UNIDAD 2
FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA
1. Radiación y materia: dualidad onda-corpúsculo
2. Principio de incertidumbre
FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA
Objetivos
Conocer las dificultades de la Física Clásica para explicar la radiación del
cuerpo negro, del efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Valorar la
importante contribución de Planck y de Einstein para explicar ambos efectos,
respectivamente, que dio lugar al nacimiento de la Física Cuántica.
Conocer la revolucionaria hipótesis de De Broglie de la dualidad
onda-materia, posteriormente refrendada con la experiencia de la difracción de
electrones.
Conocer las hipótesis introducidas por Heisenberg en su principio de
incertidumbre, que obligan a una revisión conceptual de la relación entre el
experimentador y la medida, de excepcional interés en el mundo subatómico.
Conocer las bases de la Física Ondulatoria desarrollada por Schrodinger y la
revisión probabilística introducida por Born, que han sido aplicados con éxito
en numerosos casos de física atómica y molecular.
Luz incidente Ventana de cuarzo V Interruptor para invertir la polaridad A B Cubierta de vidrio G
1. RADIACIÓN Y MATERIA: DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO
Satisfacción en el mundo científico hasta finales del siglo XIX: los fenómenos físicos
se podían explicar a partir de las leyes de Newton o a partir de las ecuaciones de
Maxwell.
Algunos fenómenos no explicables por la Física Clásica: Espectros discretos
T=2000 K T=1000 K 4 6 2 3 2 1 0 T=1500 K RT ( )( 10 -9 Wm -2 Hz -1 ) (1014 Hz) Fuente de rayos X Dispersor Haz incidente Haz dispersado Cristal Detector
Las características del espectro de
emisión del cuerpo negro (1899)
Efecto fotoeléctrico: Emisión de
electrones al iluminar un metal
con una radiación (1905)
Ley de desplazamiento de Wien:
max
T
maxfrecuencia para la que R
T(
) es máxima
Ley de Stefan:
R
T=
T
4
= 5.6703· 10
-8W m
-2K
-4constante de Stefan-Boltzman
Si relacionamos
maxcon el valor correspondiente
maxpodemos escribir la ley de Wien:
K
w= 2.898·10
-3m K
constante de Wien
Nota
:
Definición de R
T,
Radiancia: energía total
emitida por un cuerpo
que se encuentra a la
temperatura T, por
unidad de superficie y
de tiempo
Radiación del cuerpo negro
Cavidad con un pequeño orificio
T=2000 K T=1000 K 4 6 2 3 2 1 0 T=1500 K R T ( )( 10 -9 Wm -2 Hz -1 ) (1014Hz)
λ
maxT= K
wRadiancia espectral de un cuerpo
negro a distintas temperaturas
1º La energía es una
variable continua
2º El cálculo de la energía promedio se realiza a partir de la distribución
de Boltzmann:
* Catástrofe ultravioleta
Radiación de cuerpo negro: Teoría Clásica de Rayleigh-Jeans
/( )
B E k T Be
P E
k T
3º Valor de la energía total promedio:
Comparación de los valores experimentales y los
obtenidos a partir de la Teoría Clásica
0 0( )
( )
BEP E dE
E
k T
P E dE
T
( )
d
8
2
3
k T
B
d
c
Resultados experimentales 2 3 1 3 2 1 0 T=1500 K
T(
)(1
0
-17Jm
-3Hz
-1)
(10
14Hz)
Teoría clásica de Rayleigh-Jeans1º La energía una
variable discreta
2º Los valores de la energía responden a la expresión:
E
n= n
E con n= 0, 1, 2, ...
3º A partir de consideraciones estadísticas
E = E(
) y supuso la dependencia lineal:
E = h
h=6.63*10
-34J s
constante de Planck
*
Expresión obtenida:
Radiación de cuerpo negro: Teoría Cuántica de Planck
Otras confirmaciones de la teoría de Planck:
A partir de la expresión obtenida por Planck se pueden obtener las leyes experimentales de Stefan y Wien.
