Algebra

(1)

y =

x

2 + ... + x

3 Álgeb

ra

(2)

5to grado – I

Bimestre

(3)

dice

Ín

Indice

         Pág 63 69 75 79 87 91 99 105 111 Historia del Álgebra

Operaciones combinadas en N

Operaciones combinadas con fracciones: adición y sustracción

Operaciones combinadas con fracciones: multiplicación y división

Repaso

Propiedades de potenciación I Propiedades de potenciación II Propiedades de radicación

Operaciones combinadas de potenciación y radicación

(4)

63 Álgebra – 5to. grado

Historia del Álgebra

El Álgebra es la parte de la Matemática que estudia las cantidades de la forma más general posible, representando a dichas cantidades mediante letras y números.

En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se separó de ella. Esta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica, a la hora de estudiar ambas ramas, se hace de una manera conjunta.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos.

¿E

n qué sE difErEncia El

Á

lgEbra dE la

a

ritmética

?

La diferencia es que la Aritmética se representa por números, mientras que el Álgebra está representada por letras, además de números.

Las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo fueron hacer marcas en troncos de los árboles, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían. El origen del Álgebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto básico de Álgebra.

La historia del Álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como: x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

En Egipto encontramos los primeros vestigios de desarrollo de una ciencia matemática; que debido a las inundaciones del río Nilo, no llegaron a perfeccionar el Álgebra.

En el papiro de Rhind, existe el más antiguo y valioso documento matemático que presenta problemas y soluciones de ecuaciones de segundo grado.

Los matemáticos griegos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro "Las aritméticas de Diofante" es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción y equilibrio".

l

a

E

scuEla dE

b

agdad

Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del siglo VIII floreció la Escuela de Bagdad, a la que pertenecían: Al Juarismi; Al Batani y Omar

(5)

64

Álgebra – 5to. grado

Khayyan. Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Álgebra a problemas astronómicos y Omar Khayyan, persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en "rubayat", escribió un Tratado de Álgebra.

(6)

1 E

l origEn dE la palabra

Á

lgEbra

El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro "AL'DJABR W' AL MUKABALA" que quiere decir "transposición y reducción de términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de ALJUARIZMI, pero ya en el siglo XVI se suprimió la segunda parte para llamarle simplemente "Al'Djabr" o sea "Álgebra", o la Teoría de las Ecuaciones. Aljuarizmi es por eso llamado padre del Álgebra.

E

l ÁlgEbra sEgún

i

saac

n

Ewton

Isaac Newton (1642 - 1727) consideraba al Álgebra como una extensión de la Aritmética. Esta rama de la Matemática, como expresión simbólica y de gran perfección operativa, tiene sus orígenes en el siglo XVII d.C.

E

l ÁlgEbra para

g

auss

Niels Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en Álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación: xn - 1 = 0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde, fue el primer matemático que demostraba el Teorema Fundamental del Álgebra; dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. Para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.

r

Egla dE la

c

osa

Durante muchos siglos, el Álgebra se llamó "Regla de la Cosa" y quienes la cultivaban recibieron el nombre de "Cosistas".

Hace cerca de cuatro mil años ya se daban problemas que nosotros resolveríamos ahora por medio de una ecuación algebraica; es así como en el Papiro de Rhind se encuentra el siguiente problema: "MONTON, sus dos tercios, su

(7)

66

mitad, su séptima parte, total 33". En este problema MONTON se refiere a la incógnita (×), es decir, al número que satisface las condiciones del problema.

(8)

2

S

imbología algebraica

1

SÍMBOLO SIGNIFICADO

+

-

;

_•

; ( ) ( )

÷

; : ;

√ M_(x;y)= 2xy2 P_(x)= x2 + 2x + 1

∀

Operador de la adici

ó

n.

Operador de la sustracci

ó

n

.

Operadores de la multiplicaci

ó

n.

Operadores de la divisi

ó

n.

Operador radical.

Monomio de variables "x" e "y".

Polinomio de variable "x".

Para todo.

Ejemplos:

1. P

_(x;y)

_{= x + y}

2

_{+ 25}

- Las variables son "x" e "y".

- El polinomio tiene 3 términos algebraicos.

- P

_(x;y)

es la notación matemática de esta expresión.

2. M

_(x)

= 5x

- La variable es "x"

- El coeficiente es 5.

(9)

1 ¡Listos, a

trabajar!

1.

Señala la operación matemática en cada caso y da un ejemplo:

a) a + b, se llama , ejemplo: + = b) a - b; se llama , ejemplo: - = c) a × b; se llama , ejemplo: × = d) a ÷ b; se llama , ejemplo: ÷ = e) a • b; se llama , ejemplo: • = f) (a) (b); se llama , ejemplo: ( ) ( ) = g) a : b; se llama , ejemplo: : =

a

h) ; se llama , ejemplo: =

b

2.

