La medición de la velocidad de la luz por Röemer. Observación de la luna Io de Júpiter

La medición de la velocidad de la luz

por Röemer. Observación de la luna

Io de Júpiter

En 1676 Ole Christensen Röemer (25 de septiembre de 1644, Århus - 19 de septiembre de 1710, Copenhague) realizó la primera estimación cuantitativa de la velocidad de la luz como resultado de sus detalladas observaciones mediante telescopio del movimiento del satélite Ío de Júpiter. Aunque su cálculo dio un valor inferior al real, ello fue debido a que el valor de la unidad astronómica que se manejaba en la época era erróneo (140 millones de kilómetros), ya que el método que empleó fue muy preciso.

Comprendió la posibilidad de medir el tiempo de la revolución de Ío debido a sus movimientos de entrada y salida en la sombra de Júpiter a intervalos regulares. Röemer observó que Ío gira alrededor de Júpiter cada 42,5 h (1,769 días) aproximadamente, cuando la Tierra esta más cerca de Júpiter (situación de oposición). También observó que, cuando la Tierra y Júpiter se mueven separándose, la salida de Ío fuera de la proyección de la sombra comenzaría progresivamente más tarde de lo predicho. Las observaciones detalladas mostraban que estas señales de salida necesitaban más tiempo en llegar a la Tierra, ya que la Tierra y Júpiter se separaban cada vez más. Pensó, por consiguiente, que esta diferencia de tiempo utilizada por la luz para llegar a la Tierra podría ser utilizada para establecer su velocidad. Notó Röemer también que 6 meses después, las entradas de Ío en la proyección de la sombra de Júpiter ocurrían con mayor frecuencia ya que la Tierra y Júpiter se acercaban uno a otro. Con base a estas observaciones, Rømer estimó que la luz tardaría unos 22 min en cruzar el diámetro de la órbita de la Tierra (es decir, el doble de la unidad astronómica); ahora sabemos que la medida correcta es de unos 16 min y 40 s.

El trabajo de Röemer tiene la trascendencia de haber sido la primera vez que se midió matemáticamente la velocidad de la luz.

El paso de Io por la sombra de Júpiter

De los cuatro satélites galileanos, Io, Ganímedes, Europa y Calisto, es el primero el que orbita más próximo al gigante gaseoso, con un radio medio orbital dado por

m

r

_io

₌

₄

_,

₂₁₆

_.

₁₀

8 _{, y un movimiento que se desarrolla en el mismo plano en el que} se mueve Júpiter en su órbita alrededor del Sol.

El planeta Júpiter, tiene, en su orbita alrededor del Sol, un radio orbital aproximado dado por

r

_j

=

5

,

203

UA

, y un periodo

P

_J

=

11

,

86

años

. El radio del planeta es de

R

j

=71398 km

. Su masa es

M

=

1

,

901

.

10

27kg

Nuestro planeta, la Tierra, tiene asimismo un radio orbital de 1 UA y un periodo de

365,2 días

(

r

_T

=

1

UA

,

P

_T

=

365

,

2

días

).

Con estos datos podemos determinar la velocidad, periodo, etc. de

Io

en su movimiento alrededor de Júpiter:

Si es

M

la masa de Júpiter, la velocidad de Io se obtiene de forma inmediata:

io io io

r

GM

v

r

m

M

G

r

v

m

2

=

₂

.

→

=

, y esto nos permite obtener su periodo orbital:

dias

segs

GM

r

v

r

P

P

r

v

io io io io io

₁₅₂₇₄₈

_,

₄

₁

_,

₇₆₉

10

.

67

,

6

)

10

.

216

,

4

(

2

2

2

2

11 3 8 3

=

=

=

=

=

→

=

π

π

π

π

₋

La luz incidente del Sol sobre la esfera del planeta Júpiter proyecta una sombra que es atravesada por Io en su órbita alrededor del planeta. El ancho de esta sombra coincide con el diámetro del planeta y el ángulo

2

ϕ

que abarca puede calcularse fácilmente:

1678

,

0

10

.

216

,

4

10

.

1398

,

7

8 7

=













=













=

→

=

arctg

r

R

arctg

r

R

tg

io j io j

_ϕ

ϕ

Podemos determinar el tiempo

t

que tarda Io en atravesar la sombra, mediante una proporción con el periodo orbital de Io:

horas

s

P

t

P

t

_io io

27

,

2

min

07

,

136

8164

1678

,

0

.

2

.

2

60

.

60

.

24

.

