M.R.U.A.
Y
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Un avión, cuando despega, va aumentando su velocidad. Tiene aceleración positiva.
Cuando aterriza disminuye su velocidad hasta pararse. Tiene aceleración negativa.
Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.
t
v
v
a
0Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
t
a
v
v
f
0
2 0 02
1
t
a
t
v
s
s
s
a
v
v
f2
02
2
Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea negativa (decelere o frene)
GRÁFICAS DEL M.R.U.A.
Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene una
Parábola.
Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicial
V0,, y sin velocidad inicial.
NINGÚN MOVIMIENTO
PUEDE PARTIR DEL REPOSO
SIN ACELERACIÓN
Problemas
Movimiento
Rectilíneo
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacio
ha recorrido mientras aceleraba?
t
a
v
v
f
0
2 0 0a
t
2
1
t
v
s
s
v
v
022
a
s
2 f
Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.) y las fórmulas que le corresponden
Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
Solución:
Datos que tenemos:
.
7
8
,
27
777
,
27
1
1000
3600
1
100
0
s
t
s
m
km
m
s
h
h
km
v
s
m
v
final o
2 0 03
,
97
4
7
0
8
,
27
s
m
t
v
v
a
t
a
v
v
f
.
98
7
4
2
1
7
0
0
2
1
2 2 0 0v
t
a
t
m
s
s
.
98
97
4
2
0
8
,
27
2
2
2 2 2 2 2 2m
a
v
v
s
s
a
v
v
f o o
Aplicamos las fórmulas
Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculo
situado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria para detener el coche antes de llegar al obstáculo?.
t
a
v
v
f
0
2 0 02
1
t
a
t
v
s
s
s
a
v
v
f2
o2
2
De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita
Solución:
Datos que tenemos:
.
50
22
2222
,
22
1
1000
3600
1
80
0
0m
s
s
m
km
m
s
h
h
km
v
s
m
v
final
No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguiente fórmula
50
2
22
0
2
2 2 2 2
a
s
a
v
v
f o¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA
2 2 2 2 2 2 2
84
,
4
50
2
0
22
0
22
50
2
50
2
22
0
s
m
a
a
a
Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos de calcular.
.
6
,
4
586
,
4
84
,
4
0
2
,
22
0 0s
a
v
v
t
t
a
v
v
f
Problemas
Movimientos
Combinados
Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50
segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. •¿Cuál es esta velocidad?
•¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos?
•¿Qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 2500m?
PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguir los tipos de movimiento en cada momento.
Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DEL REPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UN M.R.U.A. POR DEFINICIÓN.
…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hasta alcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidad constante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.
Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.
Solución: (M.R.U.A.) Datos que tenemos:
.
0
8
,
0
.
100
1
80
.
50
?
0
0 2 2 0m
s
s
m
cm
m
s
cm
a
s
t
v
s
m
v
acelerado final
¡¡¡¡IMPORTANTE!!!!
UNIDADES EN EL SISTEMA
INTERNACIONAL
Comenzamosv
f
v
0
a
t
v
f
0
0
,
8
50
40
m
s
.
1000
50
8
,
0
2
1
50
0
0
2
1
2 2 0 0v
t
a
t
m
s
s
Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientras aceleraba. Por lo tanto, no le quedan los 2500 m. hasta la estación sino la diferencia.
Solución: (M.R.U.) Datos que tenemos:
.
2500
.
1000
?
40
0 . _m
s
m
s
t
s
m
v
final cte velocidad
Consideramos que el espacio inicial es el que ha recorrido mientras ACELERABA.
Entonces
.
5
,
37
40
1000
2500
s
t
40t
1000
2500
t
v
s
0 final 0 finals
v
s
s
.
5
,
87
5
,
37
50
. _s
t
t
Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a
130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7.
CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta que acciona el freno, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U., es decir, tenemos dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).
M.R.U.
0m.
s
0,4s.
t
s
m
36,1
3600s.
1h.
1km
1000m
h
km
130
v
0 acelerado
14,44m.
0,4
36,1
0
s
t
v
s
s
mientras_no_frena
0
M.R.U.A.
14,4m.
s
s
m
3,7
a
?
t
s
m
0
v
s
m
36,1
v
0 2 acelerado final 0
9,8s.
3,7
36,1
a
v
v
t
t
a
v
v
f
0
0
f
0
Entonces el espacio mínimo será…109,5m.
9,8
3,7
2
1
9,8
36,1
14,4
t
a
2
1
t
v
s
s
0
0
2
2
MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE
El movimiento vertical es un caso particular de M.R.U.A.La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la gravedad, cuyo valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2
Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:
t
g
v
v
f
0
0 0 22
1
t
g
t
v
h
h
v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.
Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativo.
Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se toma su valor con signo positivo.
Problemas
Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer
libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.
100m.
h
s
m
9,81
g
?
t
?.
v
s
m
0
v
2 acelerado final 0
s
m
t
g
v
v
4,5s.
9,81
2
100
t
t
9,81
2
1
t
0
0
100
t
g
2
1
t
v
h
h
final 2 2 0 01
,
44
5
,
4
81
,
9
0
0
4,5s.
9,81
0
44,3
g
v
v
t
t
g
v
v
s
m
44,3
100
9,81
2
0
v
h
g
2
v
v
0 f 0 f 2 f 2 0 2 f
O también se puede hacer así…
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer
Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola
verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar dicha altura?
m.
h
s
m
9,81
g
?
t
?.
v
s
m
0
v
2 do desacelera final20
0
2s.
9,81
0
19,8
g
v
v
t
t
g
v
v
s
m
19,8
20
9,81
2
0
v
h
g
2
v
v
h
g
2
v
v
f 0 0 f 2 0 2 f 2 0 2 0 2 f
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer
Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia
abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo tarda en caer?.
300m.
h
s
m
9,81
g
?
t
s
m
10
v
s
m
0
v
2 0 final
6,9s.
9,81
10
77,4
g
v
v
t
t
g
v
v
s
m
77,4
300
9,81
2
10
v
h
g
2
v
v
0 f 0 f 2 f 2 0 2 f
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer
Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de
50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.
2 final s
s
m
9,81
g
v
s
m
v
s
m
v
?
0
50
0 .7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que
desconocemos
Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo que tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.
s
m
t
g
v
v
t
g
v
v
7s
0
0
7s
50
9
,
81
7
118
,
7
12,1s.
9,81
0
118,7
g
v
v
t
t
g
v
v
f
0
0
f
EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…
24,2s.
12,1
2
t
2
t
total
h_máxima
Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración
de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula
libre. Calcular cual es el tiempo transcurrido desde que despegó hasta caer al suelo.
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos y todos ellos M.R.U.A.
El PRIMER MOVIMIENTO es un movimiento acelerado, con aceleración positiva de 2 m/s2 Datos:
0m.
h
s
m
2
a
s.
min
t
?.
v
s
m
0
v
0 2 acelerado final 0
72
2
,
1
Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota el combustible.
s
m
t
a
v
v
m.
2
2
1
0
0
h
t
a
2
1
t
v
h
h
final 2 2 0 0144
72
2
0
5184
72
72
0
El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partícula libre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad g=9,81 m/s2 lo acaba frenando.
6240,9m.
9,81
2
1
14,7
144
5184
h
t
g
2
1
t
v
h
h
14,7s.
9,81
0
144
g
v
v
t
t
g
v
v
2 0 0 final 0 0 final
27
,
14
m.
h
s
m
g
t
.
s
m
v
s
m
v
0 gravedad decelerado final 05184
81
,
9
?
0
144
2
El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete una vez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en ese momento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando. Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUE SUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de la gravedad.
0m.
h
6240,9m.
h
s
m
9,81
g
?
t
?.
v
s
m
0
v
0 2 gravedad n_gravedad aceleracio final 0
35,7s.
9,81
2
6240,9
t
t
9,81
2
1
t
0
0
6240,9
t
g
2
1
t
v
h
h
2 2 0 0
NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJO EL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, ES LA MISMA A LA QUE SE HA ELEVADO.
EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS
122,4s.
35,7
14,7
72
t
t
t
t
movimiento 3 to 2ºmovimien movimiento 1 total
er
er
Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en
pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra el marco superior de la ventana? Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemos
que suponer varias cosas que complican su resolución
Solución:
Antes de nada vamos a ver los datos que tenemos
2 ventana ventana
81
,
9
.
5
,
2
.
3
,
0
?
?
s
m
g
a
m
h
s
t
v
v
final o
LA CLAVE DEL PROBLEMA E MODIFICAR EL PUNTO DE REFERENCIA.
2,5
m.
?
Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LA VENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que le lleva. Como es caída libre utilizaremos g.
CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió una distancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final que recorrerá, pero si sabemos…
.
5
,
2
0m
h
h
Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacio que va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la ventana. Entonces…
s
m
v
v
v
t
g
t
v
h
h
t
g
t
v
h
h
87
,
6
3
,
0
44
,
0
5
,
2
44
,
0
3
,
0
5
,
2
3
,
0
81
,
9
2
1
3
,
0
5
,
2
2
1
2
1
0 0 2 0 2 0 0 2 0 0
Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a la que hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso por delante de la ventana.
CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA:
Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior de la ventana.
Consideramos que parte de 0 en la cornisa (velocidad inicial) y que la velocidad con la que llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimiento anterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.
.
4
,
2
2
81
,
9
87
,
6
81
,
9
2
0
87
,
6
2
2 2 2 2 0 2m
h
h
h
g
v
v
f
Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anterior también fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidad final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco superior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.
