ECUACIONES INTEGRALES LINEALES

José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. Abril- 2008

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Una vez más pongo en el ciberespacio, para compartir con mis amigos cibernautas mis notas de clase, con las cuales creo firmemente que cumplo con mi propósito de llevarles asignaturas que contribuyan en la formación del matemático virtual y con el contenido estoy siendo fiel a mi propósito inicial, de un aprendizaje por medios virtuales.

CONTENIDO

PROLOGO

§1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES

1.1. Ecuaciones integrales de primera especie. 1.2. Ecuación de Abel.

1.3. Ecuación integral de segunda especie. 1.4. Problema que lleva a ecuaciones integrales.

1.5. Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales. 1.6. Ejercicios.

§2. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES. 2.1. Método de los determinantes de Fredholm.

2.2. Núcleos iterados. 2.3. Ejercicios.

§3. TEORIA CUANTITATIVA.

ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO. 3.1. Ecuaciones de Fredholm.

3.2. Ecuaciones de Hammerstein.

3.3. Raíces características y funciones propias. 3.4. Ejercicios.

§4. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS FUNCIONES INTEGRALES. 4.1. Conceptos Fundamentales.

4.2. Operadores integrales de Fredholm. 4.3. Ecuaciones de núcleo simétrico. §.5. ALTERNATIVA DE FREDHOLM

5.1. Caso de las ecuaciones integrales.

5.2. Teoremas de Fredholm. Caso de los núcleos degenerados. 5.3. Teoremas de Fredholm para ecuaciones de núcleo no degenerado.

5.4. Demostración de los Teoremas de Fredholm. 5.5. Ejercicios.

BIBLIOGRAFIA.

P R Ó L O G O

Al igual que el estudio de la geometría, en nuestro país el estudio de las ecuaciones integrales presenta un gran desinterés dentro de nuestro medio matemático, no obstante su notable aplicación especialmente en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales.

Alguna vez el Dr. Yu Takeuchi me invitó a estudiar algunos planteamientos sobre el problema de Dirichlet; entonces sentí una sensación que me llevaba a una ampliación sobre la teoría de integración y en especial sobre las ecuaciones integrales y me dije; en los distintos coloquios en los cuales he participado nunca mencionan esta gigantesca rama del análisis funcional, ésta es la razón que me lleva a presentar en un coloquio estas notas de clase, con el ánimo de extender lo que ya había hecho en otros coloquios, relativa a las ecuaciones diferenciales y en la misma dirección divulgativa.

Quiero enfocar estas notas como una herramienta para trabajar en dirección a los operadores de Fredholm y en particular mostrar la famosa Alternativa de Fredholm, tópico del cual tengo algunos resultados generalizados hacia operadores monótonos y de los cuales ya he hecho algunas notas divulgativas en el Boletín de Matemáticas del año 1987. Estas notas constan de 5 parágrafos; el primero está dedicado a la presentación de la teoría, con su motivación historica; los dos parágrafos siguientes los dedico al estudio cuantitativo de las ecuaciones integrales lineales y los dos últimos a la parte cualitativa de la teoría, finalizando con un breve estudio de los operadores integrales, punto de contacto con el análisis espectral.

Para el lenguaje he usado la palabra degenerado en lugar de separable y no degenerado en lugar de inseparable, pues históricamente Fredholm usaba este lenguaje.

§1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES.

Dada una función continua a tramos y de orden exponencial 0 Ba b, entonces podemos hablar de su transformada de Laplace la cual está dada por

P 0 œa b

'

_!_ =>/ 0 > .> œ J =a b a b

Ahora bien, si conocemos la transformada de Laplace J =a b de una función y deseamos recuperar la función, la hallamos mediante la transformada inversa de Laplace, usando la fórmula de inversión

. 0 B œa b

'

_{<3 _}<3 _ =B/ J = .=a b

En el caso de transformada de Fourier para la función 0 Ba bestá dada por 0 B œa b _#"₁

'

_{_}_ 

'

_{_}_ 0 @ /a b 3A B@a b.@ .A‘

la cual puede escribirse en la forma 0 B œa b _{È 1}"_#

'

_{_}_ - A /a b 3AB.A donde . - A œa b " 0 @ /a b .@ # _ _ _3A@ È 1

'

llamada transformada inversa de Fourier de 0 Ba b y nos brinda una manera de recuperar a la función dada.

Estas fórmulas de inversión son exactamente ecuaciones integrales, y como en el álgebra, la resolución de una ecuación es un proceso de inversión. Por otra parte la fórmula integral de Poisson, muy conocida al estudiar el potencial, dada por

? <ßa b) œ

'

_{_}_ T > <a )b a b? "ß > .> donde

es una de las ecuaciones integrales más conocidas. 1.1. Ecuaciones integrales de primera especie. Una ecuación de la forma

'

₊,

O Bß >a b a b9 > .> œ 0 Ba b a"Þ"Þ"b es llamada Ecuación integral lineal de primera especie . Las funciones O Bß > ß 0 Ba b a b son conocidas, lo mismo que los límites y son números+ , dados. El objeto del problema es la determinación de la función desconocida 9a b> la cual debe tener por dominio al intervalo cerrado Ò+ß ,Ó. La función O Bß >a b es universalmente conocida como el núcleo de la ecuación integral.

Un caso especial se presenta cuando el límite superior es la variable independiente y el límite inferior es cero, en ese caso la integralB +

'

_!B

O Bß >a b a b9 > .> œ 0 B ßa b 0 ! œ !a b a"Þ"Þ#b es conocida como ecuación integral de Volterra .

En el caso de esta ecuación de Volterra se obtienen hechos interesantes suponiendo que O Bß > ßa b `O Bß><sub>`B</sub>a bß 0 Ba b y 0 Bwa b , son funciones continuas en una región H œ ÖÐBß >Ñ Î ! Ÿ B Ÿ +ß ! Ÿ > Ÿ B× y derivando la ecuación de Volterra con respecto a , se obtieneB

O Bß Ba b a b9 B 

'

_!B`O Bß><sub>`B</sub>a b9a b> .> œ 0 Bwa b a"Þ"Þ$b Nótese que cualquier solución 9a bB de la ecuación a"Þ"Þ#b es solución de su ecuación derivada a"Þ"Þ$b y también se tiene la validez de la recíproca, esto es, cualquier solución 9a bB continua en ! Ÿ B Ÿ + de la ecuación a"Þ"Þ$b satisface también a la ecuación de Volterra a"Þ"Þ#b.

Esta nota nos brinda un método para la determinación de la solución 9a bB de la ecuación de Volterra a"Þ"Þ#b, y a modo de ejemplo consideremos la ecuación integral siguiente:

.

'

_!B B>_{/ 9a b> .> œsinB}

Las funciones 0 B œa b sinBß O Bß > œ /a b B> son continuas y derivables, teniéndose las condiciones deseadas.

Derivando ambos miembros con respecto a , se obtieneB /BB₉a bB 

'

! B<sub>` /</sub> ` B B> 9a b> .> œcosB de donde 9a bB 

'

_!B B>/ 9a b> .> œcosB Aplicando la transformada de Laplace se tiene

Pa9a bB  Pb Š

'

_!B B>/ 9a b> .> œ P‹ acosBb Pa9a bB  P / Pb a b aB 9a bB b œ _"== # Pa9a bB b _="" Pa9a bB bœ _"==# Pa9a bB bˆ=""_=" ‰œ _{= "}#= Ê Pa9a bB bœ _{= "}="# 9a bB œ P"ˆ="‰œ P"ˆ = ‰ P"ˆ " ‰ œ B  B = "# = "# = "# cos sin 1.2. Ecuación de Abel.

Presentamos el planteamiento histórico de esta ecuación. Una partícula puntual se mueve bajo la acción de la fuerza de la gravedad y describe una curva suave en un plano vertical. Se pide determinar esta curva de modo que la partícula puntual que comienza su movimiento sin velocidad inicial en un punto de la curva cuya ordenada es , luego alcance el ejeB 0 al cabo de un tiempo > œ 0 B"a b, donde 0 B"a bes una función dada.

La velocidad del punto en movimiento está dada por

@ œÈ a#1 B (bsin"

Entonces tenemos . .> ( œ È a#1 B (bsin" De aquí que . .> œ  . #1 B ( ( " È a bsin

Integrando desde hasta y denotando con! B

9 (a b œ _sin"_" Se obtiene la ecuación de Abel

.

'

_!B " 9 ( ( ( a b ÈB. œ È#1 0 Ba b

Designando con 0 B œ a b  È#1 0 B"a b, se obtiene definitivamente

'

_!B_{9 ( (}

( a b

ÈB. œ 0 Ba b

donde 9a bB es la función incógnita, y 0 Ba bes una función dada. Hallando 9 (a b se puede escribir la ecuación de la curva deseada.

