Tema III : Funciones reales de varias variables.

Tema III : Funciones reales de

varias variables.

1. Funciones de varias variables. Dominio y curvas de nivel.

2. Derivadas parciales. El vector gradiente. La diferencial total.

3. Regla de la cadena para derivadas parciales. 4. Derivación implícita de ecuaciones .

5. Derivadas parciales de orden superior.

1.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DOMINIO Y CURVAS DE NIVEL.

ü 3: , f: Axª ⊆3→ 3, y=f(x). ü 3×3 = 32 _{= {(x} 1,x2)/xi ∈3, i=1,2}, f: A ⊆ 32→ 3, y=f(x1,x2). ü 3×3×3 = 33 = {(x1,x2,x3)/xi ∈3, i=1,2,3}, f: A ⊆ 33_{→ 3, y=f(x} 1,x2,x3). ü 3×3×···×3= 3n= {(x1,x2,...,xn)/xi∈3,i=1,2,...n}, f: A ⊆ 3n→ 3, y=f(x1,x2,...,xn).

äVarias variables independientes: x₁,x₂,...,x_n, äUna variable dependiente: y.

DEFINICIÓN 1. (DOMINIO):

Es el conjunto de puntos en los que tiene sentido la expresión de la función:

f: A ⊆ 32→ 3, y=f(x1,x2),

Dom(f)= {(x1,x2)∈32/ ∃ y∈3, con y=f(x1,x2)}.

ÔEn general:

f: A ⊆ 3n→ 3, y=f(x1,x2,...,xn),

Dom(f)={(x1,x2,...,xn)∈3n/∃y∈3,y=f(x1,x2,...,xn)}. 1.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

DOMINIO Y CURVAS DE NIVEL.

DEFINICIÓN 2. (GRÁFICA): f: A⊆3→ 3, y=f(x),

Gra(f)= {(x,f(x))∈ 3× 3 = 3²/ x∈A} ⊆ 32_. (Es una curva en el plano).

f: A ⊆ 32_{→ 3, y=f(x} 1,x2),

Gra(f)= {(x1,x2,f(x1,x2))∈33/(x1,x2)∈A} ⊆ 33. (Es una superficie en el espacio).

ÔEn general:

f: A ⊆ 3n→ 3, y=f(x1,x2,...,xn),

Gra(f)={(x1,x2,...,xn,f(x1,x2,...,xn))∈3n+1/ (x1,x2,...,xn)∈A} ⊆ 3n+1.

(Sólo visualizable hasta n=2).

1.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DOMINIO Y CURVAS DE NIVEL.

Superficie en 33, z=f(x,y):

DEFINICIÓN 2. (CONJUNTO DE NIVEL): f: A ⊆ 3n_{→ 3, y=f(x} 1,x2,...,xn), dada c∈3, Nc(f)={(x1,x2,...,xn)∈ A / f(x1,x2,...,xn)=c}⊆3n. Ô n=2: f: A ⊆ 32 → 3, y=f(x1,x2), dada c∈3, Nc(f)= {(x1,x2)∈ A / f(x1,x2)=c} ⊆ 32. (“curva de nivel c”). Ô n=3: f: A ⊆ 33 → 3, y=f(x1,x2,x3), dada c∈3, Nc(f)= {(x1,x2 ,x3)∈ A /f(x1,x2 ,x3)=c} ⊆ 33. (“superficie de nivel c”). (Visualizables hasta n=3).

1.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DOMINIO Y CURVAS DE NIVEL.

Superficie en 33, z=f(x,y):

Mapa de curvas de nivel en 32, f(x,y)=c, ∈3:

Ejemplo 1. z=1-x-y:

Curvas de nivel, 1-x-y=c, c=-3,-2,1,0,1,2,3.

Ejemplo 2. z=x2 _{+ y}2 _:

Curvas de nivel, x2 _{+ y}2 _{=c, c=0,1,2,3,4,5.}

Ejemplo 3. Q=KL, para K,L>0 :

Curvas de nivel, KL=c, c=0,1,2,3,4,5.

2.DERIVADAS PARCIALES.EL VECTOR GRADIENTE. LA DIFERENCIAL TOTAL.

DEFINICIÓN. (DERIVADAS PARCIALES): f: A ⊆ 32→ 3, z=f(x,y), (a,b)∈A, (a,b) = =fx(a,b). (a,b) = =fy(a,b). ∂f ∂x h f(a+h,b) - f(a,b) lím h→0 ∂f ∂y h f(a,b +h) - f(a,b) lím_h →0

2.DERIVADAS PARCIALES.EL VECTOR GRADIENTE. LA DIFERENCIAL TOTAL.

DEFINICIÓN. (DERIVADAS PARCIALES): f: A ⊆ 3n→ 3, y=f(x1,x2,...,xn),

(a1,a2,...,an)∈A, se define la derivada parcial respecto a la variable xi ,i=1,2,...n

=

i=1,2,...n.

