Conduciendo discusiones matemáticas
productivas en el aula
Flavio Guiñez
VIII Congreso Regional de EducaciónTarapacá 2018
La discusión es un componente esencial para la enseñanza y aprendizaje de la matemática (Boerst et al., 2011):
● El aprendizaje matemático ocurre primordialmente como resultado de la interacción social
entre individuos que participan de una comunidad que resuelve problemas (Lave & Wenger, 1991; Vygotsky, 1978).
● Compartir ideas y conocer el pensamiento de los demás ayuda a los estudiantes a ampliar su
propia comprensión, negociar los significados y participar en la construcción colaborativa de
conocimiento (Smith & Stein, 2011).
● La discusión ayuda a los profesores a conocer el pensamiento matemático de sus estudiantes, lo que resulta clave para organizar la enseñanza (Cirillo, 2013; Pimm, 1987).
¿CUÁL ES LA IMPORTANCIA DE LA DISCUSIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA?
No todos los tipos de interacciones verbales en el aula tienen el carácter de una discusión
matemática.
Usamos el término Discusión Matemática para referirnos a una modalidad específica de interacción en el aula que, siguiendo a Pirie and Schwarzenberger (2000), se define como una
conversación útil acerca de contenidos matemáticos en la que existe una genuina contribución e interacción entre los estudiantes.
Lo que importa no es sólo conseguir que los estudiantes hablen más. La discusión debe tener como propósito producir aprendizajes matemáticos a partir de la interacción. (Smith y Stein, 2011).
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISCUSIÓN MATEMÁTICA
1. Las discusiones deben ser académicamente
“El profesor no se dedica a entregar información o proporcionar respuestas de manera directa. Por el contrario, intenta que los alumnos compartan sus ideas, expliquen los pasos de su razonamiento y aprovechen las contribuciones de los demás” (Chapin, O'Connor and Anderson, 2003).
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISCUSIÓN MATEMÁTICA
1. Las discusiones deben ser académicamente
productivas.
2. El foco de la discusión es
hacer visible el pensamiento
En una discusión matemática todos los estudiantes deben tener la oportunidad de participar en una ambiente de respeto y colaboración, comprometiéndose en tratar de ordenar y compartir sus ideas y esforzándose por escuchar y entender el razonamiento de los demás.
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISCUSIÓN MATEMÁTICA
1. Las discusiones deben ser académicamente
productivas.
2. El foco de la discusión es
hacer visible el pensamiento
de los estudiantes.
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33. La discusión debe permitir la participación de
todos los estudiantes
CASO 1: LA CLASE DE TOMÁS
Si bien en la clase de Tomás los estudiantes participan, él suele responder las dudas que surgen, lo
que no favorece el intercambio de ideas.
En el extracto se observa que Tomás no explora acerca de la
estrategia de una estudiante, perdiendo una buena oportunidad
de profundizar en el pensamiento de sus estudiantes.
CASO 2: LA CLASE DE LIDIA
Lidia evita dar las respuestas,favoreciendo con ello que sean los mismos estudiantes quienes elaboren a partir de sus propias
CASO 2: LA CLASE DE LIDIA
Lidia parafrasea el razonamiento de sus estudiantes, sin embargo, ella
no salda la discusión, mas bien permite que sus pares se expresen
Conducir discusiones matemáticas productivas es una tarea compleja que demanda del profesor
conocimientos y habilidades relevantes de enseñanza (Boerst et al., 2011).
Necesita de conocimiento matemático profundo respecto del contenido involucrado (Smith y Stein, 2011), ya que debe ser capaz de analizar en el instante las diversas estrategias de solución que están compartiendo sus estudiantes y reconocer las propiedades matemáticas que están en juego.
Además, necesitan conocer los patrones de pensamiento de los estudiantes frente al contenido que está siendo abordado a través de la discusión (Smith y Stein, 2011), para saber qué esperar de sus alumnos en la discusión, tales como errores típicos, dificultades más frecuentes o estrategias más usadas.