En efecto,

9 (a b œ _sin"_" Ê( œ9 "a b Ahora,

. œ0 _tan.(_" œ F "w_tana b_"." de donde

0œ

'

F "w_tana b ._"" œF ""a b

y por consiguiente, la curva buscada se determina por la ecuación paramétrica

œ0₍œ_œF "_{F "}"_{a b}a b

De este modo, el problema de Abel se reduce a la resolución de una ecuación integral del tipo

. 0 B œa b

'

_!BO Bß >a b a b9 > .>

1.3. Ecuaciones integrales de segunda especie. La ecuación integral

9a bB œ

'

₊,O Bß >a b a b9 > .>  0 Ba b

donde 0 Ba b y O Bß >a b son funciones dadas y 9a bB es la función que debemos encontrar, las variables y recorren aquí un intervalo prefijadoB > Ò+ß ,Ó ; es llamada ecuación integral de segunda especie.

La particularidad de la ecuación 9a bB œ

'

₊,O Bß >a b a b9 > .>  0 Ba b es la linealidad, en el sentido de que la función incógnita 9a bB entra en ella de modo lineal. Sin embargo, muchos problemas conducen a la necesidad de considerar también ecuaciones integrales no lineales como es el caso de la integral

9a bB œ

'

₊,O Bß > 1a b a9a b> ß > .>b

conocida como ecuación de Hammertein, donde como de costumbre yO 1 son funciones dadas. No obstante ello, nos limitaremos en lo sucesivo a las ecuaciones integrales lineales.

Algunas ecuaciones integrales fueron estudiadas ya al principio del siglo XIX. Por ejemplo, Abel consideró en 1823 la ecuación que lleva ahora su nombre

0 B œa b

'

_!B_aB>9a b>_b! .> a! !  "ß 0 ! œ !a b b

donde es una función dada y es la función incógnita, la teoría general0 9 de ecuaciones integrales lineales fue elaborada sólo en el límite de los siglos XIX y XX en las obras fundamentales de Volterra, de Fredholm y de Hilbert.

Justamente la ecuación

9a bB œ

'

₊,O Bß >a b a b9 > .>  0 Ba b

es llamada Ecuación de Fredholm de segunda especie, mientras que la ecuación

'

₊,

O Bß >a b a b9 > .>  0 > œ !a b

(donde la función incógnita figura solo bajo el signo integral) se llama ecuación de Fredholm de primera especie.

La ecuación de Abel mencionada anteriormente pertence a las así llamadas Ecuaciones de Volterra, ya mencionadas en § . La ecuación de" Volterra puede ser considerada como una ecuación de Fredholm en la que la función verifica la condiciónO

"O Bß > œ !a b para >  B"

Sin embargo, conviene destacar las ecuaciones de tipo Volterra como una clase especial ya que ellas poseen una serie de propiedades que no tienen lugar para ecuaciones arbitrarias de Fredholm. Si en las ecuaciones

9a bB œ

'

₊,O =ß >a b a b9 > .>  0 Ba b

'

₊, O Bß >a b a b9 > .>  0 B œ !a b ó

'

₊B O Bß >a b a b9 > .> œ 0 Ba b

la función 0 Ba b es igual a cero, entonces estas ecuaciones se llaman

homogéneas. En el caso contrario la ecuación se llama no homogénea.

1.4. Problemas que llevan a ecuaciones integradas.

A. Equilibrio de una cuerda cargada. Consideremos una cuerda, esto es

un hilo material de longitud que flexiona libremente, pero ofrece una6ß resistencia a la dilatación, proporcional a la magnitud de ésta. Manteniendo fijos los extremos de la cuerda en los puntos B œ ! y B œ 6 .

Entonces en la posición de equilibrio, la cuerda coincide con el segmento !  B  6del eje . Supongamos ahora, que en el punto B B œ0 se ha aplicado una fuerza vertical T œ T0. Bajo el efecto de esta fuerza la cuerda tomaría evidentemente la forma quebrada indicada en la figura. Busquemos la magnitud de la flecha de la cuerda (máxima elongación$ de resistencia de la cuerda) en el punto de su posición de equilibrio0 bajo la acción de la fuerza aplicada en este punto. Si la magnitud de laT0

fuerza es pequeña en comparación con la tensión de la cuerda sinT0 X!

carga, podemos aceptar que la tensión de la cuerda cargada sigue siendo X!. Entonces, de la condición de equilibrio de la cuerda encontramos la

igualdad siguiente:

de donde, .

X!₀$  X!_6$₀ œ T0 $ œ T 60a_{X 6}0 0b !

Sea ahora ? Ba bla flecha de la cuerda en el punto bajo la acción de laB fuerza . Tenemos T0 ? B œ T K Bßa b 0 a 0b donde

para para K Bß œ ! Ÿ B Ÿ Ÿ B Ÿ 6 a b Ú Û Ü 0 0 0 B 6 X 6 6B X 6 a b a b 0 0 ! !

En particular, de estas fórmulas se ve inmediatamente que K Bßa 0bœ K ß Ba0 b.

Supongamos ahora que sobre la cuerda actúa una fuerza distribuida continuamente a lo largo de la cuerda con densidad Ta b0 . Si esta fuerza es pequeña, la deformación otra vez dependerá linealmente de la fuerza

entre y 0 0?0; es aproximadamente Ta b0 ? 0Ð Ñy la forma de la cuerda cargada de este modo, por el principio de superposición, será descrita mediante la función

? B œa b

'

_!6K Bßa 0b a bT 0 .0 a"Þ%Þ"b Luego, si está dada la carga que actúa sobre la cuerda la fórmula a"Þ%Þ"b permite encontrar la forma que toma la cuerda bajo la acción de la carga. Consideremos ahora el problema recíproco. Hallar la distribución de la carga bajo la cual la cuerda toma la forma prefijada T ? Ba b. Para encontrar la función a partir de la función dada T ? Ba b obtenemos una ecuación que coincide, salvo notaciones, con la ecuación

'

₊,

O Bß >a b a b9 > .>  0 B œ !a b es decir, una ecuación de Fredholm de primera especie.

B. Oscilaciones libres y forzadas de una cuerda. Supongamos ahora que

la cuerda no se encuentra en reposo y realiza ciertas oscilaciones. Sea ? Bß >a b la posición en el momento de aquel punto de la cuerda cuya> abscisa es y sea la densidad lineal de la cuerda. Entonces, sobre unB 3 elemento de la cuerda de longitud actúa una fuerza de inercia igual a.B

 ` ? Bß>#<sub>`></sub>a b# 3.B , de donde Ta b0 œ  ` ? ß>#<sub>`></sub>a b# 3 .

0

Tomando a"Þ%Þ"b y sustituyendo T 0a b se recibe que

? Bß > œ a b

'

_!6K Bßa 0 3b ` ? ß>#<sub>`></sub>a b# .0 a"Þ%Þ#b

0

Supongamos que la cuerda realiza oscilaciones armónicas de una frecuencia prefijada y de una amplitud A ? Ba b que depende de . En otrasB palabras, sea

. ? Bß > œ ? Ba b a b sinA>

Introduciendo esta expresión en a"Þ%Þ#b y dividiendo ambos miembros de la igualdad por sinA>, obtenemos la siguente ecuación integral para :?

. ? B œ Aa b 3 #

'

_!6K Bßa 0b a b? 0 .0

Si la cuerda no oscila libremente sino bajo la acción de la fuerza exterior, se realizan oscilaciones forzadas, es fácil comprobar que la

correspondente ecuación de las oscilaciones armónicas de la cuerda es de la forma

? B œ Aa b 3 #

'

_!6K Bßa 0b a b? 0 .  0 B0 a b

es decir, se representa una ecuación no homogénea de Fredholm de segunda especie.

1.5. Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales.

La solución de una u otra ecuación diferencial conviene reducirla en varios casos, a la solución de una ecuación integral. Por ejemplo la demostración de la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy

œC œ 0 Bß C_{C Ba b}w _{! œ C}a _!b

por el método de Piccard se reduce a la ecuación integral no lineal siguiente

C œ C ! _B 0 ß C . .

B

'

! a b0 0

Las ecuaciones de orden superior en principio, también pueden ser reducidas a una ecuación integral. Consideremos, por ejemplo la ecuación de segundo orden C  0 B C œ !ww a b . Tomando en particular 0 B œa b 3#5a bB , donde es constante, podemos transformarla en la3 forma

C ww ₃#C œ ₅a bB C a"Þ&Þ"b Como se sabe, la solución de la ecuación C ww 3#C œ 1 Ba b puede ser representada en la forma

. C B œa b cos3aB  + b ₃"

'

₊Bsin3aB 0b a b1 0 .0

Luego, la solución de ecuación a"Þ&Þ"b se reduce a la solución de la ecuación integral

. C B a b ₃"

'

₊B5 0a bsin3aB 0b a bC 0 . œ0 cos3aB  +b

1.6. EJERCICIOS.

Resolver las siguientes ecuaciones integrales de primera especie, reduciéndolas previamente a ecuaciones integrales de segunda especie: "Þ

'

_!B B>$ 9a b> .> œ B #Þ

'

_!B B>+ 9a b> .> œ 0 B ßa b 0 ! œ !a b $Þ

'

_!B "  B  ># # > .> œ B # a b a b9 # %Þ

'

_!Ba#  B  ># #b a b9 > œ B# &Þ

'

_!B_sinaB  >b a b₉ > .> œ /B Î##  " .

'Þ Demuestre que la solución de la ecuación C ww 3#C œ5a bB C es .

C B a b ₃"

'

_!B5 0a bsin3aB 0b a bC 0 . œ0 cos3aB  +b

§2. TEORIA CUANTITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES.

Dedicamos este parágrafo a indicar metodologias conducentes a la determinación de la solución de ecuaciones integrales según la forma que tenga su núcleo y esto lo iniciamos considerando técnicas dadas por Fredholm, las cuales consisten en transformar las ecuaciones integrales a ecuaciones del algebra lineal.

2.1. Método de los determinantes de Fredholm.

La solución de la ecuación de Fredholm de segunda especie

9a bB -

'

₊,O Bß >a b a b9 > .> œ 0 Ba b a#Þ"Þ"b viene dada por la fórmula de inversión siguiente:

9a bB œ 0 B a b -

'

₊,V Bß >àa -b a b0 > .> a#Þ"Þ#b

donde la función V Bß >àa -bes llamada resolvente de Fredholm de la ecuacióna#Þ#Þ"b y viene dada por la igualdad

V Bß >àa -bœ H Bß>à_Ha_{a b-}-b a#Þ#Þ$b con la condición de que Ha b- Á !. Aquí H Bß >àa -b y Ha b- son series de potencias de : H Bß >àa -bœ O Bß > a b ! F Bß >a b- a#Þ#Þ%b 8œ" _ " 8x 8 8 a b8 Ha b- œ " ! G - a#Þ#Þ&b 8œ" _ " 8x 8 8 a b8

cuyos coeficientes se determinan por las fórmulas -F Bß > œ â .> â.> #Þ 8 @/-/= O Bß > O Bß > â O Bß > O > ß > O > ß > â O > ß > ã ã ä ã O > ß > O > ß > â O > ß > 8 _{+ +} " 8 , , " 8 " " " " 8 8 8 " 8 8 a b _ðñò a b â â â â â â â â â â â â â â â â a b a b a b a b a b a b a b a b a b

' '

#Þ' siendo F Bß > œ O Bß >!a b a b G œ â .> â.> #Þ#Þ( O > ß > O > ß > â O > ß > O > ß > O > ß > â O > ß > ã ã ä ã O > ß > O > ß > â O > ß > 8 _{+ +} " 8 , , " " " # " 8 # " # # # 8 8 " 8 # 8 8

' '

â â â â â â â â â â â â â â â â a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

La función H Bß >àa -bse llama menor de Fredholm y Ha b- determinante

de Fredholm. En el caso en que el núcleo O Bß >a b sea acotado o que la

integral ' '_{+ +}, , _#a b tenga un valor finito, las series a b a y b

O Bß > .B .> #Þ#Þ% #Þ#Þ&

serán convergentes para todos los valores de y, por lo tanto, serán -funciones analíticas enteras de . La resolvente

-V Bß >àa -bœ H Bß>à_Ha_{a b-}-b

es una función analítica de , a excepción de los valores de , que- -anulan la función Ha b- . Los últimos son polos de la resolvente V Bß >àa -b.

EJEMPLO. Hallar, mediante los determinantes de Fredholm, la resolvente

del núcleoO Bß > œ B/ à + œ !ß , œ "a b > .

F Bß > œ B/ B/ .> œ ! > / > / " _! " " > " > a b

'

_º "_º F Bß > œ .> .> œ ! B/ B/ B/ > / > / > / > / > / > / # _{! !} " # " " > > > " > " > " > # > # > # > a b â â â â â â â â â â â â

' '

"" ## " #

puesto que los determinantes bajo el signo integral son iguales a cero. Es evidente que también todas las ulteriores F Bß > œ !8a b . Hallamos los coeficientes :G8 G œ" _!O > ß > .> œ" " " _!> / .> œ "" " " " _>

'

_{a b}

'

" G œ > / > / .> .> œ ! > / > / # _{! !} " # " " _" > _" > # > # >

' '

_º " #_º " #

Es evidente también que todos los siguientes G œ !8 . Según las fórmulas a#Þ#Þ%b a y #Þ#Þ&b en nuestro caso tenemos

. H Bß >àa -bœ O Bß > œ B/ àa b > Ha b- œ "  -De este modo,

. V Bß >àa -bœ H Bß>à_Ha_{a b-}-b œ _"B/_->

Apliquemos el resultado obtenido a la solución de la ecuación integral .

9a bB -

'

_!"B/>9a b> .> œ 0 Ba b a- Á "b Según la fórmula a#Þ#Þ#b

. 9a bB œ 0 B a b -

'

_!"_"B/>_-0 > .>a b En particular, para 0 B œ /a b B se obtiene

9a bB œ /B _"-_- B

El cálculo de los coeficientes F Bß >8a b y de las ecuaciones G8 a#Þ#Þ%b a y #Þ#Þ&b por las fórmulas a#Þ#Þ'b y a#Þ#Þ(b es prácticamente posible sólo en casos muy raros, pero de estas fórmulas se obtienen las siguientes relaciones de recurrencia

F Bß > œ G O Bß >  88 8 ₊O Bß = F8" =ß > .= #Þ#Þ) , a b a b

'

a b a b a b G œ8 ₊F8" =ß = .= #Þ#Þ* ,

'

a b a b

Sabiendo que los coeficientes G œ "! y F Bß > œ O Bß >!a b a b por las fórmulas a#Þ#Þ*b ay #Þ#Þ)b se hallan sucesivamente G ß F Bß > ß G ß F Bß > ß G ß" "a b # #a b $ etc.

EJEMPLO. Hallar aplicando las fórmulas a#Þ#Þ)b ay #Þ#Þ*b, la resolvente del

núcleo O Bß > œ B  #>a b donde ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ ".

Solución: TenemosG œ "ß F Bß > œ B  #>! !a b . Aplicando la fórmula a#Þ#Þ*bse halla . G œ" _!  = .= œ  " _" #

'

a b

Por la fórmula a#Þ#Þ)b se obtiene

. F Bß > œ "  _! B  #= =  #> .= œ  B  >  #B>  " _# $ a b B#> a ba b #

'

Ahora tenemos G œ# _!  #=  #=  .= œ " _{# # "} $ $

'

ˆ ‰ F œ# "_$ B  #>  # _! B  #=  =  >  #=>  #_$ .= œ ! " a b

'

a bˆ ‰ G œ G œ â œ !ß$ % F Bß > œ F Bß > œ â œ !$a b %a b Por consiguiente: Ha b- œ " ! G - œ "  G - - œ "  - -8œ" # " 8x 8 8 " # # # ' # G " " a b8 # H Bß >àa -bœ O Bß > a b ! F Bß >a b- œ B  #>  F Bß >a b a b -8œ" " " 8x 8 8 " a b8 . œ B  #>  B  >  #B> ˆ #_$‰ -La resolvente del núcleo dado será

V Bß >àa -bœ H Bß>à_Ha_{a b-}-b œ B#> B>#B>_"ˆ _{- -} ‰ -# $ " " # ' #

2.2. Núcleos iteradosÞ

Sea dada la ecuación integral de Fredholm

9a bB -

'

₊,O Bß >a b a b9 > .> œ 0 Ba b a#Þ#Þ"b

Como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la ecuación integral a#Þ#Þ"b puede resolverse por el método de las aproximaciones sucesivas. Para esto, hagamos

9a bB œ 0 B a b !< a bB - a#Þ#Þ#b

8œ" _

8 8

donde <8a bB se determina mediante las fórmulas <" ₊ , a bB œ

'

O Bß > 0 > .>a b a b <# ₊ <" ₊ # , , a bB œ

'

O Bß >a b a b> .> œ

'

O Bß > 0 > .>a b a b <$ ₊ <# ₊ $ , , a bB œ

'

O Bß >a b a b> .> œ

'

O Bß > 0 > .>a b a b Aquí O Bß > œ# ₊O Bß D O Dß > .D" , a b

'

a b a b O Bß > œ$ ₊O Bß D O Dß > .D# , a b

'

a b a b y en general O Bß > œ8 ₊O Bß D O8" Dß > .D #Þ#Þ$ , a b

'

a b a b a b

8 œ #ß $ß á siendoO Bß > œ O Bß >"a b a b. Las funciones O Bß >8a b, que se

determinan mediante las fórmulas a#Þ#Þ$b, se llaman nucleos iterados. Para éstas, es válida la fórmula

O Bß > œ8 ₊O7 Bß = O87 =ß > .= #Þ#Þ%

,

a b

'

a b a b a b

La resolvente de la ecuación integrala#Þ#Þ"b se determina a partir de los núcleos iterados por la fórmula

V Bß >àa -bœ!O Bß >a b- a#Þ#Þ&b

8œ" _

8 8"

La serie del segundo miembro se llama Serie de Neumann del núcleo. Esta converge para

donde .

l l - _F" F œ É

' '

₊, ₊,O Bß > .B .>#a b a#Þ#Þ'b La solución de la ecuación de Fredholm de segunda especie a#Þ#Þ"b se expresa por la fórmula de inversión

9a bB œ 0 B a b -

'

₊,V Bß >àa -b a b0 > .> a#Þ#Þ(b La cota a#Þ#Þ'b es esencial para la convergencia de la seriea#Þ#Þ&b. Sin embargo, la solución de la ecuación a#Þ#Þ"bpuede también existir para valores de tales que- l l - _F" . Veamos un ejemplo, consideremos

9a bB -

'

_!"9a b> .> œ " a#Þ#Þ)b Aquí O Bß > œ "a b y, por lo tanto

. F œ# O Bß > .B .> œ# .B .> œ "

! ! ! !

" " " "

' '

_{a b}

' '

De este modo, la condición a#Þ#Þ'bda que la serie a#Þ#Þ&b converge para l l  "- . Resolviendo la ecuación a#Þ#Þ)bcomo ecuación con núcleo degenerado o separable (ver §3), se obtiene a" -bG œ " , donde G œ

'

_!"9a b . Esta ecuación no es soluble para > .> - œ ", lo que significa que para - œ "la ecuación integral a#Þ#Þ)b no tiene solución. De aquí se deduce que en un círculo de radio mayor que la unidad las aproximaciones sucesivas para la ecuación a#Þ#Þ)bno pueden converger. Sin embargo, para l l  "- , la ecuación a#Þ#Þ)b es soluble. En efecto, si - Á ", la ecuación 9a bB œ _"-" es solución de la ecuación dada, lo cual es fácilmente comprobable por verificación directa.

Dados dos núcleos, O Bß >a b y P Bß >a b, diremos que ellos son ortogonales, si se cumplen las dos condiciones siguientes:

'

₊,

'

₊,

para cualesquiera valores admisibles de y de .B >

EJEMPLO. Los núcleosO Bß > œ B>a b y P Bß > œ B >a b # #, son ortogonales en

Ò  "ß "Ó. En efecto,

'

_"" _{# # #}

'

_"" _$ a baBD D > .D œ B>b D .D œ !

'

_"" _{# # #}

'

_"" _$ aB D ba bD> .D œ B > D .D œ !

Existen núcleos que son ortogonales a sí mismos. Para tales núcleos O Bß > œ !#a b , donde O Bß >#a b es el segundo núcleo iterado. En este caso

evidentemente, todos los núcleos iterados subsiguientes son también iguales a cero, y la resolvente coincide con el núcleo O Bß >a b.

EJEMPLO. O Bß > œa b sinaB  #> à ! Ÿ > Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ #b 1 1.

Tenemos

'

_!# _"

'

_!# #

1 1

sinaB  #Db asin D  #> .D œb ÒcosaB  #>  $D b cosaB  #>  D Ó .Db .

œ "_#  "_$ B  #>  $D  B  #>  D Dœ# œ !

Dœ!

 sina b sina b ¹‘ 1

De este modo, en este caso la resolvente del núcleo es igual al propio núcleo

, V Bß >àa -bœsinaB  #>b

de manera que la serie de Neumann a#Þ#Þ&bestá formada por un solo término y evidentemente, converge para cualquier .

-Los núcleos iterados O Bß >8a b pueden expresarse directamente del núcleo dado O Bß >a b por la fórmula

O Bß > œ8 _{+ +}â ₊O Bß = O = ß = á O =" " # 8"ß > .= .= á .=" # 8" #Þ#Þ"!

, , ,

Todos los núcleos iterados O Bß >8a b, a partir de O Bß >#a b serán funciones continuas en el cuadrado + Ÿ B Ÿ , + Ÿ > Ÿ ,, , si el número inicial O Bß >a b es de cuadrado sumable en dicho cuadrado.

Damos algunos ejemplos para la determinación de núcleos iterados.

EJEMPLO 1. Hallar los núcleos iterados para O Bß > œ B  >a b si + œ !ß , œ ".

Solución. Aplicando la fórmula a#Þ#Þ#b se halla sucesivamente O Bß > œ B  >ß" O Bß > œ# _! B  = =  > .= œ  B>  " _" $ a b a b

'

a ba b B> # O Bß > œ$ _! B  =  =>  .= œ  " _" $ a b

'

a bŠ=> ‹ B> # "# O Bß > œ% _! B  =  .= œ  O Bß > œ #  B>  " _{" " "} "# "# $ a b

'

a b’ =>“ a b ŠB> ‹ "# # O Bß > œ& "_{"# !} B  =  =>  "_$ .= œ "_"#O Bß > œ$ " a b

'

a bŠ=> ‹ a b B> # "## O Bß > œ' _"#" _! B  = =  > .= œ œ _"#"  B>  "_$ " a b #

'

a ba b #Š ‹ O Bß> "# # B> # # a b

De aquí se deduce que los núcleos iterados tienen la forma a b" para 8 œ #5  " O#5"a bBß > œ a b_"#" aB  >b 5 5" a b# para 8 œ #5 O#5 œ a b"_"# ŠB>_#  B>  "_$‹ 5" 5" donde 5 œ "ß #ß $ß á

EJEMPLO 2. Hallar los núcleos iterados O Bß >"a by O Bß >#a b si + œ !ß , œ "

y si si O Bß > œ B  >ß ! Ÿ B  > B  >ß >  B Ÿ " a b œ

Solución. Tenemos que O Bß > œ O Bß >"a b a b

O Bß > œ# _!O Bß = O =ß > .=

"

a b

'

a b a b

O Bß = œ B  =ß ! Ÿ B  = O =ß > œ =  >ß ! Ÿ =  > B  = ß =  B Ÿ " =  >ß >  = Ÿ "

a b _œ a b _œ

Como el núcleo dado O Bß >a b no es simétrico, al hallar O Bß >#a b

consideramos dos casos: a b" B  > y a b# B  >. a b" Sea B  > . Entonces O Bß > œ M  M  M#a b " # $ donde M œ" _! B  = =  > .= œ  B _{B B >} ' #

'

_{a ba b} $ # M œ# _B B  = =  > .= œ   B>  B > > _{&> &B $ $} ' ' # # # #

'

_{a ba b} $ $ M œ$ _> B  = =  > .= œ   B>    " _{> B> B > "} ' # # # $

'

_{a ba b} $ #

Sumando estas integrales, se obtiene

O Bß > œ >  B  B >  #B>  B> #a b $ _$# $ # # B>_#  "_$ aB  >b a b# Sea B  > . Entonces O BÞ> œ M  M  M#a b " # $ donde M œ" _! B  = =  > .= œ B>  > _{$ &>} # # '

'

a ba b $ M œ# _> B  = =  > .= œ    B _{B > B > B>} ' ' # #

'

_{a ba b} $ $ # # . M œ$ _B B  = =  > .= œ  B  B >   B>  " _{& $ B> "} ' $ # # # $

'

_{a ba b}

Sumando estas integrales, obtenemos

. O Bß > œ  B  >  B >  #B>  B> #a b #_$ $ $ # # B>_#  ß_$" aB  >b De este modo, el segundo núcleo iterado tiene la forma

O Bß > œ  B  >  B >  #B>  B>   ß !  B  >  B  >  B >  #B>  B>   ß >  B Ÿ " # # B> " $ $ $ # # # $ # B> " $ $ $ # # # $ a b 

Análogamente se hallan los núcleos iterados restantes O Bß >8a b

a8 œ $ß %ß áb.

Citemos ahora un ejemplo de construcción de la resolvente de una ecuación integral mediante los núcleos iterados. Consideramos la ecuación integral

9a bB -

'

_!"B>9a b> .> œ 0 Ba b a#Þ#Þ""b

Aquí O Bß > œ B>à + œ !ß , œ "a b sucesivamente se halla: O Bß > œ B> O Bß > œ BD D> .D œ O Bß > œ BD D> .D œ âââââ O Bß > œ " # _! " _B> $ $ "_{$ !} B>_$ " 8 _$B> a b a b a ba b a b a ba b a b

'

'

# 8"

Según la fórmula a#Þ#Þ&b para la resultante se tiene V Bß >àa -bœ!O Bß >a b- œ B>!ˆ ‰ œ 8œ" 8œ" _ _ 8 8" _$ 8" - $B> $-donde l l  $- .

En virtud de la fórmula a#Þ#Þ(b, la solución de la ecuación integral a#Þ#Þ""b se escribe en la forma

9a bB œ 0 B a b -

'

_!"_$-$B> .>

…

SiQ Bß >a b y R Bß >a b son dos núcleos ortogonales, la resolvente V Bß >àa -b, correspondiente al núcleo O Bß > œ Q Bß >  R Bß >a b a b a b es igual a la suma de las resolventes V Bß >à"a -b y V Bß >à#a -b que corresponden a cada núcleo.

EJEMPLO. Hallar la resolvente del núcleo

.

O Bß > œ B>  B > ßa b # # + œ  "ß , œ "

Solución. Como ha sido demostrado anteriormente, los núcleos Q Bß > œ B>a b y R Bß > œ B >a b # # son ortogonales en Ò  "ß "Ó. Por esto, la resolvente del núcleo O Bß >a bes igual a la suma de las resolventes de los núcleos Q Bß >a b y R Bß >a b. Aplicando resultados conocidos se halla

VOaBß >à-bœ VQaBß >à-b VRaBß >à-bœ _$#$B>_- _&#&B > -# -#

donde .l l - $_# …

La propiedad que acabamos de indicar se puede generalizar a cualquier número finito de núcleos.

Si los núcleos Qa b" a bBß > ß Qa b# a bBß > ß á ß Qa b8 a bBß > son ortogonales dos a dos , la resolvente que corresponde a su suma

O Bß > œa b !Q a bBß > a#Þ#Þ"#b

7œ" 8

7 a b

es igual a la suma de las resolventes correspondientes a cada sumando. Llamaremos -ésima 8 traza del núcleo O Bß >a b a la magnitud

E œ8 ₊O Bß B .B8 8 œ "ß #ß á #Þ#Þ"$

,

'

_{a b a b a b}

donde O Bß >8a b es el -ésimo núcleo iterado para el núcleo 8 O Bß >a b. Para el determinante Ha b- de Fredholm, tiene lugar la siguiente fórmula:

H H wa b a b-- œ !E a#Þ#Þ"%b 8œ" _ 8-8"

El radio de convergencia de la serie de potencias a#Þ#Þ"%bes igual al menor módulo de las raíces características ver §Ð $Þ$Ñ .

2.3. EJERCICIOS

En los siguientes núcleos aplicando los determinantes de Fredholm, halle las resolventes.

". O Bß > œ #B  >àa b ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " #Þ O Bß > œ B >  B> àa b # # ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ "

$Þ O Bß > œa b sin cosB >ß ! Ÿ B Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ #1 1 %Þ O Bß > œa b sinB sin>à ! Ÿ B Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ #1 1.

Aplicando las fórmulas a#Þ#Þ)b y a#Þ#Þ*b halle las resolventes de los siguientes núcleos: &Þ O Bß > œ B  >  "àa b  " Ÿ B Ÿ "ß  " Ÿ > Ÿ " 'Þ O Bß > œ "  $B>àa b ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " (Þ O Bß > œ %B>  B àa b # ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " )Þ O Bß > œ /a b B>à ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " *Þ O Bß > œa b sinaB  > àb ! Ÿ B Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ #1 1 "!Þ O Bß > œ B a b sinh>à  " Ÿ B Ÿ "ß  " Ÿ > Ÿ ". Aplicando la resolvente, resolver las siguientes ecuaciones integrales: ""Þ 9a bB -

'

_!#1sinaB  >b a b9 > .> œ "

"#Þ 9a bB -

'

_!"a#B  >b a b9 > .> œ B_' "$Þ 9a bB 

'

_!#1sin Bcos>9a b> .> œcos#B "%Þ 9a bB 

'

_!" B>/ 9a b> .> œ /B

Hallar los núcleos iterados de los núcleos indicados a continuación para los valores de y dados:+ ,

"'Þ O Bß > œ B  >àa b + œ  "ß , œ " "(Þ O Bß > œa b sinaB  > à + œ !ßb , œ 1_# a8 œ #ß $b ")Þ O Bß > œ B  > à + œ  "ßa b a b# , œ " a8 œ #ß $b "*Þ O Bß > œ B/ àa b > + œ !ß , œ " #!Þ O Bß > œ B a b sin>à + œ  ß1 , œ1 #"Þ O Bß > œ /a b Bcos>à + œ !ß , œ1 En los problemas siguientes, halle O Bß >#a b

##Þ O Bß > œ /a b lB>là + œ !ß , œ " #$Þ O Bß > œ /a b lBl>à + œ  "ß , œ "

Usando núcleos iterados construir la resolvente de los siguientes núcleos: #%Þ O Bß > œ /a b B>à + œ !ß , œ "

#&Þ O Bß > œa b sin cosB >à + œ !ß , œ 1_# #'Þ O Bß > œ B/ àa b > + œ  "ß , œ "

#(Þ O Bß > œ "  B "  > àa b a ba b + œ  "ß , œ ! #)Þ O Bß > œ B > àa b # # + œ  "ß , œ "

#*Þ O Bß > œ B>àa b + œ  "ß , œ "

$!Þ ; O Bß > œa b sin cosB > cos#Bsin#> + œ !ß , œ #1

$"Þ O Bß > œ "  #B  " #>  " àa b a ba b + œ !ß , œ ". ? ?f

§3. TEORÍA CUANTITATIVA.

ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO 3.1. Ecuaciones de Fredholm.

El núcleo O Bß >a b de la ecuación integral de Fredholm de segunda especie se llama degenerado o separable, si éste es la suma de un número finito de productos de una función sólo de por una función sólo de , esB > decir, si él tiene la forma

O Bß > œa b !+ B , >a b a b a$Þ"Þ"b

5œ" 8

5 5

las funciones + B5a b y , >5a b a5 œ "ß #ß á ß 8b son funciones continuas del espacio P Ò+ß ,Ó#a b y linealmente independientes. La ecuación integral con núcleo degenerado a$Þ"Þ"b 9a bB -

'

₊,_”!+ B , >a b a b a b_•9 > .> œ 0 Ba b a$Þ"Þ#b 5œ" 8 5 5

se resuelve del siguiente modo: Escribamos a$Þ"Þ#bdel siguiente modo

9a bB œ 0 B a b - !+ Ba b , >a b a b9 > .> a$Þ"Þ$b 5œ" 8 5 ₊ 5 ,

'

e introduzcamos las notaciones siguientes

'

₊,

5 5

, >a b a b9 > .> œ - a5 œ "ß #ß á ß 8b a$Þ"Þ%b Entonces a$Þ"Þ$b toman ahora la forma

9a bB œ 0 B a b - !- + Ba b a$Þ"Þ&b

5œ" 8

5 5

donde son constantes desconocidas (puesto que la función -5 9a bB no es conocida).

De este modo, la solución de una ecuación integral con núcleo degenerado se reduce a hallar las constantes -5a5 œ "ß #ß á ß 8b. Sustituyendo la expresión a$Þ"Þ&b en la ecuación integral a$Þ"Þ#b, y despues de sencillas transformaciones, se obtiene

. !_{œ a b a b”} ! _{a b•  a b} 7œ" 7 + 7 5 5 7 , 5œ" - 

'

, > 0 > - - + > .> + B œ !

En virtud de la independencia lineal de las funciones + B7a b

a7 œ "ß #ß á ß 8b; de aquí se deduce que

- 7 ₊,7 > 0 >  - + >5 5 .> œ ! , 5œ" 8

'

_{a b a b”} - ! _{a b•} o bien . - 7 -5 + > ,5 7 > .> œ ,7 > 0 > .> 7 œ "ß #ß á ß 8 5œ" 8 + + , , - !

'

a b a b

'

a b a b a b

Introduciendo, para simplificar la escritura, las notaciones , +57 œ ₊+ > ,5 7 > .>ß 0 œ7 ₊,7 > 0 > .>

, ,

'

a b a b

'

a b a b

así se obtiene el siguiente sistema

- 7 +57 5- œ 07 7 œ "ß #ß á ß 8 5œ" 8 - ! a b o, en forma desarrollada: a b a b a b a b "  + -  + -  â  + - œ 0  + -  "  + -  â  + - œ 0 ââââââââââ  + -  + -  â  "  + - œ 0 $Þ"Þ' - - -- - -- - -"" " "# # "8 8 " #" " ## # #8 8 # 8" " 8# # 88 8 8

Para hallar las incógnitas tenemos un sistema lineal de ecuaciones-5 8 algebraicas con incógnitas. El determinante de este sistema es igual a8

? -- - -- - -- - -a b a b â â â â â â â â â â â â â â â â œ $Þ"Þ( "  +  + â  +  + "  + â  + ã ã ä ã  +  + â "  + "" "# "8 #" ## #8 8" 8# 88

Si ? -a bÁ !, el sistema a$Þ"Þ'b tiene solución única - ß - ß á ß -" # 8 que se obtienen por las fórmulas de Crammer.

- œ5 _{? -}"_{a b} â â â â â â â â â â â â â â â â "  + â  + 0  + â  +  + â  + 0  + â  + ã ä ã ã ã ä ã  + â  + 0  + â "  + - - - -- - - -- - - -"" "5" " "5" "8 #" #5" # #5" #8 8" 85" 8 85" 88 _{a5œ"ß#ßáß8b} a$Þ"Þ)b La solución de la ecuación integral a$Þ"Þ#b será la función 9a bB determinada por la igualdad

9a bB œ 0 B a b -!- + Ba b

5œ" 8

5 5

donde los coeficientes -5a5 œ "ß #ß á ß 8b se determinan por las fórmulas a$Þ"Þ)b.

OBSERVACIÓN. El sistema a$Þ"Þ'b se puede obtener, si ambos miembros de

la igualdad a$Þ"Þ&b se multiplican sucesivamente por + B ß + B ß á ß + B"a b a b# 8a b y se integra desde hasta , o bien, si se sustituye la expresión + , a$Þ"Þ&b para 9a bB es la igualdad a$Þ"Þ%b cambiando por .B >

EJEMPLO. Resolver la ecuación integral

9a bB -

'

_1₁aBcos>  >#sinB cosBsin>b a b9 > .> œ B a$Þ"Þ*b Solución: Escribamos la ecuación en la siguiente forma:

9a bB œ B-

'

_ >9a b> .> - B

'

_ >#9a b> .> - B

'

_ >9a b> .>  B

1 1 1

1 1 1

cos sin cos sin

Introduzcamos las notaciones:

- œ"

'

_1 > > .>à - œ#

'

_1># > .>à - œ$

'

_1 > > .> $Þ"Þ"!

1 1 1

9a bcos 9a b 9a bsin a b

donde - ß - ß -" # $ son constantes desconocidas por determinar. Entonces la ecuación a$Þ"Þ*b toma la forma

9a bB œ - B  -"- #-sinB  -$-cosB  B a$Þ"Þ""b Sustituyendo la expresión a$Þ"Þ""b en las igualdades a$Þ"Þ"!b, se obtiene

- œ - >  - >  - >  > > .> - œ - >  - >  - >  > > .> - œ - >  - >  - >  > > .> " _ " # $ # _ " # $ # $ _ " # $

'

'

'

1 1 1 1 1 1 a b a b a b - - -- - -- -

-sin cos cos

sin cos

sin cos sin

- "  > > .>  - > > .>  - > .> œ > > .>  - > .>  - "  > . .>  - > > .> œ > .>  -" _ # _ $ _ # _ " _ $ # _ # $ _ # _ $ " _ Š ‹ Š ‹ - - -- -

-'

'

'

'

'

'

'

'

'

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

cos sin cos cos cos

sin cos

>sin> .>  -#-

'

_1sin#> .>  -$ " -

'

_1cos sin> > .> œ

'

_1>sin> .>

1 1 1

Š ‹

Calculando las integrales que figuran en estas ecuaciones, se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas para hallar las incógnitas - ß - ß -" # $

-  - œ ! -  - % œ !  # -  -  - œ # $Þ"Þ"# " $ # $ " # $ -1 - 1 1- -1 1 a b

El determinante del sistema es

? - 1 - 1 - 1 - 1-1- 1-a b a b â â â â â â â â â â â â œ œ "  #  % œ "  # Á ! " !  ! " %  #  " # # # # # #

El sistema a$Þ"Þ"#b tiene solución única; dada por - œ" _"##-1_{- 1} à - œ# _"#)-1_{- 1} à - œ$ _"##_{- 1}1

# #

# # # # # #

sustituyendo los valores hallados - ß -" # y en -$ a$Þ"Þ"b se obtiene la solución de la ecuación integral dada:

.

9a bB œ _"##-1_{- 1}# #a-1B  %-1sinB cosB  Bb

3.2. Ecuación de Hammerstein

Muchos problemas de la física se reducen a ecuaciones integrales no lineales de Hammerstein.

La forma canónica de la ecuación de Hammerstein (ver §1, 1.3) es:

9a bB œ

'

₊,O Bß > 0 >ßa b a 9a b> .>b a$Þ#Þ"b donde O Bß > ß 0 >ß ?a b a b son funciones dadas; 9a bB es la función incógnita. También las ecuaciones de la forma

+ 9a bB œ

'

₊,O Bß > 0 >ßa b a 9a b> .>b <a bB a$Þ#Þ"wb donde <a bB es una función conocida, pueden reducirse con facilidad a la ecuación del tipo a$Þ#Þ"b de modo que la diferencia entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas (de importancia en el caso lineal) en el caso no lineal no tiene casi ningún valor. La función O Bß >a b la llamaremos como siempre núcleo de la ecuación a$Þ#Þ"b.

Sea O Bß >a b un núcleo degenerado, es decir

.

O Bß > œa b !+ B , >a b a b a$Þ#Þ#b

3œ" 7

3 3

En este caso, la ecuación a$Þ#Þ"b toma la forma

9a bB œ !+ Ba b , > 0 >ßa b a 9a b> .>b a$Þ#Þ$b 3œ" 7 3 ₊ 3 ,

'

Hagamos - œ3 ₊, > 0 >ß3 > .> 3 œ "ß #ß á ß 7 $Þ#Þ% ,

'

_{a b a} 9_{a bb a b a b}

donde son constantes desconocidas por ahora. Entonces en virtud de-3

a$Þ#Þ$b tendremos 9a bB œ !- + Ba b a$Þ#Þ&b 3œ" 7 3 3

Sustituyendo en las ecuaciones a$Þ#Þ%b la expresión a$Þ#Þ&b para 9a bB , se obtienen magnitudes desconocidas7 - ß - ß á ß -" # 7:

- œ3 <3a- ß - ß á ß -" # 7b a3 œ "ß #ß á ß 7b a$Þ#Þ'b En el caso en que 0 >ß ?a b sea un polinomio con respecto a , es decir?

0 >ß ? œ : >  : > ?  â  : > ?a b !a b "a b 8a b 8 a$Þ#Þ(b donde : > ß : > ß á ß : >!a b a b" 8a b son, por ejemplo, funciones continuas de en el segmento Ò+ß ,Ó, el sistema a$Þ#Þ'b se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas con respecto a - ß - ß á ß -" # 7. Si existe una solución del sistema a$Þ#Þ'b, es decir, si existen números

, - ß - ß á ß -_{" # 7}

tales que, al ser sustituídos en el sistema a$Þ#Þ'b, reducen sus ecuaciones a identidades, entonces existe una solución de la ecuación integral a$Þ#Þ$b, que se determina por la igualdad a$Þ#Þ&b:

. 9a bB œ !- + Ba b

3œ" 7

3! 3

Es evidente que el número de soluciones (en general, complejas) de la ecuación integral a$Þ#Þ$b es igual al número de soluciones del sistema a$Þ#Þ'b.

EJEMPLO. Resolver la ecuación integral

es un parámetro 9a bB œ-

'

_!"B>9#a b> .> a- b a$Þ#Þ)b Solución: Hagamos - œ

'

_!">₉#a b> .> a$Þ#Þ*b Entonces 9a bB œ - B- a$Þ#Þ"!b

Sustituyendo 9a bB por el segundo miembro de a$Þ#Þ"!ben la relación a$Þ#Þ*b, se tendrá

- œ

'

_!"> - > .>-# # # de donde

.

- œ -_%#-# a$Þ#Þ""b

La ecuación a$Þ#Þ""b tiene dos soluciones: . - œ !ß" - œ# _-%#

Por lo tanto, la ecuación integral a$Þ#Þ)b tiene también dos soluciones para cualquier - Á !

…

Existen ecuaciones integrales no lineales simples que no tienen soluciones reales.

Veamos por ejemplo, la ecuación

9a bB œ "_{# !}

'

"/aB> Î#b a" 9#a b> .>b a$Þ#Þ"#b hagamos - œ "_{# !}

'

"/ " #>a 9#a b> .>b a$Þ#Þ"$b Entonces . 9a bB œ -/B# a$Þ#Þ"%b

Para determinar la constante se obtienen las ecuaciones -- œ / "  - / .> -  " -  $-  $ /  " œ ! $Þ#Þ"& " # !" >Î# # > $Î# #

'

_{a b} ˆ ‰ Š " ‹ a b #

No es difícil comprobar que la ecuación a$Þ#Þ"&bno tiene raíces reales y que, por lo tanto, la ecuación integral a$Þ#Þ"#b no tiene soluciones reales. Por otro lado, consideremos la ecuación

9a bB œ

'

_!"+ B + >a b a b a b9 > sinŠ9a b_{+ >a b}> ‹.> a$Þ#Þ"'b

para todo .

Ð+ >  !a b > − Ò!ß "ÓÑ

Para la determinación de la constante se obtiene la ecuación

" œ

'

_!" #+ > .>a b sin- a$Þ#Þ"(b Si

'

_!" #+ > .>  "a b , entonces la ecuación a$Þ#Þ"(b y, por consiguiente, también la ecuación integral inicial a$Þ#Þ"'b, tiene un número infinito de soluciones reales.

3.3. Raíces características y funciones propias.

La ecuación integral homogénea de Fredholm de segunda especie

9a bB -

'

₊,O Bß >a b a b9 > .> œ ! a$Þ$Þ"b tiene siempre la solución trivial 9a bB œ ! , que se llama solución nula.

Los valores del parárametro , para los cuales esta ecuación tiene -soluciones no nulas 9a bB œ !Î , se llaman raíces características de la ecuación a$Þ$Þ"b, o del núcleo O Bß >a b , y cada solución no nula de esta ecuación se llama función propia, correspondiente a la raíz característica .

-El número - œ ! no es raíz característica, puesto que para - œ ! ena$Þ$Þ"b se sigue que 9a bB œ ! .

Si el núcleo O Bß >a b es continuo en la región Hœ ÖÐBß >ÑÎ+ Ÿ Bß > Ÿ ,× o de cuadrado sumable en , y además los números y son finitos, entoncesH + , a cada raíz característica le corresponde un número finito de funciones -propias linealmente independientes; el número de estas funciones se denomina rango de la raíz característica. Distintas raíces características pueden tener diferente rango.

Para las ecuaciones con núcleos degenerado separableo

9a bB -

'

₊,”!+ B , >a b a b a b•9 > .> œ ! a$Þ$Þ#b

5œ" 8

5 5

las raíces características son las raíces de la ecuación algebraica

? -- - -- - -- - -a b a b â â â â â â â â â â â â â â â â œ œ ! $Þ$Þ$ "  +  + â  +  + "  + â  + ã ã ä ã  +  + â "  + "" "# "8 #" ## #8 8" 8# 88

cuya potencia es : Ÿ 8. Aquí ? -a bes el determinante del sistema lineal homogéneo

a b a b a b a b "  + -  + -  â  + - œ !  + -  "  + -  â  + - œ ! ââââââââ  + -  + -  â  "  + œ ! $Þ$Þ% - - -- - -- - -"" " "# # "8 8 #" " ## # #8 8 8" " 8# # 88

donde las magnitudes +75 y -7 a5ß 7 œ "ß #ß á ß 8b tienen el mismo sentido que en el parágrafo precedente ver §3,3.1 .Ð Ñ

Si la ecuación a$Þ$Þ$b tiene raíces : a" Ÿ : Ÿ 8b, la ecuación integral a$Þ$Þ#b posee raíces características; a : cada raíz característica -7a7 œ "ß #ß á ß :b le corresponde una solución no nula.

ß ß á ß ß ß á ß -âââââââ ß ß á ß -" # " " " 8 " " # # # # 8 # " # : : : 8 : a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ä Ä Ä

-del sistema a$Þ$Þ%b. Las soluciones no nulas de la ecuación integrala$Þ$Þ#b correspondientes a estas soluciones, es decir, las funciones propias, tendrían la forma . 9" 5 9# 5 9: 5 5œ" 5œ" 5œ" 8 8 8 5 5 5 " # : a bB œ!- + B ßa b a b a bB œ!- + B ß á ßa b a b a bB œ !- + Ba b a b

La ecuación integral con núcleo degenerado tiene a lo más raíces 8 características y funciones propias correspondientes a estas.

En el caso de un núcleo arbitrario (no degenerado o inseparable), las raíces características son ceros del determinante de Fredholm Ha b- , es decir, polos de la resolvente V Bß >àa -b. De aquí se deduce, en particular que la ecuación de Volterra

9a bB -

'

_!BO Bß >a b a b9 > .> œ !

donde O Bß > − Pa b #a bH , no tiene raíces características (para esta Ha b- œ /E E œ" _! O Bß > .>a b

B

"- , siendo

'

).

OBSERVACIÓN. Las funciones propias se determinan salvo un factor

constante es decir, si 9a bB es una función propia que corresponde a cierta raíz característica , entonces - -9a bB , donde es una constante arbitraria, -será también una función propia correspondiente a la misma raíz característica .

-EJEMPLO. Hallar las raíces características y las funciones propias de la

ecuación integral

9a bB -

'

_!1a_cos#B_cos#> _cos$B_cos$>b a b9 > .> œ ! a$Þ$Þ&b Solución: Se tiene

9a bB œ-cos#B

'

_!1cos#>9a b> .> -cos$B

'

_!1cos$>9a b> .> Introduciendo las notaciones

- œ"

'

_! > #> .>ß - œ#

'

_! > $> .> 1 1 9a bcos 9a bcos tenemos 9a bB œ -"-cos#B  -#-cos$B a$Þ$Þ'b Sustituyendo a$Þ$Þ'b en a$Þ$Þ&b se obtiene un sistema lineal de ecuaciones homogéneas: - "  > #> .>  - $> #> .> œ !  - > .>  - "  > $> .> œ ! $Þ$Þ( " _! # # _! " _! & # _! $ Š ‹ Š ‹ a b - --

-'

'

'

'

1 1 1 1

cos cos cos cos

cos cos cos

Pero como

'

'

'

!

'

! # % ! & ! $ ) 1 ₁ 1 1 1 ₁

cos cos cos cos

cos cos cos

> #> .> œ ß $> #> .> œ ! > .> œ !ß > $> .> œ

El sistema a$Þ$Þ(b toma la forma

ˆ ‰ ˆ" "  ‰- œ !- œ ! a$Þ$Þ)b -1 -1% " ) #

La ecuación para hallar las raíces características será »" _{! " }! »œ !

-1

-1 %

)

Para -" œ %₁, el sistema a$Þ$Þ)b toma la forma ! - œ ! - œ ! " " # #

de donde - œ !# , es constante arbitraria. La función propia será-"

9"a bB œ -"-cos#B, o bien, haciendo -"- œ ", se obtiene 9"a bB œ cos#B.

Para -# œ )₁, el sistema a$Þ$ß )b toma la forma a " - œ !b

! - œ !

" #

de donde - œ ! -" , es arbitraria y, por consiguiente, la función propia será#

9#a bB œ -- #cos$B, o bien haciendo -#- œ ", se obtiene 9#a bB œ cos$B.

De este modo, las raíces característericas son: ,

-" œ %₁ -# œ )₁

las funciones propias correspondientes a estas son: 9"a bB œ cos#Bß

9#a bB œcos$B.

…

Una ecuación integral homogénea de Fredholm puede no tener raíces características y funciones propias, o bien no tener raíces características reales y funciones propias.

EJEMPLO. La ecuación integral homogénea

9a bB -

'

_!"a$B  # >b a b9 > .> œ !

no tiene raíces características y funciones propias. En efecto, tenemos . 9a bB œ -a$B  #b

'

_!">9a b> .> Haciendo - œ

'

_!">9a b> .> a$Þ$Þ*b se obtiene

.

9a bB œ --a$B  #b a$Þ$Þ"!b Sustituyendo a$Þ$Þ"!b en a$Þ$Þ*b obtenemos

’" -

'

_!"a$>  #> .> - œ !# b “ a$Þ$Þ""b Pero, como

'

_!"a_{$>  #> .> œ !}# b la ecuación a_$Þ$Þ""bda _{- œ !} y, por consiguiente 9a bB œ ! .

De este modo, la ecuación homogénea dada tiene sólo la solución nula 9a bB œ ! para un cualquiera; por lo tanto, ésta no posee raíces -características y funciones propias.

EJEMPLO. la ecuación 9a bB 

'

_!"ŠÈB> È>B‹9a b> .> œ ! no tiene raíces

características reales y funciones propias. Tenemos que 9a bB œ -"-ÈB  - B#- donde

. - œ" _!> > .>ß - œ# _! > > .>

" "

'

9a b

'

È 9a b

Haciendo la sustitución en y se tiene9 -" -#

- œ" _!> -" >  - > .>ß# - œ# _! > -" >  - > .># " "

'

Š -È - ‹

'

È Š -È - ‹ de donde - œ -" " _! > .>  -# _!> .>ß - œ -# " _!> .>  -# _!> .> " " _# " " -

'

$# -

'

-

'

-

'

$#

obteniéndose el sistema de ecuaciones algebraicas . ˆ ‰ ˆ ‰ a b "  -  - œ !  -  "  - œ ! $Þ$Þ"# # & " $ # # " &# #

-El determinante del sistema es

. ? - -a b »œ "  »œ "   "  # & $ # &# --# "&!

Para real, éste no se anula, por lo que - a$Þ$Þ"#b se obtiene - œ !" y- œ !# , por lo tanto, para todas las reales, la ecuación dada tiene sólo la -solución trivial: 9a bB œ ! . De esta manera, la ecuación dada 9a bB -

'

_!"ŠÈB> È>B‹9a b> .> œ ! no posee raíces características reales y funciones propias.

…

Si el -ésimo núcleo iterado 8 O Bß >8a b del núcleo O Bß >a b es simétrico, entonces se puede afirmar que O Bß >a b tiene por lo menos una raíz característica (real o compleja), y que las potencias -ésimas de todas las8 raíces características son números reales. En particular, para un núcleo antisimétrico O Bß > œ  O >ß Ba b a b, todas las raíces características son imaginarias puras:- œ 3" , donde " − d.

El núcleo O Bß >a b de una ecuación integral se llama simétrica, si se cumple la condición O Bß > œ O >ß Ba b a b a+ Ÿ Bß > Ÿ ,b.

Para la ecuación integral de Fredholm

9a bB -

'

₊,O Bß >a b a b9 > .> œ ! a$Þ$Þ"$b con núcleo simétrico O Bß >a b tienen lugar los teoremas siguientes que son análogos del análisis espectral:

TEOREMA 1. La ecuación 9a bB -

'

₊,O Bß >a b a b9 > .> œ ! tiene por lo menos una

raíz característica real.

TEOREMA 2. A cada raíz característica le corresponde un número finito- ;

de funciones linealmente independiente de la ecuación

9a bB -

'

₊,O Bß >a b a b9 > .> œ ! siendo sup; Ÿ-#F# donde F œ# O Bß > .B .># + + , ,

' '

_{a b}

TEOREMA 3. Cada par de funciones propias 9"a bB , 9#a bB , que corresponde a

raíces características diferentes -" Á-# son ortogonales es decir, ,

'

₊,

" #

9 a b a bB 9 B .B œ !.

TEOREMA 4. En cada intervalo finito del eje hay un número finito de

-raíces características. La cota superior para el número de -raíces7

características situadas en el intervalo  6 -  6 se determina por la

desigualdad

. 7  6 F# #

En el caso en donde el núcleo O Bß >a b de la ecuación a$Þ$Þ"$b sea la función de Green de cierto problema homogéneo de Sturm-Lioville, la determinación de las raíces características y las funciones propias se reducen a la solución de dicho problema.

EJEMPLO. Hallar las raíces características y las funciones propias de la

ecuación homogénea 9a bB -

'

_!1O Bß >a b a b9 > .> œ ! donde . O Bß > œ B >ß ! Ÿ B Ÿ > > B ß > Ÿ B Ÿ

a b œcos_{cos sin}sin ₁

Solución. Escribamos la ecuación dada en la forma 9a bB œ -

'

_!BO Bß >a b a b9 > .> -

'

_!1O Bß >a b a b9 > .> o bien

9a bB œ -sinB

'

_!B9a b> cos> .> -cosB

'

_B19a b> sin> .B a$Þ$Þ"%b con el fin de obtener el problema de Sturm-Liouville derivamos ambos miembros de a$Þ$Þ"%b, se halla , 9 - 9 - 9 - 9 - 9 w ! B B a b a b a b a b a b B œ B > > .>  B B B  B > > .>  B B B

cos cos sin cos

sin sin sin cos

'

'

1

9wa bB œ-cosB

'

_!B9a b> cos> .> -sinB

'

_B19a b> sin> .>. a$Þ$Þ"&b Derivando una vez más, se obtiene

9 - 9 - 9 - 9 - 9 -9 - 9 - 9 ww # # ! B B ! B B a b a b a b a b a b a b ’ a b a b “ B œ  B > > .>  B B  B > > .>  B B œ B  B > > .>  B > > .> Þ

sin cos cos cos sin sin

sin cos cos sin

'

'

'

'

1 1

La expresión entre corchetes es igual a 9a bB , de forma que .

9wwa bB œ-9a bB 9a bB

De este modo la ecuación integral dada se reduce al siguiente problema de frontera:

9wwa b aB  - "b a b9 B œ ! a$Þ$Þ"'b 9 1a bœ ! 9wa b! œ ! a$Þ$Þ"(b Aquí son posibles los tres casos siguientes:

a b" - " œ !ß ó, - œ ".

La ecuación a$Þ$Þ"'b toma la forma 9wwa bB œ ! su solución general será 9a bB œ - B  -" #. Usando las condiciones de frontera a$Þ$Þ"(b, para determinar las constantes y obtenemos el sistema-" -#

-  - œ !

- œ !

" # "

1

el cual tiene la única solución - œ !ß - œ !" # y por consiguiente la ecuación integral tiene sólo la solución trivial 9a bB œ !.

a b# , - "  ! ó, -  ".

La solución general de la ecuación a$Þ$Þ"'b tiene la forma . 9a bB œ -"coshÈ- "B  -#sinhÈ- "B

Para determinar los valores de y , las condiciones de frontera dan el-" -#

. -  "  -  " œ ! - œ ! " # # cosh1È- sinh1È

-Éste tiene la solución única - œ !ß - œ !" # . La ecuación integral tiene la solución trivial 9a bB œ ! . De este modo, para -  " la ecuación integral no posee raíces características y, por lo tanto, tampoco tiene funciones propias.

a b$ - "  !, ó sea -  ". La solución general de la ecuación a$Þ$Þ"'b será

. 9a bB œ -"cosÈ"  B  -- #sinÈ"  B -De aquí hallamos que

. 9wa b ÈB œ " -Š -"sinÈ"  B  -- #cosÈ"  B- ‹

En este caso, para la determinación de y , las condiciones de-" -#

fronteras a$Þ$Þ"(b dan el sistema

- "   - "  œ ! "  - œ ! $Þ$Þ") " # # cos1 - sin1 -È È È a b

el determinante de este sistema es

? - 1 - 1

-a b »œ È"  _ÈÈ"  »

! " 

cos sin

Igualando a cero, obtenemos la ecuación para la determinación de las raíces características

»cos1È_!" - sin_È1È_{" }" _- -»œ ! a$Þ$Þ"*b o sea È" -cos1È" -œ !. Por hipótesis È" -Á !, por lo tanto cos1È" -. De aquí se halla que 1È" -œ 1_#  81 , donde 8 −™. Todas las raíces de la ecuación a$Þ$Þ"*b vienen dadas por la fórmula

. -8œ "  8 ˆ "_#‰#

- † !  -  " œ ! - œ !

" # 8 #

a b

Éste tiene un conjunto infinito de soluciones no nulas

- œ -ß" - œ !#

donde es una constante arbitraria. Esto significa que también la -ecuación integral original tiene un conjunto infinito de soluciones de la forma

9a bB œ -cosˆ8  "_#‰B

las cuales son funciones propias de dicha ecuación.

De este modo, las raíces características y las funciones propias de la ecuación dada, serán

,

-8œ "  8 ˆ "_#‰# 98a b cosB œ ˆ8  "_#‰B

donde es un entero cualquiera.8

3.4. EJERCICIOS.

Resolver las siguientes ecuaciones integrales con núcleos degenerados: ". 9a bB  %

'

_!1Î#sin#B9a b> .> œ #B 1 #Þ 9a bB 

'

_"" _/arcsinB₉a b_{> .> œtanB} $Þ 9a bB -

'

_{ Î%}1₁Î% tan>9a b> .> œcotB %Þ 9a bB -

'

_!"cosa;ln>b a b9 > .> œ " &Þ 9a bB -

'

_!"arccos>9a b> .> œ " "B È # 'Þ 9a bB -

'

_!"ˆ ‰ a bln"_> :9 > .> œ " a:   "b

Resolver las siguientes ecuaciones integrales: (Þ 9a bB œ #

'

_!"B>9$a b> .> ). 9a bB œ

'

_"" aB>  B ># #b a b9# > .> *Þ 9a bB œ

'

_"" B ># # $9 a b> .> "!Þ 9a bB œ

'

_"" _"B>₉#a b_> .> ""Þ 9a bB œ

'

_!"a" 9#a b> .>Þb

"#ÞDemostrar que la ecuación integral 9a bB œ "_{# !}

'

"+ B + > " a b a ba 9#a b> .>b Ð+ B  !a b para todoB − Ò!ß "ÓÑ no tiene soluciones reales, si

'

_!" #+ B .B  "a b . Hallar las raíces características y las funciones propias de las siguientes ecuaciones integrales homogéneas con nucleo degenerado:

"$Þ 9a bB -

'

_!1Î%sin#B9a b> .> œ ! "%Þ 9a bB -

'

_!#1sinBcos>9a b> .> œ ! "&Þ 9a bB -

'

_!#1sinBsin>9a b> .> œ ! "'Þ 9a bB -

'

_!1cosaB  >b a b9 > .> œ ! "(Þ 9a bB -

'

_"" a&B>  %B >$ # b a b9 > .> œ ! ")Þ 9a bB -

'

_"" a&B>  %B >  $B>$ # b a b9 > .> œ ! "*Þ 9a bB -

'

_"" aBcosh>  >coshBb a b9 > .> œ !

Hallar las raíces características y las funciones propias de las ecuaciones integrales homogéneas, si sus núcleos tienen la forma

#!Þ O Bß > œ B >  " ß ! Ÿ B Ÿ > > B  " ß > Ÿ B Ÿ " a b œ a_a b_b