Los signos de agrupación son:

a) ( ) se llama b) [ ] se llama c) { } se llama

3.

Completa correctamente: a) P_(x;y)= 7x9y6 c) M_(y;z)= 3x9y4z3 variables: variables: b) P_(a;x)= ax2 + a2x + a3 d) N_(x)= a2b3x4 variables: variables:

4.

Dados los enunciados, señala cuál es la incógnita. a) ¿Cuál es el número que aumentado en 3 resulta 10?

(10)

b) La edad de Ariana disminuida en 2 es 8. La incógnita es:

(11)

c) Si 4 kg de azúcar cuestan S/.10, ¿cuánto costará un kilogramo de azúcar? La incógnita es:

La incógnita se puede representar usando cualquier letra, generalmente se usan las últimas letras

del alfabeto: "x"; "y" o "z".

Demuestra lo

aprendido

• Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿En qué se diferencia el Álgebra de la Aritmética?

2. ¿Cuáles fueron las culturas iniciadoras del Álgebra?

3. ¿Qué matemáticos griegos continuaron los estudios de los babilonios y egipcios?

4. ¿Quiénes fueron los matemáticos árabes que pertenecieron a la escuela de Bagdad?

5. ¿Quién es el padre del Álgebra?

6. ¿De dónde deriva la palabra Álgebra?

7. ¿Quién demostró el teorema fundamental del Álgebra por primera vez?

(12)

(13)

Operaciones combinadas

en N

Recuerda: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} Operaciones Combinadas

Hasta la II Guerra Mundial no se superó la división tradicional de los ejércitos nacionales en tres armas tierra, mar y aire. La ventaja de realizar acciones en las que se combinasen las tres armas fue percibida en primer lugar por el almirante británico Lord Keyes, quien apreció en ello, aparte de evidentes progresos en cuanto a operatividad y eficacia, una manera de superar las divergencias y dispersión que marcaban las relaciones entre las tres.

Las operaciones combinadas vieron la luz por primera vez tras el reembarque de

Dunkerque.

r

Eglas dE

opEración

Caso 1: Sin signos de agrupación

a. Primero, se resuelven las potencias y raíces a la vez.

b. Segundo, se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez. c. Por último, se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez. Ejemplo:

(14)

70

123 ₂ 123f 14243

+ - + = + + =

(15)

1.

Resuelve:

1 ¡Listos, a trabajar!

a) 3 + 2 - 4 - 1 c) 11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 b) 7 - 3 + 6 - 2 + 8 d) 19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9

2.

Resuelve: a) 56 ÷ 8 + 6 + 3 d) 50 + 15 ÷ 5 × 3 - 9 ÷ 3 × 4 + 6 × 4 ÷ 6 b) 16 - 3 + 5 × 8 e) 4 × 5 - 3 × 2 + 10 ÷ 5 - 4 × 2 c) 2 × 3 + 5 × 8 f) 6 × 5 + 4 - 8 ÷ 4 × 2 × 3 - 5 + 16 ÷ 4 - 3

(16)

3.

Escribe los siguientes enunciados en lenguaje matemático, según convenga.

1

a) Seis veces nueve menos cuatro veces cinco.

b) Nueve veces ocho más cinco veces siete.

c) El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once.

Demuestra lo aprendido

1.

Resuelve: a) 32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 b) 3 + 6 - 18 ÷ 9 c) 7 × 6 ÷ 2 + 18 d) 24 - 18 ÷ 6 × 8 e) 10 ÷ 5 + 4 - 16 ÷ 8 - 2 + 4 ÷ 4 - 1 f) 6 × 5 × 4 ÷ 20 + 20 ÷ 5 ÷ 4 g) 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 ÷ 4 × 3 h) 40 ÷ 5 × 5 + 6 ÷ 2 × 3 + 4 - 5 × 2 ÷ 10

2.

Escribe los siguientes enunciados en lenguaje matemático, según convenga: a) El triple de doce disminuido en el duplo de nueve.

(17)

1 _{Caso 2: Con signos de agrupación}

a. Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de agru- pación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.

b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1).