QUÉ SE NECESITA PARA PREPARAR DISCUSIONES MATEMÁTICAS
Elegir tareas matemáticas adecuadas Planificar la discusión Establecer normas para discutirQUÉ SE NECESITA PARA PREPARAR DISCUSIONES MATEMÁTICAS
Elegir tareas matemáticas adecuadas Establecer normas para discutirLa naturaleza de las tareas a las que están expuestos los estudiantes determina lo que aprenden
(NCTM 1991).
No toda las tareas matemáticas permite generar discusiones matemáticas de calidad.
Por ejemplo, las tareas rutinarias que típicamente se proponen a los alumnos y que exige de ellos la aplicación de conocimientos o procedimientos previamente aprendidos no otorgan muchas oportunidades para explorar el pensamiento de los estudiantes.
Planificar la discusión
QUÉ SE NECESITA PARA PREPARAR DISCUSIONES MATEMÁTICAS
Elegir tareas matemáticas adecuadas Establecer normas para discutir- Por el contrario, tareas de alta demanda cognitiva (Smith & Stein, 1998) en que los alumnos se ven enfrentados a realizar procedimientos que los llevan a hacer conexiones matemáticas, elaborar razonamientos, explorar y comprender la naturaleza de los conceptos matemáticos, otorgan muchas más oportunidades para generar discusiones matemáticas ricas.
- Por otro lado, para que todos los alumnos tengan oportunidad de participar de la discusión es recomendable que la tarea propuesta pueda ser resuelta de varias maneras, con distinto grado de sofistificación en los métodos utilizados y con uso de distintos registros de representación (concretos, gráficos, simbólicos).
Planificar la discusión
Un profesor le presenta la siguiente tarea a sus estudiantes de 5º básico:
Resuelve la siguiente ecuación: 5 x 4 + 5 x 3 = ?
Un profesor le presenta la siguiente tarea a sus estudiantes de 5º básico:
Resuelve la siguiente ecuación: 5 x 4 + 5 x 3 = ?
Otro profesor, en cambio, plantea la siguiente situación a sus estudiantes de 5º básico:
Hay 5 bolsas de dulces sobre la mesa. Cada bolsa tiene 4 candies y 3 barras. Explica por qué la expresión 5 x 4 + 5 x 3 describe el total de dulces que hay en las bolsas.
QUÉ SE NECESITA PARA PREPARAR DISCUSIONES MATEMÁTICAS
Elegir tareas matemáticas adecuadas Planificar la discusión Establecer normas para discutirLas discusiones no pueden corresponder a eventos espontáneos que ocurren durante la clase (Quaranta y Wolman, 2003). Debe ser una actividad planificada y organizada por el profesor. La discusiones tienen un carácter dinámico que hace hace que sea imposible prever exactamente lo que puede llegar a ocurrir. Sin embargo, tratar de anticipar las posibles estrategias, respuestas y dificultades de los alumnos, así como pensar en maneras de comenzar, conducir y concluir la discusión, reducen considerablemente los momentos de la clase en que el profesor se ve obligado a improvisar frente a las enfoques de resolución que les proponen sus alumnos.
EJEMPLO DE ANTICIPACIONES
Argumento de simetría (plegado) Si AB ~ AC, entonces ABM ~ ACM por el criterio de semejanza LLL. Luego, AM divide al
triángulo en dos regiones congruentes.
Notemos que en este caso:
- La mediana AM coincide con la altura, lo que justifica que sea equivalente a plegar el triángulo por la mitad.
- En general, la mediana BM’ no divide al triángulo en regiones congruentes.
Este argumento solo funciona cuando el triángulo es equilátero o para el caso de la mediana que llega al lado desigual de un triángulo isósceles.
Puede ocurrir que algunos estudiantes, guiados por esta estrategia, crean que para que la afirmación sea verdadera se debe tener que los triángulos son congruentes.
Es importante analizar el problema y establecer
posibles estrategias y soluciones
Además es recomendable anticipar posibles errores, dificultades y respuestas
QUÉ SE NECESITA PARA PREPARAR DISCUSIONES MATEMÁTICAS
Elegir tareas matemáticas adecuadas Planificar la discusión Establecer normas para discutirEn una discusión, todos los estudiantes deben tener la oportunidad de participar en un ambiente de respeto. Por tanto, antes de implementar una discusión, deben establecerse reglas basadas en un trato respetuoso.