. otra notación: f (a₁,a₂,...,a_n).

h

f(a₁,a₂,...,a_i+h,..., a_n)-f(a₁,a₂,...,a_n) lím

h→0

∂f

∂x_i(a1,a2,...,an)

INTERPRETACIÓN:

“tasa de variación instantánea respecto a xi”. Ô

Ô para h=1,

“variación de la función al incrementar en una

unidad la variable xi”. h

f(a₁,a₂,...,a_i+h,..., a_n)-f(a₁,a₂,...,a_n) lím

h→0

f(a₁,a₂,...,a_i+1,..., a_n)-f(a₁,a₂,...,a_n)

∂f

∂x_i≈

∂f

∂x_i(a1,a2,...,an)=

∂f

∂x_i(a1,a2,...,an)≈f(a1,a2,...,ai+h,..., a_h n)-f(a1,a2,...,an)

2.DERIVADAS PARCIALES.EL VECTOR GRADIENTE. LA DIFERENCIAL TOTAL. DEFINICIÓN. (VECTOR GRADIENTE):

f:A ⊆ 3n→ 3, y=f(x1,x2,...,xn), (a1,a2,...,an)∈A,

∇f(a1,a2,...,an)= Ô para n=2, f: A ⊆ 32→ 3, z=f(x,y), (a,b)∈A, ∇f(a,b)= ∂f ∂x1(a1,a2,...,an) ( ,...,∂f ) ∂xn(a1,a2,...,an) ∂f ∂x(a,b) ( ,∂_∂f_y(a,b)) PROPIEDADES:

4∇f(a,b) es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por (a,b).

4+∇f(a,b) da la dirección y sentido de crecimiento máximo de f desde (a,b).

4-∇f(a,b) da la dirección y sentido de decrecimiento máximo de f desde (a,b).

+∇f(a,b) -∇f(a,b)

f(x,y)=c a

b

Ejemplo 1. f(x,y)=x2_+y2_{, ∀x,y:}

•Curvas de nivel: x2_+y2_{=c (circ.de centro (0,0), y} radio ‹c).

(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) pasan por la curva de nivel c=1, con ∇f(1,0)=(2,0), ∇f(0,1)=(0,2),

∇f(-1,0)=(-2,0), ∇f(0,-1)=(0,-2)

•Vector gradiente: ∇f(x,y)=(2x,2y), ∀x,y .

+∇f(a,b) x2_+y2_=c Ejemplo 2. Q(K,L)=‹(KL), para K,L≥0 : •Curvas de nivel: ‹(KL)=c ⇒ L= , c_Kc2 ≥0. •Vector gradiente: ∇Q(K,L)=( , ), L,K>0. ‹( )_LK 2 1 ‹( )_KL 2 1

Q(1,1) pasa por la curva de nivel c=Q(1,1)=1, con ∇Q(1,1)=(½,½).

Q(2,½) pasa por la curva de nivel c=Q(2,½)=1, con ∇Q(2,½)=(¼,1).

+∇Q(1,1) +∇Q(2,½) Q(K,L)=1

PLANTEAMIENTO (DIFERENCIAL TOTAL): (x,y) (x+∆x,y+∆y)

f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y) = ∆f(x,y)

Ô como:

f(x+∆x,y)-f(x,y) ≈

f(x,y+∆y)-f(x,y) ≈

Ô bajo ciertas condiciones,

f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y) ≈ +

Ô notando: ∆x=dx, ∆y=dy (increm. “pequeños” ) Ô se verifica: ∂f ∂x(x,y)·∆x ∂f ∂x(x,y)·∆x ∂f ∂y(x,y)·∆y ∂f ∂y(x,y)·∆y ∂f ∂x(x,y)·dx + ∂f ∂y(x,y)·dy ≈ ∆f(x,y).

DEFINICIÓN.(DIFERENCIAL TOTAL): f: A ⊆ 32→ 3, z=f(x,y),

df(x,y) =

Ô se verifica: ∆f(x,y) ≈df(x,y), siendo: ∆f(x,y) = f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Ô o también:

f(x+∆x,y+∆y) = ∆f(x,y)+f(x,y) ≈ df(x,y)+f(x,y).

Ô en general: f:A ⊆ 3n_{→ 3,y=f(x} 1,x2,...,xn), df(x1,x2,...,xn)= ∂f ∂x(x,y)·dx + ∂f ∂y(x,y)·dy ∂f ∂x(x1 1,x2,...,xn)·dx1+···+ ∂f ∂x(xn 1,x2,...,xn)·dxn.