769

,

1

2

2

2

2

_→

₌

₌

₌

₌

₌

=

π

ϕ

π

π

ϕ

Distancia entre la Tierra y Júpiter:

Puesto que nuestro planeta dista del Sol una unidad astronómica, mientras que Júpiter dista del Sol 5,203 unidades astronómicas, resulta que la menor distancia entre la Tierra y Júpiter corresponde a la situación en la que Júpiter se encuentra en oposición, ya que en este caso tal distancia será

d

_TJ

=

5

,

203

−

1

=

4

,

203

UA

. La

mayor distancia corresponde al caso en el que Júpiter esté en conjunción, situación en la que tal distancia sería

d

_TJ

=

5

,

203

+

1

=

6

,

203

UA

La distancia,

d

, entre ambos astros, es, por consiguiente,

4

,

203

UA

≤

d

≤

6

,

203

UA

Situación de los planetas Tierra y Júpiter medio año después de la situación de oposición:

Medio año después de la situación en la que la distancia es mínima (oposición) la Tierra ha recorrido la mitad de su periodo orbital, esto es, se ha desplazado recorriendo un ángulo de 180º, mientras que Júpiter, cuyo periodo es mucho más largo, habrá recorrido un ángulo

φ

, menor, que podemos determinar de manera sencilla, como la proporción entre 0,5 años y 11,86 años que es el periodo de tiempo en el que el planeta gaseoso recorre 360º:

º

18

,

15

86

,

11

5

,

0

.

360

360

86

,

11

5

,

0

₌

φ

_→

_φ

₌

₌

Durante todo este tiempo, que emplea Júpiter en moverse dentro de su órbita un ángulo de 15,18º y la Tierra un ángulo de 180º, un observador situado en nuestro planeta vería a Io surgir desde la sombra de Júpiter, aunque no le vería en el momento de su entrada en la zona de sombra, pues se lo impide la posición

Si bien en la situación inicial de oposición el periodo de Io observado es de 152748,4 segundos, a medida que la Tierra se va alejando de Júpiter el observador que mide los instantes en que Io surge desde la sombra de Júpiter en sus sucesivas órbitas alrededor del planeta observa que la diferencia de tiempos va aumentando, esto es, que cada vez tarda más dicha luna en surgir de la sombra proyectada por el planeta, de modo que cuando ha pasado el medio año en el que la Tierra ha recorrido los 180º y Júpiter los 15,8º, se llega a constatar un retraso global con respecto al periodo inicial de Io en la situación de oposición, de unos 990 segundos. Si esos 990 segundos de retraso se deben a que al alejarse cada vez más la Tierra la luz tarda más en llegar, bastará encontrar la distancia entre la Tierra y Júpiter en este momento para poder calcular la velocidad de la luz, pues si encontramos que la distancia entre ambos planetas en la fase de oposición era la mínima, 4,203 UA, y ahora encontramos que la distancia es d, la velocidad de la luz se calcularía como el cociente de dividir la variación de distancia por la variación de tiempo:

990

203

,

4

−

=

d

c

Veamos, por consiguiente, cómo calcular la distancia entre ambos planetas cuando ha pasado medio año desde la situación de oposición.

Distancia Tierra-Júpiter medio año después de la situación de oposición:

En el triángulo Tierra-Sol-Júpiter se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ambos lados: lado Tierra-Sol,

TS=1 UA

, lado Sol-Júpiter,

SJ=5,203 UA

, ángulo

δ

comprendido = suplementario de

φ

.

Aplicando a dicho triángulo el teorema del coseno, podemos hallar la distancia

d

entre la Tierra y Júpiter:

δ

cos

.

.

2

2 2 2

_TS

_SJ

_TS

_SJ

d

=

+

−

y obtenemos:

1160

,

38

965290

,

0

.

406

,

10

0712

,

28

)

82

,

164

cos(

.

203

,

5

.

2

203

,

5

1

2 2 2

₌

₊

₋

₌

₊

₌

d

resultando que es

UA

d

=

6

,

174

El cálculo de la velocidad de la luz:

Será, como hemos indicado antes:

s

km

s

km

s

UA

d

c

/

2

,

98636

.

10

/

990

10

.

15

.

971

,

1

/

990

971

,

1

990

203

,

4

174

,

6

990

203

,

4

₌

−

₌

₌

7

₌

5

−

=

(se ha redondeado el valor de la unidad astronómica en 150 millones de kilómetros –

1 UA=15.10

7

kms

)

Documentación recomendada:

- Medida de la velocidad de la luz. Procedimiento de Röemer (http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/roemer/roemer.htm - Wikipedia, velocidad de la luz