Al ajustar las constantes obtenidas analíticamente con las determinadas experimentalmente por dichas leyes se comprueba que coincide el valor de h con el determinado por Planck
* El valor de la energía total promedio:
2 / 38
( )
1
B T h k Th
d
d
c
e
/ B1
h k Th
E
e
Teoría cuántica de Planck 1.5 1.0 0.5 6 4 7 2 0 (m) T ( )(10 3 Jm -4 ) T=1595KComparación de los valores experimentales y los obtenidos a partir de la Teoría Cuántica
.
1º La energía es una
variable continua
2º El cálculo de la energía promedio se realiza a partir de la distribución de Boltzmann
Radiación de cuerpo negro: Teoría Clásica de Rayleigh-Jeans
3º Valor de la energía total promedio
1º La energía una
variable discreta
2º Los valores de la energía responden a la expresión:
E
n= n
E con n= 0, 1, 2, ...
3º A partir de consideraciones estadísticas
E = E(
) y supuso la dependencia lineal:
E = h
h=6.63*10
-34J s
constante de Planck
Radiación de cuerpo negro: Teoría Cuántica de Planck
RESUMEN
T=2000 K
T=1000 K
4 6 2 3 2 1 0T=1500 K
R
T(
)(10
-9Wm
-2Hz
-1)
(10
14Hz)
Ejemplo 1:
En una lámpara de incandescencia de 50 W, el filamento de wolframio está a
una temperatura de 2150ºC. Si la energía emitida en el campo visible es el 28%
de la total correspondiente a un cuerpo negro a la misma temperatura, hallar la
superficie del filamento de wolframio.
SOL.: 0,914 cm2
Ejemplo 1:
En una lámpara de incandescencia de 50 W, el filamento de wolframio está a
una temperatura de 2150ºC. Si la energía emitida en el campo visible es el 28%
de la total correspondiente a un cuerpo negro a la misma temperatura, hallar la
superficie del filamento de wolframio.
SOL.: 0,914 cm2
Ley de Stefan:
R
T=
T
4EJEMPLO
EJEMPLO
• El ánodo se hace negativo para que
repela a los electrones
.
• Sólo los electrones con
energía cinética inicial suficiente
pueden superar
la repulsión y llegar al ánodo.
• EL voltaje entre las dos placas se aumenta lentamente hasta que la
corriente se hace cero (
voltaje de frenado, V
o).
• En ese momento ni los electrones más energéticos alcanzan el ánodo.
Efecto fotoeléctrico
Luz incidente Ventana de cuarzo V Interruptor para invertir la polaridad A B Cubierta de vidrio G• Tubo de vacío con dos placas metálicas
.
• La luz de una sola frecuencia incide
sobre la superficie A (cátodo) y
se
emiten electrones
.
• La corriente del amperímetro es una
medida del número de estos electrones
que llegan al ánodo (placa B).
Intensidad alta
Intensidad baja
V
I
-V
o
o 100 80 60 40 4 3 2 1 0 E cm a x (eV) (1014Hz)Ec máxima de los electrones en función
de la frecuencia de la radiación incidente
Efecto fotoeléctrico
Esquema del dispositivo experimental
Corriente fotoeléctrica en función de
la diferencia de potencial aplicada
Luz incidente Ventana de cuarzo V Interruptor para invertir la polaridad A B Cubierta de vidrio G
Intensidad alta Intensidad baja V I -Vo o 100 80 60 40 4 3 2 1 0 Ecm a x (eV ) (1014Hz)
1. Dependencia de la energía
cinética de los
fotoelectrones con la
intensidad de la luz incidente
Clásica
Experimento
Los electrones absorben energía de forma
continua. Una luz más intensa aumenta la energía cinéticade los electrones.
La energía cinética máxima de los electrones
es independientede la intensidad de la luz.
3. Tiempo transcurrido entre la
incidencia de la luz y la
emisión de electrones
Clásica
Experimento
Para una luz débil, debe transcurrir un tiempo perceptibleentre incidencia y emisión, para que el electrón alcance la energía requerida.
