16. Cristales cu´
anticos: cuantizaci´
on can´
onica, fonones.
[Ynd 7]
Operadores de creaci´on y aniquilaci´on
Recu´erdese que el oscilador arm´onico cu´antico en una dimensi´on ˆ H = pˆ 2 2m + 1 2mω 2qˆ2 (16.1)
se puede tratar utilizando operadores de creaci´on ˆa† y aniquilaci´on (o destrucci´on) ˆ
a. El aniquilador est´a definido como ˆ a:= r mω 2~ ˆ q+ i mωpˆ → Hˆ =~ω ˆ a†aˆ+1 2 . (16.2) Los operadores ˆa,ˆa† tienen las siguientes propiedades:
(i) [ˆq,pˆ] =i~ ⇒ [ˆa,ˆa†] =1.
(ii) Dado el n-´esimo estado |ni del oscilador arm´onico:
ˆ a|ni=√n|n−1i sin >0, ˆa|0i= 0, ˆ a†|ni=√n+ 1|n+ 1i ˆ a†ˆa|ni=n|ni (operador n´umero) →Hˆ|ni=~ω n+1 2 |ni. (16.3)
Recu´erdese que la energ´ıa del estado fundamental no es cero, sino~ω/2; esto tendr´a un papel a continuaci´on. El estado |ni se puede generar aplicando operadores de creaci´on al vac´ıo,
|ni= √1
n!(ˆa
†)n|0i. (16.4)
El factor 1/√n! tiene su origen en el hecho de que los cuantos de oscilador deben ser interpretados como bosones id´enticos, y por lo tanto el estado con n cuantos tiene que ser sim´etrico bajo permutaciones de los mismos, de acuerdo con la estad´ıstica de Bose-Einstein. Con esto, los estados son ortonormales por construcci´on,
Es obvio que el operador ˆaes simplemente la promoci´on a operador cu´antico del modo normal α(t) del oscilador. Esto nos sugiere la receta conocida como cuanti-zaci´on can´onica: dado un sistema soluble en modos normales, el correspondiente sistema cu´antico se obtiene promoviendo el modo normal α(ν) a un operador de destrucci´on ˆa(ν) (respectivamente, α∗(ν)→ˆa†(ν)), dondeν son las cantidades (e.g. posici´on en la red o n´umero de onda) de las que depende α, y que pasan a ser n´umeros cu´anticosdel sistema.
Sistema de osciladores independientes: energ´ıa del vac´ıo
La aplicaci´on de la receta anterior al sistema de osciladores independientes
H =X n p2n 2m + 1 2mω 2q2 n + V0. (16.6)
que estudiamos a nivel cl´asico implica la definici´on
ˆ an:= r mω 2~ ˆ qn+ i mωpˆn ↔ ˆ qn= q ~ 2mω(ˆa+ ˆa †), ˆ pn=−i q ~mω 2 (ˆa−ˆa †), (16.7)
Estos operadores cumplen
[ˆqn,pˆn0] =i~δnn0 ⇒
(
[ˆan,ˆan0] = 0 ∀n, n0,
[ˆan,ˆa†n0] =δnn0.
(16.8)
La relaci´on de conmutaci´on no trivial [ˆan,aˆ†n0] tiene una consecuencia interesante:
supongamos que partimos del hamiltoniano ˆ H=X n ˆ p2n 2m + 1 2mω 2qˆ2 n (16.9)
(hemos fijadoV0 = 0, como har´ıamos normalmente) y sustituimos (16.7). Se llega a ˆ H=X n ~ω ˆ a†naˆn+ 1 2 . (16.10)
N´otese que este no es el mismo resultado que se habr´ıa obtenido si se sustituye
α→ˆaen la ecuaci´on
H =X
n
ya que eso llevar´ıa al resultado ˆ
H =X
n
~ωˆa†nˆan. (16.12)
La diferencia entre los dos hamiltonianos es una constante (~ω/2)Pn, que es igual a N para la cadena finita y diverge (!) para la cadena infinita. Dicha constante es precisamente el autovalor del estado de vac´ıo |0i, a la que cada oscilador de la cadena contribuye~ω/2 (un efecto puramente cu´antico).1
Para evitar este valor no f´ısico de la energ´ıa del vac´ıo, usamos nuestra libertad para fijar el punto cero de energ´ıa decada oscilador asign´andole el potencial
V = 1 2mω 2q2−~ω 2 → V0=− 1 2~ω X n en (16.6). (16.13)
A˜nadiendo esteV0a ˆHen (16.9) y aplicando (16.7) se llega inmediatamente a (16.10), y se asegura el resultado
ˆ
H|0i= 0. (16.14)
La conclusi´on de este ejercicio es que para obtener una energ´ıa de vac´ıo nula en gene-ral es necesario fijar de manera no trivial el cero de energ´ıa de cada constituyente del sistema.
