de forma independiente

Cualquier sistema que satisfaga el Principio de Superproducción es un Sistema Lineal.

3.2.2 Homogeneidad, Polinomio característico y Soluciones.

Antes de plantear ninguna estrategia de solución para una ecuación diferencial es necesario la definición de una serie de términos.

Dada una ecuación diferencial lineal en la forma:

) ) ( ) (

(

0

t dt u

t y t d f

n

i

i i

i ⋅ =

∑

se dice que la ecuación es homogénea si u(t) =0, es decir, si adopta la forma:

) 0 ) (

(

0

=

∑

= n

i

i i

i dt

t y t d

f ...

Si u(t)≠0 se dice que la ecuación es no homogénea.

Cuando se trata de encontrar una solución general a una ecuación diferencial no homogénea habrá que tener en cuenta también su versión homogénea.

Además, para el caso de las ecuaciones que se contemplan a lo largo de este capítulo, es decir ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes lineales invariantes en el tiempo, conviene definir el concepto de Polinomio Característico.

Para ello se considera el Operador Diferencial:

dt

D= d ; ...; _n

n n

dt D = d

Así, por ejemplo , la ecuación diferencial:

) ( 3 2

2 2

t g dt y

dy dt

y

d + + =

tiene asociado su Polinomio Característico

D² +3D+2 (λ² +3λ+2 en algunos autores).

y la llamada Ecuación Característica

D² +3D+2=0; Soluciones: ( D =-1 ; D = -2)

3.2.2.1 Solución de las ecuaciones homogéneas

La solución de una ecuación diferencial homogénea dependerá de los valores de las raíces del Polinomio Característico. Es decir de las soluciones de:

0

0

∑

= u

i i iD a

Dependiendo de que valores adopten éstas se pueden dar varios casos:

* Si las raíces son todas diferentes, las soluciones vienen dadas por un conjunto de n funciones linealmente independientes cuya forma es:

t D n t D t

D _u

e y e y e

y₁ = ¹ , ₂ = ² , =

donde Di son las raíces del Polinomio Característico. La solución general de dicha ecuación será una combinación lineal de las anteriores funciones.

Ejemplo:

0 2

2 3

2 + + y=

dt dy dt

y d

Ecuación característica: D²+3D+2=0; Raíces: D₁ =−1;D₂ =−2

Soluciones

y₁(t)=e^−t; y₂(t)=e^−2t

Comprobación:

₂ 3 2 3 2 0

2 ^−t + ^−t + e^−t =e^−t − e^−t + e^−t = dt

de dt

e

d

Por tanto, la Solución General de esta ecuación es:

t t

g t C e C e

y ( )= ₁⋅ ⁻ + ₂⋅ ⁻²

donde C1 y C2 son dos constantes. Cuando se trate de encontrar una solución particular, estas constantes tomarán valores determinados por las condiciones iniciales.

* Si las raíces se repiten, el conjunto de soluciones viene dado por

t D u t D t

D_{I i i i}

e t te

e , ,..., ⁻¹ donde u en la multiplicidad de la raíz _i D . _i

Ejemplo:

0

2 2

2

= +

+ y

dt dy dt

y d

Ecuación característica: D² +2D+1=0; Raíces: D =-1 doble.

Soluciones:y₁(t)=e^−t; y₂(t)=te^−t

La Solución General de esta ecuación es:

t t

g t C e C e

y ( )= ₁⋅ ⁻ + ₂⋅ ⁻²

Existen también otro tipo de posibles soluciones, dependiendo de si aparecen raíces complejas o raíces complejas repetidas. No se detallan estas posibilidades pues no es objeto de este tema desarrollar con detalle este método de solución de ecuaciones diferenciales.

3.2.2.2 Solución de la ecuación no homogénea

Si se desea obtener la solución particular de una ecuación diferencial no homogénea para unas condiciones iniciales determinadas es necesario: buscar primero la solución general de la ecuación homogénea y determinar su solución particular para las condiciones iniciales dadas (es lo que se llama respuesta libre de un sistema);

posteriormente se busca y una solución particular (normalmente para todas las condiciones iniciales iguales a cero) para la ecuación no homogénea (es lo que se llama respuesta forzada del sistema).