Los electrones son emitidos de manera casi
instantánea, incluso para intensidades bajas
.
Hechos no explicables con la Teoría ondulatoria clásica
3. Existencia de una frecuencia
umbral
Clásica
Experimento
Se tendría que producir para cualquier frecuencia lo único que la radiación tendría que ser lo suficientemente intensa
La frecuencia umbral es independiente de la intensidad de la luz usada
o 100 80 60 40 4 3 2 1 0 E cma x (e V) (1014Hz)1º
La energía radiante está cuantizada en paquetes: fotones
2º
La energía del fotón es
E = h
3º
En el proceso fotoeléctrico un fotón es completamente absorbido por un
electrón del fotocátodo
*
Balance de energía del proceso:
h
= E
c+ W
W, es la energía necesaria para extraer el electrón del metal
*
Energía cinética máxima del fotoelectrón:
E
c max= h
- W
oW
o,es la
función trabajo
del metal o trabajo de extracción
►
La teoría de Einstein predice una relación lineal entre
la energía cinética máxima
E
cmaxy la frecuencia
►
A partir de la pendiente experimental de la
representación de
E
cmaxfrente a
, se puede determinar
el valor de h
valor obtenido h = 6.57·10
-34J.s
valor actual
h = 6.62662·10
-34J.s
o 100 80 60 40 4 3 2 1 0 E cm a x (e V) (1014Hz) Ejemplo 3(a) Calcular la frecuencia en Hertzios, la energía en julios y en electrón-voltios de un fotón de rayos X con una longitud de onda de 2,70 Å. (b) ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón que tiene tres veces más energía que otro fotón cuya longitud de onda es 500 nm?
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s.
Ejemplo 3
(a) Calcular la frecuencia en Hertzios, la energía en julios y en electrón-voltios de un fotón de rayos X con una longitud de onda de 2,70 Å. (b) ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón que tiene tres veces más energía que otro fotón cuya longitud de onda es 500 nm?
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s.
Ejemplo 2
Para romper un enlace químico en las moléculas de piel humana (dando lugar a una quemadura), se requiere la energía de un fotón de, aproximadamente, 3,5 eV. ¿A qué longitud de onda corresponde? ¿Qué lugar ocupa en el espectro de las ondas electromagnéticas?
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108m/s.
Ejemplo 2
Para romper un enlace químico en las moléculas de piel humana (dando lugar a una quemadura), se requiere la energía de un fotón de, aproximadamente, 3,5 eV. ¿A qué longitud de onda corresponde? ¿Qué lugar ocupa en el espectro de las ondas electromagnéticas?
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108m/s.
Energía del fotón
E = h
Balance de energía
h
= E
c+ W
Energía cinética máxima
E
c max= h
- W
oEfecto fotoeléctrico
EJEMPLOS
Ejemplo 5
La radiación emitida por electrones que caen de un estado energético de 30,4 eV a otro de 5,54 eV se utiliza para irradiar un metal y producir efecto fotoeléctrico. Determinar: (a) la longitud de onda y frecuencia de la radiación utilizada; (b) el trabajo de extracción del metal si el potencial de frenado medido es de 22,4 V; (c) la frecuencia umbral para la emisión fotoeléctrica del metal utilizado; (d) el radio de la circunferencia descrita por los electrones emitidos con la energía cinética máxima cuando éstos entran en el seno de un campo magnético uniforme de 2·104 G perpendicular al plano
de su trayectoria. Ejemplo 5
La radiación emitida por electrones que caen de un estado energético de 30,4 eV a otro de 5,54 eV se utiliza para irradiar un metal y producir efecto fotoeléctrico. Determinar: (a) la longitud de onda y frecuencia de la radiación utilizada; (b) el trabajo de extracción del metal si el potencial de frenado medido es de 22,4 V; (c) la frecuencia umbral para la emisión fotoeléctrica del metal utilizado; (d) el radio de la circunferencia descrita por los electrones emitidos con la energía cinética máxima cuando éstos entran en el seno de un campo magnético uniforme de 2·104 G perpendicular al plano
de su trayectoria.