{

[

( )

]

}

3º 2º 1º • Ejemplo 1: • Ejemplo 2: 2(5 + 3) + 5(9 - 7) 2( ) + 5( ) + = 3(5 - 1)2 - [14 ÷ 2] 3( )2 - - - = • Ejemplo 3:

{[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3}₁₄₂₄₃ ₁₄₂₄₃ "se suprime paréntesis" {[ 4 _14442444+ 15 ] + 10 - 3} 3 {19 + 10 - 3} 144244 3 26

"se suprime corchetes" "se suprime llaves"

• Ejemplo 4:

30 ÷ {(15 - 6) ÷ 3 + (18 - 3) ÷ 5}₁₂₃ ₁₂₃ 30 ÷ { 9 ÷ 3 + 15 ÷ 5}

"se suprime paréntesis"

14243 14243

30 ÷ { 3 + 3 }

1442443 "se suprime llaves" 30 ÷ 6

(18)

(19)

Efectúa

1 ¡Listos, a trabajar!

• Resuelve las siguientes operaciones combinadas. a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8 b. 64 ÷ 8 × 3 - (48 ÷ 2 + 1 - 1) c. {5 + (8 × 3 ÷ 6) - 7} d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 ÷ 20)} e. {55 ÷ 11 + 66 ÷ 11 + (77 ÷ 11 - 11)} f. [44 ÷ 11 + 7] + [88 ÷ 11 × 5] g. 40 + [25 - (3 + 2)] h. 60 + [(4 + 2) - 5] i. 150 - [(5 - 1) - (4 - 3)] j. 250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]

Demuestra lo

aprendido

• : a. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]} b. 520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]} c. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)} d. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]} e. (30 - 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 - 25) ÷ (9 - 6) f. [(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 18 + 2 g. (9 + 3)5 - 2 ÷ (3 - 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5 h. [15 + (8 - 3)5] ÷ [(8 - 2) ÷ 2 + 7] i. 9[15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]

(20)

(21)

1 _Desafío

José dibujó un rectángulo de 6 cm de ancho. Su largo es 7 cm menos que cinco veces su ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo? y ¿cuál es su perímetro?

(22)

Operaciones combinadas

con fracciones: adición y

sustracción



f

raccionEs homogénEas

Tienen el mismo denominador. • Suma a c d a _ _ _  c  d b b b b Ejemplos: 1 3 5 1_{  } 3 5 9_ 2 2 2 2 2 3 5 8_{  } _ 7 7 7 • Diferencia a c_ _ a c b b b Ejemplos: 5 3 5 _ _ 3 2_ 11 11 11 11 7 5_ _ _ 3 3



f

raccionEs

hEtErogénEas

Tienen distinto denominador. • Suma

a c ad + bc

+ +

b d bd Método Práctico

(23)

1 5 3 _ _ 10 13_

(24)

1

_• Diferencia a _- c ₊ ad - bc b d bd Método Práctico Ejemplos 5 1 15 _ _ 7 8_ 7 3 21 21 11 1_ _ _ 3 3

O

bservación

:

Si son más de dos fracciones, se tendrá que sacar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores y operar cada uno.

Ejemplos:

3 1 2 45 _ _ _ 20 24 41_ _⇒ _{MCM = 60} 4 3 5 60 60

3 1 2_{ } _ _ _⇒ _{MCM =} 4 3 5

(25)

1

Efectúa:

¡Listos, a trabajar!

3 7 4 1) A    2) 5 5 5 R 11 11 115 3 4  7 18 5 3) I    4) 13 13 13 A  5 23 4 3 1 5) N   6) 5 4 A  1 53 6 7 3 7) V   8) 8 4 A  2 5 13 4 2  1 3 1 9) L    10) 5 2 3 E   9 1 18 3 4

(26)

1 Demuestra lo

aprendido

8 7 5 a) A    b) 13 13 13 R 10 7 23 3 3  7 8 2 c) I    d) 5 5 5 A  7 13 2 4 1 e) N  – 5 2 f) A  3 54 8 g) V  9 3– 5 10 h) A  1 1 13 4 5  3 2 1 4 1 2 i) L    j) E   – 5 3 2 3 2 5

Desafí

o

Efectúa: 1 1 1 C 15₂3 ₃2₄

(27)

Operaciones combinadas con

fracciones: multiplicación y

división

Recuerda lo aprendido, resolviendo el siguiente ejercicio: 5 3 1. E    2 4 2 2. M  6 5  1 23 E = 5_{4 +}3 ₂×2_×2 - 2 ₁×4_×4 5 6 8 E    4 4 4 E  5  6 ₄  8 3 E  4

Ahora, intenta resolver los siguientes problemas y marca la respuesta correcta:

1.

Los 5₃ de los 3

5 del triple de 120 es:

a) 160 b) 360 c) 145 d) 180 e) N.A.

2.

¿Cuántos listones de madera de 1 4

1 de metro se pueden sacar de una pieza de 5

2 de metros de largo?