Estas normas se sustentan en dos principios: respeto y participación equitativa.
EJEMPLO DE NORMAS DE RESPETO
En cursos como 1º y 2º básico es conveniente establecer
claramente las reglas.
En cursos superiores, es recomendable que los estudiantes se involucren en el diseño de sus propias reglas.
EJEMPLO DE ESTRATEGIAS PARA ASEGURAR LA EQUIDAD
Junto con establecer normas para discutir respetuosamente, es necesario que el docente establezca condiciones que
aseguren la participación equitativa de todos los estudiantes.
ESTRUCTURA DE UNA DISCUSIÓN DE CURSO COMPLETO
Plantear la tarea matemática Monitorear el trabajo Iniciar la discusión Conducir la discusión Concluir la discusión Prepara el escenario para la discusión DiscusiónESTRUCTURA DE UNA DISCUSIÓN DE CURSO COMPLETO
Plantear la tarea matemática Monitorear el trabajo Iniciar la discusión Conducir la discusión Concluir la discusión Prepara el escenario para la discusión DiscusiónLa tarea debe permitir generar discusión.
ESTRUCTURA DE UNA DISCUSIÓN DE CURSO COMPLETO
Plantear la tarea matemática Monitorear el trabajo Iniciar la discusión Conducir la discusión Concluir la discusión Prepara el escenario para la discusión DiscusiónInvolucrarse en el trabajo de los grupos permite conocer las estrategias, respuestas, errores, dificultades y controversias, que pueden ayudar a gestionar la discusión de curso completo.
● Monitorear el trabajo de los grupos fomentando la discusión entre los estudiantes. ● Hacer preguntas que puedan redirigir los esfuerzos de los alumnos.
● Poner atención al pensamiento matemático y las estrategias de solución de los estudiantes. ● Ayudarlos a clarificar sus propias ideas y la de sus compañeros de grupo.
● Integrar a todos los alumnos del grupo a la discusión.
● Reconocer producciones de algunos estudiantes para solicitarles que expongan sus ideas en la
ESTRUCTURA DE UNA DISCUSIÓN DE CURSO COMPLETO
Plantear la tarea matemática Monitorear el trabajo Iniciar la discusión Conducir la discusión Concluir la discusión Prepara el escenario para la discusión DiscusiónEn general la discusión no surge de manera espontánea. Decidir qué pregunta, ejemplo o idea específica se usará para provocar la discusión.
Algunas estrategias para iniciar la discusión:
● Solicitar a algunos estudiantes que expongan sus producciones o ideas. ● Hacer que compartan la estrategia más frecuente o las menos frecuente. ● Empezar por las estrategias más concretas para seguir con las más abstractas. ● Explorar errores comunes.
ESTRUCTURA DE UNA DISCUSIÓN DE CURSO COMPLETO
Plantear la tarea matemática Monitorear el trabajo Iniciar la discusión Conducir la discusión Concluir la discusión Prepara el escenario para la discusión DiscusiónAcciones y preguntas que alienten a los estudiantes a comunicar sus ideas, involucrarse en el pensamiento de los demás, hacer que interactúen entre ellos y para apoyar el razonamiento de los estudiantes.
● Dirigir la discusión tratando de ajustarse a un plan o secuencia previamente pensado.
● Moderar la participación de los estudiantes para que todos tengan oportunidad de expresar sus ideas. ● Foco no está en las respuestas correctas, sino en explorar y aprender a través de las ideas de todos. ● Incentivar a los alumnos a expresar claramente sus ideas.
● Involucrar a los estudiantes con el razonamiento de sus compañeros (pedir explicar con sus palabras lo que
dijo otro).
ESTRUCTURA DE UNA DISCUSIÓN DE CURSO COMPLETO
Plantear la tarea matemática Monitorear el trabajo Iniciar la discusión Conducir la discusión Concluir la discusión Prepara el escenario para la discusión DiscusiónPensar la manera de cerrar la discusión, conectando lo expuesto por los estudiantes con las ideas matemáticas que se busca resumir.