La Respuesta Libre es una combinación lineal de todas las soluciones de la Ecuación Homogénea donde los coeficientes de la combinación están determinados por las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo: Se trata de encontrar la repuesta libre yL del siguiente problema

y g

dt dy dt

y

d ₂ +3 +2 =

2

Condiciones iniciales: y(0) = 0; 1

0

=

=

dt t

dy

Ecuación característica: D²+ 3·D + 2 =0; Raíces:

2

; 1 ₂

1 =− D =−

D

Solución General Homogénea: Y_H(t)= Ae^−t +Be^2t

Sustituyendo:

1

; 1 1

1 2

2

0 )

0 (

0

2 20 0

=

=

→

=

−

→

=

−

−

=

−

−

=

−

=

→

= +

= +

=

−

−

−

−

A B B

B dt A

dy

Be dt Ae

dy

B A B

A Be

Ae y

t t

L

La respuesta libre es:

t t

l t e e

y ( )= ⁻ − ⁻²

La Respuesta Forzada es la solución cuando todas las condiciones iniciales son nulas y el sistema se encuentra sometido a la señal de entrada u(t).

Normalmente es difícil determinar. Existen distintos métodos entre los que cabe citar el método de los coeficientes indeterminados, en el que la solución particular depende mucho del tipo de función u(t) y se encuentra tabulada. El objetivo de este texto no es detallar este tipo de métodos, por lo que parece pertinente remitir a bibliografía más especializada en soluciones de ecuaciones diferenciales (Edwards y Penney, 1993) a aquellas personas que se encuentren interesadas en este tipo de métodos.

Como se ha dicho anteriormente, la Solución Completa para un sistema descrito por una Ecuación Diferencial con coeficientes constantes se obtiene sumando la Respuesta Libre y la Respuesta Forzada.

Ejemplo :

y g

dt dy dt

y

d ₂ +3 +2 =

2

Condiciones iniciales: y(0) = 0; 1

0

=

=

dt t

dy

considerando que g = cte. para t > 0.

La solución a la ecuación homogénea ya fue obtenida en el ejemplo anterior.

Para obtener la Solución Forzada se supone una solución del tipo

t D t D

f t A Be Ce

y ( )= + ¹ + ² ; considerando condiciones iniciales nulas:

0 0

) 0

( = A+Be⁻⁰ +Ce^−2⋅0 = →A+B+C = y_f

C B Ce

dt Be dy

t

p ₌₀ =− ⁻⁰ −2 ^−2⋅0 =0→ =−2

por tanto: B = -2C A = C.

Calculando la segunda derivada de la función:

t f t

Ce dt Be

y

d ₂

2 2

−

− +

=

y sustituyendo el valor de la segunda derivada, de la deriva y de la función en la ecuación diferencial:

2 2

2 3

2 g

A g dt y

dy dt

y

d + + = → =

así :

) 2

1 2( 2

1 2

) 1

( ^{t 2t t 2t}

f g e e

e e

t

y = − ⁻ + ⁻ = − ⁻ + ⁻

La Solución Completa será :

) 2

1 2( ) 1 (

)

(t y_l y_f e ^t e ^2t e ^t e ^2t

y = + = ⁻ − ⁻ + − ⁻ + ⁻



 −

= e^{− t} t

y ²

2 1 2 ) 1 (

3.2.3 Respuesta transitoria y estado estacionario.

La Respuesta Completa puede siempre separarse en una respuesta cuyo valor cobra importancia cuando t →∞, denominada respuesta de Estado Estacionario o Permanente, y otra respuesta, cuyo valor cobra importancia durante los primeros

instantes en los que se realiza la transición desde el estado inicial a la configuración final, es la llamada Respuesta Transitoria.

En el caso del ejemplo anterior pueden identificarse claramente ambas respuestas e t

t

y = − ⁻

2 1 2 ) 1 (

3.2.4 Solución a la ecuación de estado

La solución de una ecuación matricial de estado viene dada por : τ

τ τ

d u B e x

e t

x( ) ^At (0) ^{t At} ( )

0 )

( r

r

r = +

∫

donde e es una Función Matricial definida como : ^At

! ....

3

! 2

3 3 2

2⋅ + ⋅ +

+

⋅ +

= A t A t

t A I e^At

con I matriz identidad de la misma dimensión que A.

Ejemplo: Encuentre la evolución de x1(t) y x2(t) para el siguiente modelo de estado con las condiciones iniciales x₁(0)=-1; x₂ (0)=2



 



= 0 0

1

A 0 ; 



 



= 1

B 0 ; u(t) = g = cte. para t >0.