3.REGLA DE LA CADENA PARA DERIVADAS PARCIALES.

x=g(u,v)

Sea z=f(x,y), con , tales que existen y=h(u,v)

las derivadas parciales de f,g,h, y son continuas, entonces: u x z v u y v = ∂_∂z_x·∂_∂x_u + ∂_∂z_y·∂_∂y_u ∂z ∂u = ∂z ∂x· ∂x ∂v + ∂z ∂y· ∂y ∂v ∂z ∂v

4.DERIVACIÓN IMPLÍCITA DE ECUACIONES. Sea la ecuación F(x,y)=0, con y=f(x), es decir:

,

derivando respecto a x en la ecuación: x F y x + =0, si ≠ 0 ⇒ ∂F ∂x ∂F ∂y· ∂y ∂x ∂F ∂y ∂y ∂x ∂F ∂x ∂F ∂y = -y’(x)= dy_dx=

*(en un (a,b), tal que F(a,b)=0 y (a,b) ∂F ≠0.)

∂y

4.DERIVACIÓN IMPLÍCITA DE ECUACIONES. Aplicación: recta tangente a una curva de nivel.

Dada una curva de nivel de una función f(x,y), f(x,y)=c, donde y=y(x), sea (a,b) : f(a,b)=c

,

derivando respecto a x en la ecuación f(x,y)=c: x f y x + =0, si (a,b) ≠ 0 ⇒ ∂f ∂x ∂f ∂y· ∂y ∂x ∂y ∂x ∂f ∂x ∂f ∂y = -y’(a)=dy_dx = ∂f ∂y _(a,b) (a,b)

4.DERIVACIÓN IMPLÍCITA DE ECUACIONES.

Sea F(x,y,z)=0, con z=f(x,y), es decir: ,derivando respecto a x e y en la ecuación: + =0, si ≠ 0 ⇒ ∂F ∂x ∂F ∂z· ∂z ∂x ∂F ∂z ∂z ∂x ∂F ∂x ∂F ∂z = -x F y x z y + =0, si ≠ 0 ⇒ ∂F ∂y ∂F ∂z· ∂z ∂y ∂F ∂z ∂z ∂y ∂F ∂y ∂F ∂z =

-4.DERIVACIÓN IMPLÍCITA DE ECUACIONES.

Sea F(x₁,...,x_n)=0, con x_i=f(x₁,...,x_i-1,x_i+1 ,...,x_n),: ,derivando respecto a xj, ∀j≠i, en la ecuación: + =0, si ≠0 ⇒ ∂F ∂x_j ∂F ∂x_i· ∂x_i ∂x_j ∂F ∂x_i ∂x_i ∂x_j ∂F ∂x_j ∂F ∂x_i = -x₁ x₁ F x_i x_n x_n ·· · ·· · ·· · ∀j≠i,

(en puntos que verifiquen la ecuación, y en los que

≠0).

∂F

5.DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. f(x,y) ∂f ∂x ∂f ∂y ∂ ∂x ∂f ∂x ( )=∂2f ∂x2 ∂ ∂y ∂f ∂x ( )=∂2f ∂y∂x ∂ ∂y ∂f ∂y ( )=∂2f ∂y2 ∂ ∂x ∂f ∂y ( )=_∂∂_x2_∂f_y * 22 =4 derivadas de orden 2.

5.DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

f(x,y,z) ∂f ∂x ∂f ∂z * 32 =9 derivadas de orden 2. ∂f ∂y ∂f ∂x ∂ ∂x ( )= ∂2_f ∂x2 ∂ ∂z ∂f ∂x ( )= ∂2f ∂z∂x ∂ ∂y ∂f ∂x ( )= ∂2f ∂y∂x ·· · ·· ·

5.DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

* ... nkderivadas de orden k:

En general, f(x₁,...,x_n) tiene n2 _{derivadas de orden 2:}

∂2_f ∂xj∂xi ∂ ∂x_i ∂f ∂x_i ( )=∂2f ∂x_i2 ∂ ∂xj ∂f ∂xi ( )= ,i≠j ,i=j ∂k_f ∂x_i1∂x_i2 ... ∂x_ik

5.DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. TEOREMA DE SCHWARZ.

Si existen las derivadas parciales de una función hasta el orden 2 y son continuas, las llamadas derivadas cruzadas : ∂2_f ∂x_j∂x_i ∂2_f ∂x_i∂x_j y , coinciden: _∂∂_x2f j∂xi ∂2_f ∂x_i∂x_j = . DEFINICIÓN.

La matriz hessiana de una función es la matriz simétrica (en las condiciones de Tª de Schwarz) formada por sus derivadas de orden 2.

5.DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

* n=2, es la matriz de orden 2×2: Hf(x,y)= = . fxx fxy f_xy f_yy ∂2_f ∂x2 ∂2_f ∂x∂y ∂2_f ∂x∂y ∂2_f ∂y2 ∂2_f ∂x_i∂x_j

* en general , es la matriz de orden n×n: Hf(x1,x2,...,xn) = ( )i,j=1,...,n.