(28)

Para que puedas resolver correctamente los dos problemas anteriores y elimines dudas,

1

recuerda lo siguiente:



m

ultiplicación dE fraccionEs

Ejemplos: Ahora hazlo tú:

3 5 a) × = 5 4 3 × 5 3 = 5 × 4 4 2 6 a)   3 3 7 7  5 35 b)  5   2 2  1 2 b) 6 127  + + c) 1 1 × 2 1 2 3 3 1 c) 1  3  4 2 × × 3 7 3 _{ } 7 7_ 2 3 2  3 2



d

ivisión dE

fraccionEs

Ejemplos: Ahora hazlo tú:

1 3 a)  a) 4 16 5 153 9 1 16 × = 4 3 1 × 16 4 = 4 × 3 3 6 12 b) ÷ _b) 5 20 7 7_ 2 20 6 × 20 5 × 12 4 = = 2 2 2 6 1 5 c)  c)  10 5 2 6 2 10 = 6 5

(29)

2 × 5 1 = 10 × 6 6

(30)

Ahora que ya recordaste estos procedimientos, podrás resolver tú solo los problemas

iniciales:

1

1.

Los 5

3 de los 53 del triple de 120 es:

Operación Respuesta

2.

¿Cuántos listones de madera de 1

4

1

de metro se pueden sacar de una pieza de 5 2

de metros de largo?

(31)

1 Demuestra lo

aprendido

Isabel, Claudia y Rocío realizarán, cada una en su casa una fiesta el mismo día y las tres han invitado a Paúl. ¿Qué camino escogerá Paúl y a la fiesta de quién irá? (colorea el camino).

• Para esto resuelve cada ejercicio en tu cuaderno y comienza desde la "A", sigue el

camino de la respuesta y continúa hasta llegar a una de las casas.

1 12 10 A.   4 5 9 1  1 3  B.  _  _ 2 _ 4 12  3  3 9  C. _  _ 5 _ 5 25   10  1 1    1 3  D. _ _ _{  }  _{  }  16  2 4    4 2   3  5 1     1 2  1  E. _  _  _{ }        2  4 2 _{ } _{ } 4 3  6  1 1 F. 2  3 2 3 4 G. 2  2 7 3  3 15  1 H. _  _  2 _ 4 10  2  ₁_ _{2 1}_{ } ₁₅ I. _ 1 _ _{  } 

(32)

 3  4 2   10 2  1 2 

J.  _ _{ }

(33)

Ayudando a Paúl

1

A 1 3 3 2 B 3 4 ₂ 3 C 9 25 25 3 16 7 25 9 G F D ₅ 4 25 4 H Casa I _de Rocío E 4 5 2 3 1 4 0 8 ₁₁ 11 J ₈

Casa de Isabel Casa de Claudai

Desafío

¿Qué parte de la figura es la parte sombreada? 2

5

1 3

(34)

1 Arbolito

(35)

(36)

Arbolito inteligente

Sigue los pasos:

1

1. Recorta cada pieza del "arbolito inteligente" y resuelve los ejercicios en tu cuaderno. 2. Arma y pega el "arbolito inteligente" en la página anterior de tu libro.

F 2× 10 + 1 × 19 I 4 - 2 ÷ 18 5 3 3 5 5 5 G 2 ₃ ÷ ₉3 ÷ ₅3 ÷ ₇3 E 1 ₄+ ₅3 ÷ 1₂₀ A 1 1₂ × 2 1₃ H 3 ₅ de 8 _÷1 9 6 B 2 - 1 ₃ 3 D 1 - 7 9 9 2 J 3 _×10 _× 3 _÷₃ 1 5 9 4 2

(37)

(38)

Repas

o

• En tu cuaderno resuelve las siguientes operaciones, busca el área donde está cada respuesta en el recuadro de la siguiente página, coloréala y descubre la palabra secreta. 1. 40 + [25 - (3 + 2)] 2. {5 + (8 × 3 ÷ 6) - 7} 3. 250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)] 4. [44 ÷ 11 + 7] + [88 ÷ 11 × 5] 5. [15 + (8 - 3)5] ÷ [(8 - 2) ÷ 2 + 7] 6. 9[15 ÷ (6 - 1) - (9 - 3) ÷ 2]  1 1   1 1  7. _ _{ } _{  }  2 4   2 4    1 1 1  1  8. 3 _{ } _{  }  _   4 2 3  24    1 2   3 4   9. 5 _{ } 3 42    3     5 5   5 5     2 1 1  7  10. _{ }   _  _ ₇   5 3 2  30 

(39)

86

1 Palabra

secreta

11

12

21 ₆

23

404

15

7 ₁₄

24

60 ₂

18

50

19

4

100

10

259

16

8

17

51

3

1 22 66

57

0

89

5

13

20

9 241 521

113

93

72

La palabra secreta es: Responde:

(40)

Sopa de números con letras

1

• Resuelve los ejercicios en tu cuaderno y halla la respuesta en la sopa de números con

letras, que están en la página siguiente: 1. 6 ÷ 8 × 3 - (48 ÷ 2 + 1 - 1) 2. 60 + [(4 + 2) - 5] 3. (30 - 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 - 25) ÷ (9 - 6) 4. [(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 8 + 2 5. (9 + 3)5 - 2 ÷ (3 - 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5  1 1   1 1  6. _ _{ } _{  }  2 3   7 5    1 9 8   1 8 1   1 7. _{ } _{  }  _{ }  _{ }   3 4 2   5 10 20   3   1 1  1    1 1  1  8. _{ } _{ }  _ _{   }  _   2 3  4    7 5  3   1 4 18 1   6 1 1 15  9. _   _{ }  _    _  2 3 2 9   3 4 5 2   1 7   1 6  10. _ _{ }  _{  }  4 4   5 4 

(41)

1 Sopa de números con letras

m e

o e a

i c

t

c

n o r

o r q

c w

s n

s e

i e q

c r x

i t

r t i

s n t

r

i n

o e i

q v e

i

l b x

j o l r s

h u e v e

s r e s s

e c v f e

s u e r n

e a v k t

s e n t a

t v e c y

a t b x n

v a z l u

d o s s e

o c d f v

c h o t e

s a q b r

n t i l u

i d e m

o

f d i

a s k

l b g

r f s

w g q

t

f s u

d

b d i z

y u n o

q g c g

i d e l

d r k b

t i m

o e q h

c

r c i

o c x

s f a

t r o

r t a

u

n a h v r b

e w k

r s e

i s x o c v o

i t e t n

r e i n u t

f u h i c t

d i o y k n

r e l n c e

r t w y b o

h c

f e t h x s o o

a r e a s d n d

x l t s r o o o

s i n q g s v t

q f i s d h e n

s m e d i o n e

r l v b r f o i

s e t i m o

s c g i t n

i e v d

Respuestas: 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10.

Desafío

(42)

• Si para cortar un árbol en dos partes, se cobra S/.20, ¿cuánto se debe cobrar para

(43)

Propiedades de Potenciación I

Recuerda:

Las siguientes potencias son las más utilizadas en el curso. Por lo que reciben el nombre de "notables".

20 = 21 = 22 = 23 = 24 = 25 = 26 = 27 = 28 = 29 = 210 = 30 = 31 = 32 = 33 = 34 = 35 = 40 = 41 = 42 = 43 = 44 = 50 = 51 = 52 = 53 = 54 = 60 = 61 = 62 = 63 = 70 = 71 = 72 = 73 = 80 = 81 = 82 = 83 = 90 = 91 = 92 = 93 = 100 = 101 = 102 = 103 = 112 = 122 = 132 = 142 = 152 = 162 = 172 = 182 = 192 = 202 = 252 = 302 = 402 =

(44)

9

4

1 *

p

roducto dE potEncias dE basEs igualEs

.

am . an = am + n Ejemplos: a) 23 . 24 . 25 = 23 + 4 + 5 = 212 b) 38 . 34 . 3 = 38 + 4 + 1 = 313 c) 5x . 5y = 5x + y d) 68 . 6m = 68 + m e) a . a2 . a3 = a6 f) x2 . x3 . x4 = g) xa . xa . xa = h) ym . ym . ym . ym =

*

i) m . m5 . m =

c

ociEntE dE potEncias dE igual basE

.

am = am - n  an Observa: am = am - m _{= a}0 _{= 1 (a ≠ 0)} am Ejemplos: a) 8 89  5 84 85 7 10 b) 75 710 5 75 c) 5 ₅  d) 186 ÷ 184 = e) 129 ÷ 126 = f) 157 ÷ 155 = g) 288x ÷ 286x = h) 146a ÷ 142a = i) 72m ÷ 72m =

(45)

1

9

¡Listos, a trabajar!

1.

Encuentra el exponente correspondiente en cada caso: a) 3 = 9 d) 4 = 64 b) 7 = 49 e) 8 = 64 c) 67 = 1 f) 19 = 19

2.

Completa los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad: a) 3 . 3 = 37

b) 10 . 103 = 1010 c) a2x . a = a2x + 4

3.

Completa la igualdad para que se cumpla: a) 10 7 10 b) 7 73 = 102 = 78 c) 20 20q = 20p - q

4.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa: a) 38 . 39 = 317 ( )

b) 54 . 79 = 713 ( ) c) 138 ÷ 134 = 1312 ( )

d) 7 75 ( )

(46)

1

5.