Solución:

En este caso: 0

0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

1

2 0 =

 



=



 



⋅



 



=

A .

Por tanto: A^K →K≥2=0; en consecuencia:



 



=



 

 +



 



=

1 0 1 0 0 0 1 0

0

1 t t

e^At



 



 −

=



 



 −

⋅



 



=

−

⋅

1 0 1 1 0 1 1 0

) 1

( _τ t τ t τ

e^{A t} y la solución se obtiene:

R. Transitoria R. Estacionaria

(

)

d t g

x x t t

x t

x ^t

⋅

⋅



 







 



 −

+



 



⋅



 



=



 



 ⁽₍⁾_{) 0}¹ ₁ ⁽₍⁰₀⁾₎

∫

2 1 2

1

· 2 2 2 1

2 1 )

( 2

1 ) (

2

0

0 2 1

t t g t

g t d

g t

t t

x ^t

t =− + + ⋅



 ⋅ −

⋅ +

⋅ +

−

=

⋅

⋅

− +

⋅ +

−

=

∫

t g d

g t

x^{2( )}=²+

∫

⋅













⋅ +

+ ⋅

⋅ +

= −



 





t g

t t g t

x t x

22 2

1 )

( )

( ²

2 1

3.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE.

El método que se introduce en este apartado constituye la base del análisis de los Sistemas Dinámicos. De hecho una de las aplicaciones más importantes es la caracterización de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, o sea , aquellos descritos por Ecuaciones Diferenciales con coeficientes constantes.

La transformación de Laplace es un método operacional que permite transformar una ecuación diferencial de variable real t en una ecuación algebraica de variable compleja s. A partir de aquí la solución de la ecuación puede encontrarse utilizando métodos algebraicos, como los empleados al resolver ecuaciones convencionales. La solución final se obtiene aplicando las tablas de transformadas en sentido inverso.

La Figura 3.2 resume la aplicación del método.

Figura 3.2. Método operacional para la resolución de ecuaciones diferenciales

3.3.1 Revisión de números complejos.

Se da nombre de número complejo a un par de números reales x e y sumados en la forma: z=x−iy, donde i es la unidad imaginaria pura i definida en la forma:

−1

= i

A partir de un número complejo se definen las siguientes magnitudes:

Números complejos z= x−iy →







= +

=

x arctg y

y z z

θ

2 2

Se denomina número complejo conjugado de z al número z=x−iy Existen distintas formas de escribir un número complejo. Por un lado se tiene la forma rectangular : z =x+iy z= z(cosθ jsen+ θ) .

Por otro, la forma polar: z = ze^iθ

La relación entre estas dos formas de escribir un número complejo queda representada en la Figura 3.3:

Figura 3.3. Representación de un número complejo

Una de las propiedades más útiles de los números complejos es el llamado Teorema de Euler:

θ θ

θ jsen

e

z = ⁱ =cos + ; z=e^−iθ =cosθ − jsenθ de donde puede escribirse:

cos 2

θ

θ =eⁱθ +e⁻ⁱ ;

j e sen e

i i

2

θ

θ = θ − ⁻

3.3.1.1 Variable compleja.

Una Variable Compleja es un número complejo cuya parte real e imaginaria son variables: s=σ + jω:

Por tanto:

§ σ →es la parte real

§ ω →es la parte imaginaria

§ s = σ² +ω² →Modulo o magnitud

§ ^arg

( )

módulo argumento

3.3.1.2 Función compleja

Una función compleja es una función con una parte real y otra imaginaria:

( )

F = +

donde

^F

( )

( )

Fx arctgFy s

F =

∠ Argumento

A lo largo de este capítulo se verán con frecuencia funciones de variable compleja expresadas en forma de cociente de polinomios como el que sigue a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

)

m

p s p s p s

z s z s z s z s s k

F + ⋅ + +

+ +

⋅ +

⋅

= +

....

) ....