Ejemplo 6
Una radiación luminosa de 2000 Å e intensidad 3 mW/m2 incide sobre un metal de cobre cuya
función trabajo es 1 eV. Calcular (a) el número de fotones por unidad de tiempo y área que llegan al metal; (b) la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos.
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s
Ejemplo 6
Una radiación luminosa de 2000 Å e intensidad 3 mW/m2 incide sobre un metal de cobre cuya
función trabajo es 1 eV. Calcular (a) el número de fotones por unidad de tiempo y área que llegan al metal; (b) la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos.
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s
Ejemplo 4:
El cesio metálico se usa mucho en fotocélulas y en cámaras de televisión ya que tiene la energía de ionización más pequeña de todos los elementos estables. (a) ¿Cuál es la energía cinética máxima de un fotoelectrón emitido por el cesio a causa de una luz de 500 nm? (Téngase en cuenta que no se emiten fotoelectrones si la longitud de onda de la luz utilizada para irradiar la superficie del cesio es mayor de 660 nm); (b) Usar la masa en reposo del electrón para calcular la velocidad del
fotoelectrón del apartado (a).
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s; m
e= 9´1·10-31 kg
Ejemplo 4:
El cesio metálico se usa mucho en fotocélulas y en cámaras de televisión ya que tiene la energía de ionización más pequeña de todos los elementos estables. (a) ¿Cuál es la energía cinética máxima de un fotoelectrón emitido por el cesio a causa de una luz de 500 nm? (Téngase en cuenta que no se emiten fotoelectrones si la longitud de onda de la luz utilizada para irradiar la superficie del cesio es mayor de 660 nm); (b) Usar la masa en reposo del electrón para calcular la velocidad del
fotoelectrón del apartado (a).
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s; m
45º
0º
135º
90º
1=0.709Å
2=0.716Å
2=0.733Å
2=0.750Å
Resultados
obtenidos
a
partir
del
experimentos de A. H. Compton (1923). Las
líneas verticales corresponden a los valores
de
. En el eje y se representa la intensidad.
Fuente de
rayos X
Dispersor
Haz
incidente
Haz
dispersado
Cristal
Detector
Efecto Compton
Explicación del efecto Compton
Resultado
Ecuación del desplazamiento de Compton
1º
La radiación se considera
una colección de fotones
con energía
E=h
.
2º
Los fotones colisionan con los electrones libres del blanco dispersor de forma
similar a
las colisiones que se producen entre bolas de billar.
3º
En la colisión
el fotón transfiere parte de su energía
al electrón con el que choca
.
(1 cos )
C
100.0243 10
C oh
m
m c
Longitud de onda Compton
2 1
(1 cos )
oh
m c
Efecto Compton
(1 cos )
C
Ejemplo 7Un fotón de 400 pm de longitud de onda choca contra un electrón en reposo y rebota en una dirección que forma un ángulo de 150° con la dirección incidente. Calcular la velocidad y la longitud de onda del fotón dispersado.
Ejemplo 7
Un fotón de 400 pm de longitud de onda choca contra un electrón en reposo y rebota en una dirección que forma un ángulo de 150° con la dirección incidente. Calcular la velocidad y la longitud de onda del fotón dispersado.
EJEMPLO
EJEMPLO
F
V
D
Haz
dispersado
Haz
incidente
C
Esquema del dispositivo usado por Davisson y Germer
Principio de De Broglie:
Cualquier partícula moviendose con un cantidad
de movimiento
p
lleva asociada una longitud de onda
,
definida de la
forma:
= h / p
Elsasser
(1926)
propuso
que
la
naturaleza ondulatoria de la materia se
podría comprobar de la misma forma
que se había demostrado la de los
rayos X: estudiando la dispersión de
los electrones cuando inciden sobre
un
sólido
cristalino.
Davisson
y
Germer realizaron esta comprobación.
No sólo la luz, sino en general toda la materia,
tiene carácter dual.