● Hacer preguntas que hagan evidente y comprensible los aspectos matemáticos que se quieren destacar. ● Establecer relaciones entre las ideas matemáticas que emergen de la discusión.
● Lograr que los estudiantes identifiquen en sus producciones nuevos conceptos matemáticos.
● Completar las ideas descritas en la discusión con aquellas que permitan dar forma a los conceptos
ESTRATEGIAS PARA CONDUCIR LA DISCUSIÓN
Ayudar a los estudiantes a compartir y clarificar sus pensamientos
Dar tiempo para pensar después de hacer una pregunta.
Antes de pedir exponer sus pensamientos, pedirles que primero los compartan con algunos compañeros. Parar y pedir anotar las respuestas.
¿Compartirías tu idea con tus compañeros? ¿Podrías explicar un poco más sobre lo que estás pensando?
Cuando dices eso, ¿te refieres a (docente reformula)?
Ayudar a los estudiantes a escuchar con atención a otros
¿Quién puede repetir lo que dijo su compañero? (Nombre alumno), dime lo que dijo tu compañero. ¿Quién puede decir lo que está diciendo su compañero con sus propias palabras?
ESTRATEGIAS PARA CONDUCIR LA DISCUSIÓN
Ayudar a los estudiantes a profundizar su propio razonamiento
¿Por qué piensas eso? ¿Cuál es tu evidencia?
¿Cómo llegaste a esa respuesta?
¿Qué te convenció de que esa es la respuesta correcta? ¿Por qué pensaste que esa estrategia iba a funcionar? No estoy seguro de haberte entendido, ¿puedes volver a explicarlo paso a paso?
Ayudar a los estudiantes a involucrarse en el razonamiento de otros estudiantes
¿Qué piensas de lo que dijo tu compañero?
¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con lo que dijo tu compañero? ¿Por qué?
¿Quién puede agregar algo más a lo que dijo su compañero?
¿Puedes dar un ejemplo de lo que dijo tu compañero? ¿Encuentras alguna diferencia entre tu procedimiento y el de tu compañero?
¿Crees que el razonamiento de tu compañero se puede aplicar en otro caso?
IDEAS FINALES
● La discusión matemática es fundamental para crear comunidades de aprendizaje. Implementar esto no
solo demanda que los estudiantes conversen en clase; también requiere que ellos se involucren en actividades matemáticas auténticas tales como la resolución de problemas abiertos.
● Hay que tener en cuenta que los estudiantes no comenzaran a conversar sobre matemática de forma
automática. Es el docente quien debe allanar el camino, generando un espacio de confianza y respeto en el que todos se sientan cómodos de participar.
● Los estudiantes deben lograr ser capaces de realizar observaciones y argumentaciones por ellos
mismos y hacerse parte de la construcción colaborativa del conocimiento. De esta forma, se podrá quebrar la creencia de que la autoridad matemática reside solo en los libros y en el docente.
● Realizar discusiones matemáticas productivas en el aula no es una tarea fácil, ya que los caminos que
puede tomar una discusión no son siempre previsibles por el docente. Sin embargo, eligiendo buenas tareas y planificando adecuadamente es factible.
Discusión Matemática. Orientaciones para el logro de razonamientos matemáticos
profundos a través de interacciones efectivas.
Ministerio de Educación de Chile, 2017.
Autores: Martínez, S., Ramírez, A., González, V.
& Turino, E.
Boerst, T., Sleep, L., Ball, D., & Bass, H. (2011). Preparing Teachers to Lead Mathematics Discussions. Teachers College Record, Vol. 113, 12, p. 2844-2877.
Chapin, S. H., O’Connor, C., & Anderson, N. C. (2003). Classroom discussions: Using math talk to help students learn. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.
Cirillo, M. (2013). What does research say the benefits of discussion in mathematics class are?
Research Brief, 19. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Guiñez, F. Salinas, R., Montenegro, H., Martínez, S., Acevedo, V. & Radovic, D. (2018). On the implementation of mathematical tasks that promote mathematical discussion: pre-service teachers’ experiences. Sometido a AERA 2019.
Smith, M. & Stein, M. (2011). 5 practices for orchestrating productive mathematics discussions. Reston, VA: NCTM.