Reduce: 364.365.36 a) ₃₆9  b) 12 5 .126.12 12

6.

Resuelve: a) A = 34 + 32 + 40 + 5 b) B = 63 - 27 + 32

7.

Expresa como potencia cada caso: a) 51.54.54.452....4 ...4...4.3.5  20 veces b) _21.24.2₄_{4.22....4...4...4.3.2} 13 veces

8.

Resuelve dejando indicado el exponente:

615 a) 66  b) 810 ÷ 8 6 ₌

9.

Halla: 59 a) J  57 518  516 538  536 7104 b) S  7 102 719 

(47)

716 ₇15



(48)

1.

10.

Simplifica las siguientes expresiones:

1

a) (72 . 75 . 73) ÷ (76 . 72) b) 612 ÷ (67 . 6 . 64) 54.56 58 52  34.32   35.32  c)  52.55 52.5 d)  33.3    ₃2  .33        

Demuestra lo aprendido

Encuentra el exponente correspondiente en cada caso:

a) 2 = 128 d) 5 = 125

b) 9 = 81 e) 12 = 144

c) 6 = 36 f) 2 = 32

2.

Completa los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad: a) 42 . 45 . 4 = 410 c) 97 . 9 = 913

b) ax . a = ax + 3

3.

Completa los cuadros para que se cumpla la igualdad: a) 9 92 624 = 918 _c) 6 = 6 15

(49)

b) 5

(50)

7

4.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa:

1

_{a) 15}9 _{÷ 15}3 _{= 15}12 _{... (} ₎ b) 78 . 7 . 7 = 710 ... ( ) c) 84 . 8 . 83 = 88 ... ( ) d) 54 . 5x = 54 + x ... ( )

5.

Reduce: 420.450.490 a) 4157 24.22.24.26.28 b) 28.216

6.

Resuelve: a) Y = 23 + 32 + 53 b) E = 62 + 122 - 260

7.

Expresa como potencia cada caso: a) S  41.44.44..2....4... 4...3.4 10 veces b) I _{1174.174.2....4...4..137} 8 veces

8.

Resuelve dejando indicado el exponente:

a) 7  b) 92x

(51)

9.

Halla: 107 1012 1024 930 984

1

910 a) E  105 1010 1022 b) S  927  981  99

10.

Simplifica las siguientes expresiones:

3 6 5 5

a) (49 ÷ 44) ÷ (44 ÷ 42) b) _ 7 .7   7 .7  

78   78 

   

Desafío

1. ¿Cuál es la expresión reducida por la que deberíamos dividir 5 para ob-

tener como resultado la unidad?

S = (x

4

y) (x

5

y

2

) (xy)

2. El cuadro de números.

Coloca los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada

nú-mero que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en

los círculos a sus lados.

(52)

(53)

Propiedades de Potenciación

II

*

p

otEncia dE otra potEncia

[[am]n]p = am.n.p Ejemplos: a) (22)3 = 22.3 = 26 b) ((34)2)3 = 34.2.3 = 324 c) {[(1002)9]8}0 = 1002.9.8.0 = 1000 = 1 d) [(42)3]4 = e) {[(52)3]0}6 = f) [(74)3]2 = g) [(x3)4]5 = h) [(82)3]9 = i) {[(125)7]0}9 =

*

p

otEncia dE un producto En general: (a.b)n = an . bn Ejemplos: a) (2 × 4)3 = 23 × 43 b) (3 × 5)2 = 32 × 52 c) (4 × 7 × 8)0 = 40 × 70 × 80 = d) (6 × 3 × 2)3 = e) (2.x.y)3 = f) (4.6.7)2 =

(54)

100

g) (8.5)3 = h) (7.2)4 =

(55)

10 1

1.

Resuelve, indicando el exponente:

¡Listos, a trabajar!

a) [(5)3]4 b) [(102)3]4

2.

Expresa y calcula en forma de potencias de un producto de tres factores:

a) 402 = ( × × )2 = × × = b) 242 = c) 602 =

3.

Resuelve: a) [(32)2]3 = b) [(52)3]4 = c) {[(210)20]3}0 =

4.

Simplifica: A = {[(24)2]30}0 + 23 + 26 + 2

5.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa: a) (52)3 = 56 ... ( )

(56)

102

(57)

1

6.

Simplifica:

a) [(32)4]0 + (38)0 + [(35)20]0

b) {[(5x)7]0}9 + {[(6x)8]0}100 + {[(7x)7]0}15

7.

Obtén el valor de "x", en: xx = 27

8.

¿Cuál es la potencia que hay que dividir entre "E" para obtener 2 como cociente? [(22 )3 ]4

E 

32

9.