Una vez definido el estado de vac´ıo, podemos construir cualquier estado cu´antico del sistema aplicando operadores de creaci´on. Los n´umeros cu´anticos son el n´umero de cuantos de osciladorνnasociado a cada sitionde la cadena; el estado m´as general ser´a |ν1, ν2, . . .i= 1 √ ν1!ν2!· · · (ˆa†1)ν1(ˆa† 2) ν2· · · |0i, (16.15)
y hemos asegurado por construcci´on la ortonormalidad:
hν1, ν2, . . .|ν10, ν20, . . .i=δν1ν10δν2ν20· · · . (16.16)
La energ´ıa del estado se obtiene de manera trivial sumando todos los cuantos de oscilador creados:
ˆ
H|ν1, ν2, . . .i=~ω(ν1+ν2+. . .)|ν1, ν2, . . .i. (16.17)
1
Este es el ejemplo m´as sencillo dedivergencia infrarrojaen un sistema con un n´umero infinito de grados de libertad.
Cadena con interacciones
Ahora aplicaremos la misma receta al hamiltoniano cu´antico ˆ H =X n ˆ p2n 2m + 1 2mω 2qˆ2 n + 1 2λ(ˆqn+1−qˆn) 2 + V0. (16.18) Definimos ˆ a(k) := amΩ(k) 4π~ 12 X n e−ikna ˆ qn+ i mΩ(k)pˆn , (16.19) o, de manera equivalente, ˆ qn= a~ 4πm 1 2Z π/a −π/a dk p Ω(k) n eiknaˆa(k) + e−iknaaˆ†(k) o , ˆ pn=−i a~m 4π 1 2 Z π/a −π/a dkpΩ(k) n eiknaaˆ(k) − e−iknaˆa†(k) o . (16.20)
N´otese que aqu´ı aparece una sutileza: al escribir el hamiltoniano, hemos supuesto impl´ıcitamente que los operadores estaban en la imagen de Schr¨odinger ( ˆO6= ˆO(t)). Por otra parte, la expresi´on para los modos normales en el sistema cl´asico ten´ıa en cuenta de manera natural la dependencia temporal. Si quisi´eramos trabajar en la imagen de Heisenberg, bastar´ıa recordar la relaci´on ˆOS = ˆOH(t = 0), y la f´ormula
α(k, t) =α(k,0)e−iΩ(k)tpara la evoluci´on temporal de los modos normales, que nos permite escribir e.g.
qn(t) = a~ 4πm 1 2 Z +π/a −π/a dk p Ω(k) n ei[kna−Ω(k)t]α(k,0) + e−i[kna−Ω(k)t]α∗(k,0) o . (16.21) Ahora la prescripci´on de cuantizaci´on can´onica adoptar´ıa la forma
α(k,0) → ˆa(k), (16.22)
y podr´ıamos escribir para el operador en la imagen de Heisenberg ˆ qn(t) = a~ 4πm 1 2 Z π/a −π/a dk p Ω(k) n ei[kna−Ω(k)t]aˆ(k) + e−i[kna−Ω(k)t]ˆa†(k) o (16.23) e idem para ˆpn(t). Volveremos a este punto en el contexto de los sistemas continuos. Por ahora, baste se˜nalar que esta construcci´on es consistente con la relaci´on
ˆ qn(t) =ei ˆ Ht/~qˆ ne−i ˆ Ht/~ (16.24)
calculada con el ˆH que escribiremos a continuaci´on.
Las relaciones de conmutaci´on de los operadores de creaci´on y aniquilaci´on son f´aciles de encontrar: [ˆqn,pˆn0] =i~δnn0 ⇒ [ˆa(k),ˆa(k0)] = 0, ⇒ [ˆa(k),ˆa†(k0)] = amΩ(k) 4π~ X n,n0 e−ika(n−n0)× × [ˆqn,qˆn0] | {z } =0 + 1 m2Ω2(k)[ˆpn,pˆn0] | {z } =0 − i mΩ(k)|([ˆqn,pˆn0]{z−[ˆpn,qˆn0])} =2i~δnn0 = amΩ(k) 4π~ 2~ mΩ(k) X nn0 e−ika(n−n0)δnn0 | {z } =2aπδ(k−k0) =δ(k−k0). (16.25) Teniendo en cuenta esto, basta sustituir (16.19) en (16.18) para obtener
ˆ H= Z π/a −π/a dk~Ω(k) ˆa†(k)ˆa(k) + Z π/a −π/a dk~Ω(k) 2 + V0, (16.26) de manera que fijando el cero de energ´ıas
V0 :=− Z π/a
−π/a
dk~Ω(k)
2 (16.27)
se obtiene el hamiltoniano can´onico ˆ
H =
Z π/a
−π/a
dk~Ω(k) ˆa†(k)ˆa(k) (16.28)
con energ´ıa del vac´ıo nula.