(

2 1

3 2

1

3.3.2 Definición de Transformada de Laplace.

Sea ^f

( )

( )

( )

f ^−st

∞ ⋅

∫

donde s es una Variable Compleja s=σ + jw y se suele denota por :

[ ]

( )

( )

L =

Puede definirse también la Transformada Inversa de Laplace. Sea ^F

( )

Transformada de Laplace de ^f

( )

( )

F L^-1 [F(s)] a la integral “de contorno”:

( )

( )

t j

f ^{c j st}

j

c ⋅

= 2π

∫

1

(

)

Calcular la transformada mediante la propia definición puede ser en diversas situaciones un procedimiento complicado. Lo que se suele hacer es usar las tablas de pares de transformadas. Dichas tablas se utilizan para calcular transformadas y transformadas inversas, teniendo en cuenta que:

[ ]

( )

( )

L = ; ^L−1

[ ]

( )

( )

3.3.3 Tablas

3.3.4 Algunas propiedades de las transformadas de Laplace.

1º- Linealidad

Si ^f

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

f

a_{1 1} + _{2 2} ←→^L _{1 1} + _{2 2}

Ejemplo:

Calcular la transformada de ^f

( )

1º) En primer lugar se calcula la transformada del primer sumando: ^L

[ ]

buscando en la tabla

(

)

(

)

1

! 1 1 1

identificamos n=3

=0

a así ² 1₃ 2

1 t ↔ s

aplicando aquí la Linealidad

3

2 1

2 2 2 1

t ↔ ⋅s

⋅ ->

[ ]

^{( )}

2 2

s s F t

L = =

2º) En segundo lugar se calcula la transformada del segundo sumando:^L

[ ]

buscando en la tabla

e at

a s

↔ −

+ 1 es inmediato que

[ ]

^{( )}

e s

L ^t ₂

1 1 =

= +

−

así

( ) ( ) ( )

(

)

3 2 3

1 +

+

= + + +

= +

= s s

s s s

s s F s F s F

2º- Derivación real

Si ^f

( )

( )

( )

( ) ( )

dt

d ↔ −

Ejemplo:

Calcular la transformada de la deriva de la función seno

( ) ( )

ω ω

= +

↔

=sen t F s s t

f

( )

( ) ( )

= +

−

⋅

↔

= ω

ω ω

ω s

sen s s F s dt t

t df

Puede confirmarse este resultado con solo mirar las tablas:

[

] [

]

ω ω ω

ω ω

ω = = +

s t s L t L

3º- Transformada de la Integral

Si ^f

( )

( )

( ) ] ^{( )}

) (

[ s

dt t f s

s d F

f

L

∫

∫

4º-Teorema del Valor Inicial

Si ^f

( )

( )

( )

( )

( )

s

t⇒ = ⇒∞

=lim lim 0

0 para t > 0

5º- Teorema del Valor Final

Si ^f

( )

( )

( )

( )

( )

8º- Retraso en el Tiempo (Traslación en el tiempo).

Si ^f

( )

( )

(

) (

)

( )

↔ −

−

⋅

−

9º- Traslación en la Frecuencia.

Si ^f

( )

( )

( )

(

)

Ejemplo: Calcular la transformada de ^f

( )

Mirando las tablas y considerando la traslación en frecuencia:

( ) ^{( )}

101 2

2 2 10

) 1 (

1 10 2

cos

2 _{2 2 2}

+ +

= + + +

= +

−

s s

s s

t s e

L ^t

( )

4 4! 24

s t s

L = ₊ =

Aplicando la propiedad de la linealidad la transformada total es la suma delas transformadas:

( )

5 6

7

2 5

6 5

2 2 101

2424 48

24 2 2 24 101 2

1 ) 2

( s s s

s s s

s s s

s s s

F + +

−

−

−

= + + −

+

= +

3.3.5 Funciones Singulares.

Los sistemas suelen excitarse con ciertas funciones singulares que facilitan el estudio de la respuesta temporal:

• Escalón Unitario

Figura 3.4. Función escalón

La señal escalón suele utilizarse para considerar una entrada cuyo valor aparece a partir del instante t0 y que se mantiene constante a partir de ese momento.

• Rampa Unitaria.

Es la integral del Escalón Unitario. Suele utilizarse para simular situaciones en las que la señal de entrada evoluciona de forma creciente en el tiempo a partir del instante t₀.

1 para t > 0

0 para t < 0 L[u(t)]=

s u(t) 1

Figura 3.5. Función rampa unitaria

• Función Impulso: δ(t)

Es una señal que vale siempre cero, excepto en t = 0, momento en la que la función alcanza un valor infinito.

Figura 3.6. Función impulso

Una característica de esta función es que su integral definida a lo largo de R es igual a ^+∞

∫

∞

−

δ t

La función impulsión no existe como fenómeno real, sin embargo esta función puede considerarse como el límite de una señal pulso, de amplitud 1/d, que comienza en a y termina en a+d, cuando d tiende a cero.