¿Cuánto mayor es la edad de Esteban que la edad de Sergio, si Esteban tiene 22 años

23.25

y Sergio representa su edad por la expresión: ?

16

10.

¿Qué valor debe tomar "t" para que la siguiente proposición sea verdadera? 100t × 1 000t × 10 000t = 1090

(58)

1

1.

Resuelve, indicando el exponente: a) (3 × 5)2 b) (2 × 3 × 4)2

Demuestra lo

aprendido

2.

Expresa y calcula en forma de potencias de un producto de tres factores: a) 702 b) 363

3.

Resuelve: a) {[(76)8]2}3 b) {(103)4]5}2

4.

Simplifica: A = {[(310)30]100}0 + 33 + 32 + 3

5.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa: a) [(25)4]3 = 26 ... ( )

b) [(34)0]7 = 1 ... ( ) c) 1 = {[(8x)3]203}0 ... ( )

(59)

6.

Simplifica:

(60)

7.

Halla "y", en:

1

yy = 256

8.

¿Para qué valor de "a", el resultado de operar

2a 3 23

es igual a 64?

9.

¿Cuál es el exponente de la potencia que resulta de operar: 37 × 34 × 38?

10.

Halla el resultado de efectuar: (23)2 × (22)3

Desafío

1. ¿Cuál es la expresión por la que deberíamos multiplicar "P" para que el

resultado sea x

20

?

P = [(x

2

)

3

]

2

.x

4

2. Siete números en la "Y" griega.

Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos

números consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni

diagonal-mente.

(61)

(62)

105 Álgebra – 5to. grado ca te t o

Propiedades de la radicación

Sabías que . . . √2 ₁ ... el valor numérico de decimales es: √2 aproximado a 65 posiciones 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 1 catet o

La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud 1.

e

lementOs de la radicación

índice

3 64 = 4

raíz

radicand o

Se lee: "raíz cúbica de 64 es 4".

r

aíz de un prOductO

En forma general se cumple lo siguiente: √n a.b = n_√a . n √ b donde: a, b, n ∈ N

(63)

1

Ejemplos:

a) 4.9  4 . 9 2.3  6

Se lee: "raíz cuadrada de 4 por 9 es igual a la raíz cuadrada de 4 por la raíz cuadrada de 9 y esto es igual a 6". b) 16.25  16 . 254.5 20 c) 144.121  144 . 121  12.11  132 d) 3 27.64  .  e) 3 8.125  . 

r

aíz dE un cociEntE

En forma general se cumple lo siguiente: n a √a n = n b √b donde: a, b, n ∈ N y b ≠ 0 Ejemplos: 64 64 8 a)   4 4 4 2

Se lee: "raíz cuadrada de 64 entre 4 es igual a la raíz cuadrada de 64 entre la raíz cuadrada de 4 y esto es igual a 4".

81 81 9 b) ₉   3 _d) 100    9 3 225 64 64 8 64 c)   e) 3    49 49 7 27

(64)

* Calcula mentalmente las raíces de:

1

a) 25 _₅_{; porque: 5}2 _{= 25} _h) 4 ₁₆__{; porque:} b) 49  ; porque i) 36  ; porque: c) 3 125 5 ; porque: 53 = 125 j) 81  ; porque: d) 5 32  ; porque: k) 3 64  ; porque: e) 16  ; porque: l) 4 81  ; porque: f) 64  ; porque: m) 121  ; porque: g) 3 27  ; porque: n) 144  ; porque:

¡Listos, a trabajar!

1.

Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando propiedades: a) 25.16  f) 36.25  b) 49.16  g) 81.49  c) 3 27.8  h) 3 125.64  d) 36  4 i) 25  100 81 64 e)  j)  25 36

(65)

1.

Resuelve aplicando propiedades de radicación:

3

4

2.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

1

144 2 3 a)   d) 25 5 5 ₅1  _{125 5}27  3 36 4 4 b)   e) 49 7 7 7 _ 16 3_ 3 81 3 25 16 9 c)   f) 25.16  9  1 100 100 100 4.9 36 36

Demuestra lo

aprendido

a) 169.4  b) 361.25  c) 289.36  d) 144.121  e) 256.225  f) 329.9  g) 196.64  h) 400.900 

(66)

1

400

i) ₁₀₀  j) ₂₂₅25 

2.

Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas. Luego anota los resultados en la guía. 25 1 3 a)   b) 100 2 2 64 3 1_{ } 25 5 5 400 9 7 c)   d) 100 100 10 3 _ 1 _ 2 10 100 10 9.324 20 1 e)   f) 25.4 100 100 144 _ 121 _ 9 _ 1 11 11 121 121 Respuestas: a) b) c) d) e) f)

Desafío

La profesora de Álgebra de TRILCE estudió cuidadosamente un cubo. Multiplicó el número de caras por el de vértices y por el de aristas. ¿Qué producto obtuvo?

(67)

(68)

Operaciones combinadas

de potenciación y

radicación

La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para

exponent e

24 = 16

abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y, en la parte

superior derecha del mismo, se coloca el número de veces que se

base potencia

multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina POTENCIACIÓN

radicación. índic

e 327 = 3

radicando raíz

• Potencia de exponente 0

Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno.

RADICACIÓN

a

0

=

1 _a

≠

0

Todo número elevado a la potencia uno es igual a sí mismo.

a

1

=

a

La potencia dos se lee "elevado al cuadrado".

a

2

= a



a

La potencia tres se lee "elevado al cubo".

a

3

= a



a



a

• Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguidas de tantos ceros como unidades tiene el exponente.

(69)

   3  2 2 3 . 

1

1.

Realiza las siguientes operaciones:

¡Listos, a trabajar!

a) (24.32.53)3 b) (32.52)3  c) 23.2. 2 3 .2     ₂4 .22 

2.

Sustituye los (*) por números que correspondan: a) ((3)3)4 = (3)* b) _  3 *  2 6  _ 3   2  * 8 c) _{ }   27          

3.

Resuelve: 3 64 1 a) .2 . ( 36 . 36 . 36 . 36 ) 4 b) 8 ₂4 _{(( 36 )}2 ₎2 23.29.2.24 c) ₃ 64 . 64 (5 2 .53 )2.52. 25 d) 3 125 4 625

4.

Halla el valor de "x" en cada uno de los siguientes casos:

2 3 4 2 3 0 2

a) 3x  (3.3 .3 ). 81₅

243 .33 b) 4

x 1 _ ((4 ) ) .4

(70)

c) 6x 1  _{36 .(}3 _{216 )}4_.67 62.63 ((8)2 )3.(((8)8 )3 )0. 64 d) 3 512 8 x

(71)

     5  7 7 4 . . . . 2 3 2 3 5 6 2  7 

Demuestra lo

aprendido

1.

Realiza las siguientes operaciones:

a) (53.22.43)2 b)  3 3_.34 _ 32.33  _3.23     ₃4 .32  c) _  22.32 

2.

Sustituye los (*) por números que correspondan: a) ((52)3 = (5)* b) _  3 *  5 10   3   4  * c) _ _{ }   256 625          

3.

Resuelve: a) 3 81 .3 . 1 ( 49 . 49 . 49 . 49 ) 2 b) 3 ₃4 _{(( 49 )}2 ₎3 102.103 3 1000 .104 c) (4 10000 3 1000 )2 (8 2)2.(12 2)2.103.(32  1) d) (20  2) 100 3 1000 4 10000

4.

Halla el valor de "x" en cada uno de los siguientes casos:

a) 10x  10 .10 (( 100 ) )₄ 10000  3 1000 b) 7x 1  ( 49 . 49 ) .7 (( 49 )2 )3 2 2 8  2 4  2  1 2 1     2 x  3   3        ₃  ₁x 1      ₂   _{ }  _ 2 

(72)

1

3 3 3          _         c) _ 3   6 d)  2   0   _ ₂_ _ ₂_ _ ₂    _  1  30              _  _ ₂_{ }  

(73)

823 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Desafí

o

1

Al cero en cinco pasos

• Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Esto mediante sumas,

restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operación las veces que quieras.

• Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número que tú elijas.

El número que elijas debe ser uno de los siguientes: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ó 9. Puedes usar el número que elijas las veces que quieras.

• Cada operación que hagas se cuenta como un paso.

• Ganas el juego, si a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los

siguientes números.

Ejemplo: Reduce a cero el número 869. 869 Paso 1 869 - 5 = 864 Paso 2 864 ÷ 9 = 96 Paso 3 96 ÷ 8 = 12 Paso 4 12 ÷ 6 = 2 Paso 5 2 - 2 = 0

• Ahora, reduce a cero los números 789 y 823.

789 Paso 1

Paso 2 Paso 3

(74)

Paso 4 Paso 5

(75)

1 g

losari

o

- IN : Símbolo que representa al conjunto de números naturales. - ZZ : Símbolo que representa al conjunto de números enteros.

- Exponente : Número de veces en que se va a repetir la base (número o variable) - Potencia : E s e l re s u l t a d o d e m u l t i p l i c a r l a b a s e t a n

t a s ve ce s co m o i n d i c a e l exponente. - Numerador : Partes que se toman de la unidad.

- Denominador : Partes en que se divide la unidad. - Fracciones

Homogéneas : Aquellas que tienen igual denominador. - Fracciones