Ahora es trivial construir los estados cu´anticos del sistema, aplicando operadores de creaci´on al vac´ıo: el estado no trivial m´as simple
|ki:= ˆa†(k)|0i (16.29)
es una (pseudo)part´ıcula, llamadafon´on, con n´umero de ondask, que interpretamos como una excitaci´on (vibracional) cu´antica que se propaga a lo largo de la cadena. Idem
|ν(k)i:= √1
ν![ˆa
contieneν fonones con n´umero de ondas k,
|k1, k2i:= ˆa†(k1)ˆa†(k2)|0i (16.31) contiene un fon´on con n´umero de ondask1y otro con n´umero de ondask26=k1, etc. La ortonormalidad est´a asegurada por construcci´on,
hν(k)|ν0(k0)i=δνν0δ(k−k0). (16.32)
De nuevo, la energ´ıa se obtiene de manera trivial, gracias a que la descomposici´on en modos normales ha permitido escribir ˆH como una combinaci´on lineal de operadores n´umero: cada fon´on con n´umero de ondaskcontribuye un cuanto de energ´ıa~Ω(k),
ˆ
H|ν1(k1), ν1(k1), . . .i= [ν1~Ω(k1) +ν2~Ω(k2) +. . .]|ν1(k1), ν2(k2), . . .i. (16.33)
Generalizaci´on a tres dimensiones
Haber trabajado en una dimensi´on nos ha ahorrado tener en cuenta complicaciones geom´etricas, y ha aligerado la notaci´on. Por lo dem´as, los resultados obtenidos se generalizan de manera trivial a un cristal tridimensional: basta considerar una red c´ubica con ´atomos en las coordenadas
x=an, n∈Z3, (16.34)
e introducir sumas sobre n e integrales tridimensionales sobre k. Tanto los oper-adores desplazamiento y momento como los creoper-adores y aniquiloper-adores tendr´an un ´ındice de componente espacial.
Las f´ormulas m´as importantes para el cristal con interacciones son: ˆ H =X n 3 X j=1 ( ˆ p2n,j 2m + 1 2mω 2qˆ2 n,j + 1 2λ 3 X i=1 (ˆqn+ˆi,j−qˆn−ˆi,j)2 ) + V0, (16.35) ˆ aj(k) := a3mΩ(k) 2(2π)3 ~ 12 X n e−iak·n ˆ qn,j+ i mΩ(k)pˆn,j , (16.36) [ˆaj(k),ˆaj0(k0)] = 0, [ˆaj(k),ˆa† j0(k0)] =δjj0δ(3)(k−k0), (16.37) ˆ qn,j(t) = a3 ~ 2(2π)3m 12 Z ZB d3k p Ω(k) n eiak·nˆaj(k) + e−iak·nˆa†j(k) o , ˆ pn(t) =−i a3~m 2(2π)3 12Z ZB d3kpΩ(k) n eiak·nˆaj(k) − e−iak·nˆa†j(k) o , ZB :=h−π a, π a i ×h−π a, π a i ×h−π a, π a i
(zona de Brillouin parak),
Ω2(k) =ω2 + 2λ m 1− 3 X j=1 coskja , (16.39) ˆ H= 3 X j=1 Z ZB d3k~Ω(k) ˆa†j(k)ˆaj(k), (16.40)
y para obtener energ´ıa del vac´ıo nula es necesario fijar
V0 :=− Z
ZB
d3k3~Ω(k)
2 . (16.41)
Finalmente, los fonones tienen asociados como n´umeros cu´anticos tanto un n´umero de ondas tridimensional kcomo una componente espacial j; por ejemplo:
|k, ji:= ˆa†j(k)|0i, hk, j|k0, j0i=δjj0δ(3)(k−k0). (16.42)
N´otese que, como [ˆaj(k),ˆaj†0(k)] se anula para j0 6=j, cuando se crean dos fonones
con el mismoks´olo es necesario simetrizar si, adem´as, se crean con el mismo ´ındice espacial; por ejemplo
|k,1;k,1i= √1 2ˆa † 1(k)ˆa † 1(k)|0i, |k,1;k,2i= ˆa † 1(k)ˆa † 2(k)|0i. (16.43)
De nuevo cada fon´on contribuye un cuanto~Ω(k) a la energ´ıa del estado,
ˆ