Este tipo de señal suele emplearse en sistemas mecánicos para representar una interacción, que tiene lugar en un breve intervalo de tiempo, en la que se produce la transferencia de impulso, energía etc.

3.3.6 Función de Transferencia

Una de los principales objetivos de la teoría de sistemas consiste en establecer las relaciones entre las señales entradas y las señales de salida. Estas relaciones, como se verá, depende de la naturaleza y configuración del sistema, siendo independientes del

t para t > 0

0 para t < 0 L[r(t)]= 1₂ r(t)=u(t)· t s

∞ para t = 0 0 para t ≠ 0

L[δ(t)]= 1 δ(t)

tipo de señales de entrada que se consideren. El concepto de función de transferencia permite determinar dichas características propias y establece un mecanismo que permite conocer a priori el tipo de comportamiento y respuesta del sistema estudiado.

La Función de Transferencia de un sistema descrito por Ecuaciones Diferenciales Lineales Invariante en el Tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, cuando todas las condiciones iniciales son nulas.

Por tanto, dado un sistema definido por la ecuación diferencial:

dt t f b d t

f b t x dt a

t x a d

m m n

n

) ) (

( )

) ( (

0

0⋅ = ⋅ + + ⋅

+ +

⋅ K L

Si se consideran condiciones iniciales nulas, aplicando la transformación de Laplace es posible escribir:

) ( )

( )

( )

(s a₀ X s b₀ F s b s F s

X s

a_n⋅ ⁿ +K+ ⋅ = ⋅ +L+ _m⋅ ^m

Sacando factor común X(s) y F(s) es posible encontrar la relación entre ambas transformadas:

s a s

a

s b s

s b s G F

s X

n n

m m

⋅ + +

⋅

⋅ + +

= ⋅

=

0

) 0

) ( (

) (

L K

Dado que la función de transferencia se expresa como cociente de dos polinomios, es frecuente escribir estos como producto de monomios:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

)

m

p s p

s p s

z s z

s z s z s s k

G − ⋅ − ⋅ −

−

⋅

−

⋅

−

⋅

= −

....

) ....

(

2 1

3 2

1

Los punto puntos en los que ^G

( )

Los puntos en los que el denominador se hace cero, es decirG(s)→∞,se llaman polos, en este caso p₁,p₂,...p_u.

Si el Denominador contiene factores del tipo

(

)

Ejemplo: Calcular la función de transferencia a partir de la ecuación diferencial

) (

2 f t

dt y df dt

dy+ = + ; ->

(

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)

=

= s

s s F

s s Y G

Merece la pena realizar una serie de comentarios sobre la función de transferencia:

1- La aplicación del concepto definido de Función de Transferencia queda limitado a sistema descritos por Ecuaciones Diferenciales Lineales e Invariantes en el Tiempo.

2- La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta del sistema a la señal impulso con condiciones iniciales nulas.

( )

δ SISTEMA →^yδ

( )

Figura 3.7. Respuesta impulsional

En efecto, a partir de la definición puede escribirse

( )

( ) ( )

Y = ⋅

Dado que

( )

[ ] ( )

F δ

con lo que

( )

( )

Y = ^{⇒ y(t)=g(t)=L−1}

[ ]

( )

La función g(t) se denomina repuesta impulsional del sistema, y es otra forma de descripción externa de un sistema dinámico, ya que es posible encontrar a partir de ella la repuesta del sistema a cualquier señal de entrada. En efecto, la repuesta temporal puede escribirse en la forma:

( )

y

t

⋅

⋅

−

=

∫

∞

−

) ( ) (

3- La Ecuación Diferencial de un sistema, puede obtenerse a partir de ^G

( )

cambiando s por dt

d .

Ejemplo:

( ) ( ) ( )

( )

U s Y s

s s s

G =

+ +

= +

1 1 2

2 ; ->s²Y(s)+sY(s)+Y(s)=2sU(s)+U(s)

así u

dt y du dt dy dt

y

d + + =2 +

2 2

4- La Ecuación Característica corresponde al Denominador de la Función de Transferencia.

5- Las raíces del Numerador son los ceros del sistema y las raíces del Denominador son los polos del sistema.

Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema eléctrico de la figura

Figura 3.8. Circuito con fuente de corriente continua

En el tema anterior se vio que la ecuación que modelaba el comportamiento del sistema era:

dt I dV C dt

R⋅dI + 1 = ⁱ

La transformada de la expresión es:

Vi

s s C I s I s

R⋅ ⋅ + 1 ( )= ⋅ )

(

Sacando factor común y despejando la función de transferencia queda:

s RC

s C s

V s s I

G

i + ⋅

= ⋅

= ( ) 1 ) ) (

(

Observe que el sistema tiene un cero en s = 0 y un polo en s = RC

− 1

Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema mecánico de la figura.

Figura 3.9. Sistema de masa con resorte y amortiguador

En el tema anterior se vio que la ecuación que modelaba el comportamiento del sistema era:

F y k y y

m^••+µ⋅^•+ ⋅ = La transformada de la expresión es:

) ( ) ( )

( )

2 (

s F s Y k s Y s s

Y s

m⋅ ⋅ +µ⋅ ⋅ + ⋅ =

Sacando factor común y despejando la función de transferencia queda:

k s s

m s F

s s Y

G

i = ⋅ + ⋅ +

= ² µ

1 )

( ) ) (

(

3.3.7 Cálculo de la respuesta de un sistema a una señal de entrada La transformada de Laplace permite encontrar la respuesta de un sistema a una entrada específica cuando las condiciones iniciales son nulas (es decir obtener la respuesta forzada):

A partir de la definición de Función de Transferencia se puede escribir:

( )

( ) ( )

Y = ⋅

( )

y se puede calcular simplemente calculando la transformada Inversa:

[ ]

( )

[

( ) ( )

]

L t

y( )= ⁻¹ = ⁻¹ ⋅

Otra alternativa es utilizar la función impulsional:

( )

(

) ( )

y =

∫

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para calcular la respuesta forzada de un sistema.

Ejemplo : Calcular la respuesta de un sistema mecánico descrito por:

) (t f kx x m^••+ =

donde : m = masa y k = constante elástica, cuando la fuerza de entrada es igual a la señal impulso y sus condiciones iniciales son nulas.

La entrada la señal impulso , por tanto:

( )

kx x

m^••+ =δ con condiciones iniciales nulas.

La función de transferencia :

( ) ( )

2X s k X s F s

s

m⋅ + ⋅ = ;

( )

m s k

m k

s ms G

+ + =

=

2 2

1 1

Por tanto: ^y(t)=L−1

[

]

Como ^L[δ

( )

















+

= ⁻

m s k L m t y

2 1

1 )

(

puede verse en la tabla que :

t

s ↔sen ⋅

+ ω

ω ω

2 2

si hace

m

= k ω2 ;

m

= k

ω es posible escribir:

( )















  +

= ₂

2

1

m s k

m k

m k s m

X

entonces

( )

m sen k m

k t m

x = ⋅

1

si se simplifica es posible escribir

( )

m sen k t km

x 1

=

3.3.8 Cálculo de transformadas inversas

El método más aplicado en el cálculo de la Transformada Inversa de Laplace es el llamado método de expansión en fracciones parciales. Primero se considera que ^F

( )

puede expresarse de forma racional :

( ) ( ) ( )

D s s N

F =

Para hacer la expansión, debe cumplirse que grado

[

( )

]

[ ]

( )

contrario se realiza la división

( )

( )

( ) ( )

[ ]

D s

N = + y luego se realiza la expansión de

( ) ( )

D s R .

A continuación se introducen las técnicas de expansión en fracciones múltiples mediante ejemplos.

Básicamente pueden encontrase dos casos:

1.- ^F

( )

( )

2 2

2 2

+ +

+

= +

s s

s s s

F

como grado

[

( )

]

[ ]

( )

1 2 3 2 3

2

2 ²

2

2 + +

−

−

−

+ +

−

s s s s

s s

S

así

( )

2 1 ₂ 3

+

− +

= s s

s s F

Polos s = -1 y s = -2

(

) (

)

) 2 )(

1 ( 2

2 3 + +

= + +

= + +

+ s

B s

A s

s s s

s s

Las constantes A y B se denominan residuo de la función en el polo correspondiente y se calculan como sigue :

Se multiplican ambos lados de la expresión por (s+1)

( ) ( )

( ) ( )

(

)

1 1 )

2 )(

1 (

1

+ + + ⋅

+ +

= ⋅ + +

+

⋅

s s B s

s A s

s s s

Si se evalúan ambos lados de la expresión para s=-1

(

)

− =

 =

 