Diferentes espectros de difracción
Conclusión:
La materia tiene una naturaleza dual
.
(a)
(b)
(c)
a)
Espectro de difracción
producido por
rayos X
de
= 0.071 nm sobre blanco
formado por una hoja de
aluminio.
b)
Espectro de difracción
producido
por electrones
de energía de 600 eV de
=0.050 nm sobre una hoja
de aluminio.
c)
Espectro de difracción
producido
por neutrones
de
energía de 0.0568 eV de
= 0.12 nm sobre una hoja
de cobre.
Ondas de materia
Ejemplo 8
Calcular la longitud de onda asociada a una partícula que se mueve con una velocidad de 2•106m/s
si dicha partícula es: (a) un electrón; (b) un protón; (c) una bola de 0´2 kg de masa. DATOS: me= 9´1•10-31 kg ; mp= 1´65•10-27 kg ; h= 6´62•10-34 J•s
Ejemplo 8
Calcular la longitud de onda asociada a una partícula que se mueve con una velocidad de 2•106m/s
si dicha partícula es: (a) un electrón; (b) un protón; (c) una bola de 0´2 kg de masa. DATOS: me= 9´1•10-31 kg ; mp= 1´65•10-27 kg ; h= 6´62•10-34 J•s
EJEMPLO
EJEMPLO
2. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
Enunciado 1 del Principio de incertidumbre de Heisenberg
No puede medirse
simultáneamente
con toda precisión la posición y el
momento lineal de una partícula
4
h
p
x
x
x: error absoluto de la coordenada x (incertidumbre en la posición)
p
x: error absoluto de la coordenada x del momento lineal
(incertidumbre del momento lineal)
Enunciado 2 del Principio de incertidumbre de Heisenberg
No puede medirse
simultáneamente
con toda precisión la energía que
absorbe o emite un átomo y en el instante en que lo hace
E: error absoluto en la energía (incertidumbre de la energía)
t : error absoluto en el tiempo (incertidumbre del tiempo)
►
Sólo podemos hablar de la probabilidad de que una partícula se encuentre en una
determinada posición con un determinado momento lineal. Esto conduce a la idea de que
la onda que lleva asociada es una función de probabilidad
►
La Física Cuántica aparece como una ciencia probabilística
►
Principio de complementariedad de Neils Bohr y dualidad
4
h
t
4
h
p
x
x
Ejemplo 9Los electrones de un haz tienen una velocidad de (400 ± 5)•104 m/s ¿Cuál es la mínima
incertidumbre con que se puede conocer la posición? DATOS: me= 9´1•10-31 kg; h= 6´62•10-34 J•s
Ejemplo 9
Los electrones de un haz tienen una velocidad de (400 ± 5)•104 m/s ¿Cuál es la mínima
incertidumbre con que se puede conocer la posición? DATOS: me= 9´1•10-31 kg; h= 6´62•10-34 J•s Esta incertidumbre es debida a la naturaleza cuántica de la materia
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
EJEMPLO
EJEMPLO
►
La relación de De Broglie
= h / p
, proporciona la longitud de onda asociada
a una partícula con su cantidad de movimiento.
►
La Mecánica Cuántica introduce el uso de la probabilidad para describir el
estado de las partículas. El estado de una partícula se describe por medio de
una
función de onda
(x,y,z,t).
►
Si se considera un volumen elemental dV=dx dy dz centrado en (x,y,z). La
probabilidad diferencial dP de que la partícula se encuentre dentro del volumen
dV en un instante dado, está dada por:
( , , )
2dP
x y z
dV
►
|
(x,y,z) |
2representa la
densidad de probabilidad,
es decir, la probabilidad
por unidad de volumen de que la partícula esté en el punto (x,y,z)
►
La probabilidad P, de que la partícula se encuentre en una región finita de
volumen V será:
2
V
V
P
dV
►
Si conocemos la función de onda
podemos calcular la densidad de
probabilidad |
|
2de que la partícula esté en un punto.
3. MECÁNICA ONDULATORIA
Ecuación
de
Schrödinger
independiente del tiempo (o
estacionaria) para una dimensión
La hipótesis de De Broglie sobre la dualidad onda-corpúsculo fue el punto de
partida de Schrödinger para establecer la llamada
mecánica cuántica o
mecánica ondulatoria
, que reemplaza a la mecánica clásica de Newton cuando
se quiere describir el movimiento de partículas microscópicas. Para ello, E.
Schrödinger postuló una ecuación,
ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER.
U
(
x
)
(
x
)
h
m
dx
)
x
(
d
2 2 2 28
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una dimensión
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una dimensión
)
(
)
(
)
(
)
(
8
2 2 2 2x
E
x
x
U
dx
x
d
m
h
U
es la función energía
potencial
Ψ
(x,t)
es la función de onda
La solución estacionaria
Ψ
(x,t) =
Ψ
(x) e
-iωtt
t
x
ih
t
x
U
dx
t
x
d
m
h
(
,
)
2
)
,
(
)
,
(
8
2 2 2 2
La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial en
derivadas parciales. Al integrar la ecuación sólo se obtienen
soluciones matemáticamente aceptables cuando la energía total
del sistema electrón-núcleo (es decir, del átomo) toma ciertos
valores fijos.
La
integración
de
la
ecuación
de
Schrödinger
proporciona la función de onda
(x
como solución de la
ecuación y los posibles valores cuantizados de la energía
del átomo.
A partir de la función de onda se puede
calcular la probabilidad de encontrar la
partícula
U
(
x
)
(
x
)
h
m
dx
)
x
(
d
2 2 2 28
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una dimensión
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2 2 2x
E
x
x
U
dx
x
d
m
Ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo
, aplicada a una partícula de masa m
limitada a moverse sobre el eje x e interactuando
con el entorno mediante una función de energía
potencial U(x) y donde E es la energía total del
sistema (partícula y entorno
)
U
(
x
)
(
x
)
h
m
dx
)
x
(
d
22 2 28
L v• Una limitación al movimiento de las
partículas cuánticas
en un
sistema son las
condiciones de contorno
, que producen una
cuantización de la energía
del sistema.
• Los
estados cuánticos
son aquellos en los que se cumplen las
condiciones de contorno
.
• El tratamiento de la ecuación de Schrödinger conduce a una
energía
cuantizada
(igual
resultado
que
en
las
ondas
estacionarias)
2
h
Ecuación de Schrödinger
Ejemplo 10
Partícula moviéndose en el interior de un pozo de potencial de rectangular y de
paredes infinitas
Ejemplo 10
Partícula moviéndose en el interior de un pozo de potencial de rectangular y de
paredes infinitas
Función de onda para la partícula
,...
3
,
2
,
1
;
2
)
(
n
L
x
n
sen
L
x
n
2 2 2dx
1
L
x
n
sen
A
dx
n
L
A
dx
L
x
n
sen
A
L2
1
0 2 2
L
x
n
Asen
x
n
L
n
L
y
x
2
Asen
(x)
n n n o n n
)
(
2
2
0
0 x U(x) LU(x) =
∞
0 0 < x < L
x < 0
∞
x > L
Resolución de la ecuación de Schrödinger para la partícula moviéndose en un pozo
rectangular e infinito
(
)
(
)
8
)
(
2 2 2 2x
x
U
h
m
dx
x
d
)
(
)
(
8
2 2 2 2x
E
dx
x
d
m
h
Dentro del pozo, U(x)=0
Condiciones de contorno:
(x)=0 para x=0 y x=L
n n o n nk
x
k
Asen
(x)
2
0 x U(x)
L
Función de onda estacionaria para
la partícula dentro de una caja
,...
3
,
2
,
1
;
2
)
(
n
L
x
n
sen
L
x
n
Representación de
para n = 1, n = 2 y n = 3
A
L
0
X
A
L
0
X F2 0 2
A
L
0
X F3Representación de
2para n = 1, n = 2 y n = 3
xL
0
x
0
L
0
xL
0 x U(x)
U U
L