= +

−

=

s s

A s

Para calcular B se multiplican ambos lados de la expresión por (s+2) y se evalúan para s = -2:

1 2 2

2 )

1

( ₂ =

+

−

= −



 





= +

−

=

s s

B s

Así queda:

( )

2 1 1 1

− + + +

= s s

s F y usando las tablas

( ) ( )

f =δ + ⁻ −2 ⁻² t >0

2.-^F

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

1 1 1

1 3 2

+ + + +

⇒= + +

+

= +

s A s

A s

A s

s s s

F

Se calcula A multiplicando izquierda y derecha por ₃

(

)

( ) ( ) ( )

( )

2 3 1

2

3 1 1

1 3

1 2 A s A s A

s s

s s = + + + +

+ + + +

evaluando para s = -1

1−2+3= A₃ ⇒ A₃ =2

Se calcula A derivando una vez la expresión anterior ₂

[

]

[

⁽

⁾

^{( )}

]

ds

d + + = + + + +

( )

1 1

2 2

2s+ = A s+ +A

y evaluando en s =-1: ⇒0= A₂

A se calcula derivando dos veces la expresión original y evaluando: 1

[

]

[

^{( )}

^{( )}

]

2 2

1 1

3

2 A s A s A

ds s d

ds s

d + + = + + + +

1 2

2= A₁ ⇒ A₁ = Así

( )

(

)

F y usando tablas

( )

f = ⁻ + ⋅ ^{2 −} 2

2 t > 0

Ejemplo: Calcular la transformada inversa de

( ) ( ) ( )(

)

2 + +

= +

s s s s s F

No hay que realizar la división ya que grado N(s) < grado D(s)

Polos : 3 1 0

−

=

−

=

=

s s s

( )

3

2 1

2 1

+ + + +

+

= s

C s

B s

A s s A F

primero se calcula B y C

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

(

)(

)

3

2 5 3

1 2 1 5

3 2

1 2

− =

= −



 





+ + + +

=

 =



 





+ + + +

=

−

=

−

=

s s

s s s s s C

s s s s s B

Se calcula ahora A₂ multiplicando izquierda y derecha por s ²

( )

( )(

) (

)

2 2

2

1 + +

+ + + + =

+ +

s Cs s

A Bs s s A

s s

evaluando en s = 0 ₂ 3 10 = A

Para calcularA se deriva la expresión anterior ₁

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) (

)

3 1

5 ^{2 2}

2 1

2 +

− + +

+

− + +

+ = +

+ +

− + +

− + +

s

Cs s

Cs s

Bs s

A Bs s

s

s s s

s s

s

evaluando en s=0

9 25 9

10 30 15

1 1

= −

⇒

− =

− A A

así

( )

1 18

5 1 1 2 5 1 3 10 5 1 9

25

2 + +

+ +

− +

= s s s

s F

con lo que, usando las tablas, se obtiene:

( )

( )

f ³

18 5 2

5 3 10 9

25 _{− −}

+ +

+

−

= t > 0

3.3.9 Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de Ecuaciones Diferenciales.

La idea fundamental del método consiste en someter a la ecuación diferencial a la transformada de Laplace. Una vez hecho esto, en la expresión obtenida aparece la transformada Y(s) de la función incógnita y(t) tal y como si se tratara de una incógnita en una ecuación tradicional . En ese punto, el método consiste en despejar Y(s) y expresarla en función de todos los términos conocidos. a la expresión obtenida se le aplica la transformada inversa y de esta manera se alcanza el valor de y(t).

Para facilitar la comprensión del método se presenta un ejemplo:

Sea la ecuación homogénea: ^•x^•+3x^•+6x=0 con las condiciones iniciales

( )

x ; ^x•

( )

Si se aplica la Transformada de Laplace a la ecuación :

( ) ( )

sX

x^• ↔ − ^{•x•↔s2X}

( ) ( ) ( )

así la ecuación diferencial se transforma en :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2X s −sx −x^• + sX s − x + X s =

s

es decir:

( ) ( ) ( ) ( )

6 3

0 3 0 0

2 + +

+

= +

•

s s

x x

s sx X

sustituyendo valores

( )

3

2 + +

= −

s s s

X

Para calcular la respuesta ^x

( )

( )

2 15 2

3 2

24 9 6 3

2 3

j s

s

s + + ⇒ = − ± − = − ±

Son dos polos complejos conjugados, por tanto se puede escribir: